Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Свидетельство о публикации

Автоматическая выдача свидетельства о публикации в официальном СМИ сразу после добавления материала на сайт - Бесплатно

Добавить свой материал

За каждый опубликованный материал Вы получите бесплатное свидетельство о публикации от проекта «Инфоурок»

(Свидетельство о регистрации СМИ: Эл №ФС77-60625 от 20.01.2015)

Инфоурок / Математика / Рабочие программы / Элективный курс: "Теория делимости".
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 28 июня.

Подать заявку на курс
  • Математика

Элективный курс: "Теория делимости".

Выбранный для просмотра документ #U044d#U043b#U0435#U043a#U0442#U0438#U0432#U043d#U044b#U0439 #U043a#U0443#U0440#U0441 #U0442#U0435#U043e#U0440#U0438#U044f #U0441#U0440#U0430#U0432#U043d#U0435#U043d#U0438#U0439.docx

библиотека
материалов

Учитель математики: Кириллова Ольга Владимировна МОУ СОШ №22 г.Оленегорск-1


Содержание элективного курса по алгебре.

Тема «теория сравнений».

В данной разработке, представлено несколько занятий элективного курса по алгебре для классов старшей школы с углубленным изучением математики. Этот материал может изучаться, только в том случае, если у учащихся уже есть некоторые алгебраические основы, на которых строиться этот курс. Другими словами учащиеся должны иметь представления о полях, кольцах, группах и т.д. В главе разработаны несколько теоретических и практических занятий связанных с теорией конечных полей. Конечно, возраст и знания обучаемых, не дают целиком погрузиться в теорию, но введение ключевых определений и формулировок теорем, доказательство некоторых, решение элементарных примеров позволяют лишь немного «прикоснуться » к ней.

Пояснительная записка

Предлагаемый элективный курс предназначен для реализации в 8-9 классах школ математического профиля, направлен на знакомство учащихся с элементами теории конечных полей, развитие абстрактного мышления.

Этот курс может обеспечить мотивацию учащихся для более глубокого и осознанного изучения математики, и алгебры в частности. Вообще курс ориентирован на рассмотрение элементов высшей алгебры в профильной школе. Курс служит для внутри профильной дифференциации и углубленное изучение ряда вопросов. Постепенно методика обучения в профильных классах, на элективных курсах, должна постепенно развивать у учащихся навыки организации умственного труда и самообразования. Здесь и умение воспринимать объясняемый материал, достаточно быстро его конспектировать, с одной стороны, и умение работать с учебниками и иной литературой, с другой стороны. Так же учащиеся смогут научиться решать простые задачи из этого курса, в дальнейшем это умение понадобится для дальнейшего обучения в ВУЗах. Курс позволяет развивать умения учащихся мыслить и решать задачи в нестандартных ситуациях.

Кстати, одной из целей обучения является развитие уважения к книге (в первую очередь учебной) вообще.

Цели курса:

  • важной целью обучения является: знакомство учащихся с математикой как с наукой, общекультурной ценностью, выработка понимания ими того, что математика является инструментом познания окружающего мира и самого себя;

  • знакомство с элементами теории конечных полей. А также может послужить базой для продолжения математического образования в вузах различного профиля;

  • реализация поставленных целей будет способствовать овладению учащимися некоторыми знаниями и учениями в этой области.

Материал курса предназначен как для учеников, склонных к практическому, так и для тех, кто склонен к теоретическому мышлению.

При проектировании содержания курса, методов и форм его реализации мы исходили из того, что одной из основных задач образования является создание условий для формирования у учащихся представлений о современной алгебре. Эта наука может быть, не такой как ее преподают в школе, что для овладения ее необходимы не только вычислительные навыки, но и абстрактное мышление, знание определений и теорем.

Развитию познавательных интересов способствует возможность выбора различных видов деятельности (учебные теоретические исследования (отыскание того или иного доказательства), решение прикладных задач, поиск различной информации).

В курсе имеются задания для состоятельного решения, которые способствуют эффективному освоению предлагаемого материала.

Основные формы организации учебных занятий: лекции, практические занятия и самостоятельные работа учащихся.

Возможно также, что ученики самостоятельно, в сотрудничестве с учителем выполняют различные задания, на занятиях организуется обсуждение результатов этой работы, а также разнообразных творческих заданий, рефератов и т.п.

Задачами курса являются:

  • знакомство учащихся с таким алгебраическим понятием, как конечное поле;

  • актуализация знаний понятийно-терминологической базы алгебры;

  • формирование умений решения задач по алгебре внутри этой темы;

  • повышение математического уровня учащихся.

Элективный курс имеет большой образовательный и развивающий потенциал, так как формирует представление об элементах современной алгебре, а так же способствует развитию абстрактного мышления.

Доминантной формой учения является поисково-исследовательская деятельность учащихся, которая реализуется как на практических занятиях в классе, так и в ходе самостоятельной работы учащихся. Средствами для ее осуществления являются теоретические знания, которые предлагаются в разработке данного курса.

На изучение курса целесообразно отвести 18 часов по два часа в неделю, всего 9 недель.

Основными результатами освоения содержания элективного курса учащимися может быть определенный набор умений, а также приобретение опыта исследовательской деятельности, содержательно связанных с предметным полем — математикой.

После изучения предложенного курса, учащиеся пишут контрольную работу, и сдают зачет по теории.

Теоритические основы.

п.1. Теоретические основы делимости в кольце целых чисел.

Теорема1: Если оба числа a и b делятся на m, то их сумма a+b и их разность a-b делится на m.

Действительно, так как a делится на m, то a=km, где k – некоторое целое число. Точно так же b=lm, где l – некоторое целое число. Поэтому

a+b = km+lm = (k+l)m, a-b = km-lm = (k-l)m,

отсюда видно, что каждое из чисел a+b, a-b делится на m.

Следствие 1: Если сумма нескольких слагаемых делится на m и известно, что все слагаемые, кроме одного, делится на m.

Докажем это, например, для случая трёх слагаемых. Слагаемые обозначим через a, b, c, а их сумму – через s:

a+b+c = s

Нам известно, что s делится на m и числа a и b делится на m, то есть s = qm, a=km, b=lm, где q, k, l – некоторые целые числа. Надо доказать, что и слагаемое c делится на m.

Мы имеем:

c = s-a-b = qm-km-lm = (q-k-l)m,

откуда и следует, что c делится на m.

Теорема 2: Если a делится на m и b делится на n, то ab делится на mn.

В самом деле, a=km, b=ln, и поэтому

ab = km×ln = (kl)mn,

то есть, ab делится на mn.

Эта теорема легко обобщается на случай трёх и большего числа сомножителей. Например, если a делится на m, b делится на n и c делится на p, то abc делится на mnp.

Следствие 2: Если a делится на m, то hello_html_m32405992.gif делится на hello_html_m229a3cf1.gif (здесьhello_html_443248c0.gif - любое натуральное число).

Следствие 3: Если хотя бы один из сомножителей делится на m, то и произведение делится на m.

В самом деле, пусть a делится на m и пусть b – любое целое число. Так как b, очевидно, делится на 1, то (по теореме2) ab делится на m×1, то есть ab делится на m.

