Лекция № 6 (3 ч.)
Раздел 1. Комбинаторика.
Тема: Бином Ньютона.
Биномиальные коэффициенты и треугольник Паскаля.
Цели занятия:
• дать понятие «Бином Ньютона»;
• вывести формулу бинома Ньютона,
рассмотреть свойства его разложения;
• ввести общую формулу вычисления
биномиальных коэффициентов, проследить закономерность их появления в
треугольнике Паскаля.
Литература:
1.
Халамайзер
А.Я. Комбинаторика и бином Ньютона. - М: Просвещение. 1980
2.
Прикладная
комбинаторная математика
3.
Энциклопедический
словарь юного математика/Сост. А.П. Савин. – М.: Педагогика, 1985г.
План:
1.
Бином
Ньютона.
2.
Биномиальные
коэффициенты.
3.
Треугольник
Паскаля.
1. Бином Ньютона - название формулы, выражающей
степень двучлена в виде суммы одночленов.
Формулу для квадрата двучлена
(а + b)2 = = а2
+ 2ab + b2
знали, еще математики Древнего Вавилона, а
древнегреческие математики знали ее геометрическое истолкование.
Если умножить обе части
этой формулы на (а + b) и раскрыть
скобки, то получим:
(а + b)3 = (а2 + 2ab + b2)(а + b) = а3 + a2b + 2a2b + 2ab2
+ ab2 + b3,
т. е. (а + b)3 = a3
+ 3a2b + 3ab2 + b3.
Аналогичный шаг может привести к следующей формуле:
(а + b)4 = а4
+ 4а3b + 6 a2b2 + 4ab3 + b4 .
Легко заметить закон образования коэффициентов:
коэффициент 4 при a3b есть сумма коэффициентов 3 и 1 при a2b и а3.
Аналогично, коэффициент 6 при a2b2 является суммой (3
+ 3) коэффициентов при ab2 и a2b. По тому же
закону получаем и коэффициент 4 при ab3.
Таким образом, коэффициент С kn при аn-k bk в разложении (а
+ b)n равен сумме
коэффициентов Ck-1 n-1 и Ck n-1 при аn-k bk-1 и при аn-k-1 bk разложении
(а + b)n-1, а коэффициенты
при аn и при bn равны единице.
Отсюда следует, что коэффициенты С
kn в равенстве:
(а + b)n = аn + С1n аn-1b + ... + Сkn аn-kbk
+ ... + bn
(1)
являются членами (n+1)-й строки треугольника Паскаля.
Это утверждение было известно задолго до Паскаля
- его знал живший в XI-XII вв. среднеазиатский
математик и поэт Омар Хайям (к сожалению, его сочинение об этом до нас не
дошло).
2. Биномиальные коэффициенты.
Первое дошедшее до нас описание формулы бинома
Ньютона содержится в появившейся в 1265 г. книге среднеазиатского математика
ат-Туси, где дана таблица чисел Сkn (биномиальных
коэффициентов) до п = 12 включительно.
Европейские ученые познакомились с формулой
бинома Ньютона, по-видимому, через восточных математиков. Детальное изучение
свойств биномиальных коэффициентов провел французский математик и философ Блез
Паскаль в 1654 г. Еще до этого было известно, что числа
являются в то же время
числами «сочетаний без повторений» из n элементов по k.
В 1664-1665 гг. И. Ньютон установил, что формула
(1) обобщается на случай произвольных (дробных и отрицательных) показателей,
но при этом получается сумма из бесконечного множества слагаемых. Именно он
показал, что при | х | < 1
(2)
При п = — 1 формула (2) превращается в известную
формулу для суммы бесконечной геометрической прогрессии:
4.
Треугольник Паскаля.
На рис. 1 изображено несколько первых строк
числового треугольника, образованного по следующему правилу: по краям каждой строки стоят единицы, а каждое из
остальных чисел равно сумме двух стоящих над ним чисел предыдущей строки.
По этому правилу
легко выписывать одну за другой новые строки этого треугольника. Именно в
такой форме он приведен в «Трактате об арифметическом треугольнике»
французского математика Б. Паскаля (1623-1662), опубликованном в 1665 г., уже
после смерти автора.
Популярность чисел, составляющих треугольник Паскаля, не
удивительна: они возникают в самых естественных задачах алгебры,
комбинаторики, теории вероятностей, математического анализа, теории чисел.
Сколько различных k-элементных множеств (сочетаний) можно
образовать из данных п элементов?
Каковы коэффициенты многочлена (1 +х)n?
Сколько существует строчек из п единиц и нулей, в которых ровно k единиц?
Сколькими разными путями можно спуститься из верхней точки А на
рис 2. в k-й перекресток n-го ряда?
На все эти вопросы ответ дают числа Сkn , треугольника
Паскаля. Обозначение Сkn предполагает, что верхняя строка треугольника
Паскаля состоит из одного числа С 00 = 1,
следующая (первая)-из двух чисел С 01 = С11
=1, и вообще п-я строка состоит из п+1 чисел:
Числа С kn называют
обычно числами сочетаний из п элементов по k, или биномиальными
коэффициентами в некоторых книгах для них используют обозначение . Оно удобно для запоминания простой
формулы, позволяющей по заданным номерам n и k сразу вычислить, какое число стоит на к-м месте
в n-й строке треугольника
Паскаля:
Используя обозначение факториала т!
= = 1 • 2 •... • m, эту формулу можно записать еще короче:
В «равнобедренной» форме треугольника Паскаля на
рис. 1 очевидно свойство симметрии каждой строки С kn = С n-kn ; при этом посередине
строки стоит самое большое число (если п четно)
или два самых больших числа (если п нечетно),
а к краям числа монотонно убывают.
Если записать тот же треугольник в «прямоугольной»
форме (рис.3), то целый ряд свойств треугольника Паскаля, связанный с суммами
его чисел, будет удобнее наблюдать. В частности, сумма нескольких первых чисел
каждого столбца равна идущему за ними числу следующего столбца:
Числа называются треугольными числами,
а числа
- пирамидальными;
а при т> к,
Суммы чисел по «восходящим» (зеленым) диагоналям
на рисунке 3 равны последовательным числам Фибоначчи.
Для применений в теории вероятностей особенно
важны асимптотические формулы для чисел треугольника Паскаля, т.е. приближенные
оценки этих чисел при больших п.
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.