Числовые ряды. Признаки сходимости числовых рядов.

Числовые ряды. Признаки сходимости числовых рядов.

Необходимый признак сходимости числового ряда: 
Если ряд  сходится, то .

Данный признак означает, что если , то ряд расходится. Например,  расходится, так как . Из выполнения условия  в общем случае не следует сходимость ряда . Например, для ряда  (гармонический ряд), условие  выполнено, но данный ряд расходится.

Достаточные признаки сходимости знакоположительных числовых рядов

Признаки сравнения

        Если , и ряд  сходится, то сходится и ряд .
        Если , и ряд  расходится, то расходится и ряд .

Признаки сравнения можно сформулировать в такой форме:
        Если заданы ряды  и существует , то ряды  сходятся либо расходятся одновременно.

Признак Д’Аламбера
Если существует  то: 
        при  ряд  сходится;
        при  ряд  расходится.

Радикальный признак Коши
Если существует  то: 
        при  ряд  сходится;
        при  ряд  расходится.

Интегральный признак Коши
Пусть задан ряд , члены которого являются значениями непрерывной, положительной и монотонно убывающей функции f(x) на промежутке . Тогда ряд  сходится, если сходится несобственный интеграл . Если же  расходится, то ряд  также будет расходящимся.

Знакочередующиеся и знакопеременные ряды

Признак Лейбница (достаточный признак сходимости знакочередующихся рядов) Ряд  сходится, если:
.

Знакопеременный ряд  называют абсолютно сходящимся, если сходится ряд . Если ряд  сходится, а ряд  расходится, то ряд  называют сходящимся условно.
Очевидно, что если ряд  сходится, то ряд  также сходится. Обратное утверждение в общем случае неверно.

Функциональные ряды.

Степенные ряды

Пусть для степенного ряда  существует .
        Если , то ряд  сходится только в точке .
        Если , то ряд  сходится на всей числовой оси.
        Если , то ряд  сходится в интервале .
Пусть для степенного ряда  существует .
        Если , то ряд  сходится на всей числовой оси.
        Если , то ряд  сходится только в точке .
        Если , то ряд  сходится в интервале 
Вопрос о сходимости ряда  на концах интервала сходимости решают дополнительным исследованием.

Разложение некоторых функций в ряд Маклорена

Ряды Фурье

Рядом Фурье функции f(x), определенной на сегменте  называется ряд 
,где


Если в точке x0 функция f(x) терпит разрыв первого рода, то сумма ряда Фурье определится как

.
Если функция f(x) задана в сегменте , то данная функция может быть представлена в виде суммы ряда Фурье , где


Если функция f(x) четная, то


Если функция f(x) нечетная, то