Элективное занятие по математике 8 класс. "Делимость. Диофантовы уравнения"

Технологическая карта занятия по элективному курсу в 8 классе

«Делимость чисел. Диофантовы уравнения»

( для углубленного изучения математики, 2010г., переработано в 2016г.)

Предмет: элективный курс «МАТЕМАТИКА. Решение задач повышенной сложности». 8 класс

Тема: «Делимость чисел. Диофантовы уравнения».

Тип урока: изучение и закрепление знаний и способов деятельности.

Участники: обучающиеся 8 класса.

Цели:           1. Способствовать формированию у школьников научного мировоззрения.

2. Помочь повысить уровень понимания и практической подготовки решений уравнений в целых числах.

3. Создать в совокупности с основными разделами курса базу для развития способностей учащихся.

4. Способствовать формированию осознания степени своего интереса к предмету и оценить возможности дальнейшей перспективы.

5. Помочь овладеть рядом технических и интеллектуальных умений на уровне свободного их использования.

Задачи:

1. Знание основных математических понятий;

2. Усвоение необходимых исторических примеров;

3. Умение решать нестандартные задачи;

4. Навыки решения несложных математических задач;

5. Приобрести навыки работы в «команде»;

6. Умение ясно излагать свои мысли по основным математическим задачам, четко формулировать вопросы к соотечественникам;

7. Умение выслушивать другие точки зрения по спорным вопросам и делать соответствующие выводы;

8. Способствовать формированию научно-математического мышления;

9.Умение постановки проблемы для всеобщего обсуждения и решения;

Развивающие:	Воспитательные:	Образовательные:
Создать условия, в которых учащиеся могли бы самостоятельно планировать и анализировать собственные действия, находить выход из любой ситуации, реально оценивать свои возможности и знания, осознанно воспринимать новый материал.	Воспитывать познавательный интерес к предмету, любовь к поисковым решениям, культуру поведения при фронтальной, групповой и индивидуальной работе, культуры общения, культуры диалога.	1. ознакомить и обеспечить овладение учащимися основными алгоритмическими приемами при решении задач данной темы 2.  показать практическое применение в жизни. 3.  способствовать развитию математической речи, оперативной памяти, произвольного внимания, наглядно-действенного мышления.

Планируемый результат обучения, в том числе и формирование УУД:

В результате изучения данных тем учащиеся должны:

1.      точно и грамотно формулировать теоретические положения и излагать собственные рассуждения в ходе решения заданий;

2.      прочно усвоить понятие диофантовых уравнений;

3.      уметь решать уравнения, содержащие более одной переменной, имеющие целые решения;

4.      расширить и углубить теоретические сведения о диофантовых уравнениях;

5.      освоить набор приемов решения диофантовых уравнений;

6.      проводить полные обоснования при решении задач, используя для этого законы логики математических рассуждений и

полученные  теоретические знания;

7.      применять изученные алгоритмы для решения соответствующих заданий;

8.      уметь решать диофантовы уравнения с одним неизвестным;

9.      уметь решать диофантовы уравнения первой степени;

10.  уметь работать с учебником, фиксировать в записях содержание основных вопросов, анализировать учебный материал;

11.  уметь аргументировано высказывать свое мнение.

Основные понятия: делимость, признаки делимости, простые и составные числа, алгоритм Евклида, НОД и НОК чисел, четность и нечетность.

К уроку приготовить:

1.   Слайд со стихотворением о Диофанте. (см приложение)

2.   Распечатки задач на каждую парту, для работы в группах ( см. приложение).

3.   Одно из домашних заданий оформить на на доске:  Доказать, что  есть целое число. (записать часть решения)

4.   Второе домашнее задание проверить с помощью учеников, и сделать записи. ( Задача. Крестьянка несла на базар в корзине яйца. Проезжающий мимо всадник нечаянно толкнул ее, и все яйца разбились. На вопрос, сколько было яиц, она ответила: «Когда я их раскладывала по 2, то одно яйцо осталось. То же самое произошло, когда я их раскладывала по 3, по 4, по 5 и по 6. Когда я их разложила по 7, то остатка не оказалось». Сколько было яиц у крестьянки?)

