Задачи на конус и цилиндр

Задачи на конус и цилиндр

1.       Высота конуса равна 2 √3 см. Найдите площадь боковой поверхности и площадь осевого сечения конуса, если оно является правильным треугольником.

2.        Диаметр окружности основания цилиндра равен 26, а его образующая – 21. Плоскость пересекает его основания по хордам длины 24 и 10. Найти угол между этой плоскостью и плоскостью основания цилиндра.

Задачи.

1.       Длина окружности основания цилиндра равна 1. Площадь боковой поверхности равна 2. Найдите высоту цилиндра.

2.       Осевое сечение конуса равносторонний треугольник со стороной 10см. Найти радиус основания и высоту конуса.

3.       Диагональ осевого сечения цилиндра наклонена к плоскости основания под углом 60° и равна 20 см. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.

4.        Высота конуса равна 2 √3 см. Найдите площадь боковой поверхности и площадь осевого сечения конуса, если оно является правильным треугольником.

5.        Диаметр окружности основания цилиндра равен 26, а его образующая – 21. Плоскость пересекает его основания по хордам длины 24 и 10. Найти угол между этой плоскостью и плоскостью основания цилиндра.

1. Выберите неверное утверждение:

а). Конус может быть подучен в результате вращения прямоугольного треугольника вокруг одного из его катетов

б). Прямая, проходящая через вершину конуса и центр его основания, называется осью конуса.

в). Площадь боковой поверхности конуса может быть вычислена по формуле S_б = Пr(r+l)

г). Осевым сечением усеченного конуса является равнобедренная трапеция

д). Конус называется равносторонним, если его осевое сечение правильный треугольник

Ответ: в)

2. образующая конуса равна 4см и наклонена к плоскости основания под углом 60^о. Найти площадь осевого сечения конуса.

а) 83см² ;

б)3см²;

в) 163см²;

г) 43см² ;

д) 23см²

Ответ: г)

3. Радиусы оснований усеченного конуса 10v3 и 6v3 , а образующая наклонена к плоскости основания под углом 60^о. Найти высоту усеченного конуса.

а) 4см;

б) 6см;

в)12см;

г) определить нельзя;

д) 3см.

4. Осевое сечение цилиндра - квадрат, диагональ которого 12см. Найти S боковой поверхности цилиндра.

а) 36П см²;

б) 72П см²;

в) 362Псм²;

г) 483Псм²;

д) 144Псм²;

№ 522 (рис. 1).

Решение:

1. ABCD - прямоугольник.

2. ΔACD - прямоугольный.

3. 

4. 

5. 

(Ответ: )

№ 524 (рис. 2). 

Решение: Осевые сечения равны, значит, при наложении они совпадут. Но высоты цилиндров не равны: а ≠ b. (Ответ: нет.)

№ 526 (рис. 3).

Решение:

1. 

2.   

3. 

4. 

(Ответ: а) 30°; б) 60°.)

 Решение задач по готовым чертежам.

I уровень - устно с обсуждением решения: № 1, 2, 3.

II уровень - самостоятельное решение с самопроверкой по готовым ответам: № 4, 5, 6.

Задача № 1 (рис. 4). 

Решение:

1. OD = R, AD = 3.

2. ΔADC - прямоугольный. Так как AD = 4, то АС = 5 (пифагорова тройка).

(Ответ: 5.)

 Задача № 2 (рис. 5). 

Решение:

1. ΔАВС - прямоугольный.

2. Так как ∠BAC = 30°, то ВС = 1/2АВ, т. е. ВС = 2.

3. 

4. 

(Ответ: 2; √3.)

Задача № 3 (рис. 6).

Дано: О1А = 5, AA1 = 15, АВ = 17.

Найти: расстояние между OO1 и АВ.

 

Решение:

1. ΔАА1В - прямоугольный; по теореме Пифагора  ДП: ОК, К - середина ВА1.

2. ОK ⊥ A1B (так как ОК - расстояние между ОО1 и АВ:

3. По теореме Пифагора из ΔA1KO: 

(Ответ: 3.)

 Задача № 4. (рис. 7).

Найти: SABCD.

Решение:

1. АО = 5 - дополнительное построение.

2. 

3. ABCD - прямоугольник.

4. 

(Ответ: 80.)

 Задача № 5.

Дано: 

Найти: Н/2R.

Решение:

1. 

2. 

(Ответ: 1/8.)

 Задача № 6 (рис. 8).

Дано: ABCD - осевое сечение.

Найти: 

 

Решение:

1. Sбок. = 2πRH, ABCD - прямоугольник.

2. 

3. 

(Ответ: π.)

III. Решение задач

№ 530 (рис. 9).

 

Решение:

1. ABCD - квадрат.

2. Так как O1К - расстояние от точки О до ABCD, то О1К ⊥ ABCD, О1К ⊥ ВС.

3. АВ = ВС = 12 см ⇒ ВК = 6 см.

4. BO1 = 10 см.

5. ΔВКО1 - прямоугольный, по теореме Пифагора.

(Ответ: 8 см.)

 № 533 (рис. 10).

 

Решение:

1. SABCD = S.

2. 

3. ΔОКА1 - прямоугольный, ∠К = 90°. ОA1 =R.

4.  

5.  

(Ответ: )

 № 537 (рис. 11).

