"Элементы теории вероятностей", урок, методразработка

Филиал бюджетного профессионального образовательного учреждения Чувашской Республики

 «Чебоксарский медицинский колледж»

Министерства здравоохранения Чувашской Республики в городе Канаш

РАССМОТРЕНО и ОДОБРЕНО        на заседании ЦМКОГСЭ Протокол № ____ «____» _______________ 20 ___ г. Председатель ЦМК ____________Л.М Иванова

утверждено Зав. филиалом БПОУ «ЧМК» МЗ Чувашии в г. Канаш ____________ Т.Э Фадеева

Методическая разработка практического  занятия

элементы теории вероятностей

учебная дисциплина БД. 04 Математика

специальность 34.02.01Сестринское дело

(базовая  подготовка)

Канаш, 2022

Составитель: Семенова А.М., преподаватель высшей квалификационной категории филиала БПОУ ЧР «Чебоксарский медицинский колледж» Министерства здравоохранения Чувашии в г. Канаш

Рецензент: Иванова Л.М., преподаватель, высшей квалификационной категории филиала БПОУ ЧР «Чебоксарский медицинский колледж» Министерства здравоохранения Чувашии в г. Канаш

Аннотация

Основной целью урока является обобщение и систематизация знаний, обучающихся по теме «Элементы теории вероятностей», применение знаний для решения задач практического характера, устанавливающие взаимосвязь изучаемых фактов и явлений с жизнью, опытом обучающихся. Проблема, раскрываемая в разработке урока: применение практико-ориентированного  подхода для активизации учебно-познавательной деятельности студентов. Вопросы, раскрываемые в разработке: развитие познавательных потребностей, организация поиска новых знаний, повышение эффективности образовательного процесса, повышение интереса к предмету, сочетание индивидуальной и коллективной деятельности по изученной теме. Для обобщения и закрепления знаний по теме в сценарии урока предусмотрены письменное и устное выполнение упражнений, задание творческого характера. 

Таким образом, открытый урок по теме «Решение задач по  теории вероятностей»  закрепляет навыки студентов в решении  задач  на определение вероятности наступления случайного события, способствует развитию вероятностного мышления,   формированию универсальных учебных действий по теме: личностных, регулятивных и познавательных.

             Данная методическая разработка по теме «Элементы теории вероятностей» является уроком обобщения и повторения. Урок построен так, чтобы обучающиеся, опираясь на ранее полученные знания, могли вывести формулы сами. Материал урока направлен на  решение элементарные комбинаторные задачи, связанные с составлением различный соединений из имеющихся элементов.

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ.. 3

1. МЕТОДИЧЕСКИЙ БЛОК.. 4

1.1. Учебно-методическая карта. 4

1.2. Технологическая карта. 8

2.ИНФОРМАЦИОННЫЙ БЛОК 10

2.1. План лекции. 10

2.2.Теоретическая часть. 11

2.3. Глоссарий. 19

3. КОНТРОЛИРУЮЩИЙ БЛОК.. 19

ВВЕДЕНИЕ

        Данная методическая разработка по теме «Элементы теории вероятностей» является уроком обобщения и повторения. Урок построен так, чтобы обучающиеся, опираясь на ранее полученные знания, могли вывести формулы сами. Материал урока направлен на развитие логического мышления, алгоритмической культуры, интуиции, навыков исследовательской деятельности, творческих способностей обучающихся. Структура урока: постановка цели и задач урока; повторение умений и навыков, являющихся опорой для восприятия новой темы; проведение проверочных упражнений (устная работа); Упражнения на закрепление данного алгоритма;  тренировочные упражнения по образу и подобию в виде самостоятельной работы; самоконтроль обучающихся.
       Создание проблемных ситуаций на уроках математики повышает интерес к предмету, вносит разнообразие и эмоциональную окраску в учебную работу, снимает утомление, развивает внимание, сообразительность.