1.1.Деление с остатком.

Разделим 20 на 3 «в столбик».

hello_html_m6bcaefbd.png

Мы получили частное 6 и остаток 2. Но что это значит? Это значит, что если мы умножим число 20 на 2, то получим число, которое делится на 3 (и в частном будет 6), то есть, 20-2 = 3×6.

Иначе это можно записать так:

20 = 3×6+2

Рассмотрим еще один пример деления с остатком:

hello_html_m56162530.png

У нас получилось частное 16 и остаток 1. Это можно записать так:

49 = 3×16+1

Мы видим, что если число a дает при делении на 3 частное q и остаток r, то мы можем написать:

a = 3q+r

Вообще, если нам известно, что число a дает при делении на b частное q и остаток r, то мы можем написать

a = bq+r

Но не всякую запись a = bq+r можно прочесть как запись деления с остатком. Например, равенство 20 = 3×4+8 справедливое, но мы не можем сказать, что 20 при делении на 3 дает остаток 8. Остаток ведь должен быть меньше делителя! Точно так же запись 20 = 3×7+(-1) не означает, что 20 при делении на 3 дает в остатке (-1); остаток не может быть отрицательным. Значит, для того чтобы запись a = bq+r выражала деление a на b с остатком, нужно потребовать, чтобы r было неотрицательным числом, меньшим b, то есть 0≤r

Проведенные рассуждения вовсе не «доказывают» чего-либо; они лишь служат пояснением к тому, что такое деление с остатком. А теперь мы введем точное определение.

Определение: Пусть a и b – два целых числа, причем b>0. Если число a можно записать в виде a = bq+r, где 0≤r

1.2.Существование и единственность деления с остатком.

В предыдущем пункте было дано определение деления с остатком. В связи с этим определением естественно возникают два вопроса:

  1. Всегда ли можно осуществить деление с остатком? Иначе говоря, если даны целое число a и натуральное число b, всегда ли можно подобрать такие целые числа q и r, что 0≤r

  2. Единственным ли образом осуществляется деление с остатком? Иными словами, если число a записано двумя способами в требуемом виде:

a = bhello_html_m1213a6ab.gif+hello_html_m180ff8a1.gif, 0≤hello_html_m180ff8a1.gif<hello_html_m1c1140f0.gif;

a = bhello_html_562fa2ba.gif+hello_html_m19c598a4.gif, 0≤hello_html_m19c598a4.gif<hello_html_36a4dc2c.gif,

то обязательно ли обе записи совпадают (то есть hello_html_m1213a6ab.gif = hello_html_562fa2ba.gif и hello_html_m180ff8a1.gif = hello_html_m19c598a4.gif)?

Нижеследующая теорема дает на оба эти вопроса утвердительный ответ: деление с остатком всегда осуществимо и притом однозначно.

Теорема: Пусть даны целое число a и натуральное число b. Тогда можно подобрать такие целые числа q и r, что 0≤r

Из этой теоремы вытекает, что каждое целое число a может быть представимо:

либо в виде a = bq,

либо в виде a = bq+1,

либо в виде a = bq+2,

и т.д

либо в виде a = bq+(b-1)

Например, при b = 2 мы получаем: каждое целое число a может быть представимо либо в виде a = 2q (и тогда оно делится на 2, то есть четно), либо в виде a = 2q+1 (и тогда оно не делится на 2, то есть нечетно). При b = 3 получаем: каждое целое число a может быть представлено в одном из следующих видов: a = 3q, a = 3q+1, a = 3q+2. Это замечание часто используется при решении задач.

Пример 1. Доказать, что при любом целом n число hello_html_m72c20726.gif делится на 6.

Решение: Разложим выражение hello_html_m72c20726.gif на множители:

hello_html_m72c20726.gif= hello_html_51080495.gif

Число hello_html_443248c0.gif может быть представимо в одном из следующих видов: 6q, 6q+1, 6q+2, 6q+3, 6q+4, 6q+5. Если hello_html_443248c0.gif = 6q, то hello_html_m72c20726.gif = hello_html_51080495.gif =6q(6q+1)(6q-1); видно, что это число делится на 6. Далее, если число hello_html_443248c0.gif = 6q+1, то hello_html_m72c20726.gif = hello_html_51080495.gif = (6q+1)(6q+2)6q = 12(6q+1)(3q+1)q; и в этом случае число hello_html_m72c20726.gif делится на 6 (и даже на 12). При hello_html_443248c0.gif = 6q+2 имеем:hello_html_m72c20726.gif = hello_html_51080495.gif = (6q+2)(6q+3)(6q+1) = 6(3q+1)(2q+1)(6q+1), так что число hello_html_m72c20726.gif и в это случае делится на 6. Аналогично разбираются три оставшихся случая (когда hello_html_443248c0.gif имеет вид 6q+3, 6q+4, 6q+5). Итак, каково бы ни было hello_html_443248c0.gif, число hello_html_m72c20726.gif всегда делится на 6.

Пример 2. Доказать, что ни при каком целом hello_html_443248c0.gif число hello_html_6f270db4.gif не делится на 3.

Решение: При hello_html_443248c0.gif = 3q имеем:

hello_html_6f270db4.gif= 9hello_html_m1050df68.gif,

Откуда видно, что hello_html_6f270db4.gif дает при делении на 3 остаток 1 и, значит, не делится на 3. Далее, при hello_html_443248c0.gif = 3q+1 имеем:

hello_html_6f270db4.gif= hello_html_m1cb66cc2.gif = 9hello_html_7970052.gif+6q+2 = 3(3hello_html_7970052.gif+hello_html_6c9d6f01.gif)+2;

Это число дает при делении на 3 остаток 2, то есть опять не делится на 3. Наконец, при hello_html_443248c0.gif = 3q+2 имеем:

hello_html_6f270db4.gif= hello_html_mc152e50.gif = 9hello_html_7970052.gif+12q+5 = 3(3hello_html_7970052.gif+hello_html_m28b8b592.gif+1)+2;

Это число опять дает при делении на 3 остаток 2, то есть на 3 не делится. Итак, в любом случае число hello_html_6f270db4.gif на 3 не делится.

п.2. Сравнения и их основные свойства.

Определение: Если два числа a и b имеют одинаковые остатки при делении на m, то говорят, что a и b сравнимы по модулю m, и пишут

a ≡ b(modm).

Запись a ≡ b(modm) можно прочитать так: a сравнимо с b по модулю m; это означает, что a и b имеют одинаковые остатки при делении на m. Использование этой записи делает формулировки и вычисления более удобными.

Докажем несколько простых теорем о сравнениях.

Теорема 1: Сравнение a ≡ b(modm) имеет место в том и только том случае, если разность a-b делится на m.

Иначе говоря, числа a и b в том и только в том случае имеют одинаковые остатки при делении на m, если a-b делится на m.

Доказательство: Предположим, что a ≡ b(modm), то есть a и b дают при делении на m один и тот же остаток r. Тогда

a = mhello_html_m483bb7fc.gif+r,

b = mhello_html_35b87c0d.gif+r,

гдеhello_html_m483bb7fc.gif, hello_html_35b87c0d.gif - некоторые целые числа. Вычитая одно равенство из другого, получаем: a-b = mhello_html_m483bb7fc.gif-mhello_html_35b87c0d.gif = m(hello_html_m483bb7fc.gif-hello_html_35b87c0d.gif), откуда и следует, что разность a-b делится на m.

