Доклад по теме:" Технология работы учителя на уроке математики в инклюзивном классе»

ОКРУЖНАЯ НАУЧНАЯ КОНФЕРЕНЦИЯ ПЕДАГОГОВ

СЕКЦИЯ №5

 “ Специальное образование в Самарской области: от интеграции к инклюзии ”

Доклад по теме:

«Технология работы учителя на уроке математики в инклюзивном  классе»  

(из опыта работы)

Автор: Мазитова Руслана Рамильевна

Учитель ГБОУ СОШ с.Озерки

 муниципального района Челно-Вершинский

Самарской области

Сергиевск, 2017

ОКРУЖНАЯ НАУЧНАЯ КОНФЕРЕНЦИЯ УЧАЩИХСЯ

СЕКЦИЯ “Литература”

(без указания секции работы не будут приниматься)

Культура публичной речи

Автор: Ильин Илья

учащийся 10 класса

ГБОУ СОШ №1 «ОЦ» с. Сергиевск, Сергиевский район,

(наименование образовательного учреждения)

Научный руководитель: Ф. И. О.

степень, звание, должность

Консультанты: Ф. И. О.

(если есть) степень, звание, должность

Сергиевск, 2015

Решение логарифмических неравенств методом рационализации

Автор: ученица 11а класса

МБОУ «СОШ №3» Ильина Марина

Научный руководитель: учитель математики

МБОУ «СОШ №3»

Стрелкова Ольга Алексеевна

Вязники

2012г.

Содержание

Введение …………………………………………………………………….2

 1. Теоретическое обоснование метода…………………………………….3

 2. Примеры решения неравенств методом рационализации…………….6

 3. Задания для самостоятельного решения……………………………….10

 Заключение…………………………………………………………………11

Список использованной литературы……………………………………...12

Введение

     Решение неравенств  - важный раздел в математике. Успешное изучение математики невозможно без умения решать разнообразные неравенства, поэтому я решила взять в качестве темы научно-исследовательской работы один из способов решения неравенств – метод рационализации. В школьной программе он не изучается, но его применение значительно облегчает решение заданий ЕГЭ части С3, в частности логарифмических неравенств.

Цель исследовательской работы:

Изучение теоретического обоснования метода рационализации.

Задачи:

1.     Изучить теоремы, которые позволяют заменять сложные выражения на более простые;

2.     Рассмотреть примеры применения метода рационализации при решении логарифмических неравенств;

3.     Найти примеры логарифмических неравенств, которые могут быть решены методом рационализации.

         Актуальность работы заключается в том, что данный метод позволяет успешно решать логарифмические неравенства части С 3 ЕГЭ по математике.

Теоретическое обоснование метода

Часто, при решении логарифмических неравенств, встречаются задачи с переменным основанием логарифма. Так, неравенство вида

является стандартным школьным неравенством. Как правило, для его решения применяется переход к равносильной совокупности систем:

 Недостатком данного метода является необходимость решения семи неравенств, не считая двух систем и одной совокупности. Уже при данных квадратичных функциях решение совокупности может потребовать много времени. Можно предложить альтернативный, менее трудоемкий метод решения этого стандартного неравенства. Это метод рационализации неравенств, известный в математической литературе под названием декомпозиции.

Метод рационализации заключается в замене сложного выражения F(x) на более простое выражение G(x), при котором неравенство G(x)0 равносильно неравенству F(x)0 в области определения выражения F(x). 

Выделим некоторые выражения F  и соответствующие им рационализующие выражения G, где u, v, , p, q - выражения с двумя переменными (u > 0; u ≠ 1; v > 0,  > 0),  a - фиксированное число (a > 0, a ≠ 1).

№	Выражение F	Выражение G
1	-	(а –1)(v – φ)
1a
1б
2	-
2a		)
2б
3
4	(
4a
5
6

Доказательство

1.      Пусть  log_av - log_aφ > 0, то есть   log_av > log_aφ, причём a > 0, a ≠ 1, v > 0,

 φ > 0.

Если 0 < a < 1, то по свойству убывающей логарифмической функции имеем  v < φ. Значит, выполняется система неравенств

a -1<0 

v – φ < 0

Откуда следует неравенство (a – 1)(v – φ) > 0  верное на области определения выражения      F = log_av - log_aφ.   

Если a > 1, то v > φ. Следовательно, имеет место неравенство  (a – 1)(v – φ)> 0. Обратно, если выполняется неравенство (a – 1)(v – φ)> 0 на области допустимых значений (a > 0, a ≠ 1, v > 0, φ > 0), то оно на этой области равносильно совокупности двух систем. 

a – 1<0              a – 1 > 0

v – φ < 0            v – φ > 0

Из каждой системы следует неравенство log_av > log_aφ, то есть log_av - log_aφ > 0.

Аналогично, рассматриваются неравенства F < 0,  F ≤ 0,  F ≥ 0.

 2.  Пусть некоторое число а > 0 и а ≠ 1, тогда имеем

log_u v- log_uφ =

Знак последнего выражения совпадает со знаком выражения

 или    (u-1)(v-φ) .

3.Так как  log_uv –log_φv = ,

то, используя замены 2а и 2б, получаем, что знак последнего выражения совпадает со знаком выражения (φ - 1)(v - 1)(u - 1)(φ – u).

4.Из неравенства u^v-u^φ > 0 следует u^v > u^φ. Пусть число а > 1, тогда log_a u^v > log_au^φ   или

(u – φ)log_a u > 0.

 Отсюда с учётом замены 1б и условия a > 1 получаем

(v – φ)(a – 1)(u – 1) > 0,  (v – φ)(u – 1) > 0. Аналогично, доказываются неравенства F < 0,

F ≤ 0, F ≥ 0.

5.     Доказательство проводится аналогично доказательству 4.

6.     Доказательство замены 6 следует из равносильности неравенств | p | > | q |   и  p² > q²

 ( | p | < | q | и p² < q²).

Примеры решения неравенств методом рационализации

Пример 1. Решите неравенство log _2x+3 x² < 1.

Решение. Запишем неравенство в виде log_2x+3x² – 1< 0 и заменим его равносильной системой, используя метод рационализации

(2x + 2)(x² – 2x – 3) < 0

2x + 3 > 0

x ≠ 0

(x + 1)(x + 1)(x – 3) < 0

x > 1,5

x ≠ 0

Ответ: (-1.5; -1) (-1; 0)  (0; 3).

Пример 2. Решите неравенство log_|x+2|(4 + 7x – 2x²) ≤ 2.

Решение. Запишем нераенство в виде  log_{|x + 2|}(4 + 7x – 2x²) – log_{|x + 2|}(x + 2)² ≤ 0  и заменим равносильной системой, используя метод рационализации

(|x + 2| - 1)(4 + 7x – 2x² – x² – 4x – 4) ≤ 0

4 +7x - 2x² > 0

x + 2 ≠ 0

((x + 2)² – 1)(-3x² + 3x) ≤ 0

(x + 0,5)(x – 4) < 0

x ≠ 2

x(x + 1)(x + 3)(x – 1) ≥ 0

(x + 0,5)(x – 4) < 0

x ≠ 2

             +                      -                         +                     -                       +               х

                         ●                     ●                         ●                     ●

                        -3                     -1                        0                       1     

                                 +                                                    -                                  +    х

                                                              °                                                        °

                                                             -0,5                                                     4    

Ответ: ( -0,5; 0]  [1; 4).

Пример 3. Решите неравенство  ≥ 0.

Решение. Заменим данное неравенство равносильной системой, используя метод рационализации

> 0

3 – x > 0

 x > 0

 x ≠ 3

 x ≠ 1

(x – 3)(x – 1)(- 1) ≥ 0

(x – 1)(- 1) > 0

x > 0

 x ≠ 3

 x ≠ 1

(x – 1)(3 – x –x²) ≤ 0

(x – 1)(3 – x – 1) > 0

 x < 3

 x > 0

x ≠ 1

 

1 < x < 2

 < 2.

При решении неравенства (х – 1)(х – 2) < 0 системы учтены условия x < 3, x > 0, x ≠ 1. Условие  1 < x < 2  позволяет исключить множитель  x – 1 > 0 в первом неравенстве системы.

Ответ:  .

Пример 4. Решите неравенство log_12x²_-41+35(3 – x) ≥ log_2x²_-5x+3(3- x).

Решение. Запишем неравенство в виде log_12x²_-41+35(3 – x) - log_2x²_-5x+3(3- x) ≥ 0  и заменим его равносильной системой, используя метод рационализации

(12x² – 41x + 34)(2x² – 5x + 2)(2 – x)(-10x² + 36x – 32) ≥ 0

12x² – 41x + 35 > 0

2x² – 5x + 3 > 0

12x² – 41x + 34 ≠ 0

2x² – 5x + 2 ≠ 0

3 – x > 0

(x – 2)⁴(x -

(x -  > 0

(x – 1)(x -  > 0

(x -

(x – 2)(x -  

x < 3

Для решения первых трёх неравенств системы используем метод интервалов.

Ответ:

Пример 5. Найдите все значения а, при которых неравенство log_a(x² + 4) > 1 выполняется для всех значений х.

Решение. Используя метод рационализации, запишем данное неравенство равносильной системой

(а – 1)(х² + 4 - а) > 0

a > 0

a ≠ 1

Для решения первого неравенства системы используем метод областей.

1)    Обозначим F(x,a) = (a – 1)( х² + 4 - а).

2)    Для выражения F(x,a) переменные х и а принимают любые значения.

3)    F(x, a) = 0, (а – 1)(х² + 4- а) = 0, отсюда а = 1 или  а = х² + 4.

4)    Имеем прямую и параболу, которые разбивают координатную плоскость на области, в каждой из которых выражение F(x,a) сохраняет знак.

Возьмём контрольную точку (0; 0). F(0,0)= - 4< 0. Ставим знак минус в области, содержащей точку (0; 0). В остальных областях расставляем знаки, используя правило знакочередования. Множество точек, координаты которых удовлетворяют первому неравенству системы, выделены цветом. Условия а > 0, а ≠ 1 учтены. Проводя прямые, параллельные оси Ох, видим, что полностью прямые находятся в заштрихованной области при а .

Ответ: .

Задания для самостоятельного решения

1.     Решите неравенство

.

Ответ:

2.     Решите неравенство

< 1.

Ответ:  (log₃10; + ).

3.     Решите неравенство

.

Ответ:  .

4.     Решите неравенство

.

Ответ:  .

5.     Решите неравенство

.

Ответ:  .

Заключение

             Считаю, что задачи, которые  поставила перед собой при выполнении  работы, достигнуты. Исследование имеет практическую пользу, так как предложенный в работе метод позволяет значительно упростить решение логарифмических неравенств.  В результате количество вычислений, приводящих к ответу, уменьшается примерно в два раза, что экономит не только время, но и позволяет потенциально сделать меньше арифметических ошибок и ошибок «по невнимательности». Работа нашла своё применение и на уроках математики. Своими «находками» я поделилась с одноклассниками.

Список использованной литературы

1.     Корянов А. Г., Прокофьев А. А. – Методы решения неравенств с одной переменной. – 2011.

2.     Моденов В. П. – Пособие по математике. – 1972.

3.     Ткачук В.В. - Математика абитуриенту. Москва: МЦНМО, 2008.