Задание № 17. Подготовка к ЕГЭ по математике (профильный уровень)

Гуженок Галина Сергеевна,

учитель математики 

МБУ «Школа №74»

г. Тольятти Самарской области

Подготовка к ЕГЭ  по математике: задание № 17.

Данная работа представляет собой подробный разбор различных типов задач , предлагаемых на ЕГЭ, из сборника  ЕГЭ 2018, Математика, И. В. Ященко, 50 вариантов, задание № 17.

17 задание профильного уровня ЕГЭ по математике представляет собой задачу, связанную с финансами, а именно эта задача может быть на проценты, часть долгов и др. Сложность заключается в том, что необходимо рассчитать проценты или часть на длительном промежутке, поэтому данная задача не является прямой аналогией стандартных задач на проценты.

Рассмотрим решение некоторых заданий № 17 из данного сборника.

Вариант 1

31 декабря 2016 года Василий взял в банке 5460000 рублей в кредит под 20% годовых. Схема выплаты кредита следующая – 31 декабря каждого года банк начисляет процент на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 20%), затем Василий переводит в банк Х рублей. Какой должна быть сумма Х, чтобы Василий выплатил долг тремя равными платежами (то есть за три года)?

Решение.

Для решения данной задачи воспользуемся готовой формулой:

Х =(S · (1 + 0,01p)ⁿ) / ((1 + 0,01p)^n-1 + (1 + 0,01p)^n-2 + …+ (1 + 0,01p) + 1), где

S – сумма кредита

p – процентная ставка

n – период кредитования

Х – ежемесячный платеж

Получим:

Х =  =  =  = 1500000 · 1,44

· 1,2 = 2592000 (руб) – сумма ежемесячных выплат.

Ответ: 2592000 рублей

Вариант 6

15 января планируется взять кредит в банке на 24 месяца. Условия его возврата таковы:

- 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 2% по сравнению с концом предыдущего месяца;

- со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

- 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.

Известно, что за первые 12 месяцев нужно выплатить банку 1370 тысяч рублей. Какую сумму планируется взять в кредит?

Решение.

Первый способ.

1)      Пусть х руб. – ежемесячные выплаты по кредиту без процентов, тогда вся сумма кредита составит без процентов (24х) руб., а за первые 12 месяцев нужно выплатить банку без процентов (12х) руб.

2)      Пусть S- сумма, которую составляют проценты за первые 12 месяцев. По условию задачи за первые 12 месяцев нужно выплатить банку 1370000 рублей, то есть

12х + S = 1370000  ( сумма без процентов + проценты составляют сумму в 137 тысяч рублей)

3)      Найдем, какую сумму составляют проценты за первые 12 месяцев. Так как выплата с 24 месяца   по 13 месяц – это выплата кредита за первые 12 месяцев, а с 12 месяца по 1 месяц – за последние 12 месяцев, то

S = 0,02 · 24х + 0,02 · 23х + 0,02 · 22х +…..+ 0,02 · 13х = 0,02 (24х + 23х +22х +…+13х) = 0,02 (24х + 13х) ·  = 0,02 · 37х · 6 = 4,44х

4)      Найдем ежемесячный платеж. Так как S = 4,44х, то

 12х + 4,44х =1370000

16,44х = 1370000

х = 

Итак, ежемесячный платеж равен   рублей.

5)      Найдем теперь сумму всего кредита:

24 ·  = 2000000 (руб.)

Ответ: 2000000 рублей.

Второй способ.

Воспользуемся готовой формулой:

S₁ = S +  (n + 1)·, где

S – сумма кредита

p – процентная ставка

n – период кредитования

S₁ – общая сумма кредита

Так как за первые 12 месяцев нужно вернуть банку 137 тысяч рублей, то получим:

 + 0,02S(1 +  +  + …..+ ) = 1370000

 + 0,02S·  · = 1370000

 + 0,01S·  = 1370000

S + 0,01S· 37 = 2740000

1,37S = 2740000

S = 2000000 (руб.) – планируется взять в банке

Ответ: 2000000 рублей.