1. МЕТОДИЧЕСКИЙ БЛОК

1.1. Учебно-методическая карта

Тема занятия	Элементы теории вероятностей
Учебная дисциплина	БД.04 Математика
Специальность	34.02.01 Сестринское дело (базовая подготовка)
Курс	I
Группа	9М-14-21
Место проведения	Кабинет № 30
Продолжительность занятия	90 мин.
Характеристика занятия	Вид	Вид занятия  комбинированный урок
	Тип	Урок обобщения и систематизации знаний
	Форма	Изложение, рассказ, объяснение с демонстрацией наглядных пособий.  Фронтальная, групповая, индивидуальная
Технологии обучения	Технология развивающего обучения
Методы обучения	Репродуктивный: упражнения, действия по алгоритму. - практические (упражнение, тренинг, опыты, самостоятельная работа по алгоритму). Интерактивные методы – практическая отработка осваиваемых знаний, умений, навыков на уровне компетенций
Средства обучения	Основные. УМК: Ш.А. Алимов,  Ю.М. Колягин, М.В. Ткачёва, Н.Е. Фёдорова и др. Алгебра и начала математического анализа. 10-11 класс (базовый и углублённый уровни). – М.: Просвещение. 2020 г.
Методическая цель	Методическая цель - отрабатывать методику контроля результатов выполнения письменных упражнений. - реализовывать индивидуальный дифференцированный подход в процессе выполнения обучающимися заданий для самостоятельной работы;
Цели и задачи занятия	Воспитательная			Формирование интеллектуальных, нравственных, эмоционально-волевых качеств у обучающихся.		Воспитывать положительное отношение к приобретению новых знаний; Воспитывать ответственность за свои действия и поступки; Вызвать заинтересованность новым для студентов подходом изучения математики. Пробудить чувства обучающихся удивления, гордости, уважения, сопричастности;
	Образовательная			Вычислять вероятности события; вероятности случайных событий по классическому определению; Научить применять теоремы сложения и умножения вероятностей для решения задач;  Применять комбинаторики в практических целях и в жизни человека		Закрепить основные понятия комбинаторики с помощью решения задач.  Показать применение комбинаторики в практических целях и в жизни человека. Продолжить формировать обучающихся представления о комбинаторике и ее применении в жизни человека; Отработка навыков решения комбинаторных задач с использованием формул перестановок, размещений, сочетаний.
	Развивающая			Развитие речи, мышления, сенсорной восприятие внешнего мира через органы чувств сферы;		Развитие комбинаторного мышления учащихся; Формировать навыки познавательного мышления. Формировать умения и навыки учебного труда. Продолжить развитие умения анализировать.  Продолжить развитие умения сопоставлять.  Продолжить развитие умения сравнивать. Выделять главное при работе с текстом задачи. Продолжить развитие умения выделять  главное. Продолжить развитие умения устанавливать причинно-следственные связи.
Планируемый результат	Уметь	Решать комбинаторные задачи с использованием формул перестановок, размещений, сочетаний. Находить суммы событий, произведения событий;
	Знать	Определения суммы событий, произведения событий; формулировки и формулы теорем сложения и умножения вероятностей.
Формирование компетенций у обучающихся	Общие (ОК)				Л1. Сформированность представлений о математике как универсальном языке науки, средстве моделирования явлений и процессов, идеях и методах математики; Л5. Готовность и способность к образованию, в том числе самообразованию, на протяжении всей жизни; сознательное отношение к непрерывному образованию как условию успешной профессиональной и общественной деятельности; Л8. Отношение к профессиональной деятельности как возможности участия в решении личных, общественных, государственных, общенациональных проблем;
	Профессиональные (ПК)				П1. Сформированность представлений о математике как части мировой культуры и месте математики в современной цивилизации, способах описания явлений реального мира на математическом языке; П4. Владение стандартными приемами решения рациональных и иррациональных, показательных, степенных, тригонометрических уравнений и неравенств, их систем; использование готовых компьютерных программ, в том числе для поиска пути решения и иллюстрации решения уравнений и неравенств;
Межпредметные связи	Входящие		История				Комбинаторика
			Литература
	Выходящие		Перестановки				Размещения
			Сочетания
Внутри предметные	Комбинаторика.
Оснащение занятия	Методическое			Методическая разработка занятия.
	Материально-техническое			Ручка, карандаш, тетрадь, линейка.
	Информационное			Компьютер, интерактивная доска.
Список литературы	Основная			1.Алимов, Ш. А. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углубленный уровни)10—11 классы / Ш.А. Алимов — М., 2018. – с.455. 2.Колягин, Ю.М. Математика: алгебра и начала математического анализа. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углубленный уровни). 11 класс / М. В Ткачева., Н. Е Федерова. — М., 2018. - 384 с.
	Дополнительная			1 Александров А.Д., Геометрия / А.Л.Вернер, В.И. Рыжик (базовый и профильный уровни). 10—11 кл.  – 2017. – 344 с.  2. Богомолов, И.Д. Математика: учебник / И.Д. Богомолов.  – М., 2018. -  384 с.
	Интернет-ресурсы			1. Калашникова В.А. Методическое пособие: «Конспекты лекций по математике» [Электронный ресурс] /В.А. Калашникова. 2. Яковлев Г.Н. Алгебра и начала анализа (Математика для техникумов) [Электронный учебник] /Г.Н Яковлев. - Режим доступа: http://lib.mexmat.ru/books/78472. 3.www. fcior. edu. ru 4.www. school-collection. edu.

1.2. Технологическая карта

Структура комбинированного урока

Деятельность преподавателя	Деятельность обучающихся	Методическое обоснование	Формируемые ОК и ПК
1. Организационный этап  -5 мин.
Проверяет готовность обучающихся к занятию.	Готовятся к началу занятия.	Включение обучающихся в деятельность на личностно значимом уровне.	ОК 1, ОК 4. П1.
2. Этап всесторонней проверки домашнего задания  - 10мин.
Выявляет правильность и осознанность выполнения всеми обучающимися домашнего задания; устранить в ходе проверки обнаруженные пробелы в знаниях. Режим работы: устная, письменная, фронтальная, индивидуальная.	По очереди комментируют свои решения. Приводят примеры. Пишут под диктовку.	Повторение изученного материала, необходимого для открытия нового знания, и выявление затруднений в индивидуальной деятельности каждого обучающегося.	ОК1, ПК 1, ПК4
3. Постановка цели и задач занятия. Мотивация учебной деятельности обучающихся - 5 мин.
Эмоциональный настроить и подготовить обучающихся  на урок. Сообщение цели и задач.	Эмоциональный настрой и готовность  обучающихся на урок.	Обсуждение затруднений; проговаривание цели урока в виде вопроса, на который предстоит ответить. Методы, приемы, средства обучения: побуждающий от проблемы диалог, подводящий к теме диалог.	ОК 1, ОК 4. П1.
4. Актуализация знаний - 30 мин.
Уточняет понимание обучающимися поставленных целей занятия. Выдвигает проблему.	Под диктовку, все выполняют задание, а один проговаривает вслух. Выполнить действия и записать результат в виде десятичной дроби:	Создание проблемной ситуации. Уч-ся- фиксируют индивидуальные затруднения .	ОК 1, ОК 4. П1.
5. Первичное усвоение новых знаний - 10  мин.
Создаёт эмоциональный настрой на усвоение новых знаний.	Внимательно слушают, записывают под диктовку в тетрадь.	Создание условий, чтобы обучающийся смогли систематизировать знания о множестве натуральных, целых и рациональных чисел.	ОК1, ПК 1, ПК4
6. Первичная проверка понимания - 10 мин.
Проводит параллель с ранее изученным материалом. Проводит беседу  по уточнению и конкретизации первичных знаний;	Отвечают на заданные вопросы преподавателем.	Осознание  степени овладения полученными знаниями - каждый для себя должен сделать вывод о том, что он уже умеет.	ОК1, ПК 1, ПК4
7.  Первичное закрепление  - 5 мин.
Контролирует выполнение работы. Осуществляет: индивидуальный контроль; выборочный контроль. Побуждает к высказыванию своего мнения. преподаватель показывает на доске решение, опираясь на алгоритм	записывают решение, остальные решают на местах, потом проверяют друг друга;	Тренировка и активизация употребления новых знаний, включение нового в систему. Режим работы: устная, письменная, фронтальная, индивидуальная.	ОК1, ПК 1, ПК4
8. Контроль усвоения, обсуждение допущенных ошибок и их коррекция (подведение итогов занятия 5 мин
Отмечает       степень             вовлечённости             обучающихся в работу на занятии.	под диктовку, все выполняют задание, а один проговаривает вслух;	Оценивание  работу  обучающихся, делая акцент на тех, кто умело взаимодействовал при выполнении заданий.	ОК 1, ОК 4. П1.
9. Информация о домашнем задании, инструктаж по его выполнению5 мин
обсуждение способов решения;	Записывают номера заданий. Внимательно слушают преподавателя.	Информация о домашнем задании, инструктаж по его выполнению	ОК 1, ОК 4. П1.
10. Рефлексия (подведение итогов занятия), 5 мин
Акцентирует внимание на конечных результатах учебной деятельности обучающихся на занятии.	1.      Проводят  самоанализ: “Чему научились и что нового узнали?”	Осознание своей учебной деятельности; самооценка результатов деятельности своей.	ОК1, ПК 1, ПК4

