Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Дипломная работа на тему "методы применения математических знаний"

Дипломная работа на тему "методы применения математических знаний"

Идёт приём заявок на самые массовые международные олимпиады проекта "Инфоурок"

Для учителей мы подготовили самые привлекательные условия в русскоязычном интернете:

1. Бесплатные наградные документы с указанием данных образовательной Лицензии и Свидeтельства СМИ;
2. Призовой фонд 1.500.000 рублей для самых активных учителей;
3. До 100 рублей за одного ученика остаётся у учителя (при орг.взносе 150 рублей);
4. Бесплатные путёвки в Турцию (на двоих, всё включено) - розыгрыш среди активных учителей;
5. Бесплатная подписка на месяц на видеоуроки от "Инфоурок" - активным учителям;
6. Благодарность учителю будет выслана на адрес руководителя школы.

Подайте заявку на олимпиаду сейчас - https://infourok.ru/konkurs


Международный конкурс по математике «Поверь в себя»

для учеников 1-11 классов и дошкольников с ЛЮБЫМ уровнем знаний

Задания конкурса по математике «Поверь в себя» разработаны таким образом, чтобы каждый ученик вне зависимости от уровня подготовки смог проявить себя.

Конкурс проходит полностью дистанционно. Это значит, что ребенок сам решает задания, сидя за своим домашним компьютером (по желанию учителя дети могут решать задания и организованно в компьютерном классе).

Подробнее о конкурсе - https://urokimatematiki.ru/

  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:


МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РЕСПУБЛИКИ КАЗАХСТАН

ПАВЛОДАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ
















КОРОБАЕВА БУЛБУЛ


ДИПЛОМНАЯ РАБОТА



МЕТОДЫ ПриОБРЕТЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ЗНАНИЙ



















ПАВЛОДАР

2009

СОДЕРЖАНИЕ


Введение

Глава 1. Теоретические аспекты решения проблемы приобретения знаний.

1.1. Дидактический аспект приобретения математических знаний

1.2. Классификация методов обучения

Глава 2. Аналогия - метод приобретения знаний на уроках математики.

2.1. Сущность аналогии её виды

2.2. Аналогия в процессе обучения математике

2.3. Положительная роль аналогии в планиметрии и стереометрии

2.4. Применение аналогии при решении задач

2.5. Ошибки, связанные с применением аналогии

Заключение

Библиография

Приложения



























ВВЕДЕНИЕ


Человечество всегда стремилось к приобретению новых знаний.

Процесс овладения тайнами бытия есть выражение высших устремлений творческой активности разума, составляющего великую гордость человечества. За тысячелетия своего развития оно прошло длительный и тернистый путь познания от примитивного и ограниченного к все более глубокому и всестороннему проникновению в сущность бытия. На этом пути было открыто неисчислимое множество фактов, свойств и законов природы, общественной жизни и самого человека, одна другую сменяли картины мира. Развивающееся знание шло рука об руку с развитием производства, с расцветом искусств, художественного творчества.

Наш разум постигает законы мира не ради простой любознательности (хотя любознательность одна из движущих сил человеческой жизнедеятельности), но ради практического преобразования и природы и человека с целью максимально гармоничного жизнеустройства человека в мире. Знание человечества образует сложнейшую систему, которая выступает в виде социальной памяти, богатства ее передаются от поколения к поколению, от народа к народу с помощью механизма социальной наследственности, культуры.

Познание, таким образом, носит социально детерминированный характер. Только через призму усвоенной культуры мы получаем знания о реальности. Прежде чем продолжать дело предшествующих поколений, необходимо освоить уже накопленное человечеством знание, постоянно соотнося с ним свою познавательную деятельность, - это категорический императив развивающегося знания.

Задумываться над тем, что такое познание, каковы пути приобретения знания, или говоря другими словами – обучения, человек стал уже в глубокой древности.

Умственное развитие, а вместе с ним и развитие науки никогда не шло во всём человечестве равномерно. В то время как одни народы стояли во главе умственного движения человечества, другие оказывались едва вышедшими из первобытного состояния. Когда у последних вместе с улучшением условий их жизни, появлялись, под действием внутренних или внешних импульсов, стремления к приобретению знаний, тогда они должны были прежде всего догонять передовые племена. Если в то же время передовые племена, достигнув высшей доступной им по их способностям или по созданным для них историей условиям жизни степени развития, вырождались и падали, в умственном развитии всего человечества происходил застой или даже видимый временный упадок: приобретение новых знаний прекращалось и умственная работа человечества сводилась единственно к упомянутому усвоению отставшими племенами знаний, уже приобретённых человечеством. Только по достижении этого усвоения отставшие племена получали возможность вести далее дело приобретения новых знаний и через это, в свою очередь, становиться во главе умственного движения человечества.

Таким образом, в истории умственной деятельности каждого народа, когда-нибудь занимавшего место в ряду передовых деятелей человечества и затем свершившего весь свой жизненный цикл, исследователь должен различать три периода: период усвоения знаний, уже приобретённых человечеством; период самостоятельной деятельности в общей всему человечеству области приобретения новых знаний и, наконец, период упадка и умственного вырождения. Обращаясь от этого общего рассмотрения хода умственного развития человечества к той из отдельных его областей, которая представляется развитием М., мы находим, что при современном состоянии историко-математических знаний нам доступно изучение вполне завершённого цикла деятельности отдельного народа в области развития математики только на одной нации, на древних греках.

Усвоение приобретённых человечеством знаний греками, как нацией, далеко отставшей от передовых народов, началось с особенно усилившегося, после изгнания гиксов из Египта, перехода егип. знаний к народам Малой Азии и в самую Грецию. В течение очень большого промежутка времени, от 1700 г. и ранее и до 600 г. до н.э., эти знания были исключительно практического характера, относящиеся к потребностям обыденной жизни и к необходимейшим промыслам, ремёслам и искусствам.

В области математики переход научных знаний из Египта в Грецию начался с возвращения, около 590 г. до н.э., Фалеса Милетского на родину, в Милет, после долговременного пребывания в Египте. Принесённые им оттуда геометрические и астрономически сведения составляли первое время почти исключительное достояние основанной им ионийской школы. Но это время было очень непродолжительно, так как труд перенесения египетских, а затем и халдейских математических знаний скоро взяли на себя и другие лица: Пифагор Самосский, Энопид Хиосский и Демокрит из Абдеры.

Особенно много сделал в этом направлении Пифагор, что и было главной причиной широкого развития занятий математики в основанной им пифагорейской школе. Так как последовательные стадии развития человечества никогда не сменяют друг друга резко, то в этой школе ещё до окончания периода усвоения исследователь встречается уже с проявлениями самостоятельной деятельности греков в области М. Различить однако же в том, что нам известно о математических знаниях пифагорейцев, принадлежащее им самим от заимствованного у египтян и халдеев, в настоящее время нет пока никакой возможности. После разрушения, около 450 г. до н.э., представляемого этою школой религиозного братства, её математические знания, строго оберегаемые наравне со всеми другими знаниями от распространения между лицами, не принадлежащими к союзу, сделались общим достоянием греческой нации.

Особенно широкое распространение получили они на родине пифагорейского союза, в греческих колониях Южной Италии, или в так называемой Великой Греции, и в Афинах. В Италии это распространение создало италийскую математическую школу, крупнейшими представителями которой в последующее время были Архит Тарентский, Эвдокс Книдский и Архимед. В Афинах распространение пифагорейских математических знаний выразилось в деятельности математиков V стол., крупнейшим представителем которых был пифагореец Гиппократ Xиoсский. Деятельность эта была посвящена главным образом попыткам решения трёх знаменитых задач: трисекции угла, квадратуры круга и удвоения куба. Этому же столетию принадлежит и первая попытка составления свода геометрических знаний в научной обработке, сделанная Гиппократом Хиосским.

С деятельностью математиков V ст., кроме значительного усиления самостоятельности математических работ греческих учёных, связываются в истории математики два важных момента: начало дедуктивного периода развития математики, которое в действительности, может быть, относится к ещё более раннему времени, напр. к пифагорейской школе или даже к самому Египту, и полное выяснение направления и характера математического гения греческой нации, который с этого времени начал проявлять такую исключительную склонность к геометрическим исследованиям. С началом дедуктивного периода закончился в истории развития математики во всем человечестве первоначальный, донаучный период.

Период усвоения греками математических знаний, приобретённых человечеством, можно считать закончившимся ко времени деятельности Платона, который хотя и ездил в Египет с целью непосредственного ознакомления с египетскими науками, но, по высокому сравнительно состоянию математических знаний в пифагорейской школе и у математиков V ст., он едва ли мог найти в египетской математике что-нибудь, оставшееся для греков неизвестным. Итак, период вполне самостоятельной деятельности греков в области математики начинается с деятельности Платона и основанной им в 389 г. Философской школы, известной под именем Академии, или даже ещё ранее, с работ математиков V ст. С этого времени последующее развитие, если не всей математики вообще, то, несомненно, геометрии, сосредоточивается исключительно в руках одной греческой нации.

Приобре­тение новых понятий возможно путем преобразова­ния существующих знаний, похожих на те, которые собираются получить. Это важная функция, которую называют обучением на основе выводов по аналогии или просто обучением по аналогии. В нашей жизни много примеров, когда новые понятия приобретаются с помощью аналогии

Широкое применение аналогии в процессе обучения математике является одним из эффективных приемов, способных побудить у учащихся живой интерес к предмету, приобщить их к тому виду деятельности, который называют исследовательским. Кроме того, широкое применение аналогии дает возможность более легкого и прочного усвоения школьниками учебного материала, так как часто обеспечивает мысленный перенос определенной системы знаний и умений от известного объекта к неизвестному (что, кстати говоря, способствует также актуализации знаний).

О роли аналогий как в научном познании, так и в процессе обучения говорили многие видные ученые. Так, Кеплер высказал следующее суждение: "Я больше всего дорожу Аналогиями, моими самыми верными учителями. Они знают все секреты Природы, и ими меньше всего следует пренебрегать”.

Установление аналогий будет идти успешнее, если у учащихся будет сформировано умение проводить сравнение. Благодаря сравнению объектов, явлений, процессов человек получает возможность мыслить глубже, и его знания становятся более прочными и осмысленными. Сравнение позволяет сформировать у школьников умение находить сходства и различия понятий, процессов, явлений, что активизирует мыслительную деятельность и ускоряет процесс умственного развития.

Сравнение осуществляется в двух основных формах: сопоставления и противопоставления. Противопоставление направлено на уяснение отличительного в предметах и явлениях при выделении существенных признаков и свойств. Сопоставление направлено на выделение существенных свойств, общих для ряда объектов. Как показывают исследования психологов, ученик осознает различие раньше, чем сходство.

