Доклад на тему "Занимательная форма исследовательских заданий по математике".

Ориентация современного общества на гуманистическое отношение к ученику предполагает создание в образовательном процессе условий для развития потенциала школьника, для введения его в пространство культуры.

Становление вычислительной культуры (как вида математической культуры) мы считаем основной целью изучения вычислительного аспекта курса математики [2].

Под вычислительной культурой мы понимаем учебную деятельность, направленную на развитие личности школьника в процессе осмысленного овладения вычислительным содержанием обучения (математическими знаниями и умениями предметного и общекультурного характера). Включение младших школьников в вычислительную деятельность способствует их становлению как субъектов, позволяет развивать мышление, учебно-познавательные мотивы, опыт творческой (в том числе исследовательской) деятельности, а также приобретать осознанные действенные знания и умения. Учебную исследовательскую деятельность мы считаем одним из необходимых условий приобщения школьников к математической, в том числе вычислительной, культуре [3].

Учебная исследовательская деятельность – это специально организованная учебная деятельность под руководством педагога, направленная на исследование различных объектов с соблюдением процедур и этапов, близких научному исследованию, но адаптированных к уровню познавательных возможностей школьников. Анализируя исследовательскую деятельность ученого и ученика, мы выделили их сходство и отличие [3].

Общим в исследовательской деятельности ученика и ученого мы считаем:

v  характер цели — открытие нового;

v  структуру, т.е. циклическую последовательность следующих этапов:

 1) анализ информации;

 2) постановка проблемы;

 3) выдвижение гипотезы;

 4) проверка гипотезы (эксперимент, теоретическое обоснование);

 5) формулировка выводов;

 6) обобщение и применение новых знаний;

v методы исследования: наблюдение, эксперимент, сравнение, аналогия, моделирование, индукция, дедукция и др.;

v  наличие эвристического и логического компонентов.

Отличия исследовательской деятельности ученого и ученика мы видим:

v  в результатах исследовательской деятельности:

а) если открытия ученых объективны, то большинство открытий учащихся субъективны;

б) главным результатом исследовательской деятельности ученого является создание нового научного продукта (т.е. вклад в культуру общества) для школьника — его развитие за счет приобретения опыта исследовательской деятельности и усвоения знаний о ней, а также открытие новых предметных знаний, которые характеризуются осмысленностью,  действенностью, личностной значимостью;

v  в уровне самостоятельности выполнения: если ученый работает самостоятельно, то ученик – с помощью учителя (в разной степени);

v  в уровне строгости обоснований: если ученый использует строгие (в логическом и содержательном плане) обоснования, то младший школьник — практические действия с моделями исследуемых объектов, перебор вариантов (неполную математическую индукцию), опору на элементы изученных теоретических знаний.

Исследовательские задачи (решение которых предполагает выполнение нескольких этапов исследования) являются основной формой организации исследовательской деятельности учащихся. Их решение лежит в зоне ближайшего развития младших школьников. Рассмотрим два способа, как можно сделать сложную для младших школьников исследовательскую деятельность более доступной и привлекательной. Первый способ состоит в предъявлении некоторых исследовательских задач в игровой форме, второй – в использовании старинных задач и исторических сведений. Оба способа могут использоваться одновременно.

Исследовательские задания в игровой форме

Известно, что у младших школьников учебная деятельность не сразу становится ведущей, ещё долгое время игра имеет большое значение в их жизни.

Игры на уроках математики в I–IV классах используют в основном для формирования вычислительных навыков, их автоматизации. Примером могут служить игры – эстафеты и многочисленные игры вида «Забей мяч в ворота», «Собери букет», «Лучший рыбак» и т.п. Они полезны тем, что делают более привлекательной рутинную работу по выработке автоматизма и правильности вычислительных навыков. В этом случае занимательность носит внешний характер по отношению к содержанию вычислительной деятельности. Учащихся увлекает фабула, никак не связанная с процессом вычислений.

Другая ситуация складывается, если игровые задания носят исследовательский характер, тогда в процессе игры у младших школьников возникает необходимость сосредоточиться на сути выполняемых вычислительных действий, исследовать их механизм. Игровые и занимательные задания исследовательского характера способствуют развитию таких качеств вычислительных умений, как осознанность, рациональность, действенность, правильность.

К числу таких заданий могут быть отнесены:

• фокусы с разгадыванием задуманных чисел, со скоростным сложением трех или пяти многозначных чисел, со скоростным умножением или делением некоторых чисел;
• задания с занимательными рамками и магическими квадратами;
• софизмы (например, доказательство того, что 2 • 2 = 5);
• игры типа «Кто первым получит 50» и т.п.

Такие игры и фокусы можно найти в книгах [4, 5 и др.]. Их исследовательский характер относится к разгадыванию способа выполнения фокуса или к выработке выигрышной стратегии игры. Фокусы с разгадыванием задуманных чисел могут быть разного уровня сложности, который в основном определяется числами, набором и количеством выполняемых над ними действий. Простейшие фокусы включают 2-3 действия сложения и вычитания над числами в пределах 10, затем 20. Достаточно сложные фокусы предполагают действия с многозначными числами, например, одновременное сложение большого количества чисел или последовательное выполнение 5-6 разнородных действий. В одном фокусе может быть разгадано сразу несколько чисел, например, чей-то день, месяц и год рождения. Приведем примеры фокусов разного уровня сложности.

Фокус 1. Задумайте число, прибавьте к нему 14, к результату прибавьте 6, вычтите задуманное число. У вас получилось 20.

Формула для разгадывания фокуса:

а + 14 + 6 – а = 20. Её можно проиллюстрировать на схематическом чертеже. Для обоснования можно воспользоваться доступными ученикам знаниями — сочетательным свойством сложения: а + 14 + 6 =

= а + (14 + 6) = а + 20; а также взаимосвязью суммы и слагаемых: а + 20 – а = 20 (из суммы а + 20 вычли слагаемое а, получили другое слагаемое 20).

Фокус 2 (старинный фокус из главы «Об утешных неких действиях, через арифметику употребляемых» учебника «Арифметика» Л.Ф. Магницкого) [4] состоит в угадывании, у кого из восьми человек (n₁), на каком пальце (n₂), на каком суставе (n₃) находится перстень. Загадывающий умножает на 2 номер человека, прибавляет 5, умножает результат на 5, прибавляет номер пальца, умножает результат на 10, прибавляет номер сустава и сообщает полученное число тому, кто отгадывает. Пусть перстень находится у четвертого человека (n₁ = 4), надет на пятый палец (n₂ = 5), на второй сустав         (n₃ = 5). Выполнив вычисления, приведённые в таблице, можно отгадать, у кого находится перстень.

n1 • 2	+ 5	• 5	+ n2	• 10	+ n3
4 • 2 = 8	8 + 5 = 13	13 • 5 = 65	65 + 5 = 70	70 • 10 = 700	700 + 2

Если из результата (у нас число 702) вычесть 250, то в ответе (452) первая цифра обозначает номер человека, вторая – номер пальца, третья – номер сустава.

Формула для разгадывания в общем случае выглядит так:

((n₁ • 2 + 5) • 5 + n₂) • 10 + n₃ = n₁ • 100 + n₂ • 10 + n₃ + 250, в нашем случае: ((4 • 2 + 5) • 5 + 5) • 10 + 2 = 400 + 50 + 2 + 250.

Разгадывание этого фокуса, описанного Л. Ф. Магницким более трёхсот лет назад (1703), вызывает у младших школьников интерес и своим содержанием, и происхождением.

Фокус 3 (фокус с числом Шехерезады).

Участвуют пять человек. Первый участник задумывает трехзначное число и записывает его на бумаге. Второй приписывает к нему то же самое трехзначное число. Третий делит шестизначное число на 7. Четвертый делит то, что получилось, на 11. Пятый делит то, что получилось, на 13 и передает ведущему. Ведущий отдаёт результат первому участнику, который видит задуманное им трёхзначное число. (Последовательность деления шестизначного числа на 7, 11, 13 может быть произвольной.)  Пусть задумано число 583; после приписывания его же получаем 583 583. Выполняем деление:       583 583 : 7 = 83 369, 83 369 : 11 = 7 579, 7 579 : 13 = 583 – задуманное число.

Разгадка фокуса основана на: а) том, что для нахождения результата умножения трехзначного числа на 1 001 (число Шехерезады) достаточно это трёхзначное число записать дважды, например: 462 • 1 001= 462 462;  б) том, что произведение чисел 7, 11, 13 равно 1 001;  в) свойстве деления числа на произведение: abc abc : 7 : 11 : 13 = abc abc : (7 • 11 • 13) = abc.

Участие в фокусе не обеспечивает исследовательской деятельности школьника, он решает исследовательскую задачу только при разгадывании его сути. После чего он сам может показать фокус другим. Эта перспектива стимулирует его активную познавательную деятельность. Однако, прежде чем приступить к разгадыванию фокуса, целесообразно несколько раз проверить его с разными числами. В этом случае ученики закрепляют свои вычислительные умения, не испытывая усталости (как при решении обычного столбика примеров), поскольку они заинтересованы в результате.

Исследовательский характер некоторых игр тоже кроется не в процессе игры (играть можно, просто выполняя вычисления в соответствии с правилами), а в поиске способа выигрыша. Например, в игре «Кто первый получит 50?» участвуют два человека. Первый может назвать любое целое число от 1 до 5. Второй прибавляет к нему свое число в тех же пределах и т.д. (каждый игрок прибавляет свое число к предыдущей сумме). Выиграет тот, кто первым получит сумму 50. Для того чтобы победить, надо решить исследовательскую задачу по выработке стратегии игры. Надо подумать, какое число должен назвать победитель в свой предпоследний ход. Если он назовет 45 (46, 47, 48, 49), то его противник прибавит 5 (4, 3, 2, 1) и выиграет. Если он назовет меньше, например 43 (или 42), то противник может прибавить 1, тогда получится 44 (43), т.е. до 50 будет не хватать 6 (7). Эту разницу за один ход не преодолеть, так как нельзя прибавить больше 5. Значит, победа будет отдана противнику. Тот, кто в свой предпоследний ход назовет результат на 5 + 1 меньше, чем 50, т.е. число 44, тот и выиграет. Какое бы число от 1 до 5 ни назвал затем второй игрок, первый может дополнить его число до 6 и получить 50. Рассуждая так же и вычитая из числа 44 по 6, получим ключевые суммы 38, 32, 26, 20, 14, 8. Их получение обеспечит победу первому игроку, если он начал игру с числа 2.

Эту игру можно варьировать, изменяя «шаг» (число, которое прибавляют за один ход) и конечную сумму. Подчеркнем, что ее исследовательский характер проявляется в процессе разработки стратегии выигрыша.

Особый интерес представляют игры, исследовательская суть которых проявляется во время их проведения. Например, суть игры с номерами билетов состоит в том, что из цифр билета для проезда на транспорте надо получить число 100, используя арифметические действия и скобки. Любые две (и даже три) соседние цифры при желании можно рассматривать как одно число. Если с одним номером играет несколько человек, то выигрывает тот, кто находит больше вариантов (время можно ограничить). Так, имея билет с номером 114455, можно составить несколько выражений со значением 100:

1) 1 : 1 + 44 + 55 = 100;

2) 1 + 1 • 44 + 55 = 100;

3) 114 – (4 + 5 + 5) = 100;

4) (1 + 1 + 4 + 4) • (5 + 5) = 10 • 10 = 100;

5) (11 – 4 : 4) • (5 + 5) = 10 • 10 = 100;

6) (1 – 1) • 4 + 4 • 5 • 5 = 4 • 5 • 5 = 100.

Подбор вариантов может происходить по-разному. Сначала целесообразно предоставить учащимся возможность осуществить поиск самостоятельно, хаотично. Потом его можно частично упорядочить, взяв за основу определенное арифметическое действие (чаще сложение или умножение, реже вычитание). При этом в записи имеющихся шести цифр можно увидеть ключевое, как правило двузначное, число, к которому подбирают остальные слагаемые или множители (комбинация остальных цифр должна дополнить имеющееся число до 100). Например, в вариантах 1 и 2 основу суммы составляют сразу два числа — 44 и 55. Варианты отличаются тем, что в первом случае из двух оставшихся единиц получили 1 (это можно было сделать умножением или делением), а во втором — одну из единиц использовали в качестве нейтрального элемента в произведении. В основе варианта 3 лежит вычитание из числа 114 «лишних» 14 единиц. Остальные варианты получены на основе умножения: 100 = 10 • 10 (варианты 4, 5), 100 = 4 • 5 • 5 (вариант 6). В варианте 6 первые три цифры оказались лишними, их можно убрать за счет умножения или деления нуля, полученного вычитанием одинаковых чисел. На множестве целых чисел могут быть еще другие варианты, например:

(– 1 • 1 + 4 • 4 + 5) • 5 = 20 • 5 = 100;

(– 1 – 1 + 4) • (45 + 5) = 2 • 50 = 100.

Постепенно поиск усложняется тем, что слагаемые получают умножением и делением как однозначных, так и двузначных чисел. В данной игре развиваются такие качества творческого мышления, как вариативность (способность находить несколько способов решения теоретических и практических задач при отсутствии специальных указаний на это и выбирать из них оптимальный); гибкость (способность легко переходить от явлений одного класса к явлениям другого класса, часто далеким по содержанию); оригинальность (способность выдвигать новые, неожиданные идеи, отличающиеся от широко известных, общепринятых).

Эта игра также развивает общие умственные действия (анализ, сравнение, обобщение), умение устанавливать причинно – следственные связи. Кроме того, она способствует более глубокому проникновению в процесс вычислений, формированию «чувства числа», усвоению правила порядка выполнения действий, формированию вычислительных умений.

Известно, что для развития личности важно, чтобы в основе ее творческой деятельности лежали мотивы, непосредственно связанные с содержанием деятельности. Во время описанной выше игры есть возможность увлечь младших школьников процессом поиска разных вариантов. Играть с номером билета можно одному, с друзьями или родителями в транспорте, в школе, дома. Многолетний опыт использования этой игры показывает, что ребенка (и взрослого) увлекает сам процесс, радует каждый найденный вариант вычисления. Положительные эмоции от интеллектуальной работы – важный фактор приобщения к культуре.

Для того чтобы подготовить детей к игре, можно использовать знакомое задание: «Расставьте скобки так, чтобы равенства стали верными»:

120 – 90 : 15 • 2 + 1 = 5;

120 – 90 : 15 • 2 + 1 = 118;

120 – 90 : 15 • 2 + 1 = 112;

120 – 90 : 15 • 2 + 1 = 107;

120 – 90 : 15 • 2 + 1 = 2;

120 – 90 : 15 • 2 + 1 = 6;

120 – 90 : 15 • 2 + 1 = 229.

Это упражнение проще описанной выше игры тем, что в нем уже зафиксированы числа и арифметические действия.

Занимательные здания исследовательского характера развивают учащихся в перечисленных выше направлениях, а также способствуют более осмысленному выполнению арифметических действий, их обоснованию изученными теоретическими знаниями.

Исследовательские задания на основе старинных задач

В качестве примера приведем две старинные задачи и покажем возможность организации деятельности детей на каждом этапе исследования.

Задача 1. «Журавли обыкновенно летают так, что образуют правильный треугольник: впереди один журавль (вожак), за ним 2, потом 3 журавля и т.д. Сколько летело в стае журавлей, если в последнем ряду можно было их насчитать 15 штук?» [1, 38]. Схематический рисунок ситуации представлен на рис. 1.

     Рис. 1

На этапе анализа информации после составления интересующей нас суммы 1 + 2 + 3 + ... + 15 можно рассказать ученикам про великого немецкого математика Карла Фридриха Гаусса (1777–1855), которого называли «королем математики». Он нашел способ решения таких примеров в возрасте девяти лет. Ученикам класса, в котором учился Гаусс, был задан такой же пример: 1 + 2 + 3 + ...+ 99 + 100 = □. Пока все дети последовательно выполняли сложение, Гаусс быстро написал ответ.

Для того чтобы учащиеся могли догадаться, как это легче сделать, можно сначала взять 10 слагаемых или меньше, например, 8 или 6.

На этапе постановки проблемы обращаем внимание, что складывать все числа подряд долго и неудобно. Надо найти более легкий способ сложения. В ходе его поиска можно использовать меньшее количество слагаемых, изобразив их кругами или квадратами.

На этапе выдвижения гипотезы можно провести дополнительный анализ каждой суммы, используя предметные или графические модели. Предметная модель суммы чисел от 1 до 8 предложена в книге Н. Н. Аменицкого и И.А. Сахарова [1]. Авторы предлагают сначала сделать 8 карточек с кругами от 1 до 8, потом еще 8 карточек с кругами от 8 до 1 и разложить их в 2 ряда (рис. 2).

О    О      О  О    О      О  О    О

О     О О О О О     О

О     О О     О О     О

О     О     О О     О

О О     О О

О     О О

О О

О

О

О О

О     О О

О О     О О

О     О     О О     О

О     О О     О О     О

О     О О О О О     О

О    О      О  О    О      О  О    О

Рис. 2

Два ряда состоят из 8 столбиков, в каждом столбике по 9 кругов. Всего 9 • 8 = 72 (круга) или (8 + 1) • 8 = 72 (круга), а в одном ряду содержится половина кругов: 72 : 2 = 36.

Можно дать задание: «Рассмотри записи и объясни, как можно рассуждать при вычислении суммы 1 + 2 + 3 + … + 7 + 8»

               8 слагаемых                                                                                                                 Рис. 3

Это удвоенная сумма чисел от 1 до 8, поэтому ее надо разделить на 2. Получилось равенство

1 + 2 + 3 + ... + 8 = (8 • 9) : 2

                                                                             8 слагаемых

В этом равенстве сумма первых 8 чисел равна половине произведения количества слагаемых (или последнего слагаемого) на следующее число (т.е. на 1 больше последнего слагаемого).

На этапе проверки гипотезы можно изобразить аналогичную сумму 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 (с другим количеством слагаемых) в виде числовой лесенки (см. рис. 4, а) и предложить ученикам объяснить, как из двух лесенок (рис. 4, б) получили прямоугольник на рис. 4, в.

                      а                                                        б                                                           в         

                                                                                                                   Рис. 4 

Затем учащиеся находят общее количество клеток в прямоугольнике и в одной лесенке и объясняют по рисункам следующие выражения и равенства:

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6;

(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) • 2;

6 • (6 + 1);

(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) • 2 = 6 • (6 + 1);

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 6 • (6 + 1) : 2.

После этого выполняются вычисления, необходимые для решения исходной задачи:                    1 + 2 + 3 + … + 15 = (15 • 16) : 2 = 120 (журавлей).

На этапе формулирования выводов можно перенести подмеченную закономерность на любое количество последовательных слагаемых от 1 до n, а потом решить задачу Гаусса.

Найдём сумму чисел от 1 до n: 1 + 2 + 3 + ... + n, где n – какое-то натуральное число. Что тогда означает n + 1? Это следующее за n число. Запишем равенство (формулу) для нахождения суммы чисел от 1 до n:

1 + 2 + 3 + ... + n = n • (n + 1) : 2

 

Сумма всех чисел от 1 до n

Количество слагаемых

Число, на 1 большее, чем количество слагаемых

Если использовать эту формулу, то сумма всех чисел от 1 до 100 равна:                                          S = 1 + 2 + 3 + 4 +… + 99 + 100 = 100 • 101 : 2 = 5 050.

При решении данной задачи использовано графическое моделирование ситуации, что позволяет ученикам наглядно представить ее, лучше понять и решить поставленную перед ними проблему.

На этапе применения выводов можно уточнить реальность ситуации, рассмотренной в старинной задаче. На самом деле, журавли летают не треугольником, а клином. На рис. 1, моделирующем ситуацию, надо убрать все серые круги, изображающие птиц внутри клина. Ученики должны догадаться, как надо применить полученные знания для вычисления количества птиц в клине:                   (1 + 2 + ... + 15) – (1 + 2 + ... + 13) = 120 – 13 • 14 : 2 + 120 – 91 = 29 (птиц).

Кроме того, на данном этапе можно решить задачу 2.

Задача 2. «В крупных городах дома теперь различаются не по фамилиям их владельцев, а по номерам. Причем номера домов, находящихся на левой стороне, все нечетные (т.е. первый, третий, пятый и т.д.), а

номера домов на правой стороне — четные (второй, четвертый и т.д.). Не скажете ли вы, какова будет сумма номеров домов по левой стороне и сумма номеров домов по правой стороне улицы, если всего домов на улице 100? (Номера домов начинаются с первого.)» [1, 39].

Кратко охарактеризуем ход исследования.

Можно составить суммы, прикинуть, сколько чисел в каждой.

Сумма номеров домов на левой стороне: S₁ = 1 + 3 + 5 + … + 97 + 99.

Сумма номеров домов на правой стороне: S₂ = 2 + 4 + 6 + … + 98 + 100.

В каждой сумме по 50 чисел. Все числа от 1 до 100 составляют 50 пар, включающих нечетное число и следующее четное (1 и 2, 3 и 4, ..., 99 и 100).

Складывать числа в каждой сумме подряд долго и неудобно. Для каждой суммы надо найти более легкий способ сложения.

Анализ каждой суммы позволяет заметить, что суммы двух чисел, равноудаленных от концов записи, равны между собой.

 

S₁ = 1 + 3 + 5 + ... + 95 + 97 + 99;

 

                                 100

 

S₂ = 2 + 4 + 6 + ... + 96 + 98 + 100.

 

                                              102

Каждое слагаемое в S₂ на 1 больше соответствующего слагаемого в S₁. Учитывая, что в каждой сумме по 50 чисел, то разность S₂ – S₁ = 1 • 50 = 50. Это можно использовать для проверки, как и то, что сложение всех нечетных номеров S₁ и всех четных номеров S₂ даст общую сумму всех чисел от 1 до 100: S = 1 + 2 + +3 + … + 98 + 99 + 100, S₁ + S₂ = S.

В S₁ входит 50 чисел или 25 пар, каждая из которых равна 100. Значит: S₁ = 1 + 3 + 5 + … + 95 + 97 + 99 = 100 • 25 = 2 500.

В S₂ входит 50 чисел или 25 пар, каждая из которых равна 102. Значит:

S₂ = 2 + 4 + 6 + … + 96 + 98 + 100 = 102 • 25 = 2 500 + 50 = 2 550.

S₂ – S₁ = 2 550 – 2 500 = 50 – результат совпадает с предположением.

S₁ + S₂ = 2 500 + 2 550 = 5 050 – для проверки можно воспользоваться закономерностью, подмеченной при решении предыдущей задачи:

S = 1 + 2 + 3 + ... + 98 + 99 + 100 = 101Х50 = 5050

 

                                                                                      101

Учитель может воспользоваться и тем, что все рассматриваемые суммы состоят из членов арифметической прогрессии, а формула суммы n первых членов арифметической прогрессии:

 S = (a₁ + a_n) • n : 2.

Группировать слагаемые, равноудаленные от концов суммы, удобно при сложении последовательных чисел (или всех, или только четных, или только нечетных), независимо от их количества. Группировка слагаемых основана на переместительном и сочетательном законах сложения.

В заключение отметим, что занимательная форма исследовательских заданий побуждает младших школьников к исследованию достаточно сложных вопросов вычислительной стороны курса, делает новые знания личностно значимыми, развивает учебно-познавательные мотивы учащихся, вырабатывает у них творческий подход к жизни. Все это вносит вклад в становление вычислительной культуры учеников, приучает их вдумчиво относиться к выполняемой вычислительной деятельности.

ИСПОЛЬЗОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА

1. Аменицкий Н.Н., Сахаров И.А. Забавная арифметика. С приложением отдела «свободного рисования»: Хрестоматия для развития сообразительности и самодеятельности детей в семье и в школе. – М., 1999.

2. Ивашова О.А. Вычислительный аспект начального курса математики // Система дошкольного и начального образования: пути развития / Под ред. Г.И. Вергелес. – СПб., 2005.

3. Ивашова О.А. Роль исследовательской деятельности младших школьников в овладении математической культурой // Сб. науч. тр. по непрерывному образованию. Вып. 4. Метаметодика: продуктивный диалог предметных методик обучения. – СПб., 2003.

4. Кордемский Б.А. Математическая смекалка. – М., 1955.

5. Перельман И.Я. Занимательная арифметика. – М., 1994.