2. информационный блок

2.1. План занятия

№ п/п	Изучаемые вопросы	Уровень усвоения
1.	План урока:	1
2.	1.    Организационный момент.  Постановка цели урока – 1 мин.
	2.    Повторение пройденного материала. Теоретический фундамент – повторение основных понятий, формул и правил по теме «Элементы теории вероятностей» - 5 мин.	2
	3.    Закрепление изученного материала. Практикум: решение ключевых типов задач №10 ЕГЭ (базовый уровень) и № 4 ГВЭ по математике – 20 мин.	2
	4.    Самостоятельная работа учащихся - решение задач по теме «Элементы вероятностей в ЕГЭ»  – 10 мин.	2
3.	5.    Проверка результатов самостоятельной работы – 2 мин.
	6.    Домашнее задание – 1 мин.	3
	7.    Подведение итогов урока. – 1 мин.	3

 

                           2.2. Теоретическая часть.

Скажи мне — и я забуду,

покажи мне — и я запомню,

дай мне сделать — и я пойму.

(Конфуций)

      Эпиграфом к уроку мной выбрана китайская пословица: «Скажи мне – и я забуду. Покажи мне – и я запомню. Вовлеки меня – и я научусь». Как вы понимаете эту пословицу?

            Мне сегодня хочется, чтобы вы  не просто услышали и увидели, но и поняли. А для этого согласно пословице вы должны что-то сделать сами.  Чтобы перейти к теме урока, я вам предлагаю самим составить наглядные задачи, используя подручный материал. Хочу предложить первой команде яблоки, второй – книги и третьей – монеты. Посмотрите на эти предметы, подумайте и скажите на какую изученную нами тему я могу предложить задачи?

А значит тема нашего занятия: Решение задач по комбинаторике и  теория вероятностей.

           Перед тем как зайти в аудиторию, вы вытаскивали листочки с формулами. Это формулы соединений: перестановки, размещения и сочетания. Давайте проверим все ли студенты правильно сели? У всех ли название команды совпадает с формулами на листочках.

И напишем эти формулы на доске. Группа делится на три  команды: «перестановки», «размещения» и «размещения».

              На столе: шесть книг(разные), корзина с яблоками (красные и зеленые), и кубики игральные 2 шт (или две одинаковые монеты). Как вы думаете, что мы сейчас будем делать? Правильно: составлять задачи на вероятность.  Первая команда «перестановки»  составляют задачу с  книгами,  команде  «сочетание» вручается корзина с яблоками, третьей команде «размещение» – кубики(монеты).  Давайте попытаемся составить задачи на тему вероятность. Студенты  пытаются составлять задачи.  Ждем 3 минуты.

             Хочется дать слово предоставляем команде  «Перестановки». Интересно: какие же там задачи? Студенты читают свои задачи.

           Рассмотрим такую задачу: На столе 6 книг. Сколькими способами можно расставить на полке 6 книг. Давайте сначала вспомним, когда и какие формулы применяются при решении этих задач.                

           Решение рассмотрим  на пальцах, т. е на книгах.  Давайте попробуем расставить сначала 3 книги. Для 3-х книг у нас есть три места. Для первой книги: есть выбор из трех мест. Для второй – два, ну а для третьей остается одно место.  И решение: Р = 3* 2 *1 = 6.  Это перестановки и вычисляется по формуле: Рn = n!  Р = 3!= 6.

          Ну и задача с шестью книгами: первую книгу можно выбрать 6 - способами, вторую 5 -способами, третью 4 - способами, четвертую 3-способами, пятую 2- способами и естественно последнюю 1- способом. По правилу умножения(это союз и в математике) получается 720 способов.   Р ₆  = 6*5*4*3*2*1=720.  Ответ: 720 способов.

          Ирландский драматург Бернард Шоу написал: «Если у тебя есть яблоко и у меня есть яблоко, и  мы обменяемся этими яблоками, то у каждого из нас будет   одно яблок, а если у тебя  есть идея и у меня есть идея и мы обмениваемся этими идеями, то у каждого будет по две идеи»?  Какие же идеи  с яблоками?

            Вторая команда «Сочетание». Интересно, какие жизненные  задачи можно составить с этой корзиной яблок? Ну конечно же!  Самая легкая и популярная задача это: В корзине имеются n-яблок. Какое количество яблок различного окраса находится в нашей  корзине? После того как посчитали,  нам стало  известно, что в корзине: красных в ней 15 штук, зеленые -10.

              Задача: В корзине всего 25 яблок. Из них 10- зеленые, 15 – красные. Вычислите вероятность того, что наугад выбранное яблоко красное.

              Решение: Найдем число хороших(благоприятствующих) исходов: N_хор  =  10  яблок красные. Все мы знаем, что  вероятность вычисляется по формуле: Р(А) = N_хор/ N_{всех исходов}=

10:25 = 2/5.

                Задачу с корзинами яблок  можно усложнять. Из корзины наугад не одно яблоко, а два яблоко вынимают. Тогда какие вопросы можно задать? Правильно,  конечно же: Найти вероятность, того что оба яблока зеленые, или желтые  или красные. Еще? Найти вероятность того, что хотя бы один красный, или хотя бы один желтый. И как решаются эти задачи? Давайте посмотрим решение этих задач.

         Задача  1: В корзине  15 красных  и 10 зеленых яблок. Найдите вероятность того, что из этой корзины  один за другим (причем первое  яблоко не возвращают в корзину) будут вынуты 2 зеленых яблока.

         Решение(1 способ): вероятность достать первым  зеленое  яблоко  (событие А) равна  Р(А) = 10/25 = 2/5 = 04. После того как одно вынуто, в корзине  остается 24 яблок, из них 9 зеленых. Тогда вероятность появления второго зеленого  яблока (событие  В) равна Р(В/А) = 9/24, а вероятность достать подряд два зеленых  яблока  равна (теорема умножения вероятностей для зависимых событий) Р(А и В) = Р(А)∙Р(В/А) = 2/5 ∙ 9/24 =  18/120 = 0,15× Приведенная теорема умножения вероятностей для зависимых событий допускает обобщение на любое количество событий. В частности, для трех событий, связанных друг с другом: Р(А и В и С) = Р(А) ∙ Р(В/А) ∙ Р(С/АВ).

            2 способ:   В корзине  10 зеленых, 15 красных  яблок. Из корзины  дважды вынимают по одному яблоку, не возвращая их обратно. Найти вероятность появления зеленого   яблока при втором испытании (событие В), если при первом испытании было извлечено зеленое  яблоко (событие А).

             В данной задаче можно использовать формулы комбинаторики.  Вероятность -  это отношение числа благоприятствующих к числу всех исходов.  Тогда пусть А – событие, что наугад выбранные яблоки -  зеленые. Число хороших исходов равно С ²₁₀ = 10!/(10-2)!2! =  10∙9∙8!/ 8!∙2! = 45.

Число всех исходов:  С ²₂₅ = 25!/(25- 2)!∙2! =25∙24∙23!/23!∙2!= 300.

Тогда искомая вероятность Р(А) = 45:300 =3/20 = 0,15.

б) одно зеленое  и одно красное яблоко.

В корзине 10 зеленых15 красных яблок. Случайным образом выбирают два яблока. Какова вероятность того, что окажутся вынуты одно зеленое  и одно красное яблоко?

Решение: Заметим, что возможны два случая, когда выбраны одно зеленое и одно красное яблоко: сначала выбрали зеленое, потом красное или сначала выбрали красное, потом зеленое. Эти события несовместны, следовательно, искомая вероятность равна Р(А ) =  P(З и К) + P(К и  З)= 10 : 25*15 : 24+  15 : 25 * 10: 24 = 2/15+ 2/15 = 4/30 = 2/15

Ответ:  Р(А) = 2/15.

        Оооо, столько нелюбимые ребятами задачи с монетами, кубиками и прочим! Решать их можно несколькими способами, но мы выберем самый… наглядный, что ли. Метод перебора вариантов. Но в данном методе нужно быть предельно внимательным, чтобы не упустить ни одного варианта! А то расчеты окажутся неверными.

              Остались кубики(или монеты). Какие же задачи можно составить с этими кубиками (монетами)?

Задача: Брошена игральная кость. Найти вероятность того, что выпадет четное число очков.

Решение:  В данной задаче подбрасывают игральную кость. На ней шесть граней, на которых указаны цифры. Всего цифр шесть (1, 2, 3, 4, 5, 6).

Четным числом называется то число, которое делится на два без остатка. В нашей задаче их три (2, 4, 6).Теперь по формуле нахождения вероятности найдем саму вероятность:
Кол-во благоприятных исходов делим на кол-во всех исходов и получаем вероятность, Р(А) = m / n=  = искомая вероятность события.

3 / 6 = 0,5.

Ответ: 0,5.

Задача: Игральную кость бросают дважды. Найдите вероятность того, что при первом броске выпало более 3-х очков, а в втором выпало от2 до 4-х очков.

        Решение: А = (4 или 5 или 6) и (2 или 3 или 4)

Перепишем в формулу: Р(А) = (1/6 + 1/6 + 1/6) ∙(1/6+/1/6 +1/6)  = 3/6 +3/6 = ¼ = 0,25.

 Ответ: 0,25.

Задача: В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 8 очков. Результат округлите до сотых.

Решение: Количество исходов, при которых в результате броска игральных костей выпадет 8 очков, равно 5: 2+6, 3+5, 4+4, 5+3, 6+2. Каждый из кубиков может выпасть шестью вариантами, поэтому общее число исходов равно 6·6 = 36. Следовательно, вероятность того, что в сумме выпадет 8 очков, равна Р(А) = 5:36 = 0,138≈0,14.        Ответ: 0,14.

               А вы знаете историю возникновения раздела «Теория вероятностей» в математической науке? Хочу предоставить слово студенту, который изучил этот вопрос и подготовил сообщение. Давайте послушаем.

              И это действительно так. Вся наша жизнь состоит из испытаний и событий. Родился человек-это событие. Человек издавна пытался влиять на ход событий..

    Мы часто  сталкиваемся  со случаем. Случайно достали не ту тетрадь из портфеля, случайно столкнулись с другом на улице.    Случайная поломка, случайная находка, случайная ошибка. Этот ряд можно продолжать бесконечно.

              Обратите внимание: большинство проблем в заданиях на вероятность связано отнюдь не с незнанием формулы, а с неумением читать. Не спешите, читайте условие задачи внимательно. А теперь перейдем к решению задач.

           Задача: На экзамен вынесено 60 вопросов, Андрей не выучил 3 из них. Найдите вероятность того, что ему попадется выученный вопрос.

          Решение: Так, помните, что главное? Главное, понять, что от нас хотят. Сколько вопросов всего было на экзамене? 60. Хорошо, вот мы и наши Nобщ=60. Идем дальше. Что нам еще дано? Андрей не выучил 3 из них. Значит, все-таки что-то знает! И это не может не радовать, по крайней мере, . А сколько вопросов Андрей выучил? Все остальные, кроме этих трех! А сколько их, остальных? 60-3=57. Мы нашли Nбл=57. Отлично! Теперь остаться найти вероятность по классической формуле: р = 𝑁бл : 𝑁общ = 57: 60 = 0,95

 Задача: В магазине стоят два платёжных автомата. Каждый из них может быть неисправен с вероятностью 0,05 независимо от другого автомата. Найдите вероятность того, что хотя бы один автомат исправен.

Решение.

Найдем вероятность того, что неисправны оба автомата. Эти события независимые, вероятность их произведения равна произведению вероятностей этих событий: 0,05 · 0,05 = 0,0025. Событие, состоящее в том, что исправен хотя бы один автомат, противоположное. Следовательно, его вероятность равна 1 − 0,0025 = 0,9975.

            Давайте немного отвлечемся. Внимание на экран! Студентам предлагается посмотреть фрагмент китайской мудрости. Включается фрагмент «Все в твоих руках».

             Какой вывод можно сделать, посмотрев этот фрагмент? Конечно же все в наших руках. Но так как вы еще учитесь в медицинском колледже, наша жизнь может завесить еще и от вас,  будущих медицинских работников. Давайте будем учиться хорошо и станем отличными медработниками. А теперь  разберем следующие задачи.   

 Задача: В отделении в ночную смену  дежурят  две медсестры. Каждая  из них может быть занята  с вероятностью 0,03 независимо от другой медсестры. Найдите вероятность того, что хотя бы одна  медсестра была  свободна.

Решение.

Найдем вероятность того, что заняты  обе медсестры. Эти события независимые, вероятность их произведения равна произведению вероятностей этих событий: Р(А) = 0,03 · 0,03 = 0,0009. Событие, состоящее в том, что не занята  хотя бы одна  медсестра, противоположное. Следовательно, его вероятность равна 1 − 0,0009 = 0,9991.

Ответ: 0,9991.

 Приведем другое решение.

Событие, состоящее в том, что занята  хотя бы одна  медсестра  является суммой трех несовместных событий, каждое из которых является произведением двух независимых событий:

     А = занята  первая медсестра, при этом не нанята  вторая;

     B = занята  вторая  медсестра, при этом не занята  первая;

     С = занята  первая  медсестра, при этом вторая тоже занята.

Поэтому для искомой вероятности получаем:

P(A + B+ С) = P(A) + P(B) + P(С) = 0,97 ·0,03  + 0,97 · 0,03 + 0,97 · 0,97 = 0,9991. 

Ответ: 0,9991.

      Задача: Аптека заказала товар в двух интернет аптеках. Вероятность того, что нужный товар доставят из первой аптеки, равна 0,6. Вероятность того, что товар доставят из второй аптеки, равна 0,7. Считая, что интернет аптеки работают независимо друг от друга, найдите вероятность того, что ни одна аптека не доставит товар.

      Решение: Что значит ни одна аптека не доставит товар? Это первая аптека не доставит и вторая не доставит: А = (не 1) и (не 2) = (1- 0,6)*(1-0,7) = 0,4*0,3 = 0,12

Задача: Вероятность того, что в случайный момент времени температура тела здорового человека окажется ниже чем 36,8 °C, равна 0,91. Найдите вероятность того, что в случайный момент времени у здорового человека температура окажется 36,8 °C или выше.

Решение.

Указанные события противоположны, поэтому искомая вероятность равна 1 − 0,91 = 0,09.

Ответ: 0,09.

Задача: Вероятность того, что в случайный момент времени температура тела здорового человека окажется ниже чем 36,8 °С, равна 0,7. Найдите вероятность того, что в случайный момент времени у здорового человека температура окажется 36,8 °С или выше.

Решение.

Указанные события противоположны, поэтому искомая вероятность равна 1 − 0,7 = 0,3.

 Ответ: 0,3.

Задача: Вероятность того, что в случайный момент времени температура тела здорового человека окажется ниже чем 36,8°C, равна 0,83. Найдите вероятность того, что в случайный момент времени у здорового человека температура окажется 36,8°C или выше.

Решение.

Указанные события противоположны, поэтому искомая вероятность равна 1 − 0,83 = 0,17.

 Ответ: 0,17.

Задача: Вероятность того, что в случайный момент времени температура тела здорового человека окажется ниже чем 36,8 °C, равна 0,91. Найдите вероятность того, что в случайный момент времени у здорового человека температура окажется 36,8 °C или выше.

Решение.

Указанные события противоположны, поэтому искомая вероятность равна 1 − 0,91 = 0,09.

 Ответ: 0,09.

              Задача: Из слова «терапевт» выбирается наугад одна буква. Какова вероятность, что буква гласная? Что буква «т»? Что это гласная или буква «т»?

Решение:

1) Р(А)=3/8 = 0,375

2) Р(В)=2/8= 0,25

3) Р(С)=Р(А+В)=Р(А)+Р(В)=3/8+2/8=5/8=0,625

          Задача 5: В отделении хирургии три медсестры. Каждый из них занят с пациентом с вероятностью 0,3. Найдите вероятность того, что в случайный момент времени все три медсестры  заняты одновременно (считайте, что пациенты   независимые  друг от друга).

        Решение: Вероятность произведения независимых событий равна произведению вероятностей этих событий. Поэтому вероятность того, что все три медсестры  заняты равна  Р(А) = 0,3∙0,3∙0,3 = 0,027.

 Ответ: 0,027.

Задача : Вероятность того, что на тесте по анатомии  студент  О. верно решит больше 11 задач, равна 0,67. Вероятность того, что О. верно решит больше 10 задач, равна 0,74. Найдите вероятность того, что О. верно решит ровно 11 задач.

Решение: Рассмотрим события A = «студент  решит 11 задач» и В = «студент  решит больше 11 задач». Их сумма — событие A + B = «студент решит больше 10 задач». События A и В несовместные, вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих событий:

P(A + B) = P(A) + P(B).

Тогда, используя данные задачи, получаем: 0,74 = P(A) + 0,67, откуда P(A) = 0,74 − 0,67 = 0,07.

         Задача: Научная конференция проводится в 5 дней. Всего запланировано 75 докладов — первые три дня по 17 докладов, остальные распределены поровну между четвертым и пятым днями. Порядок докладов определяется жеребьѐвкой. Какова вероятность, что доклад профессора М. окажется запланированным на последний день конференции?

           Решение: Опять мы видим столь приятное нам слово «жеребьевка». Осталось понять, откуда брать цифры для вычислений. Читаем первую фразу «Всего запланировано 75 докладов». Вот и наше Nобщ=75. Теперь надо найти Nбл. Что там нам дальше сказано? Планируется целых 5 дней конференции! Так. В первые три дня – по 17 докладов. Значит, сколько всего докладов прочитается в эти дни? 17*3=51 доклад. А что с остальными? «Остальные распределены поровну между четвертым и пятым днями». Остальные – значит, надо понять, а сколько докладов-то остается на эти два дня? Если уже состоится 51 выступление, останется 75-51=24. 24 доклада поровну на 2 дня. Поровну, значит, и в четвертый, и в пятый день будет по 24:2=12 докладов. Для наглядности занесем данные в таблицу: День I II III IV V Все го Число докладов 1 7 +17 +17+ 12+ 12 = 75

 Вот и нашлось Nбл=12.Подставляем найденные значения в формулу: р = 𝑁бл 𝑁общ = 12: 75 = 0,16 Ответ: 0,16.

          Пример 10: В группе туристов 5 человек. С помощью жребия они выбирают двух человек, которые должны идти в село за продуктами. Турист А. хотел бы сходить в магазин, но он подчиняется жребию. Какова вероятность того, что А. пойдѐт в магазин?

         Решение: В условиях этой задачи очень легко запутаться. При чем здесь турист А.? Зачем нам говорят о том, что он хочет сходить в магазин? Нужна ли нам эта информация? Давайте размышлять. Помните, что было в задачах про семинары? Про доклад профессора М., который должен быть пятым, седьмым и т.д. Нужна ли нам была эта информация? Нет. Все подчиняются жеребьевке. Значит, и А. подчиняется. Значит, есть 2 свободных места для пяти человек. Два нужных А. места. Соответственно, Nбл=2, а Nобщ=5. Рассчитываем по формуле: р = 𝑁бл 𝑁общ = 2 5 = 0,4 Ответ: 0,4

 Ответ: 0,07.

          Иногда попадаются задачи с чуть более сложными вычислениями, где, опять же, надо внимательно-внимательно читать. Разберем на следующем примере:

           Задача: При подозрении на наличие некоторого заболевания пациента отправляют на ПЦР-тест. Если заболевание действительно есть, то тест подтверждает его в 86% случаев. Если заболевания нет, то тест выявляет отсутствие заболевания в среднем в 94% случаев. Известно, что в среднем тест оказывается положительным у 10% пациентов, направленных на тестирование.

При обследовании некоторого пациента врач направил его на ПЦР-тест, который оказался положительным. Какова вероятность того, что пациент действительно имеет это заболевание?

Решение.

Пусть событие A — пациент болен, событие B — тест выявляет наличие заболевания. Тогда P(A) = x — вероятность того, что пациент болен. Если заболевание действительно есть, то тест подтверждает его в 86% случаев, значит, вероятность того, что пациент болен и тест подтверждает это, равна P(AB) = x · 0,86. Если заболевания нет, то тест выявляет отсутствие заболевания в 94% случаев, значит, вероятность того, что пациент не болен, а тест дал положительный результат, равна (1 − x) · (1 − 0,94). Тогда вероятность того, что тест окажется положительным, равна Р(В) = х * 0,86 + (1-х) ( 1- 0,94) = 0,1  ↔ 0,86 х + (1- х) 0,06 = 0,1

Отсюда выразим x: 0,86 х + 0,06 – 0,06 х = 0.1

0.8 х = 0,04      х = 0,05

Тогда вероятность того, что тест оказался положительным у пациента, который действительно имеет заболевание, равна

Р(А/В)  = Р(АВ)/ Р(В) = (0,05 0,86)/0,1 = 0,43

Ответ: 0,43.

       Давайте подведем итоги урока. Я вам сейчас отправлю ссылку на тест в гугл форме. Переходите по этой ссылке и решите тест.  Время выполнения 10 минут.

Задача: При подозрении на наличие некоторого заболевания пациента отправляют на ПЦР-тест. Если заболевание действительно есть, то тест подтверждает его в 88\% случаев. Если заболевания нет, то тест выявляет отсутствие заболевания в среднем в 92\% случаев. Известно, что в среднем тест оказывается положительным у 11\% пациентов, направленных на тестирование.

При обследовании некоторого пациента врач направил его на ПЦР-тест, который оказался положительным. Какова вероятность того, что пациент действительно имеет это заболевание?

Домашняя работа.

Задача 1. Известно, что «о» – самая распространенная гласная в русском языке.

Домашнее задание.   ределим алгоритм решения нашей задачи.

1. Подсчитать количество гласных в отрывке.
2. Для каждой гласной подсчитать , сколько раз она встречается в тексте.
3. Найти вероятность для буквы о.

Прочитайте отрывок из стихотворения  А. Блока  « О, весна без конца и края»

О, весна без конца и без краю —
Без конца и без краю мечта!
Узнаю тебя, жизнь! Принимаю!
И приветствую звоном щита!

Принимаю тебя, неудача,
И удача, тебе мой привет!
В заколдованной области плача,
В тайне смеха — позорного нет!

Принимаю бессонные споры,
Утро в завесах темных окна,
Чтоб мои воспаленные взоры
Раздражала, пьянила весна!

а) Подтверждает ли этот отрывок правильность утверждения, приведенного в условии задачи?

  Вероятность  у буквы о больше , чем у остальных гласных.

1 группа

Всего  гласных  -

А  -          ;Е-           ;И-

О-            ;У-           ;Ы-

Э-            ;Ю-          ;Я-

Вероятность появления буквы о в тексте.

N(A) =    ;

N=

Р(А)==

 Ответ:            .

                 Сегодняшний урок поможет вам   понять   значимость математических  знаний, возможность их применения в повседневной жизни, поможет  увидеть взаимосвязи, соединяющие разрозненные факты в целостную систему, найти подход, который затронет не только ум, но и душу, поможет  понять себя и окружающий мир, осознать величайшую ценность жизни

Применение знаний при решении типовых задач
Задача 1: В лотерее из 1000 билетов имеются 200 выигрышных. Вынимают наугад один билет. Чему равна вероятность того, что этот билет выигрышный?
Решение: Событие A-билет выигрышный. Общее число различных исходов есть n=1000
Число исходов, благоприятствующих получению выигрыша, составляет m=200. Согласно формуле P(A)=, получим P(A)==  = 0,2

   Задача 2: Из урны, в которой находятся 5 белых и 3 черных шара, вынимают один шар. Найти вероятность того, что шар окажется черным.
Решение: Событие A-появление черного шара. Общее число случаев n=5+3=8
Число случаев m, благоприятствующих появлению события A, равно 3
P(A)=  =  = 0,375

 Задача 3: Из урны, в которой находятся 12 белых и 8 черных шаров, вынимают наудачу два шара. Какова вероятность того, что оба шара окажутся черными?
            Решение: Событие A- появление двух черных шаров. Общее число   возможных случаев n равно числу сочетаний из 20 элементов (12+8) по 2
n==  = 190
Число случаев m, благоприятствующих событию A, составляет
n==  = 28

P(A)=  =  =  = 0,147

         Задача 4: в ящике в случайном порядке разложены 20 деталей, причем 5 из них стандартные. Рабочий берет наудачу 3 детали. Найти вероятность того, что по крайней мере одна из взятых деталей окажется стандартной.

         Задача 5: найти вероятность того, что наудачу взятое двухзначное число окажется кратным либо 3, либо 5, либо тому и другому одновременно

          Задача 6: В одной урне находятся 4 белых и 8 черных шаров, в другой – 3 белых и 9 черных. Из каждой урны вынули по шару. Найти вероятность того, что оба шара окажутся белыми.
Решение: пусть A - появление белого шара из первой урны, а B – появление белого шара из второй урны. Очевидно, что события A и B независимы. Найдем P(A)=4/12=1/3, P(B)=3/12=1/4, получим
P(AB)=P(A)•P(B)= (1/3)•(1/4)=1/12=0,083

            Задача 7: в ящике находится 12 деталей, из которых 8 стандартных. Рабочий берет наудачу одну за другой две детали. Найти вероятность того, что обе детали окажутся стандартными.
Решение: введём следующие обозначения: A – первая взятая деталь стандартная; B – вторая взятая деталь стандартная. Вероятность того, что первая деталь стандартная, составляет P(A)=8/12=2/3. Вероятность того, что вторая взятая деталь окажется стандартной при условии, что была стандартной первая деталь, т.е. условная вероятность события B, равна (B)=7/11.
Вероятность того, что обе детали окажутся стандартными, находим по теореме умножения вероятностей зависимых событий:
P(AB)=P(A)•(B)=(2/3)•(7/11)=14/33=0,424

2.3. Глоссарий

Термин	Значение
Испытание	это осуществление определенных действий.
Событие	факт, который может произойти в результате испытания.
Исход	любой результат испытания.
Достоверное	событие, которое в результате испытания обязательно произойдёт
Невозможное	событие, которое заведомо не произойдёт в результате испытания.
Случайное	событие, которое в результате испытания может произойти, а может и не произойти.

 

 

 

1.      Контролирующий блок

Вариант 1:

Задача 1.Вероятность того, что аккумулятор не заряжен, равна 0,15. Покупатель в магазине приобретает случайную упаковку, которая содержит два таких аккумулятора. Найдите вероятность того, что оба аккумулятора в этой упаковке окажутся заряжены.

Задача 2: Вероятность того, что ручка бракованная, равна 0,05. Покупатель в магазине приобретает случайную упаковку, которая содержит две ручки. Найдите вероятность того, что обе ручки в этой упаковке окажутся исправными.

Задача 3.

Из города М. в город Р. ежедневно ходит автобус. Вероятность того, что в понедельник в автобусе окажется меньше 15 пассажиров, равна 0,64. Вероятность того, что в автобусе окажется меньше 10 пассажиров, равна 0,46. Найдите вероятность того, что в этот день пассажиров будет от 10 до 14.

Вариант 2:

Задача 1. Стоянка освещается фонарём с двумя лампами. Вероятность перегорания одной лампы в течение года равна 0,4. Найдите вероятность того, что за год хотя бы одна лампа не перегорит.

Задача 2. В гостинице стоят два кулера. Каждый из них может быть неисправен с вероятностью 0,2 независимо от другого кулера. Определите вероятность того, что хотя бы один из этих кулеров исправен.

Задача 3.

На экзамене по физике студент отвечает на один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что этот вопрос на тему «Механика», равна 0,25. Вероятность того, что этот вопрос на тему «Электричество», равна 0,3. Вопросов, которые относились бы сразу к двум темам, нет. Найдите вероятность того, что студенту попадётся вопрос по одной из этих двух тем.

Решение

Вариант 1:

Задача 1.Вероятность того, что аккумулятор не заряжен, равна 0,15. Покупатель в магазине приобретает случайную упаковку, которая содержит два таких аккумулятора. Найдите вероятность того, что оба аккумулятора в этой упаковке окажутся заряжены.

Решение

Вероятность того, что аккумулятор заряжён, равна 1-0,15 = 0,85.1−0,15=0,85. Найдём вероятность события «оба аккумулятора заряжены». Обозначим через A и B события «первый аккумулятор заряжён» и «второй аккумулятор заряжён». Получили P(A) = P(B) = 0,85.P(A)=P(B)=0,85. Событие «оба аккумулятора заряжены» — это пересечение событий A \cap B,A∩B, его вероятность равна P(A \cap B) =P(A∩B)= P(A)\cdot P(B) =P(A)⋅P(B)= 0,85\cdot 0,85 =0,85⋅0,85= 0,7225.0,7225.

Ответ

0,7225

Условие

Вероятность того, что ручка бракованная, равна 0,05. Покупатель в магазине приобретает случайную упаковку, которая содержит две ручки. Найдите вероятность того, что обе ручки в этой упаковке окажутся исправными.

Решение

Вероятность того, что ручка исправная, равна 1-0,05 = 0,95.1−0,05=0,95. Найдём вероятность события «обе ручки исправны». Обозначим через A и B события «первая ручка исправна» и «вторая ручка исправна». Получили P(A) = P(B) = 0,95.P(A)=P(B)=0,95. Событие «обе ручки исправны» — это пересечение событий A\cap B,A∩B, его вероятность равна P(A\cap B) =P(A∩B)= P(A)\cdot P(B) =P(A)⋅P(B)= 0,95\cdot 0,95 =0,95⋅0,95= 0,9025.0,9025.

Ответ

0 Условие

Стоянка освещается фонарём с двумя лампами. Вероятность перегорания одной лампы в течение года равна 0,4. Найдите вероятность того, что за год хотя бы одна лампа не перегорит.

Решение

Сначала найдём вероятность события «обе лампы перегорели в течение года», противоположного событию из условия задачи. Обозначим через A и B события «первая лампа перегорела в течение года» и «вторая лампа перегорела в течение года». По условию P(A) = P(B) = 0,4.P(A)=P(B)=0,4. Событие «обе лампы перегорели в течение года» — это A \cap B,A∩B, его вероятность равна P(A \cap B) =P(A∩B)= P(A) \cdot P(B) =P(A)⋅P(B)= 0,4 \cdot 0,4 =0,4⋅0,4= 0,160,16 (так как события A и B независимы).

Искомая вероятность равна 1 - P(A \cap B) =1−P(A∩B)= 1 - 0,16 =1−0,16= 0,84.0,84.

Ответ

0,84,9025

Условие

В гостинице стоят два кулера. Каждый из них может быть неисправен с вероятностью 0,2 независимо от другого кулера. Определите вероятность того, что хотя бы один из этих кулеров исправен.

Решение

Сначала найдём вероятность события «оба кулера неисправны», противоположного событию из условия задачи. Обозначим через A и B события «первый кулер неисправен» и «второй кулер неисправен». По условию P(A) = P(B) = 0,2.P(A)=P(B)=0,2. Событие «оба кулера неисправны» — это A \cap BA∩B, пересечение событий A и B, его вероятность равна P(A \cap B) = P(A)\cdot P(B) = 0,2\cdot 0,2 = 0,04P(A∩B)=P(A)⋅P(B)=0,2⋅0,2=0,04 (так как события A и B независимы). Искомая вероятность равна 1-P(A \cap B)=1-0,04=0,96.1−P(A∩B)=1−0,04=0,96.

Ответ

0,96

Условие

На экзамене по физике студент отвечает на один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что этот вопрос на тему «Механика», равна 0,25. Вероятность того, что этот вопрос на тему «Электричество», равна 0,3. Вопросов, которые относились бы сразу к двум темам, нет. Найдите вероятность того, что студенту попадётся вопрос по одной из этих двух тем.

Решение

Пусть событие A означает, что студенту достался вопрос по теме «Механика», событие B — вопрос по теме «Электричество». По условию P(A) = 0,25,P(A)=0,25, P(B) = 0,3,P(B)=0,3, также по условию события A и B несовместны. Искомая вероятность события «студенту попадётся вопрос по одной из этих двух тем» равна

P(A\cup B) = P(A) + P(B) = 0,25 + 0,3 = 0,55.P(A∪B)=P(A)+P(B)=0,25+0,3=0,55.

Ответ

0,55

Условие

Из города М. в город Р. ежедневно ходит автобус. Вероятность того, что в понедельник в автобусе окажется меньше 15 пассажиров, равна 0,64. Вероятность того, что в автобусе окажется меньше 10 пассажиров, равна 0,46. Найдите вероятность того, что в этот день пассажиров будет от 10 до 14.

Решение

Обозначим через A событие «в автобусе окажется меньше 10 пассажиров» и через B событие «число пассажиров будет от 10 до 14». Они несовместны, и их объединением является событие «в автобусе окажется меньше 15 пассажиров», поэтому сумма вероятностей событий A и B равна вероятности события A\cup B,A∪B, то есть P(A\cup B) = P(A)+P(B).P(A∪B)=P(A)+P(B). Искомая вероятность равна P(B) = 0,64-0,46 = 0,18.P(B)=0,64−0,46=0,18.

Ответ

0,18

Краткое описание документа:

Данная методическая разработка по теме «Элементы теории вероятностей» является уроком обобщения и повторения. Урок построен так, чтобы обучающиеся, опираясь на ранее полученные знания, могли вывести формулы сами. Материал урока направлен на решение элементарные комбинаторные задачи, связанные с составлением различный соединений из имеющихся элементов.