Обратно, пусть a-b делится на m, то есть a-b = km. Проведем деление (с остатком) числа b на m:

b = qm+r, где 0≤r

Сложим равенства a-b = km и b = qm+r, получим

a = km+ qm+r = (k+q)m+r,

причем по-прежнему 0≤ra имеет тот же остаток r при делении на m, что и число b, то есть a ≡ b(modm).

Теорема 2: Сравнения можно почленно складывать и вычитать, то есть если a ≡ b(modm) и c ≡ d(modm) и a-c = b-d(modm).

Иначе говоря, если a и b имеют одинаковые остатки при делении на m и, кроме того, c и d имеют одинаковые остатки при делении на m, то числа a+c и b+d имеют одинаковые остатки при делении на m и также числа a-c и b-d имеют одинаковые остатки при делении на m. Как видите, с помощью сравнений эта теорема формулируется короче и удобнее.

Доказательство: Так как a ≡ b(modm) и c ≡ d(modm), то по теореме1 числа a-b и c-d делятся на m, то есть a-b = km, c-d = lm. Складывая эти два равенства, получаем a-b+ c-d = km+ lm, или (a+c)-(b+d) = (k+l)m.

Таким образом, разность (a+c)-(b+d) делится на m, а потому по теореме1a+c≡ b+d(modm).

Сравнения a-c ≡ b-d(modm) доказывается аналогично.

Теорема 3: Сравнения можно почленно умножать, то есть если a ≡ b(modm), c ≡ d(modm), то ac ≡ bd(modm).

Доказательство: Так как a ≡ b(modm) и c ≡ d(modm), то по теореме1a-b = km, c-d = lm. Поэтому ac-bd = (ac-ad)+(ad-bd) = a(c-d)+d(a-b) = alm+dkm = (al+dk)m, то есть разность ac-bdделится на m. Следовательно, по теореме1ac ≡ bd(modm). Конечно, теоремы 2 и 3 верны для любого числа слагаемых или сомножителей. Например, для трех сравнений: если a ≡ b(modm), c ≡ d(modm) и e ≡ f(modm), то a+c+e ≡ b+d+f(modm) и ace ≡ bdf(modm).

Следствие 1: Сравнения можно возводить в степень, то есть если a ≡ b(modm), то hello_html_m32405992.gifhello_html_75aa0d64.gif(modm).

Следствие 2: Рассмотрим некоторый многочлен с целыми коэффициентами: hello_html_23233b74.gif. Если a ≡ b(modm), то значения, которые принимает этот многочлен при x = a и при x = b, также сравнимы между собой по модулю m, то есть

hello_html_m38df821c.gif(modm)

п.3. Периодичность остатков при возведении в степень.

Рассмотрим последовательные степени числа 2:

hello_html_5b47cf4a.gif

и найдем, какие остатки дают эти числа при делении на 5.

Для нескольких первых чисел эти остатки легко найти:

hello_html_3c51bf3c.gif,

hello_html_7496765.gif,

hello_html_m22e538c8.gif(mod5),

hello_html_659364d3.gif(mod5).

Чтобы находить остатки дальше, нужно было бы вычислить дальнейшие значения степеней двойки: hello_html_2030623d.gif и так далее. Числа эти быстро возрастают, и считать становится труднее. Но можно находить остатки и не вычисляя степеней двойки. Для этого можно воспользоваться теоремой3 (из п.2). Именно, умножая сравнение hello_html_m7cd4ca82.gif≡ 1(mod5) на 2, получаем:

hello_html_1960f119.gif

Умножая полученное сравнение опять на 2, находим:

hello_html_351d1458.gif

Еще раз умножив, получаем

hello_html_3e3690c3.gif,

затем

hello_html_61b36a21.gif

и так далее. Таким способом можно быстро найти остатки от деления на 5 чисел вида hello_html_6f35c527.gif (не вычисляя самих степеней). Запишем то, что получается, в две строки, подписывая под каждой степенью её остаток от деления на 5.

2 hello_html_m5f6095d5.gif

2 4 3 1 2 4 3 1 2 4 3 1 2 …

Сразу же видно, что остатки периодически повторяются: после четырех остатков 2, 4, 3, 1 снова повторятся в том же порядке эти остатки, затем снова и так далее.

Рассмотрим еще один пример: остатки от деления степеней тройки на 7. Мы имеем:

hello_html_38dc7d9b.gif

hello_html_10338939.gif

Умножая полученное сравнение hello_html_2cb869ac.gif на 3, затем еще на 3 и так далее, получаем:

hello_html_4d30e476.gif

hello_html_m25f8a2aa.gif

hello_html_7ed1c643.gif

и так далее. Если мы продолжим эти вычисления, мы получим следующие две строки (где под каждым числом подписан его остаток от деления на 7):



hello_html_65630dea.gif

3 2 6 4 5 1 3 2 6 4 5 1 3 …

И здесь наблюдается периодичное чередование остатков: после каждых шести остатков все повторяется сначала.

Наконец, еще один пример: остатки от деления степеней двойки на 48. Производя вычисления таким же образом, получаем следующие две строки:

hello_html_m6f67d421.gif

2 4 8 16 32 16 32 16 32 …



И здесь остатки повторяются, но только не с самого начала: первых три остатка не повторяются, а затем идет периодическое повторение: 16, 32, 16, 32, … .

Естественно возникает предположение, что при любых натуральных a и m остатки от деления чисел hello_html_m433fac0c.gif на m периодически повторятся (возможно, не с самого начала). Докажем, что это действительно так. Для этого возьмем первые m+1 степеней:

hello_html_m6fe8bda4.gif

и рассмотрим их остатки при делении на m. Так как при делении на m может быть только m остатков (0, 1, 2, …, m-1), а чисел у нас m+1, то найдутся среди них два числа, имеющие одинаковые остатки при делении на m. Пусть, например,

hello_html_2973e257.gif

(где l>0). Умножая на hello_html_680af4ec.gif, получаем: hello_html_m719f2328.gif при n≥k. Но это означает, что, начиная с hello_html_4bd15c65.gif, остатки, периодически повторяются (то есть, начиная сhello_html_4bd15c65.gifидут l остатков, которые снова и снова повторяются).

Проведенное рассуждение показывает, что периодичность остатков начинается с того места, где впервые обнаруживаются два одинаковых остатка. А для того чтобы обнаружить два одинаковых остатка при делении на m, достаточно (каким бы ни было основание a) взять m+1 первых степеней числа a.

Особенно просто обнаружить периодичное повторение остатков, если найдется такой показатель l, что hello_html_m3dca8d52.gif Умножая это сравнение наhello_html_m32405992.gif, получаем: hello_html_m54594937.gif при любом натуральном n. Это означает, что с самого начала каждые l остатков периодически повторяются. Итак, если найдется такой показатель l, что hello_html_m302f3a73.gif, то остатки от деления чисел hello_html_m433fac0c.gifнаhello_html_m6fcfd213.gif периодически повторяются с периодом l.