 

Решение:

1. Sбок. = 2πRH.

2. d = AD = 1 (м).

3. 

4. 

(Ответ: π2 м2.)

№ 527 а) (рис. 12).

 

Решение:

1. Достроим плоскость, содержащую АВ так, чтобы А1ВВ1А || OO1.

2. АА1ВВ1 - прямоугольник.

3. O1К ⊥ A1B, О1К - расстояние от OO1 до АА1ВВ1, так как O1К ⊥ АА1ВВ1, К - середина А1В.

4. r = 10 дм, d = O1K = 8 дм, AB = 13 дм.

5. 

6.   (так как ΔAA1В - прямоугольный).

(Ответ: 5 дм.)

 № 531 (рис. 13).

 

Решение:

1. ABCD || ОО1.

2. O1К- расстояние от ОО1 до ABCD. O1К = 9 дм, К-середина ВС.

3. SABCD = 240 дм2.

4. 240 = 10 · ВС, ВС = 24 дм, ВК = 12 дм.

5. ΔВКО1 - прямоугольный,   (Ответ: 15 дм.)

 № 544 (рис. 14).

Решение:

1. Sосн. = πR2.

2. 

3. 

4. 

(Ответ: )

 № 601 (рис. 15). 

Решение:

1) ABCD - осевое сечение; OA = R, P- середина ОА; MLKN ⊥ ОА;

2) ABCD и MLKN - прямоугольники;

3) 

4) OP = AP = R/2.

5) ΔМРО - прямоугольный 

6) 

7) 

8) 

(Ответ: )

Карточка 1. Высота прямого кругового конуса равна радиусу основания R. Через его вершину проведена плоскость сечения, отсекающая дугу 600.Найдите площадь сечения.

Карточка 2. Образующая конуса наклонена к плоскости основания под углом 300, а высота конуса равна 12 см. Найдите площадь боковой поверхности конуса.

Карточка 3.Радиус основания конуса равен 14 см. Найдите площадь сечения, проведенного перпендикулярно его оси через ее середину.

К-1 Решение: Плоскость сечения пересекает конус, образует равнобедренный АМВ. Хорда АВ стягивает ,∠О ( центральный)= ,то ∠А =∠В =600 , то АОВ – равносторонний АВ=R, ОС=; МС- высота сечения и гипотенуза △ МОС. По условию МО=ОА=R тогда МС=; площадь △АМВ= Ответ:SАМВ =

К-2 Решение: △АSО - прямоугольный (SО^основанию),∠SАО=300, SО(лежит против угла 300)=, тогда AS=2ОS=2*12=24.По т. Пифагора ОА=; Sб.= Ответ: Sб.=.

К-3 Решение: Плоскость a- секущая пл.; a^(РО) (по опр.) и А1Мa, тогда РО^ А1М и ∠РМА1 =900; △РОА∽△РМА1(по двум углам) следовательно (т.к. М-середина) МА1=; Sсеч.. Ответ; Sсеч..

В-1. 
Равнобедренный треугольник, боковая сторона которых =7, а угол при основании равен 45⁰, вращается вокруг основания.
Найдите площадь поверхности тела, полученного при вращении треугольника.

Решение: При вращении получаем тело состоящее из двух равных конических поверхностей (т.к△ равнобедренный)S_пол.=2S_бок,; S_бок,=πrl; r=DВ; △АВС- равнобедренный. DВ- медиана ,высота, биссектриса. АD=DС;∠АВD=45⁰(90⁰:2) тогда ; ВD =Sin45⁰АВ;
S_бок,=πr l=π7=24,5; S_пол.=2S_бок=2= Ответ: S_п=
В-2. Равносторонний треугольник со стороной 8см. вращается вокруг своего основания. Вычислите площадь поверхности тела, образованного при этом вращении.

Решение: При вращении получаем тело состоящее из двух равных конических поверхностей (т.к△ равносторонний)S_пол.=2S_бок,; S_бок,=πrl; r=DВ; 

△АВС- равносторонний. DВ- медиана ,высота, биссектриса. АD=DС;∠АВD=30⁰(60⁰:2) тогда ; ВD =Sin60⁰АВ; 

S_бок,=πr l=π= 32;

S_пол.=2S_бок=2= 

Ответ: S_п=

I Вариант

Задача 1. Сечение шара плоскостью имеет площадь 36(м). Радиус шара 10м. Найти расстояние от центра шара до плоскости сечения.

Дано: шарS(O,OX) S= 36(м) , R = OX = 10 м 

Найти: ОО

Решение:
1. Любое сечение шара плоскостью есть круг. S= r 36 = r  r= 36 (м)

2. ООХ – прямоугольный 

ОО = h , OX = r , OX = R

h= R- r - т. Пифагора 

h=100 – 36 =64, h = 8 м

Ответ: h = 8м
Задача 2. На поверхности шара даны три точки, кратчайшее расстояние между которыми равно 6 см. Определить площадь сечения, проходящего через эти точки.

Решение:1. Пусть А, В, С – три данных точки. Рассмотрим сечение шара плоскостью. Это будет круг, окружность которого описана около АВС; R – радиус окружности, описанной около АВС R =  

2. S=  p =  ; p =  = 9(см)

S=  = 9 (см) 

3. R =  =  (см)

4. Любое сечение шара плоскостью – круг 

S=R S= = 12(см)

Ответ: S= 12(см)