По степени полноты различают частичные и полные сравнения. Полное сравнение устанавливает и сходство, и отличие. Частичное сравнение позволяет глубже осознать отличительное в изучаемом учебном материале.

Применение аналогии весьма полезно в процессе изучения математики, как и в любой науке вообще.

Предметы и явления действительности, - указывал еще Сеченов, - запечатлеваются и воспроизводятся не изолированно друг от друга, а в тесной связи друг с другом, группами или рядами.

Аналогия же помогает сопоставлять и противопоставлять понятия математики, а новые сведения, понятия лучше усваиваются тогда, когда они вводятся не во всякой связи с предыдущими, а в сравнении с ними, в установлении сходных и отличительных признаков.

Подведем некоторые итоги. Прежде всего, отметим, что индукция, дедукция и аналогия, представляя собой основные виды умозаключений, являются прежде всего методами научного исследования, а также весьма эффективными методами обучения математике.

В процессе мышления (и в процессе обучения) индукция, дедукция и аналогия взаимодействуют настолько тесно, что говорить о них раздельно имеет смысл только из соображений их детального изучения.

Единство индуктивных и дедуктивных умозаключений по аналогии отражено и во многих работах по логике, связанных с проблемой классификации умозаключений. С этой точки зрения представляется весьма интересная работа А. И. Уемова, цитатой из которой будет подведен окончательный итог:

“Независимо от оснований, оправдывающих переход от посылок к заключению, все выводы можно подразделить на две группы.

В одной из них классы предметов, к которым относятся посылки и заключения, совместимы. Более того, один из этих классов является подклассом другого. К этому типу выводов относятся индукция и дедукция, которые можно определить следующим образом:

а) дедукция – умозаключение, вывод которого относится к предметам, не выходящим за рамки того класса вещей, о котором шла речь в посылках;

б) индукция – умозаключение, вывод которого относится к большему кругу предметов, чем тот, о котором говорится в посылках.

В другом типе выводов предметы, к которым относятся посылки и заключение, различны. Именно таков характер выводов по аналогии. Таким образом, можно дать следующее определение:

в) аналогия – умозаключение, в котором заключение относится к другому предмету, чем тот, о котором говорится в посылке”.

Выводы в умозаключениях по аналогии всегда бывают только вероятны, но это вероятное знание, предположение несет в себе нечто новое. Сама по себе аналогия не дает ответа на вопрос о правильности предположения. Эта правильность должна проверяться другими средствами. Аналогия важна уже тем, что она наводит нас на догадки, подает мысль о том или ином предположении.

Все это очень важно как в развитии науки, так и в обучении математике. Аналогия помогает учащимся находить предположительное решение новых вопросов, учебных проблем и этим способствует активизации познавательного процесса, учения школьников, эффективному развитию их самостоятельного продуктивного мышления, математической интуиции. Аналогии, кроме того, являются важнейшем источником ассоциаций, обеспечивающих глубокое и прочное усвоение предмета учащимися.































Глава 1. Теоретические аспекты решения проблемы приобретения знаний.

1.1. Дидактический аспект приобретения математических знаний



Современная дидактика, образно говоря, представляет собой “теоретический стержень” педагогики. Основные, вечные вопросы, которые всегда стояли и стоят перед педагогикой, — это вопросы “чему учить?” и “как учить?”. В современном мире, когда объем знаний в каждой предметной области стремительно растет, причем скорость этого роста также увеличивается, актуальность вопросов “чему” и “как” становится беспрецедентной. С одной стороны, Козьме Пруткову невозможно не верить: “Нельзя объять необъятное!” С другой стороны — люди должны овладевать постоянно растущими знаниями. И именно дидактика призвана искать выход из этой парадоксальной ситуации.

Формально дидактика (от греческого didasko — учить, доказывать, объяснять) определяется как отрасль педагогики, исследующая научные основы обучения и образования. Другое определение дидактики — теория обучения — также характеризует ее как науку о способах и методах целенаправленного процесса приобретения или/и передачи знаний. Важным моментом в этом определении является указание на необходимость организации специальных условий для передачи знаний. Эти условия реализуются в ходе функционирования системы образования, элементами которой являются семья, дошкольные и школьные учреждения, вузы и другие институты образования.

Интересно заметить, что сложность и актуальность дидактической проблематики, с одной стороны, и малая степень ее теоретической проработанности и практической реализации, с другой, породили еще один бытовой и в чем-то курьезный смысл термина “дидактика”. В обыденной жизни под этим термином подразумевают стремление неумных людей к бессмысленным поучениям и плоскому морализаторству.

Следует отметить, что собственно термин образование используется в двух родственных значениях: как результат процесса обучения, что выражается в формировании у учащихся системы знаний, умений и навыков в различных предметных областях, и как сам процесс обучения, т. е. деятельность по приобретению этих знаний, умений и навыков.

Все формы познавательной деятельности людей носят активный характер. Люди не только отражают и перерабатывают в своем сознании разнообразные влияния внешнего мира, но и, в соответствии с познанными закономерностями, активно влияют на этот мир, применяют приобретенные знания, умения и навыки в жизни. Активный характер носит и сама познавательная деятельность. Знания приобретаются лишь в деятельности, которая в системе обучения носит организованный и целенаправленный характер.

Процесс обучения, как и всякий другой вид познания, имеет две стороны: объективную и субъективную. Под объективной стороной обучения понимается содержание обучения, а под субъективной - познавательная деятельность учащихся. Этот процесс протекает под руководством учителя, который организует, направляет и руководит им, исходя из задач и содержания обучения, с одной стороны, и закономерностей усвоения учащимися изучаемого материала - с другой.

Важнейшей частью учебного процесса является его содержание, включающее в себя научные знания, умения, навыки, осмысливание жизненного познавательного опыта учащихся, приобретаемого вне обучения, и формирование познавательных способностей и творческих сил учащихся.

Учебная деятельность в школе направлена не только на приобретение учащимися научных знаний, но и на воспитание у них научного мировоззрения, этических и эстетических взглядов и поведения. Другими словами, обучение должно быть воспитывающим. Изучение истории не может ограничиваться знанием исторических фактов и событий, а биологии - знанием явлений растительного и животного мира. Оно включает в себя осмысливание закономерностей развития природы и общественной жизни, формирования научного мировоззрения, целеустремленного отношения к общественной жизни и использованию сил природы. Воспитание составляет внутреннюю сущность обучения. Подлинная наука обладает огромной воспитательной силой.

Жизненный познавательный опыт учащихся вступает в связь с организованным обучением в различных формах. Обучение опирается на положительные жизненные представления и понятия учащихся, а в ряде случаев и отталкивается от них при научном объяснении тех или иных явлений и понятий. В процессе обучения пересматриваются ошибочные представления и понятия учащихся и вскрываются причины их возникновения. Научные методы изучения учебного материала вооружают учащихся самостоятельным анализом, обобщением и оценкой встречающихся в жизненной практике различных явлений, взглядов и суждений людей.

Развитие познавательных способностей и творческих сил учащихся в обучении можно рассматривать в двух аспектах: как условие учебного процесса и как предмет их формирования в процессе обучения. Нам более важен второй подход.

В теории и практике обучения сравнительно широко рассматриваются вопросы учета познавательных способностей учащихся в обучении и совершенно недостаточно раскрываются эти способности как предмет развития в учебном процессе. Между тем содержание образования было бы односторонним, если бы оно не способствовало развитию у учащихся наблюдательности, пытливости, способности анализировать и обобщать жизненные явления и изучаемый материал, не расширяло бы их творческую деятельность.

В обучении одинаково важны как успешное овладение учащимися научными знаниями, так и развитие их познавательных способностей и творческих сил. Это тем более важно подчеркнуть в наше время, когда перед школой поставлена задача подготовки молодежи к непрерывному образованию, к самостоятельному приобретению знаний и к разнообразной творческой деятельности.






























1.2. Классификация методов обучения



Методы обучения являются инструментом развития учащихся, если:

  • способствуют приобретению школьниками прочных ЗУН, а также умений переносить их в новые ситуации;

  • формируют у учащихся потребность в новом знании;

  • направляют обучение на связь с жизнью, с опытом учащихся;

  • ориентируют мышление учащихся на решение общих и частных задач с целью творческой переработки учебной информации;

  • обеспечивают деятельность учащихся по соотнесению частных сведений с основными идеями, законами, теориями для формирования системы знаний и способов деятельности;

  • содействуют овладению учащимися учебными умениями как инструментом познания;

  • создают оптимальные условия для активной мыслительной деятельности каждого ученика.

Классификационные признаки группировки методов.

а) источники знаний;

б) характер познавательной деятельности ученика;

в) руководящая роль учителя;

г) степень активности ученика ;

д) возможность стимулирования и самостимулирования учебной деятельности ученика;

е) условия контроля и самоконтроля за эффективностью учебно-познавательной деятельности.

Методы как способы учебной работы.

а) догматический - приобретение знаний в готовом виде;

б) эвристический - усвоение знаний и умений путем рассуждений, требующих догадки, поиска, находчивости, что должно быть предусмотрено в вопросе (задании);

в) исследовательский - добывание знаний и умений путем проведения наблюдений, постановки опытов, измерения, путем самостоятельного нахождения исходных данных прогнозирование результатов работы.

Характеристика отдельных групп методов

Объяснительно-иллюстративные отражают деятельность учителя и ученика, состоящую в том, что учитель сообщает готовую информацию разными путями, с использованием демонстраций, а учащиеся воспринимают, осмысливают и запоминают ее. При необходимости воспроизводят полученные знания.

Репродуктивные способствуют усвоению знаний (на основе заучивания), умений и навыков (через систему упражнений). При этом управленческая деятельность учителя состоит в подборе необходимых инструкций, алгоритмов и других заданий, обеспечивающих многократное воспроизведение знаний и умений по образцу.

Методы проблемного обучения:

проблемное изложение, рассчитанное на вовлечение ученика в познавательную деятельность в условиях словесного обучения, когда учитель сам ставит проблему, сам показывает пути ее решения, а учащиеся внимательно следят за ходом мысли учителя, размышляют, переживают вместе с ним и тем самым включаются в атмосферу научно-доказательного поискового решения;

частично-поисковые, или эвристические методы, используются для подготовки учащихся к самостоятельному решению познавательных проблем, для обучения их выполнению отдельных шагов решения и этапов исследования;

исследовательские методы - способы организации поисковой, творческой деятельности учащихся по решению новых для них познавательных проблем.

Эти методы наиболее полно решают задачи развития учащихся при обучении.

Методы организации учебно-познавательной деятельности:

словесные, наглядные, практические;

аналитические, синтетические, аналитико-синтетические, индуктивные, дедуктивные;

репродуктивные, проблемно-поисковые;

методы самостоятельной работы и работы под руководством.

Методы стимулирования и мотивации:

методы стимулирования интереса к учению (познавательные игры, учебные дискуссии, создание эмоционально-нравственных ситуаций);

методы стимулирования долга и ответственности (убеждения, предъявление требований, «упражнения» в выполнении требований, поощрения, порицания).

Методы контроля и самоконтроля:

устного контроля, и самоконтроля (индивидуальный опрос, устная проверка знаний, некоторых мыслительных умений);

письменного контроля и самоконтроля (контрольные работы, письменные зачеты, программированный контроль, письменный самоконтроль);

методы лабораторно-практического контроля и самоконтроля (контрольно-лабораторные работы, контроль выполнения практических работ, программированный контроль лабораторной работы, лабораторно-практический самоконтроль).

Методы самостоятельной познавательной деятельности учащихся:

классификация самостоятельных работ по цели (подготовка учащихся к восприятию нового материала, усвоение учащимися новых знаний, закрепление и совершенствование новых знаний и умений, выработка и совершенствование усвоенных навыков); определение самостоятельных работ по изучаемому материалу (наблюдение, проведение опытов, эксперимент, работа с книгой и т.п.);

различение самостоятельных работ по характеру познавательной деятельности (по заданному образцу, по правилу или системе правил, конструктивные, требующие творческого подхода);

деление самостоятельных работ по способу организации (общеклассная, групповая, индивидуальная).

Методы программированного обучения - особый вид самостоятельной работы учащихся над специально переработанным материалом, сущностью которой является жесткое управление умственной деятельностью обучаемых. Программа при этом является дидактическим средством.

Многообразие методов

Словесные методы:

объяснение - это вид устного изложения, в котором раскрываются новые понятия, термины, устанавливаются причинно-следственные связи и зависимости, закономерности, т.е. раскрывается логическая природа того или иного события или явления (прямое, непрямое, инструктивное);

рассказ - это форма изложения учебного материала, которая носит преимущественно описательный характер (сюжетный, иллюстративный, информационный);

работа с печатным словом (с книгой) - это метод, позволяющий ученику под опосредованным руководством учителя самостоятельно организовывать процесс познания;

изложение - это монологическая форма учебной работы, дидактическое значение которой состоит в том, что при помощи этого метода учащимся передаются научные знания, добытые человечеством, демонстрируются образцы деятельности, а ученики должны понять, запомнить и воспроизвести усвоенное;

повествование - это вид изложения, в котором связно рассказывается о конкретных фактах, событиях, процессах, протекающих во времени. Оно может быть в сжатой форме, в форме интересного рассказа, имеющего сюжет, фабулу;

описание - вид изложения, в котором дается последовательное перечисление признаков, особенностей, свойств, качеств предметов и явлений окружающей действительности;

рассуждение - вид изложения, в котором дается последовательное развитие положений, доказательств, подводящих учащихся к выводам;

проблемное изложение - это изложение, сочетающееся с самостоятельной работой учащихся (как правило, умственной), которая состоит в решении вопросов и проблем, поставленных учителем;

беседа - форма овладения учащимися информацией в вопросно-ответном рассуждении, в диалоговом общении.

Типы беседы:

катехизическая - предполагает в ответах учащихся репродуктивную деятельность;

эвристическая - предполагает продуктивную, творческую деятельность. Эвристическая беседа является главным условием развития учащихся при диалогическом методе учения.

Ее основные признаки:

  • учащиеся осознают цель беседы;

  • в беседе все вопросы подобраны так, что учащиеся имеют возможность догадаться или сделать самостоятельное заключение;

  • в беседе предусмотрены простые и сложные вопросы, последние формулируются как задачи, а в них выделяются наиболее частные вопросы;

  • после решения каждого вопроса, задачи следует заключение учителя, подводящее итоги работы.

Наблюдение - это непосредственное целенаправленное восприятие предметов и явлений с помощью органов чувств с целью формирования правильных представлений и понятий, умений и навыков.

Опыты - это самостоятельно выполняемая учащимися работа по изучению нового материала, требующая практических исследовательских умений, а также умений обращаться с различным оборудованием. Это важный, но очень сложный метод учения.

Практические методы учения - это такой вид деятельности ученика, при котором происходит формирование и совершенствование практических умений и навыков в ходе выполнения практических заданий (письменные и устные упражнения, практические и лабораторные работы, некоторые виды самостоятельных работ).

Упражнения - это планомерно организованное повторное выполнение каких-либо действий с целью их освоения или совершенствования.

Уровни принятия решения о выборе методов обучения

1-й - стереотипные решения: неизменное предпочтение стереотипу применения методов обучения независимо от содержания материала, образовательно-воспитательных задач урока и особенностей учащихся.

2-й - решения методом проб и ошибок: учитель пытается менять выбор методов обучения с учетом конкретных условий, учебного материала, но делает он это стихийно, допуская просчеты и ошибки, избирает новый вариант и вновь без научного обоснования выбора.

3-й - рациональные, оптимальные решения: учитель научно обосновывает все принимаемые решения, сознательно выбирает методы с учетом возрастных и индивидуальных особенностей учащихся, с учетом их подготовленности, обосновывает конкретными условиями и определенными трудностями учебного материала, прогнозирует получение конкретных результатов обучения, воспитания и развития школьников.
























Глава 2. Аналогия - метод приобретения знаний на уроках математики


2.1. Сущность аналогии её виды


Одним из весьма важных типов умозаключений является так называемое продуктивное умозаключение (лат. traductio – перемещение), при котором от двух или нескольких суждений некоторой степени общности переходят к новому суждению той же степени общности.

Например, пусть a, b и c – некоторые действительные числа, a>b(первое суждение), b>c(второе суждение). a>c(новое суждение).

Как метод исследования традукция заключается в том, что, установив сходство двух объектов в некотором отношении, делают вывод о сходстве тех же объектов и в другом отношении.

Важнейшим видом продуктивного умозаключения является аналогия (греч. analogia – соответствие, сходство). Аналогия – весьма эффективный эвристический инструмент познания.

Умозаключение по аналогии можно выразить следующей схемой:

Объекты Свойства объектов

A a b c d

B a b c x…

Вывод: x=d

При умозаключении по аналогии знание, полученное из рассмотрения какого –либо объекта (“модели”), переносится на другой, менее изученный (менее доступный для исследования, менее наглядный и т. п.) в каком- либо смысле объект. По отношению к конкретным объектам заключения, получаемые по аналогии, носят, вообще говоря, лишь вероятный характер; они являются одним из источников научных гипотез, индуктивных рассуждений и играют важную роль в научных открытиях.

Понятно, что не всякое сходство есть аналогия. Сравнивая девушку с цветком, поэт имеет ввиду определенное сходство образов красивой девушки и цветка; он далек от проведения аналогии между ними.

Наиболее глубоким видом аналогии, приводящим к совершенно достоверным выводам, является изоморфизм. Установив изоморфность двух или нескольких систем объектов, мы можем перенести любое предложение, справедливое для одной из этих систем, на другую систему объектов, изоморфных изученной. Ярким примером служит аналитическая геометрия, в которой изучению геометрических фигур и их свойств сводится к изучению определенных аналитических соотношений над числовыми объектами.

Аналогия различается на:

  1. Простую аналогию, при которой по сходству объектов в некоторых признаках заключают их сходство в других признаках;

  2. Распространенную аналогию, при которой из сходства явлений делают вывод о сходстве причин.

В свою очередь, простая и распространенная аналогия может быть:

а) строгой аналогией, при которой признаки сравниваемых объектов находятся во взаимной зависимости;

б) нестрогой аналогией, при которой признаки сравниваемых объектов не находятся в явной взаимной зависимости.

Аналогия является, пожалуй одним из самых распространенных методов научного исследования. Широкое применение аналогий часто приводит исследователя к более или менее правдоподобным предположениям о свойствах изучаемого объекта, которые могут быть затем подтверждены или опровергнуты опытом или более строгими рассуждениями.

Таким образом, имеет смысл говорить о “полезной” и о “вредной” аналогии. Примером “полезной аналогии” является, в частности, мысленный перенос многих понятий и суждений, относящихся к планиметрии, в геометрию трехмерного пространства. Например: “Прямоугольник аналогичен прямоугольному параллелепипеду. В самом деле, отношения между сторонами прямоугольника сходны с отношениями между гранями параллелепипеда:

Каждая сторона прямоугольника параллельна и равна одной другой стороне и перпендикулярна остальным.

Каждая грань прямоугольного параллелепипеда параллельна и равна одной другой грани и перпендикулярна остальным”

Заметим, что не менее явная аналогия существует и между площадью прямоугольника и объемом прямоугольного параллелепипеда. Причем эта аналогия проявляется весьма широко, начиная от сходства формул S = a * b и V = a * b * c и кончая сходством в структуре вывода этих формул (распадающегося на случаи, когда измерения названных фигур выражаются натуральными, положительными рациональными и действительными числами).

В качестве примера “вредной аналогии” можно привести перенос известных законов сложения конечных сумм на бесконечные.

Вот к каким результатам можно придти, если, в частности, применить эту аналогию при нахождении суммы ряда

S = 1 – 1 + 1 – 1 + 1 – 1 + … :

  1. используя свойство прибавления разности, получим:

S = (1 –1) + (1 – 1)+(1 – 1)+ … = 0 + 0 + 0 … = 0

б) используя свойство вычитания разности, получим:

S = 1 – (1 – 1) – (1 – 1) – (1 – 1) = 1 – 0 – 0 – 0 - … = 1

в) используя сочетательное свойство для алгебраической суммы, имеем:

S = 1 – (1 – 1 + 1 - … ), или S = 1 – S, откуда 2S = 1 и S = ½

Понятно, что примененная здесь аналогия является незаконной; слишком глубокое качественное различие между конечным и бесконечным в математике уменьшает число аналогичных свойств, присущих тому и другому.

По степени полноты различают частичные и полные сравнения. Полное сравнение устанавливает и сходство, и отличие. Частичное сравнение позволяет глубже осознать отличительное в изучаемом учебном материале.

По способам осуществления различают сравнения параллельные, последовательные отсроченные. Параллельные сравнения используются при изложении материала укрупленными блоками, когда одновременно изучаются взаимосвязанные понятия, теоремы, задачи. При последовательном сравнении новый объект сравнивается с ранее изученными. При отсроченном сравнении сравниваемые объекты значительно значительно удалены друг от друга во времени. В установлении аналогий плоских и пространственных фактов имеют место все три типа сравнений.