Доказанные утверждения находят применение при решении ряда задач.

Пример. Найти остаток от деления числа hello_html_m176b41e8.gif на 7.

Решение: так как 222 = 7×31+5, то 222 ≡ 5(hello_html_33a1a386.gif), и потомуhello_html_59598bc3.gif. Теперь посмотрим, как повторяются остатки степеней пятерки при делении на 7. Мы находим: hello_html_m51c23feb.gif, hello_html_m3b5d9e9.gif, hello_html_68eb75b5.gif, hello_html_m3c379563.gif,hello_html_391a1b0b.gif. Итак, hello_html_m36f62362.gif. Возводя в степень k, получаем: hello_html_57e9ae36.gif при любом натуральном k. Ноhello_html_18027a8a.gif. Поэтому

hello_html_45646795.gif.

Таким образом, число hello_html_m176b41e8.gif дает при делении на 7 остаток 6.

3.1. Взаимно простые числа.

Если число a делится на b, то говорят также, что b является делителем числа a. Например, числа 2 и -5 являются делителями числа 20; числа -6 и 8 являются делителями числа -24.

Определение: Два числа называются взаимно простыми, если они не имеют никаких общих делителей, кроме 1 и -1. Иначе говоря, два числа называются взаимно простыми, кроме единицы.

Например, числа 8 и 15 взаимно просты. Действительно, число 8 не может делиться на числа, больше чем оно само. Значит, натуральные делители числа 8 можно искать только среди чисел 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. Но на 3, 5, 6, 7 число 8 не делится. Остаются 1, 2, 4, 8-они и являются натуральными делителями числа 8. Но число 15 на 2, 4 и 8 не делится. Значит, числа8 и 15 имеют только один общий натуральный делитель – единицу, то есть эти числа взаимно просты.

Числа 21 и 34 тоже взаимно просты. А вот числа 24 и 28 не являются взаимно простыми, так как они имеют общие натуральные делители, отличные от единицы (например, их общим делителем является число2).

Рассмотрим три важные теоремы о взаимно простых числах.

Теорема 1: Если числа a и b взаимно просты, то существуют такие два целых числа hello_html_69b83015.gif и hello_html_7e672011.gif, что ahello_html_69b83015.gif+bhello_html_7e672011.gif = 1.

Теорема 2: Если число n делится на каждое их двух взаимно простых чисел a и b, то оно делится на их произведение ab.

Теорема 3: Если произведение ac делится на b и если числа a и b взаимно просты, то c делится на b.

Рассмотрим примеры применения теоремы о взаимно простых числах к решению задач.

Пример 1. Докажем, что число hello_html_m72c20726.gif делится на 2, и отдельно докажем, что оно делится на 3. Так как 2 и 3 взаимно просты, то отсюда будет следовать (по теореме 2), что hello_html_m72c20726.gif делится на 6.

Если n ≡ 0(hello_html_7583b141.gif), то hello_html_m21f096b4.gif;

Если n ≡ 1(hello_html_7583b141.gif), то hello_html_m541579ab.gif.

Итак, в любом случае hello_html_m1b767036.gif, то есть число hello_html_m72c20726.gif делится на 2. Далее, если n ≡ 0(hello_html_39da1a25.gif), то hello_html_mac646ef.gif;

если n ≡ 1(hello_html_39da1a25.gif), то hello_html_6a728d73.gif;

если n ≡ 2(hello_html_39da1a25.gif), то hello_html_20bed8c7.gif.

Итак, в любом случае hello_html_5f8da247.gif, то есть hello_html_m72c20726.gif делится на 3.

Пример 2. Существует ли такое натуральное n, что число

hello_html_m27853e0.gif

Делится на 217?

Решение: Рассмотрим числа

1, 11, 111, 1111, …, hello_html_m4c7681fa.gif

Каждое из них имеет какой-то остаток от деления на 217. Так как остатков от деления на 217 имеет 217(то есть 0, 1, 2, …, 216), а чисел у нас 218, то найдутся среди них два числа, имеющие одинаковые остатки от деления на 217. Пусть, например,

hello_html_m2e9f2923.gifhello_html_m23e5125f.gif(hello_html_73a81b33.gif)

Тогда разность этих чисел делится на 217. Подписав первое число под вторым и произведя вычитание «в столбик», мы увидим, что разность этих чисел имеет вид:

hello_html_6aea115e.gif,

то есть эта разность равна hello_html_55b5e86d.gif. По доказанному это число делится на 217. Остается применить теорему3: так как числа hello_html_40d8b9da.gif и 217 взаимно просты, то число hello_html_2c7de419.gif должно делиться на 217. Мы видим, что ответ на поставленный вопрос утвердителен. Можно даже утверждать, что существует число, записываемое не более чем 217 единицами и делящееся на 217.

3.2. Признаки делимости.

Вы, конечно, знаете, как определить, делится ли некоторое натуральное число на 10: для того чтобы некоторое натуральное число делилось на 10, необходимо и достаточно, чтобы последняя цифра этого числа была равна нулю.

Это признак делимости на 10. Например, число 257630 делится на 10, а число 38461 не делится. Хорошо известны также признаки делимости на 2 и на 5:

  • Для того чтобы число делилось на 2, необходимо и достаточно, чтобы последняя его цифра была четной;

  • Для того чтобы число делилось на 5, необходимо и достаточно, чтобы его последняя цифра была 0 или 5.

Похожим образом формулируются признаки делимости на 100, на 4, на 25. Несколько менее известны признаки делимости на 3 и на 9:

  • Для того чтобы число делилось на 3, необходимо и достаточно, чтобы сумма его цифр делилась на 3;

  • Для того чтобы число делилось на 9, необходимо и достаточно, чтобы сумма его цифр делилась на 9.

А можно ли придумать признак делимости на 11 или на 17 и как доказать сформулированные выше признаки делимости (например, признак делимости на 3)? Постараемся ответить на эти вопросы. Но прежде условимся о способе записи чисел. Если нас попросят написать шестизначное число, первая цифра которого a, вторая b, третья c, четвертая d, пятая e и шестая f. Написать abcdef нельзя – это будет обозначать произведение: abcdef=hello_html_661ffc7b.gifПоэтому, чтобы записать число, цифры которого обозначены буквами, мы условимся проводить над этими буквами черту. Таким образом, hello_html_m20c6ee8f.gif будет обозначать число, имеющее f единиц, e десятков, d сотен и так далее:

hello_html_m20c6ee8f.gif= hello_html_m185245cc.gif

Теперь докажем сформулированный выше признак делимости на 3. Для примера мы будем рассматривать шестизначное числоhello_html_m20c6ee8f.gif, но рассуждение имеет общий характер. Мы имеем:

10 ≡ 1(hello_html_39da1a25.gif)

Возводя это сравнение в квадрат, куб и так далее, получаем:

hello_html_m1988768f.gif, hello_html_m39da86ff.gif, hello_html_5983d160.gif,hello_html_m3576e303.gif, …

Следовательно,

hello_html_1048ebab.gif, hello_html_5f7d659b.gif,hello_html_maf8d1e2.gif,

hello_html_m2faab886.gif, hello_html_52d65ee5.gif, hello_html_m500e7095.gif.