Вариант  13

15–го января планируется взять кредит в банке на сумму 2.4 млн рублей  на 24 месяца. 
Условия его возврата таковы:
 - 1–го числа каждого месяца долг возрастает на 2% по сравнению с концом предыдущего месяца;
 - со 2 по 14 число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
 - 15 го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15е число предыдущего месяца.
Какую сумму нужно выплатить банку за последние 12 месяцев?

Решение.

1)      2400000 : 24 = 100000 (руб.) – ежемесячные выплаты по кредиту без процентов

2)      100000 · 12 = 1200000 (руб.) – сумма выплат за 12 месяцев без процентов

3)      1200000 · 0,02 + 1100000 · 0,02 + 1000000 · 0,02 + …. + 100000 · 0,02 = (1200000 + 100000) ·  · 0,02 = 156000 (руб.) – проценты за последние 12 месяцев

4)      1200000 + 156000 = 1356000 (руб.) – сумма, которую нужно выплатить банку.

Ответ: 1356000 рублей

Вариант 17

15 января планируется взять кредит в банке на 24 месяца. Условия его возврата таковы:

- 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 2% по сравнению с концом предыдущего месяца;

- со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

- 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.

Известно, что в течение первого года кредитования нужно вернуть банку 2466 тыс. рублей. Какую сумму нужно выплатить банку за последние 12 месяцев?

Решение.

1)      Пусть х руб. – ежемесячные выплаты по кредиту без процентов, тогда вся сумма кредита составит без процентов (24х) руб., а за первые 12 месяцев нужно выплатить банку без процентов (12х) руб.

2)       Пусть S- сумма, которую составляют проценты за первый год кредитования. По условию задачи за первый год кредитования  нужно выплатить банку 2466000 рублей, то есть

12х + S = 2466000 ( сумма без процентов + проценты составляют сумму в 2466 тысяч рублей)

3)      Найдем, какую сумму составляют проценты за первый год кредитования, то есть за первые 12 месяцев.  Так как выплата с 24 месяца   по 13 месяц – это выплата кредита за первые 12 месяцев, а с 12 месяца по 1 месяц – за последние 12 месяцев, то

0,02 · 24х + 0,02 · 23х + 0,02 · 22х + ….+ 0,02 · 13х = 0,02х (24 + 23 + … + 13) = 0,02х ( 24 + 13) ·  = 4,44х

4)      Найдем теперь ежемесячный платеж:

12х + 4,44х = 2466000

16,44х = 2466000

х = 150000 (руб.) – ежемесячный платеж без процентов

5)      150000 · 12 = 1800000 (руб.) нужно вернуть банку в течение второго года кредитования без процентов

6)       Найдем, какую сумму составляют проценты за последние 12 месяцев:

0,02х · 12 + 0,02х · 11 + 0,02х · 10 + … + 0,02х · 1 = 0,02х (12 + 1) ·  = 1,56х

7)      1,56 · 150000 = 234000 (руб.) – проценты за последний год кредитования

8)      1800000 + 234000 = 2034000 (руб.) надо выплатить банку за последние 12 месяцев.

Ответ: 2034000 рублей

Вариант 18

31 декабря 2016 года Василий взял в банке некоторую сумму кредита под 11% годовых. Схема выплаты кредита следующая – 31 декабря каждого года банк начисляет процент на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 11%), затем Василий переводит в банк 3696300 рублей. Какую сумму взял Василий в банке, если он выплатил долг двумя равными платежами (то есть за два года)?

Решение.

Для решения данной задачи воспользуемся готовой формулой:

Х =(S · (1 + 0,01p)ⁿ) / ((1 + 0,01p)^n-1 + (1 + 0,01p)^n-2 + …+ (1 + 0,01p) + 1), где

S – сумма кредита

p – процентная ставка

n – период кредитования

Х – ежемесячный платеж

Получим:

 = 3696300

 = 3696300

S =  = 6330000 (руб.) взял Василий в банке

Ответ: 6330000 рублей

Вариант 21

В июле Федор планирует взять в кредит 1,1 млн рублей. Условия его возврата таковы:

-каждый январь долг возрастает на 10% по сравнению с концом предыдущего года;

- с февраля по июнь каждого года Федор должен выплатить некоторую часть долга.

На какое минимальное количество лет Федор может взять кредит, чтобы ежегодные выплаты были не более 300 тысяч рублей?

Решение.

Так как  кредит берется на минимальное количество лет, то выплаты должны быть максимальные, то есть 300 тысяч рублей.

1)      1,1 · 1100000 – 300000 = 910000 (руб.) – остаток после первого года

2)      1,1 · 910000 – 300000 = 701000 (руб.) – остаток после второго года

3)      1,1 · 701000 – 300000 = 471100 (руб.) – остаток после третьего года

4)      1,1 · 471100 – 300000 = 218210 (руб.) – остаток после четвертого года

5)      1,1 · 218210 – 300000 < 0, значит, за 5 лет можно выплатить кредит при указанных условиях

Ответ: 5 лет

Вариант 38

У фермера есть два поля, каждое площадью 15 гектаров. На каждом поле можно выращивать картофель и свеклу, поля можно делить между этими культурами в любой пропорции. Урожайность картофеля на первом поле составляет 150 ц/га, а на втором – 250 ц/га. Урожайность свеклы на первом поле составляет 300 ц/га, а на втором – 180 ц/га.

Фермер может продавать картофель по цене 2000 руб. за центнер, а свеклу – по цене 1800 руб. за центнер. Какой наибольший доход может получить фермер?

Решение.

Первое поле

Пусть х га отводится под свеклу, тогда (15 – х) га под картофель.

(150(15 – х)) ц – урожайность картофеля

(300х) ц – урожайность свеклы

Второе поле

Пусть y га отводится под свеклу, тогда (15 – y) га под картофель.

(250(15 – y)) ц – урожайность картофеля

(180y) ц – урожайность свеклы

Прибыль с первого поля:

(150(150 – х) · 2000) руб. – прибыль с картофеля

(300х · 1800) руб. – прибыль со свеклы

150(150 – х) · 2000 + 300х · 1800 = 4500000 – 300000х + 540000х = 4500000 +

 240000х – прибыль с первого поля

Прибыль со второго поля:

(1800 · 180y) руб. – прибыль со свеклы

(2000 · 250(15 – y)) руб. – прибыль с картофеля

324000y + 7500000 – 500000y = 7500000 – 176000y – прибыль со второго поля

Составим функцию прибыли с двух полей:

S(x;y) = 4500000 + 240000х + 7500000 – 176000y = 12000000 + 240000х – 176000y

Наибольшее значение данная функция принимает при y = 0 (так как – 176000y)и х

 = 15. Значит, прибыль составит 12000000 + 240000 · 15 = 15600000 (руб.)

Ответ: 15600000 рублей

Вариант 49

31 декабря 2014 года Евгений взял в банке 1 млн рублей в кредит. Схема выплаты кредита следующие – 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на а%), затем Евгений переводит очередной транш Евгений выплатил кредит за два транша, переведя в первый раз 540 тыс. рублей, во второй 649,6 тыс. рублей. Найдите а.

Решение.

Пусть S – сумма кредита, то есть S = 1000000 руб.

Х₁ = 540000 руб. – единовременный первый транш

Х₂ = 649600 руб. – единовременный второй транш

а% - процентная ставка

b = 1 + 0,01а – процент после начисления

Тогда

1)      1000000 · а – 540000 – остаток после первого транша

2)      Данный остаток теперь увеличивается на b%, то есть

(1000000 · а – 540000) b – стал долг после увеличения

3)      Так как Евгений погасил кредит двумя траншами, то получится уравнение:

(1000000 · а – 540000) b – 649600 = 0 | : 100

10000b² – 5400b – 6496 = 0 | : 8

1250b² – 675b – 812 = 0

D = 675² + 1250 · 4 · 812 = 4515625 = 2125²

b₁ = 1,12

b₂ < 0

4)      1 + 0,01a = 1,12

0,01а = 0,12

а =12

Ответ: 12%

Краткое описание документа:

Данная работа представляет собой подробный разбор различных типов задач , предлагаемых на ЕГЭ, из сборника ЕГЭ 2018, Математика, И. В. Ященко, 50 вариантов, задание № 17.

17 задание профильного уровня ЕГЭ по математике представляет собой задачу, связанную с финансами, а именно эта задача может быть на проценты, часть долгов и др. Сложность заключается в том, что необходимо рассчитать проценты или часть на длительном промежутке, поэтому данная задача не является прямой аналогией стандартных задач на проценты.