АКТУАЛЬНОСТЬ, СОДЕРЖАНИЕ И МЕТОДИЧЕСКИЕ
ОСОБЕННОСТИ ИЗУЧЕНИЯ СТОХАСТИЧЕСКОГО МАТЕРИАЛА В ОСНОВНОЙ ШКОЛЕ.
Краснова Надежда Николаевна
учитель математики
«Из-за
своей специфики стохастика может быть
математикой,
понимаемой каждым учеником
как
математика, открытая им самим»
(А.
Плоцки).
Включение в школьную программу по математике элементов
статистики и теории вероятностей обусловлено той ролью, которую играют
вероятностно-статистические знания в общеобразовательной подготовке
современного человека. Примерная программа основного общего образования по
математике включает материал, создающий основу математической грамотности,
необходимой как тем, кто станет учёными, инженерами, изобретателями,
экономистами и будет решать принципиальные задачи, связанные с математикой, так
и тем, для кого математика не станет сферой непосредственной профессиональной
деятельности. В программе сказано, что раздел «Вероятность и статистика» -
обязательный компонент школьного образования, усиливающий его прикладное и
практическое значение. Этот материал необходим, прежде всего, для формирования
у учащихся функциональной грамотности – умения воспринимать и критически
анализировать информацию, представленную в различных формах, понимать
вероятностный характер многих реальных зависимостей, производить простейшие
вероятностные расчёты. Изучение основ комбинаторики позволит учащимся
осуществлять рассмотрение случаев, перебор и подсчёт числа вариантов, в том
числе в простейших прикладных задачах.
При изучении статистики и вероятности обогащаются
представления о современной картине мира и методах его исследования,
формируется понимание роли статистики, как источника социально значимой
информации, и закладываются основы вероятностного мышления. Таким образом,
элементы стохастики являются тем самым материалом, без которого нельзя
сформировать правильное мировоззрение учащихся, так как без минимальной
вероятностно-статистической грамотности трудно адекватно воспринимать
социальную, политическую, экономическую информацию и принимать на её основе
обоснованные решения.
1.
Аспекты
применения стохастического материала.
К наиболее значимым аспектам применения стохастического
материала относятся:
·
Социально-экономический аспект.
Нужно
научить детей жить в вероятностной ситуации. То есть нужно научить их
извлекать, анализировать и обрабатывать информацию, принимать обоснованные
решения в разнообразных ситуациях со случайными исходами. Ориентация на
многовариантность возможного развития реальных ситуаций и событий, на
формирование личности, способной жить и работать в сложном, постоянно
меняющемся мире, с неизбежностью требует развития вероятностно-статистического
мышления у подрастающего поколения. [11, с. 52]
·
Универсальность вероятностных законов.
Они
стали основой описания научной картины мира. Современные науки: физика, химия,
биология, демография, социология, лингвистика, философия и весь комплекс
социально-экономических наук построен и развивается на вероятностной базе.
Подросток в своей жизни ежедневно сталкивается с вероятностными ситуациями. Игра
и азарт составляют существенную часть жизни ребёнка. Круг вопросов, связанных с
соотношениями понятий «вероятность» и «достоверность», проблема выбора
наилучшего из нескольких вариантов решения, оценка степени риска и шансов на
успех представление о справедливости и несправедливости в играх и в реальных
жизненных коллизиях – всё это, несомненно, находится в сфере интересов
подростка. [11, с. 51]
·
Развивающая роль теории вероятностей.
Преподавание
любого раздела математики благотворно сказывается на умственном развитии
учащихся, поскольку прививает им навыки ясного логического мышления,
оперирующего чётко определёнными понятиями. Всё сказанное, в полной мере,
относится и к преподаванию теории вероятностей, но обучение «законам случая»
играет несколько большую роль и выходит за рамки обычного. Слушая курс теории
вероятностей, учащиеся познают, как применять приёмы логического мышления в тех
случаях, когда приходится иметь дело с неопределённостью (а на практике такие
случаи возникают достаточно часто). [11,
с. 53]
·
Прикладной характер законов теории
вероятностей.
Выводы
теории вероятностей находят применение в повседневной жизни, науке, технике и
так далее. В повседневной жизни нам постоянно приходится сталкиваться со
случайностью, и теория вероятностей учит нас, как действовать рационально с
учётом риска, связанного с принятием отдельных решений. Знакомство на том или
ином уровне с законами случая необходимо каждому. Применение теории
вероятностей в науке, технике, экономике и так далее приобретает всё возрастающее
значение. Именно поэтому, у всё большего числа людей в процессе работы
возникает необходимость в изучении теории вероятностей. Современный
образованный человек независимо от профессии и рода занятий должен быть знаком
с простейшими понятиями теории вероятностей. В наши дни, когда прогноз погоды
содержит сообщение о вероятности дождя на завтра, каждый должен знать, что,
собственно, это означает. [11, с. 54]
2.
Возрастные
рамки изучения стохастического материала в школьном курсе математики.
Помимо актуальности изучения элементов теории вероятностей
и статистики, не менее важными являются вопросы о том, что именно из
стохастики, в каком объёме, с какого возраста и каким образом изучать
школьникам в основной школе. Для ответа на эти вопросы следует, в первую очередь,
обратиться к примерной программе основного общего образования по математике и
другим методическим источникам.
Рассматривая вопрос о выборе оптимальных возрастных рамок
для начала изучения в школьном курсе математики стохастического материала,
исследователи (Бунимович Е.А., Ткачёва М.В., Василькова Е.Н., Чуваева Т.В.), на
основании проведённых экспериментов о готовности учащихся к изучению теории
вероятностей, отмечают следующие важные моменты:
-
в возрасте начальных классов в представлениях учеников о мире ещё многое
недостаточно сформировано, не хватает и математического аппарата для объяснения
представлений о вероятности (очевидно, что ещё рано начинать изучение);
-
начинать же изложение вероятностного материала в старших классах, как
показал эксперимент, - уже малоэффективно, оказывается, что даже хорошее
знание и понимание других разделов математики школьниками старших профильных
классов, само по себе, не обеспечивает развития вероятностного мышления
(видимо, уже поздно начинать изучение);
-
в возрасте же 5 класса у детей достаточно высокий уровень
вероятностного мышления и большинство учащихся 5-6 классов готовы к
восприятию стохастического материала и, очень важно затем, в течение
6-8 классов, развивать этот уровень, а иначе навыки решения вероятностных задач
у детей существенно снижаются. Желательно также обучать детей 5-6 классов
самостоятельному целенаправленному сбору информации о явлениях окружающей их
жизни.[1]
В силу новизны для школы вероятностно-статистического
материала и отсутствия методических традиций его преподавания возможна
вариативность при его структурировании. Начало изучения этого материала может
быть отнесено как к пятым, так и к седьмым классам. Кроме того, его изложение
возможно как в рамках курса математики или курса алгебры соответственно, так и
представлено в виде отдельного модуля. Последний вариант может быть реализован
только при условии увеличения числа часов на математику по сравнению с
инвариантной частью Базисного учебного (образовательного) плана.
Курс «Вероятность и статистика» в целом, в
объёме 50 часов, содержит следующие дидактические единицы:
1.
Описательная статистика. Представление
данных в виде таблиц, диаграмм, графиков. Случайная изменчивость.
Статистические характеристики набора данных: среднее арифметическое, медиана,
наибольшее и наименьшее значения, размах, дисперсия. Репрезентативные и
нерепрезентативные выборки.
2.
Случайные события и вероятность.
Понятие о случайном опыте и случайном событии. Элементарные события. Частота
случайного события. Статистический подход к понятию вероятности. Несовместные
события. Формула сложения вероятностей. Вероятности противоположных событий.
Независимые события. Умножение вероятностей. Достоверные и невозможные события.
Равновозможность событий. Классическое определение вероятности.
1.
Комбинаторика. Раздел
математики, в котором изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций,
подчиненных тем или иным условиям, можно составить из объектов заданного
множества Решение комбинаторных задач перебором вариантов. Комбинаторное
правило умножения. Перестановки и факториал.[3]
Предмет «Математика» в 5-6 классах включает в
себя элементы вероятностно-статистической линии по всем разделам в объёме 17
часов.
Предмет «Алгебра» в 7-9 классах также включает в себя элементы
вероятностно-статистической линии в объёме 33 часа, из них: на раздел
«Описательная статистика» – 10 часов, на раздел «Случайные события и
вероятность» - 15 часов, на раздел «Элементы комбинаторики» - 8 часов.
Примерная программа основного общего образования по
математике предлагает два варианта примерного тематического планирования
учебного материала с разбивкой по предметам и возрастным группам. В
тематическом планировании представлены и основное содержание учебного материала
по темам, и характеристика основных видов деятельности ученика (на уровне
учебных действий), и целеполагание в направлении личностного развития, в
метапредметном и в предметном направлениях.[1]
3. Методические рекомендации по реализации
стохастической линии в 5 -6 классах.
В методической литературе при рассмотрении некоторых
вопросов стохастики полезно учесть следующие рекомендации:
- необходимо развивать у учащихся понимание степени
случайности различных явлений и событий. Так, на один и тот же вопрос, -
«Вам подарят на день рождения собаку?» при обсуждении этого события, может быть
дано несколько разных ответов. Между тем, эти ответы могут считаться верными
(хотя на уроке математики это непривычно как для ученика, так и для учителя),
так как для кого-то из учащихся это событие окажется невозможным, а для кого-то
– достоверным или случайным;
- 5-6 классы являются подготовительным этапом перед
дальнейшим изучением теории вероятностей, здесь идёт процесс «интуитивных
накоплений» и, прежде всего, путём эксперимента, проводимого самими учащимися.
Поэтому на этом этапе изучения стохастики одним из важнейших средств
формирования первоначальных вероятностных представлений школьников являются
игры и эксперименты со случайными исходами;
одной из важнейших целей обучения школьников элементам
стохастики является целенаправленное развитие идеи о том, что в природе
наличествуют закономерности и очень важно научить их правильно осознавать
реальную действительность, открывать для себя вероятностную природу окружающего
мира, понимать, что в мире случайностей можно не только хорошо ориентироваться,
но и активно действовать.
Важным также является вопрос равновозможности исходов,
основанный на интуитивном восприятии симметричной ситуации и применяемый при
классическом подходе к вычислению вероятности события. Но на практике
приходится встречаться и с ситуациями, в которых нет симметрии,
предопределяющей равновозможность исходов. В этих случаях применение
классического определения вероятности становится невозможным и приходится
определять вероятность частотным путём (статистическая вероятность); и др.[13]
В основной школе следует начинать формирование понятия
случайного эксперимента, понятия случайного события как любого исхода
случайного эксперимента. В 5-6 классах, пока учащиеся еще не владеют свободно
дробями, целесообразно сравнивать шансы наступления разных событий, пользуясь
интуицией, предыдущим опытом, классическим, статистическим, геометрическим
подходами. Здесь можно постепенно вырабатывать понимание того, что вероятность
события можно измерять так же, как длину, массу, время и другие величины.[11]
Остановимся на некоторых особенностях содержания учебного
материала в 5-6 классах. В процессе составления различных комбинаций учащиеся
начинают понимать структуру той или иной комбинации, а также усваивают способы
рассуждений и подсчета вариантов. Здесь же разъясняется и формулируется
комбинаторно правило умножения, которое неоднократно используется при изучении
последующего материала.
При введении любой новой темы, любого нового вопроса в
основной курс школы встает проблема изложения данного вопроса в школьных
учебниках.
К реализации нового содержания в действующих учебниках
авторы подошли по-разному. В одних учебниках элементы стохастики включены в основное
содержание отдельными параграфами. Авторы же других учебников издают новое
содержание в форме вкладышей – дополнительных глав к своим пособиям. Приложение
1.
Попытка построения вероятностно-статистической линии в
базовом курсе математики основной школы предпринята в учебниках.
Особую актуальность, в плане реализации
системно-деятельностного подхода в обучении, приобретает целенаправленное
формирование у младших подростков «умения учиться» через учебный предмет. В
этой связи, включение в содержание базового курса математики в среднем звене
основной школы комбинаторных задач, т.е., задач, требующих осуществления
перебора всех возможных вариантов или подсчёта их числа, несомненно,
способствует совершенствованию приемов умственной деятельности школьников.[7]
4.
Основные типы комбинаторных задач.
В настоящее время комбинаторика является одним из важных
разделов математической науки. Ее методы широко используются для решения
практических и теоретических задач. Установлены связи комбинаторики с другими
разделами математики.
При обучении математике в 5-6 классах роль комбинаторных
задач постоянно возрастает, поскольку в них заложены большие возможности не
только для развития комбинаторного мышления учащихся, но и для подготовки
учащихся к решению вопросов, возникающих в повседневной жизни и требующих
перебора возможных вариантов.
Комбинаторные задачи в среднем звене решаются, как правило,
методом перебора. Для наглядности изучения этого материала нередко
используются таблицы и графы, так называемое «дерево вариантов». В связи с
этим, учителю, особенно начинающему, самому необходимы определенные умения и
навыки решения таких задач.[2]
1) Задачи на перечисление.
В этих задачах ставится вопрос о числе конфигураций того
или иного вида. Примером может служить задача о числе сочетаний из n элементов
по k. Здесь конфигурации – это все подмножества, состоящие из k элементов,
выбранных из n элементов данного множества. Их число, как мы знаем, равняется
биномиальному коэффициенту С, но на данном возрастном этапе эта формула, как
правило, не используется.