Складывая почленно все эти сравнения, получаем:

hello_html_59fd4492.gif,

или иначе:

hello_html_m4f270f4d.gif.

Мы доказали таким образом, что натуральное число имеет тот же остаток от деления на 3, что и сумма его цифр. Из этого и вытекает сформулированный выше признак делимости на 3.

Признак делимости на 11:

  • для того чтобы число делилось на 11, необходимо и достаточно, чтобы разность между суммой цифр, стоящих на нечетных местах, и суммой цифр, стоящих на четных местах, делилась на 11.

Таким же способом можно получить признак делимости на 7. Мы имеем:

10 ≡ 3(hello_html_33a1a386.gif), hello_html_m3e9a8b2.gif, hello_html_m31de1b32.gif,

hello_html_486cbe13.gif, hello_html_m7b0c4d1.gif,

hello_html_30fbb6d3.gif

Так как hello_html_444b0d49.gif, то дальше все будет повторяться. В результате мы получим следующие две строки чисел, причем под каждой степенью десяти подписано число, сравнимое с ней по модулю 7 (то есть дающее тот же остаток при делении на 7).

hello_html_m4a4b4fd.gif

3 1 -2 -3 -1 2 3 1 -2 -3 -1 2 3 1

Отсюда мы получаем (взяв для примера шестизначное число hello_html_m20c6ee8f.gif):

hello_html_m20c6ee8f.gif= hello_html_m745cf37b.gif.

В результате мы получаем следующее правило:

  • чтобы узнать остаток от деления натурального числа на 7, нужно справа налево подписать под цифрами этого числа коэффициенты:

-1, 2, 3, 1, -2, -3, -1, 2, 3, 1,

затем умножить каждую цифру на стоящий под ним коэффициент и полученные произведения сложить; найденная сумма будет иметь тот же остаток от деления на 7, что и взятое число.

Возьмем для примера число 4136. Действуя, как указано в правиле, мы находим:

4 1 3 6

hello_html_10e72eb0.gif

-4,2,9,6

(-4)+2+9+6 = 13

Таким образом, hello_html_cde8791.gif.

Этим способом можно найти признак делимости на любое число m. Надо только найти, какие коэффициенты следует подписывать под цифрами числа. А для этого нужно каждую степень десяти hello_html_40d8b9da.gif заменить по возможности меньшим числом (положительным или отрицательным), имеющим тот же остаток при делении на m, что и числоhello_html_40d8b9da.gif. При m = 3 или m = 9 эти коэффициенты получились очень просты: все они равны единице. Поэтому и признак делимости на 3 или на 9 получился очень простой. При m = 11 коэффициенты тоже были несложные: они попеременно равны +1 и -1. А при m = 7 коэффициенты получились посложнее; поэтому и признак делимости на 7 получился более сложный.

Заметим, что иногда признак делимости можно получить проще. Пусть, например, нужно определить, делится ли некоторое число на 15. Конечно, можно, как указано выше, найти коэффициенты, подписать их и составить сумму произведений цифр на эти коэффициенты. Но можно поступить проще. Ведь если число делится на 15, то оно делится на 3 и на 5. Наоборот, если число делится на 3 и на 5, то по теореме2 §4 оно делится на 15. Значит,

  • для того чтобы число делилось на 15, необходимо и достаточно, чтобы оно делилось на 5 и на 3, то есть чтобы оно оканчивалось нулем или пятеркой и, кроме того, сумма его цифр делилась на 3.

Аналогично

  • для того чтобы число делилось на 6, необходимо и достаточно, чтобы оно делилось на 2 и на 3, то есть чтобы его последняя цифра была четной и, кроме того, сумма его цифр делилась на 3.

Таким же способом можно получить признак делимости на 8, 45 и другие числа.

п.4. Теорема Эйлера и Ферма.

Теорема Эйлера: Если a и m числа взаимно простые, тогда

hello_html_me0afcfc.gif.

Пример. Пусть m = 9, a = 14.

Тогда hello_html_m3530a2d3.gif = hello_html_m58576334.gif(hello_html_3c336f41.gif) = hello_html_3c336f41.gif - 3 = 6, далее, так как hello_html_4cceabd2.gif, имеем hello_html_m6de23ccf.gif. Но по модулю 9:

hello_html_m61f110b6.gif, hello_html_m68a00fa7.gif, hello_html_m17a84e7a.gif, hello_html_m5e62ce20.gif

Итак, hello_html_9b96155.gif.

Теорема Ферма: для частного случая, когда m = p число простое, из теоремы Эйлера следует теорема Ферма: если p число простое и (a, p) = 1, тогда hello_html_m43494d52.gif.

Пример. Пусть p = 11, a = 8. Ввиду того что 8 ≡ -3(hello_html_m6a8e2b2d.gif), имеем hello_html_m352fe481.gif(hello_html_m6a8e2b2d.gif).

Но по модулю 11

hello_html_ca173dd.gif, hello_html_72d3439a.gif

Итак,

hello_html_46d224fa.gif.

Часто применяется следующее следствие из теоремы Ферма: для простого p и любого a

hello_html_m66a611c.gif

На самом деле, по теореме Ферма

hello_html_3633b1c3.gif.

С другой стороны

hello_html_m8f522f9.gif:p при (hello_html_572c674d.gif)≠1;

поэтому при любом a произведение

hello_html_m8f522f9.gif×(hello_html_263ac873.gif):p,

или

hello_html_m578f46c1.gif,

то есть

hello_html_m66a611c.gif.

В заключение заметим, что предложение, обратное к теореме Ферма, не имеет место, то есть в случае, когда при hello_html_m4dd80d58.gif.

hello_html_m16754443.gif,

нельзя еще утверждать, что n число простое.

Так, например, hello_html_m2962738e.gif, однако 341 = 31×11.

Действительно,

hello_html_4496f298.gif,

поэтому

hello_html_m49ce6513.gif.

4.1 Применение теорем Эйлера и Ферма.

Теоремы Эйлера и Ферма имеют многочисленные применения. Рассмотрим примеры вычисления остатков при делении степеней на данное число.

Пример 1. Найти остаток при делении hello_html_38166a37.gif на 13.

По теореме Ферма hello_html_m752cf642.gif, поэтому hello_html_7576411e.gif; кроме того, hello_html_m4b868c4e.gif.

Следовательно,

hello_html_m28477b21.gif.

Итак, искомый остаток равен 12.

Пример 2. Найти остаток при делении hello_html_86d4d03.gif на 83.

Теорему Ферма для данного случая нельзя применять, так как φ(83) = 82>40. Поэтому следует найти такие hello_html_m57141916.gif, чтобы при возможно больших значениях k, k≤40, получались бы при делении на 83 по возможности меньшие остатки.

hello_html_m7ea28f3e.gif; hello_html_289d0fc7.gif.

Итак, искомый остаток равен 28.

Пример 3. Найти остаток от деления hello_html_m6651ef53.gif на 15.

Так как

hello_html_m580b79e.gif,то hello_html_m3fb2e0a8.gif.

По теореме Эйлера

hello_html_252a8a2f.gif,

но hello_html_m5f406c53.gif = 8, поэтому hello_html_6c321018.gif.

Далее

hello_html_m4960c8b2.gif

hello_html_77bc4273.gif.

Итак, hello_html_m6651ef53.gif при делении на 15 дает остаток 8.

Часовые разработки.

п.1. Часовое планирование.

Объем курса и виды учебной работы.

Виды учебной работы

Всего часов

Общая трудоемкость

18

Аудиторные занятия

18

Лекции

2

Практические занятия (семинары)

16

Вид итогового контроля: контрольная работа




Содержание курса

Разделы курса и виды занятий

п\п

Тематический план

Лекции, ч.

Практические

занятия, семинары, ч.

1

Основные теоретические положения темы: «Сравнения»

2

-

2

Теоремы о делимости.

-

1

3

Деление с остатком.

-

1

4

Существование и единственность деления с остатком.

-

2

5

Сравнения и их основные свойства.

-

2

6

Периодичность остатков при возведении в степень.

-

2

7

Взаимно простые числа.

-

2

8

Признаки делимости.

-

3

9

Теоремы Эйлера и Ферма.

-

2

10

Итоговое занятие.

-

1



п.2. Почасовые разработки.

Семинар 1.Тема: Теоремы о делимости.

Задание 1. Доказать, что число записанное 81 единицей делится на 81.

Решение: hello_html_m2e86a6ed.gif:81

11111111100×hello_html_59050c1f.gif+111111111×hello_html_504c410c.gif+…+111111111×hello_html_m6527e5d3.gif+ 111111111 = hello_html_m3a2ff172.gif×(hello_html_m47cbcc87.gif+…+hello_html_m6527e5d3.gif+1)

Следовательно, число, записанное 81 единицей делится на 81.

Задание 2. Докажите, что если ab+cd делится на a-c, то ad+cb тоже делится на a-c (a, b, c, d- целые числа, причем a≠c).

Решение: по условию (ab+cd):(a-c)

По следствию1: ab:(a-c) и cd:(a-c)

По следствию3: либо a:(a-c) и c:(a-c), то (ad+cb):(a-c)

(по следствиям 1 и 3).

либо b:(a-c) и d:(a-c), то (ad+cb):(a-c).

либо a:(a-c) и b:(a-c), c:(a-c) и d:(a-c), то (ad+cb):(a-c).

Семинар 2.Тема: Деление с остатком.

Задание 1. Найдите частное и остаток при делении на 7 следующих чисел: 3, 5, 10, 35, 100, 0, -1, -7, -12, -50.

Решение:hello_html_m249c2cf0.gif, частное 0, остаток 3

hello_html_m1cd4cfd2.gif, частное 0, остаток 5

hello_html_2d6f18d0.gif, частное 1, остаток 3

hello_html_m296bd0c1.gif, частное 5, остаток 0

hello_html_m6c3f0a01.gif, частное14, остаток 2

hello_html_m5dfbd2c2.gif, частное 0, остаток 0

hello_html_m3d47c4fb.gif, частное -1, остаток 6

hello_html_9c2cace.gif, частное (-1), остаток 0

hello_html_73451f02.gif, частное (-2), остаток 2

hello_html_m64731ee5.gif, частное (-7), остаток 1

Задание 2. Докажите, что если число a дает при делении на b остаток r, то a-r делится на b.

Решение: по условию a = qb+r, отнимем от обеих частей r, получим

a - r = qb + r - r, следовательно, a - r = qb, что и означает делимость (a - r) на b.

Задание 3. Найдите частные и остатки при делении на 10 следующих чисел: 3, 5, 10, 35, 100, 0, -1, -7, -12.

Решение:hello_html_m674e1491.gif, частное 0, остаток 3

hello_html_73b8cd16.gif, частное 0, остаток 5

hello_html_m673e7bd7.gif, частное 1, остаток 0

hello_html_47e33aad.gif, частное 3, остаток 5

hello_html_m10e5f917.gif, частное 10, остаток 0

hello_html_m4363c480.gif, частное 0, остаток 0

hello_html_3f5f0e79.gif, частное -1, остаток 9

hello_html_m57d855e8.gif, частное -1, остаток 3

hello_html_1b9e1f4d.gif, частное -2, остаток 8

Семинар 3-4. Тема: Существование и единственность деления с остатком.

Задание 1. Докажите, что при любом n, hello_html_b64804e.gif:5

Решение: n(hello_html_m2f376881.gif) = n(hello_html_14252e2a.gif)(hello_html_6f270db4.gif) = n(hello_html_3977b99d.gif)(hello_html_m2d3d5c80.gif)(hello_html_6f270db4.gif) = n(hello_html_3977b99d.gif)(hello_html_11b478d8.gif((hello_html_2ad297c2.gif)+5) = hello_html_m2b8026c3.gif+ +hello_html_6ea1ef54.gif

Следовательно hello_html_b64804e.gif:5

Задание 2. Докажите, что при любом целом n, число hello_html_1f0224cd.gif четно.

Решение: hello_html_m1680f16f.gif

  1. Если n нечетное, то число hello_html_m2d3d5c80.gif четное, а произведение нечетного числа на четное дает четное число.

Получаем, что hello_html_1f0224cd.gif четное число.

  1. Если n четное, то число hello_html_m2d3d5c80.gif нечетное, но так как произведение четного числа на нечетное дает четное число, то получим, что hello_html_1f0224cd.gif четное число.

Задание3. Может ли быть число hello_html_752e94b3.gif точным квадратом?

Решение: hello_html_752e94b3.gif так как hello_html_1e398b2a.gif не является целым числом, следовательно, число hello_html_752e94b3.gif не может быть точным квадратом.

Задание 4. Может ли число вида hello_html_m4d74cdcc.gif делиться на 121?

Решение: hello_html_m4e9950c6.gif

Пусть hello_html_fbde19b.gif

hello_html_675e5bcd.gif

hello_html_m4d74cdcc.gifне делится на 121

Семинар 5-6. Тема: Сравнения и их основные свойства.

Задание 1. Доказать, что при любом натуральном m число hello_html_3ddaebbe.gif делится на 133.

Решение: Мы имеем:

hello_html_357231f9.gif

Но 144 ≡11(hello_html_m69f10dcb.gif), и потому согласно следствию 1 п.2hello_html_4eb723a4.gif.

Умножая на 12, получаем:

hello_html_m4b87425c.gifhello_html_m1083ea53.gif(hello_html_m69f10dcb.gif), так что hello_html_70455f4b.gif (hello_html_m69f10dcb.gif). Далее, hello_html_43b9fc66.gif. А так как 121 ≡ -12(hello_html_m69f10dcb.gif).

Складывая сравнения:

hello_html_70455f4b.gif(hello_html_m69f10dcb.gif),

hello_html_m76ee3cf9.gif.

получаем

hello_html_m452fe510.gif, то есть число hello_html_3ddaebbe.gifделится на 133.

Задание 2. Докажите, что при любом целом n число hello_html_205d37dd.gif делится на 6.

Решение: Всякое целое число n дает при делении на 6 один из остатков 0, 1, 2, 3, 4, 5, то есть имеет место одно из сравнений:

n ≡ 0(hello_html_m2e364cb3.gif), n ≡ 1(hello_html_m2e364cb3.gif), n ≡ 2(hello_html_m2e364cb3.gif), n ≡ 3(hello_html_m2e364cb3.gif), n ≡ 4(hello_html_m2e364cb3.gif), n ≡ 5(hello_html_m2e364cb3.gif).

Если n ≡ 0(hello_html_m2e364cb3.gif), то по следствию2:

hello_html_m28792683.gif,

то есть hello_html_4b877622.gif.

Если n ≡ 1(hello_html_m2e364cb3.gif), то hello_html_5bf91bb4.gif, то есть hello_html_aadb554.gif.

Если n ≡ 2(hello_html_m2e364cb3.gif), то hello_html_m49dd79ca.gif, то есть hello_html_m149a7470.gif.

Если n ≡ 3(hello_html_m2e364cb3.gif), то hello_html_3068ba74.gif, то есть hello_html_4ee62ba2.gif.

Если n ≡ 4(hello_html_m2e364cb3.gif), то hello_html_27704b8f.gif, то есть hello_html_m2629a591.gif.

Если n ≡ 5(hello_html_m2e364cb3.gif), то hello_html_34fdc1b6.gif, то есть hello_html_55862f7d.gif.

Итак, в любом случае hello_html_4b877622.gif, то есть hello_html_205d37dd.gifделится на 6.

Задание 3. Найти две последние цифры hello_html_m12525484.gif.

Решение: hello_html_m58dc826e.gif

Семинар 7-8. Тема: Периодичность остатков при возведении в степень.

Задание 1. Найдите остаток от деления числа hello_html_55b8dc0a.gif на 3.

Решение: hello_html_3ae59b60.gif.

hello_html_6f0840c9.gif.

Сложим полученные результаты:

hello_html_2b325696.gif,

hello_html_360f738.gif.

Это означает, что число hello_html_55b8dc0a.gif делится на 13.

Задание 2. Найдите остаток от деления hello_html_25785063.gif на 11.

Решение: hello_html_4d290f6d.gif.

Таким образом, число hello_html_25785063.gif при делении на 11 дает остаток 3.

Задание 3. Делится ли число hello_html_47fe8123.gif на 10?

Решение: hello_html_4fd2ffd7.gif*7≡hello_html_m3cc54baa.gif

hello_html_m6099ca2a.gif.

Выполним вычитание:

hello_html_1710f449.gif,

hello_html_70950564.gif.

Это и означает, что число hello_html_47fe8123.gif делится на 10.

Задание 4. Докажите, что число hello_html_m227aa993.gif делится на 7.

Решение: Так как 2222 = 7*317+3, то 2222 ≡ 3(hello_html_33a1a386.gif), и потому hello_html_m6aa99f0.gif.

Теперь посмотрим, как повторяются остатки степеней тройки при делении на 7. Мы находим:

hello_html_253b2ca7.gif, hello_html_m28e02b5c.gif, hello_html_m333f68ed.gif, hello_html_7ed1c643.gif, hello_html_5a7b8068.gif.

Итак, hello_html_m1df09093.gif. Возводя в степень k, получаем: hello_html_m391fc426.gif при любом натуральном k. Но 5555 = 6*925+5. Поэтому:

hello_html_m7655e9f.gif

Таким образом, число hello_html_56d5cac3.gif дает при делении на 1 остаток 5.

Так как 5555 = 7*793+4, то 5555 ≡ 4(hello_html_33a1a386.gif), и потому:

hello_html_4edf4ddd.gifhello_html_31f71566.gif.

Теперь посмотрим, как повторяются остатки степеней четверки при делении на 7. Мы находим:

hello_html_m419c70fd.gif, hello_html_406d0fcf.gif.

Итак, hello_html_2e604020.gif. Возводя в степень k, получаем:

hello_html_28d1490f.gifпри любом натуральном k.

Но 2222 = 3*740+2. Поэтому

hello_html_2b3d817.gif.

Складывая, получим:

hello_html_367fea07.gif,

hello_html_5b24c612.gif.

Что доказывает делимость.

Семинар 9-10. Тема: Взаимно простые числа.

Задание 1. Докажите, что числа n и n+1 взаимно простые.

Решение: По теореме 1 hello_html_4afea574.gif.

hello_html_3685b45f.gif

Проведем доказательство от противного:

Предположим, что c>1, разделим n на c с остатком: hello_html_m34ffb0d6.gif 0≤r

hello_html_m7088e1e4.gif,

то есть натуральное число r, меньшее, чем c, нам удалось представить виде hello_html_m3d80f438.gif. Но это не возможно, так как c – наименьшее натуральное число.

Значит, r=0, так что hello_html_64f6391a.gif. Иными словами, число n делится на c.

Аналогично доказывается, сто и n+1 делится на c.

Значит, числа n и n+1 имеют общий делитель c>1.

Получили противоречие.

Задание 2. Докажите, что при любом целом n число hello_html_2c9a1283.gif делится на 30.

Решение: Если hello_html_a4641f0.gif, то hello_html_m8349474.gif;

Если hello_html_m63b5fc6c.gif, то hello_html_m6a44ae4d.gif;

Если hello_html_m753368e9.gif, то hello_html_75169dff.gif;

Если hello_html_3fd6a1fb.gif, то hello_html_2050e171.gif;

… … …

Если hello_html_322ede82.gif, то hello_html_52587b31.gif.

Итак, в любом случае hello_html_m794ced28.gif, то есть hello_html_2c9a1283.gifделится на 30.

Задание 3. Докажите, что при любом нечетном n число hello_html_m72c20726.gif делится на 24.

Решение: n принимает значения от 0 до 23.

n – нечетное: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23.

Если hello_html_m5204b7f5.gif, то hello_html_m234cdc76.gif;

Если hello_html_m54974abb.gif, то hello_html_21ad83e9.gif;

Если hello_html_3290c66b.gif, то hello_html_14305265.gif;

… … …

Если hello_html_44e5fdba.gif, то hello_html_m6f638962.gif.

Итак, в любом случае hello_html_31f0eaf0.gif, то есть hello_html_m72c20726.gifделится на 24.

Задача 4. Делится ли число hello_html_7ecd9435.gif на 48, при любом нечетном a?

Решение: hello_html_m31c4940.gif- нечетное число, a произведение любого числа на 48 – четное число.

Следовательно, число hello_html_7ecd9435.gif не делится на 48.

Семинар 11-13. Тема: Признаки делимости.

Задание 1. Выведите признак делимости на 11.

Решение: Заметим, что 10 ≡ -1(hello_html_m6a8e2b2d.gif).

Возводя это сравнение в квадрат, куб и так далее, получим:

hello_html_1faf10e.gif,

hello_html_144ba0d1.gif,

hello_html_m6bc8d39c.gif,

hello_html_m2a954c2a.gif,

и так далее.

Следовательно,

hello_html_3d5b7fed.gif; hello_html_7461f61f.gif;

hello_html_66a41b64.gif; hello_html_m4bc7b68e.gif;

hello_html_m628ed46d.gif;hello_html_2357589d.gif.

Складывая почленно все эти сравнения, получаем:

hello_html_mef628c5.gif.

Задание 2. Делится ли число 542379 на 11?

Решение: hello_html_4a4749a8.gif.

Следовательно, число 542379 не делится на 11.

Задание 3: Делится ли число 8546216 на 7.

Решение:

8 5 4 6 2 1 6

hello_html_m6e9a49a2.gif

hello_html_m2059663a.gif

hello_html_m3d80a2b2.gif.

Таким образом, hello_html_3b114476.gif, то есть число 8546216 делится на 7.

Задание 4. Вывести признак делимости на 12.

Решение: hello_html_m20c6ee8f.gif= hello_html_m185245cc.gif.

hello_html_m2d3eb074.gif.

hello_html_m49b52b53.gif

hello_html_43817c83.gif

hello_html_m6c6fad73.gif

Следовательно,

hello_html_5aad1ca4.gif

hello_html_7e1882e6.gif

hello_html_4ffdde47.gif

Складывая почленно все эти сравнения, получаем:

hello_html_4b1477b1.gif

Задание 5. Выведите признак делимости на 8.

Решение: hello_html_m20c6ee8f.gif= hello_html_m185245cc.gif.

hello_html_m5755e794.gif

hello_html_m5062ff6b.gif

hello_html_1ced1715.gif

hello_html_m62ed0a5b.gif

Следовательно,

hello_html_m64824326.gif

hello_html_3286f5cb.gif

hello_html_m40a35a77.gif

Складывая почленно все эти сравнения, получаем:

hello_html_4f3646da.gif

Семинар 14-15. Тема: Теоремы Эйлера и Ферма.

Задание 1. Найти остаток от деления hello_html_437da4bd.gif на 45.

Решение: hello_html_m66b8e585.gif.

(23, 45) = 1, следовательно, по теореме Эйлера hello_html_m3ad47894.gif

hello_html_m71626cfb.gif.

hello_html_285849.gif.

hello_html_4fa6e34f.gif.

hello_html_m60e2bfbe.gif.

Остаток равен 32

Задание 2. Показать, что 100 степень любого целого числа либо делится на 125, либо при делении на 125 дает остаток 1.

hello_html_2dbbaa70.gif.

hello_html_43fcfa40.gif, по теореме Эйлера hello_html_m321130dd.gif.

hello_html_m43884baa.gif.

hello_html_m2b017800.gifследовательно, hello_html_36164070.gif.

hello_html_1803bf02.gif.

hello_html_3c65e7f3.gif.

Задание 3. Найти остаток от деления числа hello_html_4d83b678.gif на 13.

Решение: hello_html_m7be17585.gif

hello_html_2b0013bb.gif.

hello_html_7861062d.gif.

hello_html_m391f7e8b.gif, по теореме Эйлера hello_html_f20c15.gif

hello_html_5ee40b99.gif.

hello_html_m4b654c1d.gif, по теореме Эйлера hello_html_407b2a05.gif

hello_html_m737ad980.gif.

hello_html_m2bfe7dec.gif

Остаток равен 10.

Семинар 16. Контрольная работа.

Задание 1. Найти остаток от деления числа hello_html_m484d4ca5.gif на 5 не вычисляя.

Решение:

hello_html_5668b05.gif

hello_html_m5ae07b60.gif

hello_html_1d0595d8.gif

hello_html_6d862937.gif

hello_html_6eae3e87.gif

hello_html_4b2a3337.gif.

Задание 2. Найдите две последние цифры числа hello_html_m3d9926c.gif.

Решение: hello_html_714f44b1.gif

hello_html_m6d3d4650.gif

hello_html_m2976a822.gif

Две последние цифры числа hello_html_m3d9926c.gif равны 32.

Задание 3. Делится ли число hello_html_d50e343.gif на 7?

Решение: hello_html_56283b7e.gif

hello_html_6cb501a4.gif,

hello_html_18980098.gif

hello_html_799b337d.gif

hello_html_m5084b5e4.gif

Возводя в степень hello_html_m417594b3.gif, получаем:

hello_html_ma4c1215.gifпри любом натуральном k.

hello_html_m69f67093.gif

hello_html_m239436df.gif.

Складывая полученные сравнения, получаем:

hello_html_590f27fe.gif.

Таким образом, число hello_html_d50e343.gif делится на 7.

Зачет.

Учащиеся к зачету должны выучить все формулировки теорем и определений, изученных в элективном курсе.

Зачет проводиться в устной форме. Сначала защищается контрольная работа, исправляются ошибки, а затем учащиеся устно отвечают на вопросы учителя.

Оценка в виде зачет или незачет.





Заключение

В современных условиях развития общества особую актуальность приобрела проблема внедрения в школьное математическое образование элементов современной математики. На сегодняшний момент это возможно в рамках профильной школы, на элективных курсах.

Изучение школьных программ и программ элективных курсов по математике показало, что, например, элементы современной абстрактной алгебры, в частности, элементы теории конечных полей в них не включены. В качестве элективного курса нами был разработан курс «Теории сравнений» для учащихся 8-9-х классов.

Как уже говорилось выше, одной из основных целей обучения в профильных классах является развитие личности ребенка, распознавание и раскрытие его способностей. Было бы неверно считать, что целью обучения в математическом профиле является «выращивание» математиков. Очень немногие выпускники математических школ станут профессионалами в этой области.

Если в результате занятий в профильной школе, и в частности занятий элективным курсом, ученик выбирает путь продолжения образования, связанный с математикой, — ориентационная цель достигнута. Но если выпускник математического класса осознанно не выбирает «математическое будущее», то цель также достигнута. Недостигнутой она может считаться лишь в том случае, если ученик так и не понял, нравится ему математика или нет.

Все поставленные цели и задачи исследования выполнены.









Список использованной литературы

1. Епишева О.Б. Общая методика преподавания математики в средней школе / Тобольск, Изд-во ТГПИ им. Д.И. Менделеева, 1997

2. Методические рекомендации по изучению курса методики преподавания математики / Сост. Петрова Е.С., Саратов, Изд-во "Полиграфист", 1983

3. Учебники для средней школы и соответствующие пособия для учителя.

4. Сикорский К. П. «Дополнительные главы по курсу математики 7-8 классов для факультативных занятий». Издательство « Просвещение», Москва 1969г.

5. Михелович Ш. Х. «Теория чисел», государственное издательство « Высшая школа», Москва 1962г.

6. Скопец З. А. «Дополнительные главы по курсу математики 10 класса для факультативных занятий». Издательство «Просвещение», Москва 1970г.

7. Цели, содержание и организация пред профильной подготовки в выпускных классах основной школы: Рекомендации директорам школ, руководителям региональных и муниципальных управлений образованием. – М., 2003.

8. Элективные курсы в профильном обучении: Образовательная область «Математика»/ Министерство образования РФ – Национальный фонд подготовки кадров. – М., 2004.

9. Журнал «Математика в школе».



45



Подайте заявку сейчас на любой интересующий Вас курс переподготовки, чтобы получить диплом со скидкой 50% уже осенью 2017 года.


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Автор
Дата добавления 14.09.2015
Раздел Математика
Подраздел Рабочие программы
Просмотров1422
Номер материала ДA-043813
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх