Аксиоматический метод в стереометрии. Занятие 2

Данная публикация – прямое продолжение двух ранее опубликованных заметок: «Самое время для демонстрации аксиоматического метода» и «Аксиоматический метод в стереометрии. Занятие 1». В тексте широко используются введенные ранее обозначения.

Занятие 2. Параллельность прямых в пространстве.

1. В планиметрии параллельные прямые определяются, как не имеющие общих точек. Аксиома 9-я утверждает, что через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести не более одной прямой, параллельной данной, а само существование параллельных – доказывается. Здесь вполне уместно напомнить это доказательство, основанное на построении прямых углов (что гарантируется аксиомой 7-й), «перегибании» чертежа с совмещением лучей и применении части 2-й аксиомы 1-й.

2. В трехмерном пространстве появляется еще одна возможность, которой раньше (на единственной плоскости) не было.

Определение 2.1. Две прямые в пространстве называются скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости.

Определение 2.2. Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости, но не имеют общих точек.

И как же могут теперь две различные прямые располагаться по отношению друг к другу?

1) Есть общая точка (пересекаются) – и тогда по аксиоме С3 они лежат в единственной плоскости, ими однозначно определяемой.

2) Нет общей точки, но есть общая плоскость – параллельные.

3) Нет даже общей плоскости – скрещиваются.

3. Я не видел такого ни в одном учебнике, но считаю полезным:

Лемма 2.3 (о параллельных). Плоскость, содержащая пару данных параллельных прямых, – единственна.

Формализованная запись утверждения. :  :.

Доказательство. По определению 2.2, есть плоскость , содержащая обе прямые  и , и в доказательстве нуждается только единственность. o: :. Плоскости  и , имеющие общие точки, согласно аксиоме С2 пересекаются по некоторой прямой . Однако, при этом из  и  следует  и (согласно части 2-й аксиомы 1-й) . Точно так же     . В итоге  (?!).

Замечание. Мы получили четвертое основание для проведения плоскости.

4. Задача 2.4. Доказать, что все прямые, пересекающие две данные параллельные, лежат в одной плоскости.

Формализованная запись утверждения.   :

Решение. По определению параллельных . (После доказанной леммы такое обозначение законно – плоскость определена). Теперь для любой прямой , пересекающей  и  в точках  и , из  и  следует  (теорема 1.3).

5. Теорема 2.5. Через точку вне данной прямой можно провести прямую, параллельную данной, и притом только одну.

Замечание. Формулировка очень похожа на аксиому 9, но в той речь идет о параллельных на плоскости…

Формализованная запись утверждения. :  .

Доказательство. По теореме 1.1 :. В этой плоскости (согласно планиметрическому факту, обсужденному в начале занятия) можно провести прямую , параллельную данной . Других таких в плоскости  нет (аксиома 9). Но нет ли их в других плоскостях? Предположим, что через точку  проходит прямая , параллельная . Пусть  (существует и единственна по лемме 2.3). Имеем, однако,  и , поэтому по теореме 1.1 , и . Теперь в силу аксиомы 9 .

6. Теорема 2.6 (признак параллельности прямых в пространстве). Две различные прямые, параллельные третьей прямой, параллельны.

Формализованная запись утверждения.   .

Доказательство. Обозначим ,  (плоскости определены в силу леммы 2.3). Если , то все три прямые находятся в одной плоскости, и утверждение теоремы сводится к известному факту планиметрии. Поэтому будем считать, что , и тогда в силу аксиомы С2 .

В силу части 1-й аксиомы 1-й на прямой  есть точки (не менее двух). Выберем ту из них, которая не лежит на прямой  (такая непременно найдется, так как в противном случае  согласно части 2-й аксиомы 1-й). Итак, , но   : (теорема 1.1). Эта плоскость отлична от  (иначе , ), но имеет с ней общую точку , поэтому по аксиоме С2 , где  – прямая, проходящая через точку : .

Докажем, что прямая  не пересекает плоскость . o: . Тогда . Далее,   . С другой стороны, , поэтому   . Итак,  (?!) – противоречие с условием .

Итог: поскольку прямые , прямая  не имеет общих точек ни с , ни с .

Однако,  и  находятся в одной плоскости  и не пересекаются – параллельны; в силу аксиомы 9-й . Теперь  и  находятся в одной плоскости  и не пересекаются – параллельны, ч.т.д.

7. Задача 2.7. Доказать, что середины сторон пространственного четырехугольника являются вершинами параллелограмма.

Задача интересная. Из минимума условий (произвольный пространственный четырехугольник) выводится очень жесткий вывод – ведь параллелограмм является весьма замечательной фигурой с кучей особых свойств. Решайте. Подсказка: если только что доказана теорема – скорее всего, она будет использована в ближайшей задаче.

Продолжение следует…