Укажем схему, по которой следует проводить сравнение понятий.

  1. Выделение признаков понятий.

  2. Установление общих и существенных признаков.

  3. Выбор одного из существенных признаков.

  4. Сопоставление понятий по выбранному основанию.

2.2. Аналогия в процессе обучения математике


В процессе обучения математике учителю следует не только самому пользоваться полезными аналогиями, но и приобщать учащихся к самостоятельному проведению умозаключений по аналогии. При этом учащиеся должны понимать, что выводы, полученные по аналогии, требуют обязательного обоснования, так как не исключено то, что они могут оказаться ошибочными. Например, по аналогии с известными признаками делимости на 3 и на 9 можно сформулировать вероятный признак делимости на 27: “ Если сумма цифр числа делится на 27, то и само число делится на 27”. Однако это утверждение неверно и убедиться в этом можно на каком–нибудь конкретном примере (272745).

Приведем еще один пример.

Учитель спрашивает школьника:

  • Как изменится площадь прямоугольника, если его основание увеличить в 2 раза, а боковую сторону уменьшить также в 2 раза?

  • Площадь не изменится.

  • Правильно. А если основание прямоугольника увеличить на 20%, а боковую сторону уменьшить на 20%, изменится ли его площадь?

  • Нет, не изменится.

Последний ответ школьника уже не верен. В самом деле, обозначив основание прямоугольника через а, а боковую сторону через b, имеем: S = a * b .

В соответствии с условием основание измененного прямоугольника а1 = а + 0.2а и боковая сторона b1 = b – 0.2b. Тогда S1 = a1 * b1 = a(1 + 0.2) * b(1 – 0.2) = ab – 0.04ab.

Таким образом, площадь прямоугольника уменьшится в этом случае на 4%.

Однако следует помнить, что широкое применение аналогии в процессе обучения математике является одним из эффективных приемов, способных пробудить у учащихся живой интерес к предмету, приобщить их к тому виду деятельности, который называют исследовательским. Кроме того, широкое применение аналогии дает возможность более легкого и прочного усвоения школьниками учебного материала, так как часто обеспечивает мысленный перенос определенной системы знаний и умений от известного объекта к неизвестному (что, кстати говоря, способствует также актуализации знаний).

Поэтому полезны и специально подобранные упражнения в применении метода аналогии, такие, например, как: 1) верно ли утверждение: ”Если в треугольнике все углы конгруэнтны, то и стороны конгруэнтны”? (сформулируйте аналогичное предположение для шестиугольника. Верно ли оно?) или 2) справедливо ли утверждение: “Сумма расстояний от любой точки, лежащей внутри (или на стороне) правильного треугольника до его сторон, есть величина постоянная “? Сформулируйте аналогичное предложение для какого либо многоугольника. Проверьте, будет ли оно истинным.

Применение аналогии распадается на следующие действия: построение аналогов различных заданных объектов и отношений; нахождение соответствующих элементов в аналогичных предложениях; составление предложений или задач, аналогичным данным; проведение рассуждений по аналогии.

Уже в младших классах второй ступени целесообразно подчеркивать аналогию между некоторыми плоскими и пространственными фигурами. Например, между прямоугольником и прямоугольным параллелепипедом, между квадратом и кубом. Аналогия между квадратом и кубом состоит в том, что у квадрата его измерения равны и у куба его измерения равны. Учащиеся могут и сами догадаться, что грани куба – равные квадраты, все стороны квадрата – равные отрезки.

При знакомстве с понятиями площадь и объем можно установить аналогию между единицами длины и единицами площади, между единицами объема и единицами площади. Одновременно следует обратить внимание на сходство в формулировках определений понятий. Например, повторив с учащимися понятие квадратный сантиметр (квадратный сантиметр – это площадь квадрата со стороной 1 см), можно попросить самостоятельно дать определение понятию кубический сантиметр.

Учащиеся иногда затрудняются быстро и правильно ответить на вопросы типа: “ Сколько квадратных сантиметров в 1 дм2? Сколько кубических сантиметров в 1 дм3?” Устранению таких трудностей способствует иллюстрация сходства между операциями перехода от линейной единицы измерения к квадратной или кубической. В обоих случаях вычисляется произведение одинаковых множителей, причем число множителей в произведении равно показателю при единице измерения: 1 дм2 = 10 * 10 см2, 1 дм3 = 10 * 10 * 10 см3.

Формировать умение составлять предложение, аналогичное данному, можно при изучении признаков делимости. Рассмотрев с учащимися признак делимости, например, на 3, следует предложить им самим сформулировать признак делимости на 9. Ниже приведены те предложения, которые давал учитель ((1) – (4)), и те, что формулировали учащиеся по аналогии ((1*) – (4*)).

  1. На 3 делятся те и только те числа, у которых сумма цифр делится на 3.

  2. На 5 делятся те и только те числа, в записи которых последняя цифра 0 или 5.

  3. Число делится на 6, если оно делится на 2 и на 3.

  4. На 4 делятся те числа, у которых две последние цифры нули или образуют число, делящееся на 4.

(1*) На 9 делятся те и только те числа, у которых сумма цифр делится на 9.

(2*) На 25 делятся те и только те числа, в записи которых две последние цифры нули или образуют число, делящееся на 25.

(3*) Число делится на 8, если оно делится на 2 и 4.

(4*) На 8 делятся те числа, у которых две последние цифры нули или образуют число, делящееся на 8.

Следует провести сравнение предложений. Одновременно необходимо подчеркнуть, что если данные высказывания (1) – (4) истинны, то необязательно окажутся истинными высказывания, полученные из данных по аналогии. Учащиеся должны знать, что для установления ложности какого – либо утверждения достаточно привести хотя бы один пример, опровергающий его. Так, высказывания (3*) и (4*) являются ложными: 12 делится на 2 и на 4, но не делится на 8; 100 и 164 не делятся на 8. Теперь важно показать, что 4 можно представить в виде произведения двух одинаковых множителей (4 = 2 * 2), а 8 – в виде произведения трех одинаковых множителей (8 = 2 * 2 * 2). Установив такое различие, учащиеся могут заметить, что в утверждении (4) рассматриваются такие числа, у которых количество последних цифр – нулей равно числу простых множителей в разложении числа 4. Это наблюдение поможет сформулировать истинное утверждение вместо (4*): на 8 делятся те числа, у которых три последние цифры нули или образуют число, делящееся на 8.

При изучении темы «Сложение десятичных дробей» метод аналогии можно использовать для того, чтобы подвести учащихся к формулировке правила сложения десятичных дробей. Для этого нужно параллельно рассмотреть сложение натуральных чисел и сложение десятичных дробей (так, как это показано в табл. 1).


Нhello_html_m154daf9b.gif
атуральные числа

949 + 835

Подписываем слагаемые одно под

слагаемых находились друг под другом.

9hello_html_m778f42ce.gif
49

+

835

1784

Выполняем сложение поразрядно

Десятичные дроби

95.37 + 101.4

другим так, чтобы одинаковые разряды


95.35

+

101.40

196.75

Так как число 101.4 не имеет сотых долей, то вместо сотых ставим 0.

начиная с единиц низшего разряда.


Таблица 1


Мы уже говорили о том, что умозаключения по аналогии могут приводить как к верным заключениям, так и к ошибочным; это часто является источником неверных действий учащихся. Упрочнению их способствует обычно и формальное усвоение материала. Особенно много таких ошибок учащиеся допускают в курсе алгебры. Поэтому полезно сравнивать верные соотношения с неверными, например:

5 * 3 = 3 * 5, но 53≠ 35; √5а2 = √5 * √а2, но √5 + а2 ≠ √5 + √а2;

а * с ./ в * с = а / в, но а + с / в + с ≠ а / в (с ≠ 0).

Доказательство того, что равенство нарушается, проще всего провести, подставив вместо букв числа и проведя нужные вычисления.

Богатым материалом для обучения приему аналогии располагает геометрия. В начале изучения курса геометрии основное внимание следует уделить выделению соответствующих элементов из аналогичных задач и теорем. Например, рассмотрим две пары задач из учебного пособия А. В. Погорелова «Геометрия 6 –10» (М., 1985).


Докажите, что у равнобедренного треугольника биссектрисы, проведенные из вершин при основании, равны (§3, №20 (1)).

Докажите равенство треугольника по двум сторонам и медиане, исходящим из одной вершины (§3, №38).

Докажите, что у равнобедренного треугольника медианы, проведенные из вершин при основании, равны (§3, №20 (2)).


Докажите равенство треугольников по медиане и углам, на которые медиана разбивает угол треугольника (§3, №40).


Для биссектрисы в задаче №20(1) соответственным элементам в задаче №20(2) является медиана. В задачах второй пары соответственными элементами оказались:

Две стороны, исходящие из одной вершины (№38), - два угла, на которые медиана разбивает угол треугольника (№40). Указанные задачи полезно решить непосредственно друг за другом, оформляя решение «параллельно», т. е. с левой стороны одно решение, с правой – другое. Разобрав решения, следует подчеркнуть, что каждый шаг одного из них можно перенести в другое, применив его к соответственным элементам.

Умение применять аналогию нужно поддерживать от класса к классу, пользуясь любыми возможностями. Так, при решении задачи об углах при основании равнобедренной трапеции следует вскрыть ее свойство с теоремой об углах при основании равнобедренного треугольника. Полезно записать «параллельно» оба доказательства так, как это показано в табл. 2.


Таблица 2

Теорема 3 из §3

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.


Доказательство:

  1. Пусть АВС – равнобедренный треугольник (АС=СВ). Из вершины С проведем высоту СД.


2) ∆АСД=∆ВСД по катету и гипотенузе (СД – общая, АС=СВ по условию).

Отсюда

ÐА=ÐВ.


Задача 53 из § 6

Доказать, что углы при каждом основании равнобедренной трапеции равны.

Доказательство:

  1. Пусть АВСД – равнобокая трапеция (АД=СВ). Из вершин Д и С проведем высоты ДЕ и СF.


2) ∆АДЕ=∆ВСF по катету и гипотенузе (ДЕ=СF, так как АВ║СД; АД=СВ по условию).

Отсюда

ÐА=ÐВ и

ÐАДЕ=ÐВСF;

ÐАДС=ÐАДЕ + 90, отсюда следует, что

Ð0ДСВ=ÐВСF + 90 ÐАДС=ÐДСВ




Задачи, аналогичные данным, учащиеся могут составлять самостоятельно и решать их.

