Дополнительная образовательная программа курса Решение задач повышенной сложности ( математика) 10-11 классы

Пояснительная записка

к дополнительной образовательной программе

курс «Решение задач повышенной сложности»

 (математика)

Данная дополнительная образовательная  программа составлена на основе следующей нормативно-методической документации:

·       Федеральный базисный учебный план;

·       Программа для школ (классов) с углубленным изучением математики. Г.М. Кузнецова, Н.Г.Миндюк, М., Дрофа 2007;

·        Закон РФ «Об образовании»;

·        Концепция профильного обучения.

Основная  задача курса дополнительного математического образования «Решение задач повышенной сложности»  в школе заключаются в следующем:

·       содействовать формированию культурного человека, умеющего мыслить, понимающего идеологию математического моделирования реальных процессов, владеющего математическим языком не как языком общения, а как языком, организующим деятельность, умеющего самостоятельно добывать информацию и пользоваться ею на практике, владеющего литературной речью и умеющего в случае необходимости построить ее по законам математической речи.

Наряду с решением основной задачи реализация  курса предусматривает:

·        формирование у учащихся устойчивого интереса к предмету;

·        выявление и развитие их математических способностей;

·        ориентацию на профессии, существенным образом связанные с математикой;

·        подготовку к обучению в вузе.

Без базовой математической подготовки невозможна постановка образования современного человека. Запросы общества, направленные на более полный учёт интересов, склонностей и способностей учащихся, создание условий для обучения  старшеклассников в соответствии с их профессиональными интересами, намерения учащихся старших классов в получении высшего образования обусловили создание в школе групп дополнительного образования по математике по курсу  «Решение задач повышенной сложности».

Программа курса рассчитана на учащихся 10-11 классов. На изучение курса отводится 60 учебных часов в год.

 Преподавание курса «Решение задач повышенной сложности» и направлено на достижение следующих целей:

·        формирование представлений об идеях и методах математики; о математике как универсальном языке науки, средстве моделирования явлений и процессов;

·        овладение языком математики в устной и письменной форме, математическими знаниями и умениями, необходимыми для изучения школьных естественнонаучных дисциплин;

·        развитие логического мышления, алгоритмической культуры, пространственного воображения, математического мышления и интуиции, творческих способностей, необходимых для образования и самостоятельной деятельности в области математики;

·        воспитание средствами математики культуры личности через знакомство с историей развития математики, эволюцией математических идей; понимания значимости математики для научно-технического прогресса.

Программа предусматривает систематизацию материала, совершенствование математического развития и позволяет вести обучение на высоком уровне сложности по всем содержательным линиям:

·        число,

·        выражение,

·        уравнения и неравенства,

·        функция,

·        геометрический материал,

·        комбинаторика; вероятность и статистика.

Курс «Решение задач повышенной сложности» состоит из тем:

·        «Уравнения и неравенства»

·        «Комбинаторика и теория вероятностей»

·         «Планиметрия и стереометрия»

·        «Задачи с параметрами»

В ходе обучения математике в группах дополнительного образования учащиеся продолжают овладевать разнообразными способами деятельности, приобретают и совершенствуют опыт:

·        проведения доказательных рассуждений, логического обоснования выводов, использования различных языков математики для иллюстрации, интерпретации, аргументации и доказательства;

·        решения широкого класса задач из различных разделов курса, поисковой и творческой деятельности при решении задач повышенной сложности и нетиповых задач;

·        планирования и осуществления алгоритмической деятельности;

·        построения и исследования математических моделей для описания и решения прикладных задач, задач из смежных дисциплин и реальной жизни;

·        самостоятельный опыт с источниками информации, анализа обобщения и систематизации полученной информации.

СОДЕРЖАНИЕ ПРОГРАММЫ

Числа и выражения

Действительные числа

Аксиоматика действительных чисел. Модуль действительного числа. Метод математической индукции. Задачи с целыми числами.

Многочлены

Многочлены от одной и нескольких переменных. Теорема Безу. Схема Горнера. Симметрические и однородные многочлены. Уравнения высших степеней.

Уравнения, неравенства. Системы уравнений неравенств.

Равносильность уравнений и неравенств. Общие методы решения уравнений и неравенств.

 Уравнения с модулями. Иррациональные уравнения.

Доказательство неравенств. Неравенства с модулями. Иррациональные неравенства.

Уравнения и неравенства с двумя переменными. Диофантовы уравнения. Системы уравнений.

Уравнения и неравенства с параметрами.

Применение нестандартных методов решения уравнений и неравенств. Нестандартные задачи

Метод мини-максов. Дискриминантный метод. Метод отделяющихся констант. Метод тригонометрической подстановки. Метод «геометрической» подстановки, Симметрия алгебраических выражений. Решение нестандартных задач с использованием общих свойств функции.

Тригонометрические уравнения и неравенства

Методы решения тригонометрических уравнений: метод замены переменной, метод разложения на множители, однородные триго­нометрические уравнения. Уравнения и неравенства, содержащие обратные тригонометрические функции. Отбор корней в тригонометрических уравнениях.

Функции

Производная

Понятие производной n-го порядка. Дифференцирование сложной функции. Дифференцирование обратной функции.  Применение производной для дока­зательства тождеств и неравенств. Построение графиков функций. Применение производной для отыскания наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции на промежутке. Задачи на оптимизацию.

Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей

Правило умножения. Перестановки и факториалы. Выбор нескольких элементов. Сочетания и размещения. Бином Ньютона. Случайные события и их вероятности. Вероятность и геометрия. Независимые повторения испытаний с двумя исходами. Статистические методы обработки информации. Гауссова кривая. Закон больших чисел.

Геометрия

Избранные вопросы планиметрии.

Решение треугольников. Вычисление биссектрис и медиан треугольника. Удвоение медианы. Формула Герона и другие формулы для площади треугольника. Отношение площадей. Теорема Чевы. Теорема Менелая. Свойства и признаки вписанных и описанных четырехугольников. Углы в окружности. Метрические соотношения в окружности. Пересекающиеся окружности. Решение алгебраических задач с помощью скалярного произведения.

Стереометрия.

Вычисление углов в пространстве.

Вычисление расстояний в пространстве.

Сечения многогранников.

Комбинации круглых тел и многогранников.

Задачи с параметрами.

Линейные уравнения. Системы линейных уравнений. Линейные неравенства. Системы линейных неравенств. Квадратные уравнения. Знаки корней квадратного уравнения. Парабола. Расположение корней квадратного трехчлена. Рациональные неравенства. Использование симметрии аналитических выражений. Метод параллельного переноса. Метод поворота. Параметр как равноправная переменная. Гомотетия.

ТРЕБОВАНИЯ К УРОВНЮ ПОДГОТОВКИ ВЫПУСКНИКОВ

В результате изучения курса ученик должен:

знать/понимать

•    значение математической науки для решения задач, возникающих в теории и практике; широту и ограниченность применения математических методов к анализу и исследованию процессов и явлений в природе и обществе;

•    значение практики и вопросов, возникающих в самой математике, для формирования и развития математической науки;

•    идеи расширения числовых множеств как способа построения нового математического аппарата для решения практических задач и внутренних задач математики;

•    значение идей, методов и результатов алгебры и математического анализа для построения моделей реальных процессов и ситуаций;

•    возможности геометрии для описания свойств реальных предметов и их взаимного расположения;

•    вероятностный характер различных процессов и закономерностей окружающего мира;

Числовые и буквенные выражения

уметь

•    выполнять арифметические действия, сочетая устные и письменные приемы, применение вычислительных устройств; находить значения корня натуральной степени, степени с рациональным показателем, логарифма, используя при необходимости вычислительные устройства; пользоваться оценкой и прикидкой при практических расчетах;

•    применять понятия, связанные с делимостью целых чисел, при решении математических задач;

•    находить корни многочленов с одной переменной, раскладывать многочлены на множители;

•    проводить преобразования числовых и буквенных выражений, включающих степени, радикалы, логарифмы и тригонометрические функции;

•    использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни для практических расчетов по формулам, включая формулы, содержащие степени, радикалы, логарифмы и тригонометрические функции, используя при необходимости справочные материалы и простейшие вычислительные устройства;

Функции и графики

уметь

•    строить графики изученных функций, выполнять преобразования графиков;

•    описывать по графику и по формуле поведение и свойства функций;

•    решать уравнения, системы уравнений, неравенства, используя свойства функций и их графические представления;

•    использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни для описания и исследования с помощью функций реальных зависимостей, представления их графически; интерпретации графиков реальных процессов;

Начала математического анализа

уметь

•    исследовать функции и строить их графики с помощью производной;

•    решать задачи на нахождение наибольшего и наименьшего значения функции на промежутках;

•    решать задачи на оптимизацию с геометрическим, физическим, экономическим содержанием;

•    использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни для решения геометрических, физических, экономических и других прикладных задач, в том числе задач на наибольшие и наименьшие значения с применением аппарата математического анализа;

Уравнения и неравенства

уметь

• решать рациональные, показательные, логарифмические, иррациональные и тригонометрические уравнения и неравенства, их системы; доказывать неравенства;

•    решать текстовые задачи с помощью составления уравнений и неравенств, интерпретируя результат с учетом ограничений условия задачи;

•    изображать на координатной плоскости множества решений уравнений и неравенств с двумя переменными и их систем; находить приближенные решения уравнений и их систем, используя графический метод;

•    решать уравнения, неравенства и системы с применением графических представлений, свойств функций, производной;

•    использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни для построения и исследования простейших математических моделей.

Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей

уметь

•    решать простейшие комбинаторные задачи методом перебора, а также с использованием известных формул, треугольника Паскаля; вычислять коэффициенты бинома Ньютона по формуле и с использованием треугольника Паскаля; решать уравнения и неравенства с помощью формул комбинаторики;

•    вычислять вероятности событий на основе подсчета числа исходов (простейшие случаи);

•    использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни для:

анализа реальных числовых данных, представленных в виде диаграмм, графиков;

анализа информации статистического характера

овладеть

·        понятием случайной величины и случайного события;

·        понятием комплекса условий и исхода;

·        причинами варьирования данных в различного рода испытаниях;  *

·        понятием элементарного события;

·        определением комбинаторики как раздела математики;

·        определением факториала;

·        определением генеральной совокупности и выборки без повторений;

·        понятием благоприятного события;

·        определением и формулами для подсчета числа сочетаний, размещений и перестановок без повторений;

·        принципами суммы и произведения, используемыми в комбинаторике;

·        классическим определением вероятности;

·        геометрическим определением вероятности;

·        алгоритмом решения задач на вычисление вероятностей;

·        формулой бинома Ньютона;

·        принципами построения треугольника Паскаля;

·        свойствами биноминальных коэффициентов.

Тематическое планирование учебного материала

10 класс

«Комбинаторика и теория вероятностей»

30 часов

№ урока	Тема урока	Кол-во часов	Дата	Корректировка педагогической деятельности на основе диагностики
1-2	Из истории комбинаторики и теории вероятностей, случайная величина и случайное событие	2
3	Примеры задач, приводящих к установлению закономерностей в случайных процессах (задача Пачиолли, опыты Муавра, опыты с доской Гальтона и т.п.)	1
4-5	Генеральная совокупность и выборки без повторений	2
6-7	Принципы суммы и произведения в комбинаторике	2
8-9	Виды выборок без повторений: сочетания, перестановки, размещения	2
10-11	Бином Ньютона	2
12	Треугольник Паскаля	1
13-14	Решение комбинаторных задач	2
15	Классическое определение вероятности	1
16	Статистическое определение вероятности	1
17	Геометрическое определение вероятности	1

18-20	Решение задач на вычисление вероятности с использованием трех определений	3
21-23	Независимые повторения испытаний с двумя исходами.	3
24-25	Схема Бернулли	2
26-27	Статистические методы обработки информации	2
28-30	Гауссова кривая. Закон больших чисел	3

Тематическое планирование учебного материала

10 класс

«Планиметрия и стереометрия»

30 часов

№ урока	Тема урока	Количество часов	Дата	Корректировка педагогической деятельности на основе диагностики
	Планиметрия	19
1-2	Решение треугольников Вычисление биссектрис и медиан треугольника Удвоение медианы	2
3-4	Формула Герона и другие формулы для площади треугольника. Отношение площадей	2
5	Теорема Чевы. Теорема Менелая	1
6-7	Углы в окружности. Метод вспомогательной окружности.	2
8	Метрические соотношения в окружности	1
9-10	Пересекающиеся окружности. Касающиеся окружности.	2
11-12	Окружности, связанные с треугольником и четырехугольником.	2
13	Некоторые свойства высот и точки их пересечения	1
14-15	Решение алгебраических задач с помощью скалярного произведения	2

16-17	Многовариантные планиметрические задачи, связанные с взаимным расположением элементов фигуры	2
18-19	Многовариантные планиметрические задачи, связанные с неоднозначностью взаимного расположения фигур	2
	Стереометрия	11
20-22	Задачи С2 ЕГЭ. Вычисление углов в пространстве. Геометрический, векторный и координатный методы решения задач.	3
23-25	Задачи С2 ЕГЭ. Вычисление расстояний в пространстве. Геометрический, векторный и координатный методы решения задач.	3
26-27	Задачи С2 ЕГЭ. Сечения многогранников.	2
28-30	Задачи С2 ЕГЭ. Комбинации круглых тел и многогранников.	3

 Тематическое планирование учебного материала

11 класс

«Уравнения и неравенства»

43 часа

№ урока	Содержание	Кол-во часов	Дата	Корректировка педагогической деятельности на основе диагностики
1-2	Аксиоматика действительных чисел. Методы доказательства теорем (от противного, метод математической индукции). Делимость на N.Задачи С6 ЕГЭ.	2
3-4	Многочлены от одной переменной. Теорема Безу. Схема Горнера. Симметрические и однородные многочлены. Уравнения высших степеней.	2
5-6	Равносильность уравнений и неравенств. Общие методы решения уравнений и неравенств. Доказательство неравенств.	2
7-8	Уравнения и неравенства с двумя переменными. Диофантовы уравнения. Задачи с целыми числами.	2
9-10	Модуль действительного числа. Уравнения, содержащие модуль. Неравенства, содержащие модуль.	2
11-12	Иррациональные уравнения. Иррациональные неравенства.	2
13-14	Системы и совокупности уравнений и неравенств. Нестандартные методы решения.	2
15-16	Нестандартные методы решения уравнений и неравенств. Использование свойств функций: области существования, неотрицательности, ограниченности.	2
17-18	Нестандартные методы решения уравнений и неравенств. Использование свойств тригонометрических функций , суперпозиции функций.	2
19-21	Нестандартные методы решения уравнений и неравенств. Использование свойств числовых неравенств, свойств абсолютной величины, применение производной.	3
22-24	Нестандартные методы решения уравнений и неравенств. Метод мини-максов. Дискриминантный метод. Метод отделяющихся констант. Метод тригонометрической подстановки. . Метод «геометрической» подстановки.	3
25-27	Тригонометрические уравнения и неравенства. Методы решения тригонометрических уравнений и неравенств: метод замены переменной, метод разложения на множители, однородные тригонометрические уравнения.	3
28-30	Уравнения и неравенства, содержащие обратные тригонометрические функции.	2
33-36	Отбор корней в тригонометрических уравнениях. Арифметический, алгебраический, геометрический и функционально-графический способы отбора корней в тригонометрических уравнениях.	4
37-39	Решение неравенств алгебраическим и функционально-графическим методами. Метод декомпозиции при решении неравенств С3 ЕГЭ	3
40-41	Применение производной для решения уравнений и неравенств. Понятие производной n-го порядка. Дифференцирование сложной функции. Дифференцирование обратной функции.	2
42-43	Построение графиков функций. Применение производной для отыскания наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции на промежутке. Задачи на оптимизацию.	2

 ТЕМАТИЧЕСКОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ УЧЕБНОГО МАТЕРИАЛА

11 КЛАСС

«Задачи с параметрами»

17 часов

№ урока	Содержание	Кол-во часов	Дата	Корректировка педагогической деятельности на основе диагностики
	Тема 1. Введение	1
1.1.	Знакомство с задачами с параметрами. Два основных типа задач с параметрами. Основные методы решения. Описание множеств решений в задачах с параметрами.	1
	Тема 2. Аналитические методы решения задач с параметрами	8
2.1.	Линейные уравнения и неравенства с параметрами	1
2.2.	Задачи с модулями и параметрами. Критические значения параметра.	2
2.3	Квадратные уравнения и неравенства с параметрами. Исследование с помощью дискриминанта, знаки и расположение корней трехчлена, парабола	1
2.4.	Рациональные задачи с параметрами. Метод интервалов в неравенствах с параметрами.	2
2.5.	Тригонометрические уравнения с параметрами	2
	Тема 3. Графические методы решения задач с параметрами	8
3.1	Метод параллельного переноса	2
3.2.	Метод поворота	1
3.3.	Гомотетия	1
3.4.	Метод координат в задачах с параметрами. Решение рациональных и иррациональных уравнений и неравенств с параметрами	2
3.5.	Метод областей при решении задач с параметрами. Решение показательных и логарифмических уравнений и неравенств с параметрами	2

Литература

№п/п	Автор	Название	Издание
1	Г.М.Кузнецова, Н.Г.Миндюк	Программы для школ (классов) с углубленным изучением математики.	М., Дрофа 2004
2	Э.Д.Днепров, А.Г.Аркадьев	Сборник нормативных документов. Математика	М., Дрофа 2007
3	Д.А.Мальцев, А.А.Мальцев, А.Г.Клово	Математика ЕГЭ шаг за шагом ЕГЭ-2009	М., НИИ школьных технологий 2008
4	А.Г.Мерзляк, В.Б.Полонский, М.С.Якир	Алгебраический тренажёр	М., «Илекса» 2001
5	Шарыгин И.С., Голубев В.И.	Факультативный курс по математике	М., «Просвещение» 1991
6	В.А.Гусев., В.Н.Литвиненко, А.Г.Мордкович	Практикум по элементарной математике. Геометрия	М., «Просвещение» 1992
7	Г.И.Ковалёва, Е.В.Конкина	Функциональный метод решения уравнений и неравенств	М., Библиотека «Первого сентября» 2008
8	И.А. Лепская	Сборник задач по математике для учащихся подготовительных курсов	Таганрог Издательство ТРТУ 2004
9	М.Л.Галицкий, А.М.Гольдман, Л.И.Звавич	Сборник задач по алгебре. Учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики	М., «Просвещение» 1994
10	М.И.Сканави	Сборник задач по математике для поступающих во втузы	М., «Столетие» 1999
11	М.И.Сканави	Сборник задач по математике	М., «Мир и образование» 2002