Этапы урока	Содержание учебного материала. Деятельность учителя	Деятельность обучающихся	Формирование УУД
Организ. момент	Приветствие, проверка готовности к уроку (рабочих тетрадей, письменных принадлежностей).	Настраиваются на урок, проверяют готовность своего рабочего места.
Актуализация субъектного опыта учащихся. Решение задач по теме «Делимость» Подведение итогов Формулировка темы занятия Постановка проблемы Изучение новых знаний и способов деятельности Первичная проверка Закрепление решения задач	Мы продолжаем с вами изучать тему «Делимость», проверим как вы выполнили дом. Задания на данную тему и вспомним некоторые вопросы, связанные с этой темой. Проверка дом. Задания: Задача 1. (оформить на доске) Задача 2. Проверяется фронтально (учитель пишет на доске некоторые моменты с помощью учеников) Проверка и обсуждение задачи 1. На столах лежат распечатки задач (см. приложение) Разделиться на группы с помощью учителя. Задачи оцениваются. 1 гр.- сильная (задача 5) 2 гр.- сильная (задача 4, признак делимости на 41). 3 гр. – средняя (задача 6) 4 гр.- средняя (задача 4, признак делимости на 23) 5 гр.- средняя (задача 3а) 6 гр – средняя (задача 3б) 7 гр.- средняя (задача 2) 8 гр. - слабая  (задача 1) С какими понятиями, знаниями  вы столкнулись при решении этих задач? Сегодня начнем изучать интересные уравнения, которые называются «Диофантовыми уравнениями» в честь одного из ученых  Древнего Египта, о котором нам расскажет ученик И. Какие уравнения наз. Диофантовыми уравнениями? Назвать особенности Диофантовых уравнений? Привести примеры таких уравнений. Решение задач. Задача1. За покупку нужно уплатить 17 руб. У покупателя только по 2 руб. и по 5 руб. Сколькими способами он может расплатиться? Задача 2. (из арифметики Диофанта) Найти два числа, так чтобы их произведение находилось в данном отношении к их сумме:    x+y =xy. Задача 3.  (задача из дом работы, задача1) Сколько решений может иметь Диофантовое уравнение? Задача 4. На складе имеются гвозди в ящиках по 16 кг., 17 кг., и по 40 кг. Может ли кладовщик выдать 100 кг. гвоздей не вскрывая ящики? Дополнительно: Решить уравнение:  8x+14y=32.	Ученик работает у доски, делает основные записи данной задачи. Обучающиеся проговаривают некоторые моменты, обсуждают решение. Работа в группах (15 мин.) Защита своих задач. Задачи №№1, 2, 3, 4, 5, 6 Ребята оценивают свои результаты:  - правильность решения задачи; - выступление ученика, задают вопросы выступающему; На доске появляется схема (см. приложение_слайд) Выступление ученика «Сведения о Диофанте». (см. слайд) +решение задачи. Работа в конспекте (осн. записи) Составить алгоритм решения задачи.         2х+5у=17 Обсудить и  записать решение задачи. Записать второй способ решения задачи. Обучающие решают задачу, объясняют решение 16х+17у+40z= 100 (перебор, подбор)	Уметь оформлять свои мысли в устной форме (Коммуникативные УУД). Уметь ориентироваться в своей системе знаний: отличать новое от уже известного с помощью учителя   (Познавательные УУД). Умение слушать и понимать речь других, работать в парах (Коммуникативные УУД). Уметь проговаривать последовательность действий на уроке; (Регулятивные УУД). поиск и выделение необходимой информации,    и источников информации; выбор наиболее эффективных способов решения задач в зависимости от конкретных условий; Уметь определять и формулировать цель на уроке с помощью учителя (Регулятивные УУД). постановка и формулирование проблемы, самостоятельное создание алгоритмов деятельности при решении проблем творческого и поискового характера;  (познавательные УУД) планирование учебного сотрудничества с учителем и сверстниками — определение цели, функций участников, способов взаимодействия; постановка вопросов — инициативное сотрудничество в поиске и сборе информации; разрешение конфликтов — выявление, идентификация проблемы, поиск и оценка альтернативных способов разрешения конфликта, принятие решения и его реализация; управление поведением партнера - контроль, коррекция, оценка его действий; умение с достаточной полнотой и точностью выражать свои мысли в соответствии с задачами и условиями коммуникации;  ( коммуникативные УУД)
Информация о домашнем задании	Если не успели решить последнее уравнение, то постараться выполнить его дома. Решить уравнение:  8x+14y=32.		рефлексия способов и условий действия, контроль и оценка процесса и результатов деятельности; ((познавательные УУД)
Рефлексия учебной деятельности	Организует рефлексию и самооценку учениками собственной учебной деятельности. Продолжите фразы (по 2-3 чел.): «Сегодня на уроке я повторил…» «Сегодня на уроке я узнал…» «Сегодня на уроке я научился…»		Уметь оценивать правильность выполнения действия на уровне адекватной ретроспективной оценки. (Регулятивные УУД). Способность к самооценке на основе критерия успешности учебной деятельности (Личностные УУД).

Приложения к уроку.

1.     Слайд со стихотворением о Диофанте:

Путник! Здесь прах погребен Диофанта,

И числа поведать могут, о чудо, сколь долг был век его жизни,

Часто шестую его представляло счастливое детство.

Двенадцатая часть протекла еще жизни –

Пухом покрылся тогда подбородок,

Седьмую в бездетном браке провел Диофант,

Прошло пятилетье.

Он был осчастливлен рождением прекрасного первенца сына,

Коему рок половину лишь жизни счастливой и светлой

Дал на земле по сравненью с отцом.

Ив печали глубокой старец земного удела конец воспринял,

Переживши года четыре с тех пор, пока сына лишился.

Скажи, скольких лет жизни достигнув, Смерть воспринял Диофант?

(решить задачу составив уравнение)

Решение:  Пусть х – лет он прожил, тогда  ,

                                               Решив уравнение получим  х=84.                          Ответ: Диофант прожил 84 года.

2.      Решите задачи. (см. слайд)

1.     Вместо * поставьте цифры так, чтобы получилось число делящееся ·       На 9:    179*;       54*7. ·       На 8:    257*:       3*22. ·       На 11:  471*6;     8*31.	Решение.
2.     Доказать, что число, состоящее из цифр abcdabcd делится на 73, и на 137	Решение.
3.     Доказать, что a) D(a,b)=D(5a+3b,  13a+8b) b)  D(30n+25,  20n+15)=5	Решение.
4.     Получить признак делимости натурального числа на 41;  на 23.	Решение.
5.     Доказать, что сумма кубов трех последовательных натуральных чисел делится на 9.	Решение.
6.     Известно, что a)  D(a,b)=7      a*b=1470 b)  D(a,b)=5      K(a,b)=60 Найти числа a и b.	Решение.

3.     Схема (слайд)