2) Задачи существования и построения.
Эти задачи сводятся к доказательству существования
достаточно редких конфигураций с какими-либо интересными свойствами, а именно к
построению магических и латинских квадратов.
3) Задачи выбора.
В этих задачах изучаемая конфигурация заведомо
существует, но ставится вопрос о таком выборе составляющих ее частей или
элементов множества, на котором она определена, чтобы выполнялись какие-либо
интересующие нас условия.
Для решения задач разработано немало общих приемов.
Часто удается найти ответ путем сведения поставленной задачи к ситуации, когда
может быть применён какой-либо из известных приемов.
Несколько распространенных способов решения задач.
1. Правило суммы.
2. Правило произведения.
3. Принцип включения – исключения.[12]
Перечислительные комбинаторные задачи тесно связаны с
теорией вероятностей.
Предлагаю
различные комбинаторные и вероятностные задачи с решениями и методическими
указаниями. Приложение 2.
На
основе этих выводов разработана методика реализации стохастической линии в 5-9
классах, в каждом из которых рассматривается ведение всех направлений.
Данная методическая разработка лишь один из вариантов
реализации стохастической линии в курсе основной школы. По данной теме сейчас
активно ведется работа по всем направлениям, так как на данный момент осталось
еще не мало нерешенных проблем связанных с реализацией этой линии в основной
школе.
Данная работа может быть рекомендована для практического
использования учителями математики. Этот материал может использоваться как на
уроках, так и на факультативных и кружковых занятиях.
Список литературы.
1.
Бунимович Е.А.,
Булычев В.А. Вероятность и статистика. 5-9 кл.: пособие для общеобразоват.
учреждений. – 3-е изд., стереотип. – М.: Дрофа, 2009. – 159 с.
2.
Гмурман В.Е.
Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике:
Учеб. Пособие для студентов вузов. Изд. 6-е, доп. – М.: Высш. шк., 2008. -405
с.
3.
Гнеденко Б.В.
Очерк по истории теории вероятностей: М.: Эдиториал УРСС, 2001. – 88 с.
4.
Зубарева И.И.,
Мордкович А.Г. Математика. 5 кл.: Учеб. для общеобразоват. учреждений. – М.:
Мнемозина, 2009. – 293 с.
5.
Зубарева И.И.,
Мордкович А.Г. Математика. 6 кл.: Учеб. для общеобразоват. учреждений. – М.:
Мнемозина, 2009. – 280 с.
6.
Макарычев Ю.Н.,
Миндюк Н.Г. Алгебра: элементы статистики и теории вероятностей: учеб. Пособие
для учащихся 7-9 кл. общеобразоват. учреждений / Под ред. С.А. Теляковского. –
3-е изд. – м.: Просвещение, 2009. – 78 с.
7.
Методика и
технология обучения математике. Курс лекций? Пособие для вузов / Под научн.
Ред. Н.Л. Стефановой, Н.С. Подходовой. – М.: Дрофа, 2005. – 416 с.
8.
Мордкович А.Г.
Алгебра. 9 кл.: В двух частях. Ч. 1: Учеб. для общеобразоват. учреждений. – 7-е
изд., перераб. – М.: Мнемозина, 2009. – 235 с.
9.
Мордкович А.Г.,
Мишустина Т.Н., Тульчинская Е.Е. Алгебра. 9 кл.: В двух частях. Ч. 1: Задачник
для общеобразоват. учреждений. – 7-е изд., перераб. – М.: Мнемозина, 2005. –
155 с.
10.
Мордкович А.Г.,
Семенов П.В. События. Вероятности. Статистическая обработка данных: Доп.
Параграфы к курсу алгебры 7-9 кл. общеобразоват. учреждений. – 3-е изд. – М.:
Мнемозина, 2005. – 112 с.
11.
Мостеллер Ф.
Пятьдесят занимательных вероятностных задач с решениями. – М.: Наука, Главная
редакция физико-математической литературы, 1971. – 104 с.
12.
Ткачева М.В.,
Федорова Н.Е. Элементы статистики и вероятность: учеб. Пособие для 7-9 кл.
общеобразоват. учреждений. – 2-е изд. – М.: Просвещение, 2007. – 112 с.
13.
Шибасов Л.П.,
Шибасова З.Ф. За страницами учебника математики: Мат. анализ. Теория
вероятностей. Старин. и занимат. задачи: Кн. для учащихся 10-11 кл.
общеобразоват. Учреждений. – М.: Просвещение, 1997. – 269 с.
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.