Мы описали различные подходы к обучению метода аналогии школьников 11-13 лет. По мере взросления учащихся им все чаще будут встречаться возможности для применения аналогии. Она может использоваться при формировании многих понятий стереометрии, при доказательстве теорем и решении задач. Однако учащиеся реализуют эти возможности лишь после специального обучения.

2.3. Положительная роль аналогии в планиметрии и стереометрии


В действующем школьном курсе геометрии абсолютное большинство стереометрических фактов излагается без установления внутрипредметных связей с аналогичными планиметрическими фактами. Примером тому может служить изолированное изложение таких тем, как «Треугольник и его свойства» и «Тетраэдр и его свойства»; «Окружность, круг и его свойства» и «Сфера, шар и их свойства» и т. д. Все это есть следствие линейного построения курса геометрии. Целесообразно же на основе линейно – концентрической организации курса увязать эти плоскостные и пространственные темы. Развернем отмеченное положение несколько шире вначале в теоретическом, а затем и в практическом аспекте.

Различные формы уровневой и профильной дифференциации могут быть реализованы на практике в полной мере лишь в том случае, если будут подготовлены соответствующие учебники, в том числе и по геометрии. Эти учебники должны не только быть разными по содержанию и по форме изложения, но и иметь существенно различную логико-структурную организацию. Сейчас школьные учебники геометрии ориентированы в основном на аксиоматическое и силлогистическое изложение. Чрезмерное же акцентирование в обучении дедуктивного характера математики создает серьезную опасность для математического образования. В обучении математике в целом, равно как и в обучении геометрии, необходимо сочетание логики и интуиции, дедукции и индукции, конкретизации и обобщения, анализа и синтеза.

Целесообразна трансформация линейного построения содержания школьного курса геометрии в линейно – концентрическое, что даст возможность проводить глубокие сравнения, широкое обобщение, выдвигать гипотезы и предположения, переносить знания, умения и навыки в новую ситуацию, переосмысливать с новых, более общих позиций уже изученный ранее изученный материал. Большую роль при этом будут играть аналогии, интуитивные рассуждения, позволяющие приобщить учащихся к исследовательской деятельности.

Курс школьной геометрии должен быть таким, чтобы он прежде всего побуждал учащихся к постановке вопросов, выдвижению гипотез, создавал бы условия для эффективных поисков. Реализация идей уровневой и профильной дифференциации предполагает одновременное существование как учебников геометрии, построенных на глобальной аксиоматической организации теории, так и учебников, построенных на идеях локальной аксиоматизации и локальной дедукции. Здесь налицо создание таких учебников геометрии, в котором бы разумнее дозировались логический и интуитивный компоненты; школьный курс геометрии есть «химическое соединение интуиции и логики».

Глобальная аксиоматизация должна завершать, а не начинать длительный процесс развития теории; локальная индукция позволяет сделать главным в обучении геометрии не развитие теории из готовой аксиоматики, а процесс создания аксиоматики. Такой подход в большей степени, чем традиционный, обеспечивает взаимодействие наглядно – образного и словесно – логического мышления.

На примерах покажем, что многие пространственные факты являются обобщениями плоскостных аналогов. Приведенный ниже материал может служить хорошим подспорьем в организации исследовательской работы учащихся.

П р и м е р 1. Плоскостная изопериметрическая теорема – пространственная изопериметрическая теорема.

Часто можно слышать расхожую фразу: «Круг и шар – наиболее совершенные фигуры». Какой смысл вкладывается в это высказывание? Рассуждения, приведенные ниже, прольют свет на поставленный вопрос.

В планиметрии известна такая теорема: «Из всех изопериметрических плоских фигур наибольшую площадь имеет круг». Другими словами эту теорему можно сформулировать иначе: «Из всех плоских фигур равного периметра наибольшую площадь имеет круг».

Пусть S – площадь фигуры, L – длина периметра данной фигуры. Допустим, что данная фигура и круг с радиусом r являются изопериметрическими: L = 2pr, тогда Spr2 . Подставляя вместо r его выражение через L (r = L/2p), преобразуем неравенство: 4pS/L2 ≤ 1.

Частное 4pS/L2 зависит только от формы фигуры и не зависит от его размеров. Действительно, если мы, не изменяя формы, увеличим линейные размеры фигуры в отношении ½, то периметр станет равен 2L, а площадь - 4S, но частное S/L2 , как и частное 4pS/L2 , остается неизменным. Эта закономерность справедлива при увеличении линейных размеров в любом отношении.

Плоскостная изопериметрическая теорема может быть сформулирована и в таком виде: «Из всех плоских фигур равной площади наименьший периметр имеет круг».

Аналогом, в стереометрии этой последней формулировке теоремы будет такая теорема: «Из всех тел равного объема наименьшую поверхность имеет шар».

Изопериметрическое неравенство для объемных тел будет записано в следующем виде: 36pV2 / S3 ≤ 1, где V – объем тела, S – площадь полной поверхности тела.

Заметим, что эта стереометрическая изопериметрическая теорема позволяет ответить на вопрос: «Почему заварной чайник круглой формы остывает медленнее, чем чайник такого же объема, но другой формы?»

Читателю будет небезынтересно узнать своеобразную трактовку изопериметрической теоремы, которую приводит Д. Пойа в своей книге «Математика и правдоподобные рассуждения» (М.: Наука, 1975. С. 187): «К изопериметрической теореме нас могут привести совсем примитивные рассмотрения. Мы можем научиться ей у кота. Я думаю, вы видели, что делает кот, когда в холодную ночь он приготовляется ко сну: он поджимает лапы, свертывается и таким образом делает свое тело насколько возможно шарообразным. Он делает так, очевидно, чтобы сохранить тепло, сделать минимальным выделение тепла через поверхность своего тела. Кот, не имеющий ни малейшего намерения уменьшить свой объем, пытается уменьшить свою поверхность, делая себя возможно более шарообразным. Судя по всему, он имеет некоторое знакомство с изопериметрической теоремой».

Изложенная выше стереометрическая изопериметрическая теорема позволяет по новому, совсем с других позиций изучать тему «Тела вращения».

Известная формула для вычисления комфортности жилища: K = 36pV2 / S3 , где K – изопериметрический коэффициент комфортности, V – объем жилища, S – полная поверхность жилища, включая и пол. Учащимся можно предложить подсчитать коэффициент комфортности восточносибирского чума (рис. 1), яранги континентальных эскимосов Аляски (рис. 2), жилища береговых чукчей (рис. 3), жилища аборигенов Северной Австралии (рис. 4), жилища народов кирди в Камеруне (рис. 5), нашего обычного жилища в форме прямоугольного параллелепипеда (рис. 6).

Изопериметрический коэффициент K всегда меньше единице или равен ей. Единственное тело, имеющее коэффициент, равный единице, - это шар. Не потому ли неопознанные летающие объекты шарообразны (как утверждают те, кто их видел)?

П р и м е р 2. Принцип Кавальери для плоских фигур – принцип Кавальери для пространственных фигур.

Итальянский математик Бонавертура Кавальери (1598 – 1647) в своем основном труде «Геометрия» (1635) развил новый метод определения площадей и объемов – так называемый метод неделимых. Неделимыми он называл параллельные между собой хорды плоской фигуры или параллельные плоскости тела. Б. Кавальери доказал теорему, согласно которой площади двух подобных фигур относятся, как квадраты, а объемы – как кубы соответствующих неделимых. Эта теорема вошла в математику под названием принципа Кавальери. Приведем его формулировку.



Д л я п л о с к о с т и. Если две фигуры могут быть перемещены в такое положение, что всякая прямая, параллельная какой-нибудь данной прямой и пересекающая обе фигуры, дает в сечении с ними равные отрезки, то такие фигуры равновелики.

Примером могут служить два параллелограмма (рис. 7) с равными основаниями и равными высотами.

Д л я п р о с т р а н с т в а. Если две объемные фигуры могут быть помещены в такое положение, что всякая плоскость, параллельная какой-нибудь заданной плоскости и пересекающая обе фигуры, дает в сечении с ними плоские фигуры равной площади, то такие фигуры равновелики.

Примером могут служить две пирамиды с равными основаниями и равными высотами (рис. 8).

П р и м е р 3. Докажем для тетраэдра теорему, аналогичную теореме Пифагора для прямоугольного треугольника:

«Если три грани тетраэдра – прямоугольные треугольники (рис. 9), то S12+S22 + S32= S42 , где S1, S2, S3 – площади граней, составляющих прямой угол, S4 – площадь четвертой грани, лежащей против прямого трехгранного угла”.

Доказательство. Пусть длины катетов прямоугольных треугольников соответственно равны: у ∆АВД – а и b; у ∆АДС – а и d; у ∆АСВ – b и d, тогда

S1 = SАДВ = ½ аb; S2 = SАДС = ½ ad;

S3 = SАСВ = ½ bd. (1)

Для того чтобы найти S4 , найдем гипотенузу ∆АСВ: ВС = Öb2 + d2. Высота основания, проведенная к гипотенузе ВС, равна

АМ = bd + d/Öb2 +d2 .

Высоту четвертой грани (∆ДВС) будем искать по теореме Пифагора:

ДМ = Öа2 + bd/b2 + d2 .

Тогда

S4 = ½/Öb2 +d2 * Öа2 + bd/b2 + d2 = ½/Öb2 +d2 * Ö а2 d2 + а2 b2 + b2d2 /Öb2 +d2 = ½ Ö а2 d2 2 b2 + b2d2;

S42 = ¼(а2 d2 + а2 b2 + b2d2) (2)

Согласно равенствам (1), имеем:

S12+S22 + S32 =¼ а2 d2 +¼а2 b2 b2d2 = ¼(а2 d2 + а2 b2 + b2d2).

Так как равые части последнего равенства и равенства (2) равны, то равны и левые части:

S12+S22 + S32 = S42.

На случай пространства можно сформулировать и доказать и такую обобщенную теорему Пифагора для проекций: «Квадрат длины любого отрезка равен сумме квадратов длин его проекций на любые три взаимно перпендикулярные прямые».

П р и м е р 4. Сформулируем для тетраэдра теорему, которая является аналогом такой плоскостной теоремы:

«Если угол одного треугольника равен углу другого треугольника, то площади этих треугольников относятся, как произведения сторон, заключающих равные углы».

Формулировка аналогичной теоремы для пространства:

«Если трехгранных угол одного тетраэдра равен трехгранному углу другого тетраэдра, то объемы этих тетраэдров относятся, как произведения длин ребер этих тетраэдров, выходящих из вершин этих трехгранных углов».

П р и м е р 5. В планиметрии рассматривается такая задача:

«Как изменится площадь треугольника, если его высоту увеличить на m единиц?”

Решим ее. S = ½ ah, где a – основание треугольника, а h – высота треугольника.

S1 = ½ a(h + m) = ½ ah + ½ am; S - S1 = ½ am.

С геометрической точки зрения увеличение площади данного треугольника равно площади треугольника с тем же основанием a и высотой m (рис. 10). Следовательно, площади заштрихованных частей равны между собой.

Аналог этой задачи в стереометрии:

«Дана пирамида. Как изменится ее объем, если высоту увеличить на m единиц?»

Р е ш е н и е. 1

V = 1/3 Sосн * H; V1 = 1/3 Sосн * (H + m) = 1/3 Sосн * H + = 1/3 Sосн * m.

Имеем:

V1V= 1/3 Sосн * m,

Т. е. увеличение объема равно объему пирамиды с таким же основанием и высотой, равной m единиц.

Заметим, что аналогичную задачу можно рассмотреть и для конуса.

П р и м е р 6. Рассмотрим планиметрическую задачу:

Имеются два треугольника с равными основаниями. Постройте треугольник, равновеликий объединению данных треугольников”.

Р е ш е н и е.

S = ½ ah1 + ½ ah2 = ½ a(h1 + h2),

т. е. искомый треугольник должен иметь такое же основание, что и у исходных треугольников, и его высота должна быть равна сумме высот исходных треугольников.

Этой задаче в стереометрии есть аналог:

«Две пирамиды (конуса) с равными основаниями замените одной пирамидой (конусом), равновеликой их объединению».

Р е ш е н и е.

V = 1/3 Sосн * H1 + 1/3 Sосн * H2 = 1/3 Sосн * (H1 + H2).

Таким образом, искомая пирамида (конус) должна иметь такое же основание, а ее высота должна быть равна сумме высот исходных пирамид (конусов).

П р и м е р 7. В планиметрии на случай прямоугольного треугольника решается задача:

«Пусть дан прямоугольный треугольник АВС: ÐС = 90°; СА = b, СВ = а, h - высота треугольника, проведенная из вершины С. Доказать равенство

1/h2=1/a2+1/b2».

Это равенство может быть обобщено на случай тетраэдра:

«Если в тетраэдре АВСЕ ребра ЕА, ЕВ, ЕС перпендикулярны между собой и их длины соответственно раны a, b, c и h – высота тетраэдра, проведенная из вершины Е, то имеет место равенство:

1/h2=1/a2+1/b2+1/с2».

П р и м е р 8. В планиметрии рассматривается следующая задача на доказательство:

«Даны две параллельные прямые; на одной из них произвольно взят отрезок АВ, а на другой - точка С. Докажите, что площадь треугольника АВС не зависит от выбора точки С».

Для трехмерного пространства, где аналогом треугольника выступает тетраэдр, эта задача будет формулироваться следующим образом:

Даны три параллельные прямые, не лежащие в одной плоскости. На одной из них произвольно выбран отрезок АВ, на двух прямых – точки С и Д соответственно. Докажите, что объем тетраэдра АВСД не зависит от выбора точек С и Д».

В приведенных примерах параллельно формулировался плоскостной и аналогичный ему пространственный факт. Но, как показывает практика, для развития творческого развития учащихся, для формирования у них исследовательских умений, в частности умения строить гипотезы и выдвигать предположения, значительно полезнее предлагать школьникам самостоятельно формулировать, а затем и решать для плоскостных фактов их пространственные аналоги. Причем должны быть задачи как на прямое действие – переход от плоскости к пространству, так и на обратное действие – переход от пространства к плоскости. Ниже приведены задачи такого типа.

  1. Сформулируйте на случай трехмерного пространства задачи, аналогичные нижеследующим плоскостным задачам, и затем решите их.

  1. Биссектрисы трех углов треугольника пересекаются в одной точке, являющейся центром окружности, вписанной в треугольник.

  2. Площадь круга равна площади треугольника, основание которого имеет ту же длину, что и окружность, и высота которого равна радиусу.

  3. Высота равнобедренного треугольника проходит через середину основания.

  4. На сколько частей плоскость делится тремя прямыми?

  5. Всякий выпуклый многоугольник можно разбить на треугольники.

  1. Сформулируйте для треугольника задачи, аналогичные тем, которые сформулированы ниже для тетраэдра. Решите каждую полученную пару задач.

  1. На основании АВС треугольной пирамиды ОАВС взята точка М, и через нее проведены прямые, параллельные ребрам ОА, ОВ, ОС и пересекающие боковые грани в точках А1, В1, С1.

Докажите, что

МА1/OA+MВ1/OB+MС1/OC=1.

  1. Докажите, что в трехгранном угле против плоских углов лежат равные двухгранные, а против большого плоского угла лежит больший двухгранный угол.

  2. Докажите, что существует сфера, проходящая через все вершины тетраэдра.

  3. Каждое ребро треугольной пирамиды разделено на n равных частей. Через полученные точки проведены всевозможные плоскости, параллельные граням пирамиды. На сколько частей разделяют пирамиду эти плоскости?

  4. Пусть О – вершина трехгранного угла, все плоские углы которого прямые. Луч ОМ образует с ребрами этого угла острые углы a, b, d. Докажите, что

tga + tgb + tgd ³ 2(ctga + ctgb + ctgd).

  1. Сумма любых двух плоских углов трехгранного угла больше, чем третий плоский угол. Докажите.

  2. Какой из всех тетраэдров, вписанных в данную сферу, имеет наибольший объем?

  3. Даны длины a, b, c трех ребер тетраэдра, проведенных из одной и той же вершины. Найдите максимум объема тетраэдра.

  4. Если точка перемещается в плоскости основания правильной треугольной пирамиды и остается внутри этого основания, то сумма расстояний от этой точки до боковых граней остается постоянной.

  5. Объемы двух тетраэдров, имеющих общее ребро и равные двугранные углы, при этом ребре, относятся, как произведения площадей граней, образующих этот двугранный угол.

  6. Через каждую вершину тетраэдра проведена плоскость, параллельная противоположной грани. Найти отношение объема образованного таким образом нового тетраэдра к объему данного тетраэдра.

  7. Через каждое ребро тетраэдра проведена плоскость, параллельная противоположному ребру. Найдите отношение объема образованного таким образом параллелепипеда к объему данного тетраэдра.

  8. Найдите такую точку, которая, будучи соединена с вершинами данного тетраэдра, делила бы его не четыре равных тетраэдра.

Подчеркивая важность работы, предложенной в двух последних заданиях, уместно привести высказывание Д. Пойа о том, что если учащийся не имел ни одного случая решить задачу, изобретенную им самим, то его математический опыт нельзя считать полным.

2.4. Применение аналогии при решении задач


Не менее полезно воспитывать у школьников привычку сознательно привлекать аналогию при поиске способов решения предложенной им трудной задачи. В этом случае можно рекомендовать им следующий план работы над задачей.

1. Подобрать задачу, аналогичную данной, т. е. такую, у которой имелись бы, по сравнению с данной, сходные условия и сходное заключение; вспомогательная задача должна быть проще данной или такой, решение которой известно.

2. Решить вспомогательную задачу; затем провести аналогичные рассуждения при решении данной задачи.

Например, к аналогии с планиметрическими задачами полезно обращаться при решении стереометрических задач.

При этом полезно, чтобы школьник пытался (если это возможно) самостоятельно сформулировать и решить аналогичную планиметрическую задачу. Рассмотрим, например, задачу: «На сколько частей могут разделить пространство четыре произвольно расположенные плоскости?»

Четыре плоскости определяют тетраэдр. Эта фигура напоминает нам 3 пересекающиеся прямые на плоскости.

Естественно возникает вспомогательная задача, аналогичная данной: «На сколько частей могут разделить плоскость 3 произвольные прямые?».

Решим сначала вспомогательную задачу (рис.11). В общем случае три прямые могут разделить плоскость на 7 частей, одна из них ограничена (внутренняя область треугольника), а другие, неограниченные части плоскости (таких 6) имеют с внутренней областью общую границу по стороне треугольника или по продолжению его сторон. В этом случае плоскость оказывается разделенной всего на 1+3+3=7 частей.

Теперь приступим к решению основной задачи (рис.12).

В общем случае, 4 плоскости могут разделить пространство на следующие части: одна из них ограничена – внутренняя область тетраэдра; неограниченные части пространства имеют общую границу с внутренней областью по грани тетраэдра (4 части), или по его ребру (6 частей), или по плоскостям, проходящим через его вершины (еще 4 части).

В этом случае пространство оказывается разделенным всего на 1+4+6+4=15 частей.



Чтобы школьники могли лучше усвоить этот прием решения задач, целесообразно время от времени предлагать им задачи, при решении которых метод аналогии оказывается полезным. При этом поначалу полезно предлагать учащемся не одну, а две (или более) взаимосвязанные по содержанию задачи, формулируя условие каждой из них одновременно. Например:

  1. выразите радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник, через его высоты;

  2. выразите радиус шара, вписанного в тетраэдр, через высоты этого тетраэдра.

2.5. Ошибки, связанные с применением аналогии


Наряду с полезной эвристической ролью, которую играют в процессе обучения умозаключения по аналогии, они же могут приводить отдельных учащихся, которые не усвоили или формально, неосмысленно усвоили учебный материал, к грубым ошибкам. Например:

от (a + b)c = ac + bc к (a + b)2= a2 + b2;

от ab/ac = b/c к a + b/ac = b/c и т. п.

В подобных случаях учащиеся пытаются заменить аналогией отсутствующие у них знания, тогда как аналогия должна опираться на знание изученного материала, помогать сознательному усвоению и правильному применению этих знаний, развитию самоконтроля. Необходимо требовать от учащихся постоянно обосновывать выполняемые математические операции ссылками на изученный теоретический материал, чтобы добиться сознательного и прочного усвоения его. При решении упражнений необходимо руководствоваться принципом: «сначала правило, потом действие; без правила нет действия!». Да и в процессе преподавания надо не только подчеркивать истинные аналогии, но и отмечать ложные, разрушать их с целью предупреждения возможных ошибок. Следует выяснить с учащимися, где данное правило применяется, а где и почему нельзя применять. Многие из грубых ошибок учащихся связаны с неправомерным распространением распределительного свойства на всевозможные операции.

Учителю математики полезно знать о трех типичных ошибках, которые порождены неявным применением аналогии. Такие «вредные» (ложные) аналогии часто возникают у школьников стихийно; и сами школьники и учитель не всегда отдает себе отчет в происхождении этих ошибок (а значит, и в возможностях их исправления).

Ограничимся несколькими примерами.

1.Наличие общности в свойствах сложения и умножения чисел иногда приводит к возникновению у школьников ошибочной аналогии о сходстве этих действий и в других свойствах. Так, например, при решении упражнения вида a+b/c+b по ложной аналогии с сокращением на общий множитель учащиеся «сокращают» это выражение на слагаемое: a+b/c+b=a/c.

2.Нередкая ошибка вида Öа2+b2=a+b также является результатом ложной аналогии со способом извлечения квадратного корня из произведения Öа2b2=½ab½. К тому же виду ошибок принадлежит и весьма распространенная ошибка logc(a+b)=? logca+ logcb, порожденная ложной аналогией с верным равенством logcab= logca + logcb, где a>0, b>0.

3.Очень распространена ошибка, приводимая психологом Н. А. Менчинской: «Учащийся при решении примера 96 : 16 = 10 допускает ошибку, в основе которой лежит ошибочное умозаключение по аналогии 96 : 16 = 10 (?), потому что 90 : 10 = 9 и 6 : 6 = 1; 9 + 1 = 10. В приведенном примере мы имеем перенесение в операцию деления приемов, употреблявшихся при сложении и вычитании чисел. Это ошибочное умозаключение возникло из привычного оперирования в отдельности десятками и единицами при сложении и вычитании чисел и делении их на однозначное число».

4.Замечая частые аналогии между многими понятиями и предложениями планиметрии и стереометрии, учащиеся часто переносят их в ситуации, где они оказываются ложными. Этим, пожалуй, объясняются весьма распространенные ошибочные ответы учащихся 9 – 10 классов: «Через данную на прямой точку в пространстве можно провести только один перпендикуляр к этой прямой», или «Две прямые в пространстве, перпендикулярные к одной и той же третьей прямой, всегда параллельны между собой», или «Две плоскости, перпендикулярные к одной и той же третьей плоскости, всегда параллельны между собой» и т. п.

Понятно, что учителю нужно уметь вовремя предостеречь учащихся от ложных аналогий, указывая при этом на происхождение тех или иных допускаемых ими ошибок.

Вывод по аналогии может иногда и не подтвердиться полностью, или подтвердиться лишь частично.

П р и м е р. Площадь любого треугольника выражается формулой Герона:

S=Öp(p-a)(p-b)(p-c).

Изыскивая формулы для вычисления площади четырехугольников, мы можем задаться вопросом: верна ли аналогичная формула для четырехугольника?

Исследование этого вопроса показывает, что для 4-угольников, вписанных в окружность (и только для них!), справедлива следующая формула для вычисления площади:

S=Öp(p-a)(p-b)(p-c)(p-d).


Оказалось, что здесь полная аналогия не имеет места.

Отправляясь далее от обнаруженной аналогии в формулах, можно выяснить причину этой аналогии: существует связь между треугольником (многоугольником, который всегда можно вписать в окружность) и 4 – угольником (не всяким, а только таким, который можно вписать в окружность).

Итак, существенным признаком, объединяющим треугольник и 4 – угольник (в смысле общности формулы Герона), является возможность вписать их в окружность.

Сравнение двух понятий (треугольник и 4-угольник) завершилось в этом случае неполным обобщением: лишь для части объектов, входящих во второе понятие, верна «обобщенная формула Герона».

В данном примере, хотя аналогия в целом и не подтвердилась, она послужила источником новых мыслей (например, треугольник можно рассматривать как вырожденный вписанный 4 – угольник).

Пусть вершина Д вписанного 4-х угольника АВСД приближается как угодно близко к вершине А. (рис.13). Тогда сторона АД=d в пределе становится равной нулю и обобщенная формула превращается в обычную формулу Герона:


S=hello_html_c19b076.gif

Итак, применение аналогии доставляет нам “благоприятную возможность более точно исследовать открытые свойства и доказать или опровергнуть их: в обоих случаях мы научимся чему-нибудь полезному”.



ЗАКЛЮЧЕНИЕ


Насколько важна аналогия в математике, можно судить по следующему высказыванию известного польского математика Стефана Банаха: “Математик – это тот, кто умеет находить аналогии между утверждениями; лучший математик тот, кто замечает аналогии теорий; но можно себе представить и такого, кто между аналогиями видит аналогии”.

Сравнение, как логический прием, становится тем толчком, который делает мышление активным; со сравнения понятий начинается формирование новых мыслей.

Обнаружение сходства или различия между предметами поднимает наше мышление на более высокую степень; сосуществовавшие ранее без взаимосвязи знания приобретают новое качество; рассматриваемый предмет познается при этом глубже, подробнее.

На основе сравнения понятий строятся умозаключения гипотетические, справедливость которых затем проверяется. Гипотетическими умозаключениями, в частности, являются умозаключения по аналогии.

Строя такие умозаключения, учащийся учится умению делать предположения, умению познавать неизвестное, овладевает навыками логического исследования предметов и явлений окружающей действительности.

Возникновение логической формы умозаключений по аналогии можно представить следующим образом.

В процессе подчинения себе природы, в ходе изменения окружающего мира для удовлетворения своих потребностей и овладения силами природы, человек сравнивал сходные предметы и явления и многократно замечал следующую связь между ними: если два предмета имеют некоторые одинаковые признаки, то очень часто (но не всегда!) оказывалось, что они имели и некоторые другие общие признаки.

Таким образом, умозаключения по аналогии являются умозаключениями вероятности; для того чтобы выяснить достоверность или ложность “вывода по аналогии”, необходимо дополнительно исследовать этот вывод. Этим и отличается рассматриваемый вид умозаключений от индуктивного и дедуктивного умозаключения: если первые приводят к исчерпывающему результату, аналогия лишь открывает путь исследования и не имеет доказательной силы (полная индукция).

Умозаключение по аналогии, будучи рассматриваемо в единстве с процессом доказательства его истинности, диалектично в своей сущности: здесь в теснейшем переплетении и во взаимосвязи встречаются элементы индукции и дедукции.

В умозаключении по аналогии прежде всего используется индукция, ибо переход от первого предмета ко второму (от треугольника к тетраэдру, от окружности к сфере) состоит в установлении между одними частными свойствами (простейший многоугольник, наличие трех внутренних углов, существование их равноделящих – биссектрис и др.).

В то же время умозаключение по аналогии тесно связано с дедукцией, ибо истинность вывода по аналогии устанавливается дедуктивным доказательством: то, что в любой тетраэдр можно вписать сферу и при том единственную, надо доказать согласно обычным правилам дедуктивного доказательства. Вывод, полученный прием аналогии, как бы начинается индукцией и завершается дедукцией.

При пользовании аналогией совершается сложный мыслительный процесс, в котором применяются в единстве и взаимопроникновении приемы анализа и синтеза. Так, в приведенном выше примере умозаключение по аналогии стало возможным лишь благодаря тому, что в результате сравнения треугольника и тетраэдра и анализа их свойств устанавливается наличие у них нескольких сходных свойств, которые послужили толчком к предположению о наличии некоторого нового свойства (сферы, вписанной в тетраэдр). Доказательство сформулированного предположения сводится к синтезу понятий, относящихся к тетраэдру, причем он выполняется в том же порядке, в каком выполнялся синтез соответствующих понятий, относящихся к треугольнику (центр вписанной сферы есть точка пересечения биссектральных плоскостей подобно тому, как центр вписанной окружности есть точка пересечения биссектрис).

Вывод по аналогии может иногда и не подтвердиться полностью, или подтвердиться лишь частично.

Аналогия, как правило, не является доказательным рассуждением, т. е. рассуждением, которое может служить доказательством. (“Как правило” потому, что имеется исключение, связанное с особым видом аналогии.) Однако в обучении, как, впрочем, и в науке, аналогия часто полезна тем, что она наводит нас на догадки, т. е. служит эвристическим методом. В обучении же математике не менее важно, чем учить доказывать, это учить догадываться, что именно подлежит доказательству и как найти это доказательство.


СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

  1. Балк М. Б., Балк Г. Д. Математика после уроков: пособие для учителя. – М.: Просвещение, 1971.

  2. Груденов Я. И. Совершенствование методики работы учителя математики Далингер В. А. Об аналогиях в планиметрии и стереометрии // Математика в школе. – 1995. - № 6.

  3. Колягин Ю. М., Оганесян В. А., Саннинский В. Я., Луканкин Л. Г. “Методика преподавания математики в средней школе”. Общая методика. Учеб. Пособие для студентов физ.-мат. фак. Пед. Институтов. М., “Просвещение”, 1975.

  4. Метельский Н. В. Дидактика математики : общая методика и ее проблемы. – Минск: изд. БГУ, 1982.

  5. Методика математики в средней школе”: Общая методика. Учеб. Пособие для студентов пед. ин-тов по спец. “Математика преподавания ” и “Физика” / А. Я. Блох, Е. С. Канин, Н. Г. Килина и др.; Сост. Р. С. Черкасов, А. А. Столяр. – М.:Просвещение, 1985.

  6. Столяр А. А. Педагогика математики: учебное пособие для студ. Физ. – мат. фак.- Минск, 1986.

  7. Саранцев Г. И., Лунина Л. С. Обучение методу аналогии // Математика в школе. – 1989. - №4.

  8. Эрдниев П. М. “Сравнение и обобщение при обучении математике”, пособие для учителей.М. 1960.

  9. Эрдниев О. П. Аналогия в теоремах о прямой Эйлера, окружности и сфере // Математика в школе. – 1998. - № 3.












Приложение 1

hello_html_m520ddfd1.pngПирамида


ПИРАМИДА (от греч. pyramis, род. п. pyramidos) - многогранник, основание которого многоугольник, а остальные грани — треугольники, имеющие общую вершину (рисунок). По числу углов основания различают пирамиды треугольные, четырехугольные и т. д.

Объем пирамиды

hello_html_3f56540d.gif,

где Sосн - площадь основания, H - высота.
   Площадь боковой поверхности пирамиды равна сумме площадей её боковых граней.

Площадь полной поверхности пирамиды

Sп=Sб+2Sосн,

где Sб - площадь боковой поверхности прямой пирамиды, Sосн - площадь основания.
    Площадь боковой поверхности правильной пирамиды

hello_html_1948085e.gif,

где Pосн - периметр основания правильной пирамиды, l - её апофема.



















Задачи по теме «Пирамида»

  1. В основании пирамиды лежит прямоугольный треугольник с гипотенузой, равной с, и острым углом 300. Боковые ребра пирамиды наклонены к плоскости основания под углом 450. Найти объем пирамиды.

  2. Высота пирамиды, в основании которой лежит правильный шестиугольник, равна 8 м. На расстоянии 3 м от вершины проведена плоскость, параллельная основанию. Площадь полученного сечения равна 4 м2. Найти объем пирамиды.

  3. В треугольной пирамиде, каждое из боковых ребер которой равно а, один плоский угол при вершине пирамиды прямой, а каждый из остальных равен 600. Вычислить объем пирамиды.

  4. Основанием пирамиды служит прямоугольник, площадь которого равна S. Две боковые грани перпендикулярны плоскости основания, а две другие наклонены к ней под углами 300 и 600. Найти объем пирамиды.

  5. Все ребра (в т.ч. и стороны основания) треугольной пирамиды равны. Найти отношение радиуса вписанного в пирамиду шара к ее высоте.
























Усеченная пирамида


Уhello_html_3f9b0bb8.pngСЕЧЕННАЯ ПИРАМИДА - геометрическое тело, отсеченное от пирамиды плоскостью, параллельной основанию.


Объем усеченной пирамиды

hello_html_m63e71e8a.gif,

где S1 , S2 - площади оснований усеченной пирамиды, H - её высота.


   Площадь боковой поверхности усеченной пирамиды равна сумме площадей ее боковых граней.


   Площадь полной поверхности усеченной пирамиды

Sп=Sб+S1+S2 ,

где Sб - площадь боковой поверхности пирамиды, S1 , S2 - площади оснований.


   Площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды

hello_html_59a795e9.gif,

где P1 , P2 - периметры оснований, а l - ее апофема.




















Задачи по теме «Усеченная пирамида»

  1. Боковые ребра правильной усеченной треугольной пирамиды наклонены к плоскости основания под углом 600. Стороны нижнего и верхнего оснований равны соответственного а и b (a>b). Найти объем усеченной пирамиды.

  2. В треугольной усеченной пирамиде высота равна 10 м, стороны одного основания 27, 29 и 25 м, а периметр другого основания равен 72 м. Определить объем усеченной пирамиды.

  3. Стороны оснований правильной четырехугольной учеченной пирамиды равны 2 и 1 см, а высота 3 см. Через точку пересечения диагоналей пирамиды проведена плоскость, делящая пирамиду на 2 части. Найти объем каждой из полученных частей.

  4. Высота правильной усеченной пирамиды равна 3 см, объем ее 38 см2, а площади оснований относятся как 4:9. Определить доковую поверхность усеченной пирамиды.

  5. Площади оснований усеченной пирамиды равны S1 и S2 (S1<S2), а ее объем равен V. Определить объем полной пирамиды.












ПРЛОЖЕНИЕ 2

Цhello_html_m7f471735.pngилиндр

ЦИЛИНДР (от греч. kylindros) в элементарной геометрии - геометрическое тело, образованное вращением прямоугольника около одной стороны. Боковая поверхность цилиндра есть часть цилиндрической поверхности.


Объем цилиндра

V=π R 2H ,

где R - радиус основания цилиндра, а H - его высота.


   Площадь боковой поверхности цилиндра

Sб=2 π R H ,

где R - радиус основания цилиндра, а H - его высота.


   Площадь полной поверхности цилиндра

Sп=2 π R H + 2 π R2,

где R - радиус основания цилиндра, а H - его высота.















Задачи по теме «Цилиндр»

  1. Цилиндр образован вращением прямоугольника вокруг одной из его сторон. Выразить объем V цилиндра через площадь S этого прямоугольника и длину С окружности, описанной точкой пересечения его диагоналей.

  2. В цилиндре площадь сечения, перпендикулярного образующей, равна М, а площадь осевого сечения равна N. Определить поверхность и объем цилиндра.

  3. Прямой круговой цилиндр пересечен плоскостью так, что в сечении получился квадрат. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, если известно, что радиус основания равен 10 см, а расстояние от сечения до оси цилиндра 6 см.

  4. В цилиндрический сосуд, радиус основания которого R=4 см, помещен шар радиуса r=3 см. В сосуд наливается вода так, что ее свободная поверхность касается поверхности шара (шар при этом не всплывает). Определить толщину того слоя воды, который получится, если вынуть шар из сосуда.

  5. В цилиндр, уложенный в горизонтальное положение, налита жидкость. Найти объем жидкости, если длина цилиндра равна l, радиус основания равен R и уровень жидкости (её высота) равен m.


















ПРИЛОЖЕНИЕ 3

Конус

Кhello_html_407e2bbd.pngОНУС (лат. conus, от греч. konos) (в элементарной геометрии) - геометрическое тело, образованное вращением прямоугольного треугольника около одного из его катетов (рис.). Боковая поверхность конуса есть часть конической поверхности.


Объем конуса

hello_html_m42eef22b.gif

где R - радиус основания конуса, а H - его высота.


   Площадь боковой поверхности конуса.

Sб=2π R L ,

где R - радиус основания конуса, а L - его образующая.


   Площадь полной поверхности конуса

Sп=2πR (R+L),

где R - радиус основания конуса, а L - его образующая.





















Задачи по теме «Конус»

  1. Высота конуса равна диаметру его основания. Найти отношение площади его основания к боковой поверхности.

  2. Выразить объем конуса через его боковую поверхность S и расстояние r от центра до образующей.

  3. Доказать, что если два равных конуса имеют общую высоту и параллельные основания, то объем их общей части составляет ¼ объема каждого из них.

  4. Угол между образующей конуса и плоскостью основания равен 300. Боковая поверхность равна hello_html_m3469db79.gif кв.ед. Определить объем правильной шестиугольной пирамиды, вписанной в конус.

  5. В конус, осевое сечение которого – правильной треугольник, вписан шар, затем вписан второй шар, касающийся первого шара и боковой поверхности конуса, и т.д.(n-й шар касается (n-1)-го шара и боковой поверхности конуса. Найти отношение предела суммы объемов шара при hello_html_m259b9116.gif к объему конуса.



























ПРИЛОЖЕНИЕ 4

Сфера и шар



Сhello_html_7b27c6c8.pngФЕРА - замкнутая поверхность, все точки которой одинаково удалены от одной точки (центра сферы). Отрезок, соединяющий центр сферы с какой-либо ее точкой (а также его длина), называется радиусом сферы.

ШАР - геометрическое тело, получающееся при вращении круга вокруг своего диаметра. Шар ограничен сферой; центр этой сферы называется центром шара, а ее радиус — радиусом шара.


Объем шара

V = 4/3π R3,


где R - радиус шара.


   Площадь сферы (площадь поверхности шара)

S=4π R2,

где R - радиус сферы.

   Объем шарового сегмента

hello_html_2ff74055.gif

где H - высота шарового сегмента, R - радиус шара.


Площадь боковой поверхности шарового сегмента

hello_html_72296f7c.gif


   Объем шарового сектора

hello_html_m2b8a977d.gif

где H - высота соответствующего шарового сектора, R - радиус шара.







Задачи по теме «Сфера и шар»

  1. Определить поверхность шара, описанного около конуса, у которого радиус основания равен R, а высота равна h.

  2. Около правильной треугольной призмы, высота которой вдвое больше стороны основания, описан шар. Как относится его объем к объему призмы?

  3. Найти отношение поверхности и объема шара соответственно к поверхности и объему вписанного куба.

  4. Вычислить поверхность шара, вписанного в треугольную пирамиду, все ребра которой равны а.

  5. Около шара описана правильная треугольная призма, а около нее описан шар. Найти отношение поверхностей этих шаров.
































ПРИЛОЖЕНИЕ 5

Усеченный конус

hello_html_m4d1082e.png

УСЕЧЕННЫЙ КОНУС - геометрическое тело, отсеченное от конуса плоскостью, параллельной основанию.


Объем усеченного конуса

hello_html_1de6c10e.gif

где R, r - радиусы оснований усеченного конуса, Н - его высота.


   Площадь боковой поверхности усеченного конуса

Sб=π L (R+r),

где R, r - радиусы оснований усеченного конуса, L - его образующая.


   Площадь полной поверхности усеченного конуса

SпL (R+r)+ π R2+ π r2,

где R, r - радиусы оснований усеченного конуса, L - его образующая.

























Задачи по теме «Усеченный конус»

  1. Высота конуса разделена на три равных отрезка, и через точки деления параллельно основанию проведены плоскости, разбивающие конус на три части. Найти объем среднего усеченного конуса, если объем данного конуса равен V.

  2. Радиусы оснований усеченного конуса R и r, образующая наклонена к плоскости основания под углом 450. Найти объем.

  3. Высота усеченного конуса равна hello_html_m40ff39aa.gifсм. Диагональ осевого сечения конуса образует с плоскостью основания угол 300 и перпендикулярна образующей. Найти: площадь осевого сечения, объём усеченного конуса и площадь полной поверхности.

  4. В усеченном конусе АВ и СD – взаимно перпендикулярные диаметры нижнего основания; EF – диаметр верхнего основания, параллельный прямой CD. Найти косинус острого угла между прямыми АЕ и ВF, если образующая конуса есть среднее пропорциональное между диаметрами оснований и составляет с плоскостью основания угол α (hello_html_5d5c57dd.gif).

  5. Образующая усеченного конуса составляет с плоскостью основания угол α. Внутри конуса расположены два шара, касающиеся друг друга и боковой поверхности конуса, причем первый шар касается нижнего основания, а второй – верхнего основания. Расстояние между центрами шаров равно l. Найти радиусы оснований конуса.



Самые низкие цены на курсы профессиональной переподготовки и повышения квалификации!

Предлагаем учителям воспользоваться 50% скидкой при обучении по программам профессиональной переподготовки.

После окончания обучения выдаётся диплом о профессиональной переподготовке установленного образца (признаётся при прохождении аттестации по всей России).

Обучение проходит заочно прямо на сайте проекта "Инфоурок".

Начало обучения ближайших групп: 18 января и 25 января. Оплата возможна в беспроцентную рассрочку (20% в начале обучения и 80% в конце обучения)!

Подайте заявку на интересующий Вас курс сейчас: https://infourok.ru/kursy

Автор
Дата добавления 08.01.2016
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров237
Номер материала ДВ-315407
Получить свидетельство о публикации

УЖЕ ЧЕРЕЗ 10 МИНУТ ВЫ МОЖЕТЕ ПОЛУЧИТЬ ДИПЛОМ

от проекта "Инфоурок" с указанием данных образовательной лицензии, что важно при прохождении аттестации.

Если Вы учитель или воспитатель, то можете прямо сейчас получить документ, подтверждающий Ваши профессиональные компетенции. Выдаваемые дипломы и сертификаты помогут Вам наполнить собственное портфолио и успешно пройти аттестацию.

Список всех тестов можно посмотреть тут - https://infourok.ru/tests

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх