Выбранный для просмотра документ 16547302.docx
Урок №16 Контрольная работа №1 по теме «Развитие понятия о числе».
Дата проведения:
Тип занятия: урок контроля и оценки знаний.
Цели:
Методическая: активизация мыслительной деятельности обучающихся с использованием мультимедийных программ.
Образовательная: проверить навыки и умения учащихся по теме:
«Развитие понятия о числе».
Развивающая: развивать у обучающихся умения мыслить самостоятельно и творчески, сообразительность.
Воспитательная: прививать аккуратность при записях в тетрадь, объективную самооценку на основе самоконтроля, ответственность.
Вид контроля, измерители: проблемные задания, ответы на вопросы; решение тестовых заданий с выбором ответа; решение контрольных заданий.
Требования к уровню подготовки обучающихся:
уметь: строить графики тригонометрических функций и описывать их свойства; владеть навыками самоанализа и самоконтроля.
Дополнительные знания, умения
(требования повышенного уровня).
Умение свободно пользоваться свойствами дробей; извлекать необходимую информацию из учебно-научных текстов; приводить примеры, подобрать аргументы, сформулировать выводы; владение навыками контроля и оценки своей деятельности, умение предвидеть возможные последствия своих действий.
Оборудование: варианты контрольной работы, тетради для контрольных работ.
Ход урока:
Организационный момент
-проверка готовности к занятию
-объявление темы занятия
-постановка целей и задач занятия
Проверка знаний, умений и навыков учащихся.
Провести контрольную работу:
Контрольная работа № 1
1 вариант
Часть 1
1. Вычислите: 
.
2. Решить уравнения: 
3.Найдите сумму, разность, произведение комплексных чисел Z1 и Z2, если
Z1 = -3 + 5i, Z2 = 4 - 7i
4.Вычислите: (2 - i)(2 + i) - (3 - 2i) + 7
Часть 2
5. Перевести в алгебраическую форму: 2(cos П /6 + i sin П /6)
6.Найти частное комплексных чисел: .
7.Решите уравнения в комплексных числах:
2 вариант
Часть1
1. Вычислите: 
.
2. Решить уравнения:
;
3. Найдите сумму, разность, произведение комплексных чисел Z1 и Z2, если
z1 = 2 + 3i, z2 = 5 – 7i
4. Вычислите: (3 + i)(3 - i) - (6 + 2i) + 7
Часть 2
5. Перевести в алгебраическую форму: 2(cos П /6 + i sin П /6)
6.Найти частное комплексных чисел: .
7. Решите уравнения в комплексных числах:
Максимальное количество- 100
Критерии оценивания
Оценки выставляются в соответствии с коэффициентом усвоения (КУ)
№ задания
Количество балов
Вариант I
Вариант 2
1.
4
1.
4
2.
8
2.
8
3.
10
3.
10
4.
15
4.
15
5.
18
5.
18
6.
20
6.
20
7.
25
7.
25
Итого
100
Итого
100
Заключение урока
Собрать тетради с выполненными работами
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
Выбранный для просмотра документ 17787372.ppt
Скачать материал "ЭОР по математике раздел №1 Развитие понятия о числе 1курс"
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
1 слайд
2 слайд
ЧИСЛОВЫЕ СИСТЕМЫ Действительные числа Рациональные числа Целые числа Комплексные числа Натуральные числа
3 слайд
НАТУРАЛЬНЫЕ ЧИСЛА , N 1, 2, 3, 4, 5, … Допустимые алгебраические операции: сложение, умножение 34 + 6, 45 Х 15 Частично допустимые алгебраические операции: вычитание, деление, извлечение корней 6 - 5, 45 : 15, Уравнения 2х + 7 = 8, 5х = 9 , = 15 не имеют корней в N
4 слайд
ЦЕЛЫЕ ЧИСЛА , Z …-3, -2, -1, 0,1, 2, 3, … Допустимые алгебраические операции: сложение, вычитание, умножение 24 + 5, 4 – 15, 18 х 2 Частично допустимые алгебраические операции: деление, извлечение корней (- 6) : ( - 2), Уравнения 16х = 9 , 2 = 60 не имеют корней в Z
5 слайд
РАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА , Q Целые числа и обыкновенные дроби Допустимые алгебраические операции: сложение, вычитание, умножение, деление - 14 + 26, 8 – 34, ( - 22) Х 14, 30 : 23 Частично допустимые алгебраические операции: извлечение корней из неотрицательных чисел Уравнения = 5, 2 = 9 не имеют корней в Q
6 слайд
ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА , R Рациональные и иррациональные числа Допустимые алгебраические операции: сложение, вычитание, умножение, деление, извлечение корней из неотрицательных чисел 43 - 66, ( - 2) Х ( - 514), ( - 36) : 41, Частично допустимые алгебраические операции: извлечение корней из произвольных чисел Уравнения = - 5, - 2 = 9 не имеют корней в R
7 слайд
КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА, C Действительные числа и i, где i – мнимая единица Допустимы все алгебраические операции
8 слайд
Из истории комплексных чисел Название “мнимые числа” ввел в 1637 году французский математик и философ Р. Декарт. В 1777 году один из крупнейших математиков XVIII века - Л. Эйлер предложил использовать первую букву французского слова imaginaire (мнимый) для обозначения числа (мнимой единицы). Этот символ вошел во всеобщее употребление благодаря К. Гауссу . Термин “комплексные числа” так же был введен Гауссом в 1831 году. Слово комплекс (от латинского complexus) означает связь, сочетание, совокупность понятий, предметов, явлений и т. д. Образующих единое целое.
9 слайд
Из истории комплексных чисел Комплексные числа, несмотря на их “лживость” и недействительность, имеют очень широкое применение. Они играют значительную роль не только в математике, а также в таких науках, как физика, химия. В настоящее время комплексные числа активно используются в электромеханике, компьютерной и космической индустрии. Так с их помощью русский математик и механик Николай Егорович Жуковский создал теорию парения, показал как можно рассчитать подъёмную силу, возникающую при обтекании воздухом крыла самолёта. Именно поэтому нам следует расширять свои знания о комплексных числах, их свойствах и особенностях.
10 слайд
Чисто мнимые числа i; 2i; - 0,9i; 18,9i; i; i; i 0 i = 0
11 слайд
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1 Комплексным числом называют сумму действительного числа и чисто мнимого числа. z = a + bi C a R, b R, i – мнимая единица Число а называют действительной частью комплексного числа z, b – мнимой частью комплексного числа z
12 слайд
Алгебраическая форма комплексного числа z = a + bi Если а = 0, то a + bi = 0 + bi = bi bi – чисто мнимое число Если b = 0, то bi = 0 х i = 0, а значит a + bi = а + 0 = а а – действительное число
13 слайд
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2 Два комплексных числа называются равными, если равны их действительные и равны их мнимые части: a + bi = с + di a = c, b=d
14 слайд
Устная работа Назовите пары равных между собой комплексных чисел: а) -3+2i и 3+2i; б) 0,4+3,1i и 0,4+3i; в) 6-i и –i+6; г) 5,8-6i и -6i-5,8; д) 12,4 и 12,4i; е) 0 и iх0; ж) -10+3/2i и -10+1,5i ; з) 2/5+7i и 7i+0,4; и) -108+i и i-10,8; к) 6/8+iх0 и 6/8.
15 слайд
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3 Два комплексных числа z = а + bi и - z= - a – bi называются противоположными. Сумма двух противоположных чисел равна 0: z + (–z) = 0
16 слайд
Устная работа Назовите пары противоположных комплексных чисел: а) -8+i и -8+2i; б) -0,4+3i и 0,4-3i; в) 9-i и –i+9; г) 5,8-6i и 6i-5,8; д) -12,4 и 12,4i; е) 0 и iх0; ж) 57+3/2i и -57-1,5i ; з) 2/5-7i и 7i+0,4; и) -89,7+i и -i+8,97; к) 6/8+iх0 и -6/8.
17 слайд
Операции сложения, вычитания, умножения комплексных чисел удовлетворяют обычным законам арифметических действий Переместительному: (a + bi) + (с + di) = (с + di) + (a + bi) (a + bi) Х (с + di) = (с + di) Х (a + bi) Сочетательному: ((a+bi) + (с+di)) + (n+mi) = (a+bi)+ ((с+di) + (n+mi)) ((a+bi) х (с+di)) х (n+mi) = (a+bi) х ((с+di) х (n+mi)) Распределительному: ((a+bi) + (с+di)) х (n+mi) = (a+bi)х(n+mi) + (с+di)х(n+mi))
18 слайд
Операция сложения (вычитания) комплексных чисел + =(a + bi) + (с + di) = (а + с) + (bi + di) = = (а + c) + (b + d)i + (- )= (a + bi) - (с + di) = (а - с) + (bi + di) = = (а - c) + (b - d)i Пример. Найдите сумму и разность комплексных чисел = 1-2i, = -3+4i. + = (1 - 2 i) + ( – 3 + 4 i) = (1 -3) + ( -2 + 4)i = - 2 +2i - = (1 - 2 i) - ( – 3 + 4 i) = (1 +3) + ( -2 - 4)i = 4 - 6i
19 слайд
Операция умножения комплексных чисел Пример. Найдите произведение комплексных чисел = 1-2i, = -3+4i. В произведении следует раскрыть скобки и привести подобные члены: х = (1-2i ) х (-3+4i ) = -3 + 4i + 6i - 8 = = -3 +10i + 8 = 5 + 10i. ( a + bi) x ( с + di ) = (ac – bd) + (bc + ad)i
20 слайд
Деление комплексных чисел Рассмотрим уравнение (c+di)z=a+bi, где c+di отлично от нуля. Умножим обе части уравнения на с-di.
21 слайд
Операция деления комплексных чисел Т.о. для того чтобы найти частное двух комплексных чисел нужно числитель и знаменатель дроби умножить на c-di
22 слайд
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4 Два комплексных числа называются сопряжёнными, если их действительные части равны, а мнимые противоположны по знаку. Если z = a + bi, то сопряжённое ему имеет вид = a – bi.
23 слайд
Если мнимая часть комплексного числа z равна 0, т.е. это действительное число, то =z Верно и обратное: если =z, то х+уi=х-уi, и следовательно у=0, т.е. z – действительное число. Т.о. для действительных чисел переход к сопряжённому не даёт ничего нового: число переходит само в себя. А это значит, что операция перехода к сопряжённому числу – это новая операция, которая содержательна именно для множества комплексных чисел.
24 слайд
Свойства операции перехода к сопряжённому числу Свойство 1. Если z=c+di, то z= Свойство 2. Свойство 3. Свойство 4. Свойство 5. Свойство 6.
25 слайд
Пример. Пусть =3-i, =1+2i. Вычислить Решение.
26 слайд
Тренировочные задания 1. Вычислите: 2. Дана геометрическая прогрессия с первым членом, равным i, и знаменателем, равным – i. а) выпишите первые 7 членов этой прогрессии; б) найдите значение 27-го члена прогрессии; в) найдите сумму первых 2006 членов прогрессии; г) найдите сумму членов прогрессии с 15-го по 30-й.
27 слайд
Тренировочные задания 1. Вычислите: 2. Решите уравнения:
28 слайд
Тренировочные задания 1. Найдите значение функции если: а) z=1+i; б) z=2i; в) z=2+i. 2. При каких действительных значениях а число а) является действительным; б) является чисто мнимым?
29 слайд
Задания для самостоятельной работы
30 слайд
При подготовке презентации использовались материалы:
31 слайд
Автор презентации: учитель математики МОУ СОШ №2 р.п. Беково Пензенской области Н.Е.Балуева
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
Выбранный для просмотра документ 27171896.pptx
Скачать материал "ЭОР по математике раздел №1 Развитие понятия о числе 1курс"
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
1 слайд
Множества чисел N Z Q R C R Z N С LOGO
2 слайд
Из истории комплексных чисел Комплексные числа были введены в математику для того, чтобы сделать возможной операцию извлечения квадратного корня из любого действительного числа. Это, однако, не является достаточным основанием для того, чтобы вводить в математику новые числа. Оказалось, что если производить вычисления по обычным правилам над выражениями, в которых встречаются квадратный корень из отрицательного числа, то можно прийти к результату, уже не содержащему квадратный корень из отрицательного числа. В XVI в. Кардано нашел формулу для решения кубического уравнения. Оказалось, когда кубическое уравнение имеет три действительных корня, в формуле Кардано встречается квадратный корень из отрицательного числа. Впервые, по-видимому, мнимые величины появились в известном труде «Великое искусство, или об алгебраических правилах» Кардано (1545), который счёл их непригодными к употреблению. Кардано Джероламо LOGO
3 слайд
Из истории комплексных чисел Леонард Эйлер Он же дал некоторые простейшие правила действий с комплексными числами. Выражения вида a+b√−1, появляющиеся при решении квадратных и кубических уравнений, стали называть «мнимыми» в XVI-XVII веках, однако даже для многих крупных ученых XVII века алгебраическая и геометрическая сущность мнимых величин представлялась неясной. Известно, например, что Ньютон не включал мнимые величины в понятие числа, а Лейбницу принадлежит фраза: «Мнимые числа – это прекрасное и чудесное убежище божественного духа, почти что амфибия бытия с небытием» Пользу мнимых величин, в частности, при решении кубического уравнения, в так называемом неприводимом случае (когда вещественные корни выражаются через кубические корни из мнимых величин), впервые оценил Бомбелли (1572). Задача о выражении корней степени n из данного числа была в основном решена в работах Муавра (1707) и Котса (1722). Символ i=√−1 предложил Эйлер (1777, опубл. 1794), взявший для этого первую букву слова imaginarius. LOGO
4 слайд
Он же высказал в 1751 году мысль об алгебраической замкнутости поля комплексных чисел. К такому же выводу пришел Д’Аламбер (1747), но первое строгое доказательство этого факта принадлежит Гауссу (1799). Гаусс и ввёл в широкое употребление термин «комплексное число» в 1831 г, хотя этот термин ранее использовал в том же смысле французский математик Лазар Карно в 1803 году. Из истории комплексных чисел Полные гражданские права мнимым числам дал Гаусс, который назвал их комплексными числами, дал геометрическую интерпретацию и доказал основную теорему алгебры, утверждающую, что каждый многочлен имеет хотя бы один действительный корень. Геометрическое истолкование комплексных чисел и действий над ними появилось впервые в работе Весселя (англ.), (1799). Первые шаги в этом направлении были сделаны Валлисом (Англия) в 1685 году. Карл Гаусс LOGO
5 слайд
Cодержание Множества чисел 1 Алгебраические операции 2 Понятие комплексного числа 3 Действия над комплексными числами 4 Понятие сопряженного числа 5 Примеры 6 LOGO
6 слайд
Алгебраические операции Натуральные числа: +, Целые числа: +, –, Рациональные числа: +, –, , ÷ Действительные числа: +, –, , ÷, любые длины Q Z N R C Комплексные числа: +, –, , ÷, любые длины, √−1 LOGO
7 слайд
Понятие комплексного числа Комплексные числа C – это пара (a; b) действительных чисел с заданными определенным образом операциями умножения и сложения. Комплексное число z = (a; b) записывают как z = a + bi. i2 = −1, i – мнимая единица. Число Re z называется действительной частью числа z, а число Im z – мнимой частью числа z. Их обозначают a и b соответственно: a = Re z, b = Im z. Определение: Числа вида a + bi, где a и b – действительные числа, i – мнимая единица, называются комплексными. LOGO
8 слайд
Понятие комплексного числа Минимальные условия, которым должны удовлетворять комплексные числа: C1) Существует комплексное число, квадрат которого равен (−1). С2) Множество комплексных чисел содержит все действительные числа. С3) Операции сложения, вычитания, умножения и деления комплексных чисел удовлетворяют обычным законам арифметических действий (сочетательному, переместительному, распределительному). i – начальная буква французского слова imaginaire – «мнимый» LOGO
9 слайд
Действия над комплексными числами Сравнение a + bi = c + di означает, что a = c и b = d (два комплексных числа равны между собой тогда и только тогда, когда равны их действительные и мнимые части) Сложение (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i Вычитание (a + bi) − (c + di) = (a − c) + (b − d)i Умножение (a + bi) (c + di) = ac + bci + adi + bdi2 = (ac − bd) + (bc + ad)i Деление a + bi c + di ac + bd c2 + d2 = + i bc − ad c2 + d2 LOGO
10 слайд
Сопряженные числа Числа z = a + bi и z = a – bi называются сопряженными Свойство 1: Если z = a + bi , то z z = a2 + b2. Свойство 2: z1 + z2 = z1 + z2. Свойство 3: z1 – z2 = z1 – z2. Свойство 4: z1 z2 = z1 z2. Свойство 5: z1 z2 z3 … zn = z1 z2 z3 … zn. Свойство 6: zn = ( z )n. LOGO
11 слайд
Примеры (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i Например: 1. (2 + 3i) + (5 + i) = (2 + 5) + (3 + 1)i = 7 + 4i; 2. (– 2 + 3i) + (1 – 8i) = (– 2 + 1) + (3 + (– 8))i = – 1 – 5i; 3. (– 2 + 3i) + (1 – 3i) = (– 2 + 1) + (3 + (– 3))i = – 1 + 0i = – 1. (a + bi) – (c + di) = (a – c) + (b – d)i Например: (5 – 8i) – (2 + 3i) = (3 – 2) + (– 8 – 3)i = 1 – 11i; (3 – 2i) – (1 – 2i) = (3 – 1) + ((– 2) – (– 2))i = 2 + 0i = 2. LOGO
12 слайд
Примеры (a + bi)(c + di) = (aс + bd) + (ad + bc)i Например: 1. (– 1 + 3i)(2 + 5i) = – 2 – 5i + 6i + 15i2 = – 2 – 5i + 6i – 15 = – 17 + i; 2. (2 + 3i)(2 – 3i) = 4 – 6i + 6i – 9i2 = 4 + 9 = 13. Произведение двух сопряженных чисел – действительное число: (a + bi)(a – bi) = a2 – abi + abi – b2i2 = a2 + b2 Произведение двух чисто мнимых чисел – действительное число: bi di = bdi2 = − bd Например: 1. 5i•3i = 15i2 = − 15; 2. − 2i•3i = − 6i2 = 6. LOGO
13 слайд
Примеры Деление комплексного числа a + bi на комплексное число c + di ≠ 0 определяется как операция обратная умножению и выполняется по формуле: Формула теряет смысл, если c + di = 0, так как тогда c2 + d2 = 0, т. е. деление на нуль и во множестве комплексных чисел исключается. Обычно деление комплексных чисел выполняют путем умножения делимого и делителя на число, сопряженное делителю. Например: (a + bi)(c − di) (c + di)(c − di) LOGO
14 слайд
Комплексные числа на координатной плоскости Im z Re z 0 z = a + bi a b |z| φ LOGO
15 слайд
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
Выбранный для просмотра документ 47885998.ppt
Скачать материал "ЭОР по математике раздел №1 Развитие понятия о числе 1курс"
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
1 слайд
ПРИЛОЖЕНИЕ 2
2 слайд
1 23 5 4 6 8 7 9 10 11
3 слайд
ВОПРОСЫ: По горизонтали: 3. Кто впервые упомянул о мнимых величинах, назвав их «софически отрицательными»? 4. Одна из форм задания комплексного числа. 6. Чье имя носит формула ? 7. arg z. 9. Длина вектора соответствующего комплексного числа. 10. bi - … часть числа. 11. Геометрическая интерпретация комплексного числа. По вертикали: Кто ввел название «мнимые числа»? Французский математик, предложивший изображать комплексное число точкой на координатной плоскости. Число вида a + bi. Числа 3 – 2i и 3 + 2i ? 8. Сколько форм записи комплексных чисел вы знаете?
4 слайд
1 Д Е23 КАКАРДАНО АРО5 ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКАЯ ТОПО Н6ЭЙЛЕРП8 Е7АРГУМЕНТ КЯР СЖИ НЕ 9МОДУЛЬН Е10МНИМАЯ Ы 11ВЕКТОР
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
Выбранный для просмотра документ 48042971.docx
Урок № 8 Практическая работа №1
Дата проведения:
Тип урока: практическое занятие
Цель:
Образовательная: научить студентов выполнять арифметические действия над действительными числами, и модулями.
Развивающая: развивать умения индивидуальной работы, делать краткую запись теоретического материала.
Воспитательная: прививать любовь к умственному труду и самостоятельной деятельности.
Оснащение урока: инструкция , тетради для практических работ.
Ход урока:
1.Организационный момент.
Проверка готовности студентов к уроку.
Сообщение темы и целей урока.
2. Выполнение практической работы.
А)Раздать тетради и инструкции обучающимся.
Б) Выполнение практической работы.
Практическая работа №1
1.Повторить знания студентов в теме: «Арифметические операции над действительными числами. Преобразование выражений, содержащих модули».
2.Организовать деятельность студентов по переводу своих знаний от усвоения отдельных фактов и понятий к их обобщению в целостную систему знаний. Определить уровень усвоения знаний, оценить результат деятельности студентов.
Оборудование: инструкционно-технологические карты, справочные пособия по алгебре, микрокалькуляторы.
Порядок выполнения работы:
1.С помощью справочных пособий по алгебре повторить:
а) правила действий над обыкновенными дробями;
б) формулы сокращенного умножения;
в) способы разложения выражения на множители;
г) правило сокращения дробей.
2. Изучить условие заданий для практической работы и выполнить её..
3. Оформить отчет о работе.
Теория
Правила действий над обыкновенными дробями:
; 
; 
Формулы сокращенного умножения:
; 
;
; 
Варианты практической работы:
Вариант 1.
Вычислите значение выражения: 
.
Упростите выражение: 
.
Вариант 2.
Вычислите значение выражения: 
.
Упростите выражение: 
.
Вариант 3.
Вычислите значение выражения: 
.
Упростите выражение: 
.
Вариант 4.
Вычислите значение выражения: 
.
Упростите выражение: 
.
3.Заключение урока.
1. Собрать тетради.
2. Подведение итога
3. Д/з: повторить тему « Приближённые вычисления».
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
Выбранный для просмотра документ 67597419.pptx
Скачать материал "ЭОР по математике раздел №1 Развитие понятия о числе 1курс"
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
1 слайд
РИСУНКИ К ЗАНЯТИЮ Приложение 7
2 слайд
Рис. 1.
3 слайд
Рис. 2.
4 слайд
Рис. 3.
5 слайд
Рис. 4.
6 слайд
Рис. 5.
7 слайд
Рис. 6.
8 слайд
Рис. 7.
9 слайд
Рис. 8.
10 слайд
Рис. 9.
11 слайд
Рис. 10.
12 слайд
Рис. 11.
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
Выбранный для просмотра документ 77424097.ppt
Скачать материал "ЭОР по математике раздел №1 Развитие понятия о числе 1курс"
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
1 слайд
Формулы приближенных вычислений: 1. (х) (х0)+ (х0) х 2. (1+х)n1+nх 3. 1+ х
2 слайд
Вычислим по формуле 2 1,003100 Решение: 1). (1+х)n1+nх 2). х=1,003-1=0,003 n=100; 3). 1,0031001+1000,0031,3
3 слайд
Вычислите: 0,99616 Решение: 1) (1+х)n1+nх 2) х=0,996-1=-0,004 n=16 3) 0,996161+16(-0,004)0,936
4 слайд
Вычислите: по формуле 3 Решение: 1. 1+ х 2. х=1,003-1=0,003 3. 1+ 0,0031+0,00151,0015
5 слайд
Вычислите: Решение: 1. 1+ х 2. х=1,004-1=0,004 3. 1+ 0,0041+0,0021,002
6 слайд
Найти значение: cos 61 Решение: 1). (х) (х0)+ (х0)(х-х0) cos х cos х0-sin х0(х-х0) 2). 61=60+1 3). Х = ; х0= 4). cos 61 cos - sin ( - ) -0,35
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
Выбранный для просмотра документ 84179494.pptx
Скачать материал "ЭОР по математике раздел №1 Развитие понятия о числе 1курс"
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
1 слайд
Урок: «Определение модуля числа»
2 слайд
Модуль действительного числа. Свойства модуля. Определение: Например: Численно модуль равен расстоянию от начала отсчета (нуля) до этой точки. Важно знать! Под знаком модуля может быть любое действительное число, но значение модуля может быть только неотрицательным.
3 слайд
Модуль действительного числа. Свойства модуля. Свойства модуля действительного числа. Для любых действительных чисел и выполняются следующие свойства:
4 слайд
Модуль действительного числа. Свойства модуля. Некоторые важные неравенства. Решим неравенство Раскрывая модуль по определению, получим следующую совокупность: Вывод:
5 слайд
Модуль действительного числа. Свойства модуля. Решим неравенство Раскрывая модуль по определению, получим следующую совокупность: Вывод:
6 слайд
Модуль действительного числа. Свойства модуля. Решение упражнений. Раскройте модуль: а) б) в) г) д) е) ж)
7 слайд
Модуль действительного числа. Свойства модуля. Решите на множестве уравнения:
8 слайд
Модуль действительного числа. Свойства модуля. Решите неравенства на множестве : а) б) в) г)
9 слайд
До новых встреч!
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
Выбранный для просмотра документ 93532979.docx
Скачать материал "ЭОР по математике раздел №1 Развитие понятия о числе 1курс"
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
Выбранный для просмотра документ 3.pptx
Скачать материал "ЭОР по математике раздел №1 Развитие понятия о числе 1курс"
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
1 слайд
Урок: «Определение модуля числа»
2 слайд
Модуль действительного числа. Свойства модуля. Определение: Например: Численно модуль равен расстоянию от начала отсчета (нуля) до этой точки. Важно знать! Под знаком модуля может быть любое действительное число, но значение модуля может быть только неотрицательным.
3 слайд
Модуль действительного числа. Свойства модуля. Свойства модуля действительного числа. Для любых действительных чисел и выполняются следующие свойства:
4 слайд
Модуль действительного числа. Свойства модуля. Некоторые важные неравенства. Решим неравенство Раскрывая модуль по определению, получим следующую совокупность: Вывод:
5 слайд
Модуль действительного числа. Свойства модуля. Решим неравенство Раскрывая модуль по определению, получим следующую совокупность: Вывод:
6 слайд
Модуль действительного числа. Свойства модуля. Решение упражнений. Раскройте модуль: а) б) в) г) д) е) ж)
7 слайд
Модуль действительного числа. Свойства модуля. Решите на множестве уравнения:
8 слайд
Модуль действительного числа. Свойства модуля. Решите неравенства на множестве : а) б) в) г)
9 слайд
До новых встреч!
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
Выбранный для просмотра документ 1.docx
Урок №16 Контрольная работа №1 по теме «Развитие понятия о числе».
Дата проведения:
Тип занятия: урок контроля и оценки знаний.
Цели:
Методическая: активизация мыслительной деятельности обучающихся с использованием мультимедийных программ.
Образовательная: проверить навыки и умения учащихся по теме:
«Развитие понятия о числе».
Развивающая: развивать у обучающихся умения мыслить самостоятельно и творчески, сообразительность.
Воспитательная: прививать аккуратность при записях в тетрадь, объективную самооценку на основе самоконтроля, ответственность.
Вид контроля, измерители: проблемные задания, ответы на вопросы; решение тестовых заданий с выбором ответа; решение контрольных заданий.
Требования к уровню подготовки обучающихся:
уметь: строить графики тригонометрических функций и описывать их свойства; владеть навыками самоанализа и самоконтроля.
Дополнительные знания, умения
(требования повышенного уровня).
Умение свободно пользоваться свойствами дробей; извлекать необходимую информацию из учебно-научных текстов; приводить примеры, подобрать аргументы, сформулировать выводы; владение навыками контроля и оценки своей деятельности, умение предвидеть возможные последствия своих действий.
Оборудование: варианты контрольной работы, тетради для контрольных работ.
Ход урока:
Организационный момент
-проверка готовности к занятию
-объявление темы занятия
-постановка целей и задач занятия
Проверка знаний, умений и навыков учащихся.
Провести контрольную работу:
Контрольная работа № 1
1 вариант
Часть 1
1. Вычислите: 
.
2. Решить уравнения: 
3.Найдите сумму, разность, произведение комплексных чисел Z1 и Z2, если
Z1 = -3 + 5i, Z2 = 4 - 7i
4.Вычислите: (2 - i)(2 + i) - (3 - 2i) + 7
Часть 2
5. Перевести в алгебраическую форму: 2(cos П /6 + i sin П /6)
6.Найти частное комплексных чисел: .
7.Решите уравнения в комплексных числах:
2 вариант
Часть1
1. Вычислите: 
.
2. Решить уравнения:
;
3. Найдите сумму, разность, произведение комплексных чисел Z1 и Z2, если
z1 = 2 + 3i, z2 = 5 – 7i
4. Вычислите: (3 + i)(3 - i) - (6 + 2i) + 7
Часть 2
5. Перевести в алгебраическую форму: 2(cos П /6 + i sin П /6)
6.Найти частное комплексных чисел: .
7. Решите уравнения в комплексных числах:
Максимальное количество- 100
Критерии оценивания
Оценки выставляются в соответствии с коэффициентом усвоения (КУ)
№ задания
Количество балов
Вариант I
Вариант 2
1.
4
1.
4
2.
8
2.
8
3.
10
3.
10
4.
15
4.
15
5.
18
5.
18
6.
20
6.
20
7.
25
7.
25
Итого
100
Итого
100
Заключение урока
Собрать тетради с выполненными работами
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
Выбранный для просмотра документ 1.ppt
Скачать материал "ЭОР по математике раздел №1 Развитие понятия о числе 1курс"
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
1 слайд
ПРИЛОЖЕНИЕ 2
2 слайд
1 23 5 4 6 8 7 9 10 11
3 слайд
ВОПРОСЫ: По горизонтали: 3. Кто впервые упомянул о мнимых величинах, назвав их «софически отрицательными»? 4. Одна из форм задания комплексного числа. 6. Чье имя носит формула ? 7. arg z. 9. Длина вектора соответствующего комплексного числа. 10. bi - … часть числа. 11. Геометрическая интерпретация комплексного числа. По вертикали: Кто ввел название «мнимые числа»? Французский математик, предложивший изображать комплексное число точкой на координатной плоскости. Число вида a + bi. Числа 3 – 2i и 3 + 2i ? 8. Сколько форм записи комплексных чисел вы знаете?
4 слайд
1 Д Е23 КАКАРДАНО АРО5 ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКАЯ ТОПО Н6ЭЙЛЕРП8 Е7АРГУМЕНТ КЯР СЖИ НЕ 9МОДУЛЬН Е10МНИМАЯ Ы 11ВЕКТОР
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
Выбранный для просмотра документ 6.pptx
Скачать материал "ЭОР по математике раздел №1 Развитие понятия о числе 1курс"
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
1 слайд
РИСУНКИ К ЗАНЯТИЮ Приложение 7
2 слайд
Рис. 1.
3 слайд
Рис. 2.
4 слайд
Рис. 3.
5 слайд
Рис. 4.
6 слайд
Рис. 5.
7 слайд
Рис. 6.
8 слайд
Рис. 7.
9 слайд
Рис. 8.
10 слайд
Рис. 9.
11 слайд
Рис. 10.
12 слайд
Рис. 11.
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
Выбранный для просмотра документ 1.docx
Урок № 8 Практическая работа №1
Дата проведения:
Тип урока: практическое занятие
Цель:
Образовательная: научить студентов выполнять арифметические действия над действительными числами, и модулями.
Развивающая: развивать умения индивидуальной работы, делать краткую запись теоретического материала.
Воспитательная: прививать любовь к умственному труду и самостоятельной деятельности.
Оснащение урока: инструкция , тетради для практических работ.
Ход урока:
1.Организационный момент.
Проверка готовности студентов к уроку.
Сообщение темы и целей урока.
2. Выполнение практической работы.
А)Раздать тетради и инструкции обучающимся.
Б) Выполнение практической работы.
Практическая работа №1
1.Повторить знания студентов в теме: «Арифметические операции над действительными числами. Преобразование выражений, содержащих модули».
2.Организовать деятельность студентов по переводу своих знаний от усвоения отдельных фактов и понятий к их обобщению в целостную систему знаний. Определить уровень усвоения знаний, оценить результат деятельности студентов.
Оборудование: инструкционно-технологические карты, справочные пособия по алгебре, микрокалькуляторы.
Порядок выполнения работы:
1.С помощью справочных пособий по алгебре повторить:
а) правила действий над обыкновенными дробями;
б) формулы сокращенного умножения;
в) способы разложения выражения на множители;
г) правило сокращения дробей.
2. Изучить условие заданий для практической работы и выполнить её..
3. Оформить отчет о работе.
Теория
Правила действий над обыкновенными дробями:
; 
; 
Формулы сокращенного умножения:
; 
;
; 
Варианты практической работы:
Вариант 1.
Вычислите значение выражения: 
.
Упростите выражение: 
.
Вариант 2.
Вычислите значение выражения: 
.
Упростите выражение: 
.
Вариант 3.
Вычислите значение выражения: 
.
Упростите выражение: 
.
Вариант 4.
Вычислите значение выражения: 
.
Упростите выражение: 
.
3.Заключение урока.
1. Собрать тетради.
2. Подведение итога
3. Д/з: повторить тему « Приближённые вычисления».
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
Выбранный для просмотра документ 2.ppt
Скачать материал "ЭОР по математике раздел №1 Развитие понятия о числе 1курс"
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
1 слайд
Формулы приближенных вычислений: 1. (х) (х0)+ (х0) х 2. (1+х)n1+nх 3. 1+ х
2 слайд
Вычислим по формуле 2 1,003100 Решение: 1). (1+х)n1+nх 2). х=1,003-1=0,003 n=100; 3). 1,0031001+1000,0031,3
3 слайд
Вычислите: 0,99616 Решение: 1) (1+х)n1+nх 2) х=0,996-1=-0,004 n=16 3) 0,996161+16(-0,004)0,936
4 слайд
Вычислите: по формуле 3 Решение: 1. 1+ х 2. х=1,003-1=0,003 3. 1+ 0,0031+0,00151,0015
5 слайд
Вычислите: Решение: 1. 1+ х 2. х=1,004-1=0,004 3. 1+ 0,0041+0,0021,002
6 слайд
Найти значение: cos 61 Решение: 1). (х) (х0)+ (х0)(х-х0) cos х cos х0-sin х0(х-х0) 2). 61=60+1 3). Х = ; х0= 4). cos 61 cos - sin ( - ) -0,35
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
Выбранный для просмотра документ 1.pptx
Скачать материал "ЭОР по математике раздел №1 Развитие понятия о числе 1курс"
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
1 слайд
Множества чисел N Z Q R C R Z N С LOGO
2 слайд
Из истории комплексных чисел Комплексные числа были введены в математику для того, чтобы сделать возможной операцию извлечения квадратного корня из любого действительного числа. Это, однако, не является достаточным основанием для того, чтобы вводить в математику новые числа. Оказалось, что если производить вычисления по обычным правилам над выражениями, в которых встречаются квадратный корень из отрицательного числа, то можно прийти к результату, уже не содержащему квадратный корень из отрицательного числа. В XVI в. Кардано нашел формулу для решения кубического уравнения. Оказалось, когда кубическое уравнение имеет три действительных корня, в формуле Кардано встречается квадратный корень из отрицательного числа. Впервые, по-видимому, мнимые величины появились в известном труде «Великое искусство, или об алгебраических правилах» Кардано (1545), который счёл их непригодными к употреблению. Кардано Джероламо LOGO
3 слайд
Из истории комплексных чисел Леонард Эйлер Он же дал некоторые простейшие правила действий с комплексными числами. Выражения вида a+b√−1, появляющиеся при решении квадратных и кубических уравнений, стали называть «мнимыми» в XVI-XVII веках, однако даже для многих крупных ученых XVII века алгебраическая и геометрическая сущность мнимых величин представлялась неясной. Известно, например, что Ньютон не включал мнимые величины в понятие числа, а Лейбницу принадлежит фраза: «Мнимые числа – это прекрасное и чудесное убежище божественного духа, почти что амфибия бытия с небытием» Пользу мнимых величин, в частности, при решении кубического уравнения, в так называемом неприводимом случае (когда вещественные корни выражаются через кубические корни из мнимых величин), впервые оценил Бомбелли (1572). Задача о выражении корней степени n из данного числа была в основном решена в работах Муавра (1707) и Котса (1722). Символ i=√−1 предложил Эйлер (1777, опубл. 1794), взявший для этого первую букву слова imaginarius. LOGO
4 слайд
Он же высказал в 1751 году мысль об алгебраической замкнутости поля комплексных чисел. К такому же выводу пришел Д’Аламбер (1747), но первое строгое доказательство этого факта принадлежит Гауссу (1799). Гаусс и ввёл в широкое употребление термин «комплексное число» в 1831 г, хотя этот термин ранее использовал в том же смысле французский математик Лазар Карно в 1803 году. Из истории комплексных чисел Полные гражданские права мнимым числам дал Гаусс, который назвал их комплексными числами, дал геометрическую интерпретацию и доказал основную теорему алгебры, утверждающую, что каждый многочлен имеет хотя бы один действительный корень. Геометрическое истолкование комплексных чисел и действий над ними появилось впервые в работе Весселя (англ.), (1799). Первые шаги в этом направлении были сделаны Валлисом (Англия) в 1685 году. Карл Гаусс LOGO
5 слайд
Cодержание Множества чисел 1 Алгебраические операции 2 Понятие комплексного числа 3 Действия над комплексными числами 4 Понятие сопряженного числа 5 Примеры 6 LOGO
6 слайд
Алгебраические операции Натуральные числа: +, Целые числа: +, –, Рациональные числа: +, –, , ÷ Действительные числа: +, –, , ÷, любые длины Q Z N R C Комплексные числа: +, –, , ÷, любые длины, √−1 LOGO
7 слайд
Понятие комплексного числа Комплексные числа C – это пара (a; b) действительных чисел с заданными определенным образом операциями умножения и сложения. Комплексное число z = (a; b) записывают как z = a + bi. i2 = −1, i – мнимая единица. Число Re z называется действительной частью числа z, а число Im z – мнимой частью числа z. Их обозначают a и b соответственно: a = Re z, b = Im z. Определение: Числа вида a + bi, где a и b – действительные числа, i – мнимая единица, называются комплексными. LOGO
8 слайд
Понятие комплексного числа Минимальные условия, которым должны удовлетворять комплексные числа: C1) Существует комплексное число, квадрат которого равен (−1). С2) Множество комплексных чисел содержит все действительные числа. С3) Операции сложения, вычитания, умножения и деления комплексных чисел удовлетворяют обычным законам арифметических действий (сочетательному, переместительному, распределительному). i – начальная буква французского слова imaginaire – «мнимый» LOGO
9 слайд
Действия над комплексными числами Сравнение a + bi = c + di означает, что a = c и b = d (два комплексных числа равны между собой тогда и только тогда, когда равны их действительные и мнимые части) Сложение (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i Вычитание (a + bi) − (c + di) = (a − c) + (b − d)i Умножение (a + bi) (c + di) = ac + bci + adi + bdi2 = (ac − bd) + (bc + ad)i Деление a + bi c + di ac + bd c2 + d2 = + i bc − ad c2 + d2 LOGO
10 слайд
Сопряженные числа Числа z = a + bi и z = a – bi называются сопряженными Свойство 1: Если z = a + bi , то z z = a2 + b2. Свойство 2: z1 + z2 = z1 + z2. Свойство 3: z1 – z2 = z1 – z2. Свойство 4: z1 z2 = z1 z2. Свойство 5: z1 z2 z3 … zn = z1 z2 z3 … zn. Свойство 6: zn = ( z )n. LOGO
11 слайд
Примеры (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i Например: 1. (2 + 3i) + (5 + i) = (2 + 5) + (3 + 1)i = 7 + 4i; 2. (– 2 + 3i) + (1 – 8i) = (– 2 + 1) + (3 + (– 8))i = – 1 – 5i; 3. (– 2 + 3i) + (1 – 3i) = (– 2 + 1) + (3 + (– 3))i = – 1 + 0i = – 1. (a + bi) – (c + di) = (a – c) + (b – d)i Например: (5 – 8i) – (2 + 3i) = (3 – 2) + (– 8 – 3)i = 1 – 11i; (3 – 2i) – (1 – 2i) = (3 – 1) + ((– 2) – (– 2))i = 2 + 0i = 2. LOGO
12 слайд
Примеры (a + bi)(c + di) = (aс + bd) + (ad + bc)i Например: 1. (– 1 + 3i)(2 + 5i) = – 2 – 5i + 6i + 15i2 = – 2 – 5i + 6i – 15 = – 17 + i; 2. (2 + 3i)(2 – 3i) = 4 – 6i + 6i – 9i2 = 4 + 9 = 13. Произведение двух сопряженных чисел – действительное число: (a + bi)(a – bi) = a2 – abi + abi – b2i2 = a2 + b2 Произведение двух чисто мнимых чисел – действительное число: bi di = bdi2 = − bd Например: 1. 5i•3i = 15i2 = − 15; 2. − 2i•3i = − 6i2 = 6. LOGO
13 слайд
Примеры Деление комплексного числа a + bi на комплексное число c + di ≠ 0 определяется как операция обратная умножению и выполняется по формуле: Формула теряет смысл, если c + di = 0, так как тогда c2 + d2 = 0, т. е. деление на нуль и во множестве комплексных чисел исключается. Обычно деление комплексных чисел выполняют путем умножения делимого и делителя на число, сопряженное делителю. Например: (a + bi)(c − di) (c + di)(c − di) LOGO
14 слайд
Комплексные числа на координатной плоскости Im z Re z 0 z = a + bi a b |z| φ LOGO
15 слайд
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
Выбранный для просмотра документ 1.ppt
Скачать материал "ЭОР по математике раздел №1 Развитие понятия о числе 1курс"
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
1 слайд
2 слайд
ЧИСЛОВЫЕ СИСТЕМЫ Действительные числа Рациональные числа Целые числа Комплексные числа Натуральные числа
3 слайд
НАТУРАЛЬНЫЕ ЧИСЛА , N 1, 2, 3, 4, 5, … Допустимые алгебраические операции: сложение, умножение 34 + 6, 45 Х 15 Частично допустимые алгебраические операции: вычитание, деление, извлечение корней 6 - 5, 45 : 15, Уравнения 2х + 7 = 8, 5х = 9 , = 15 не имеют корней в N
4 слайд
ЦЕЛЫЕ ЧИСЛА , Z …-3, -2, -1, 0,1, 2, 3, … Допустимые алгебраические операции: сложение, вычитание, умножение 24 + 5, 4 – 15, 18 х 2 Частично допустимые алгебраические операции: деление, извлечение корней (- 6) : ( - 2), Уравнения 16х = 9 , 2 = 60 не имеют корней в Z
5 слайд
РАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА , Q Целые числа и обыкновенные дроби Допустимые алгебраические операции: сложение, вычитание, умножение, деление - 14 + 26, 8 – 34, ( - 22) Х 14, 30 : 23 Частично допустимые алгебраические операции: извлечение корней из неотрицательных чисел Уравнения = 5, 2 = 9 не имеют корней в Q
6 слайд
ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА , R Рациональные и иррациональные числа Допустимые алгебраические операции: сложение, вычитание, умножение, деление, извлечение корней из неотрицательных чисел 43 - 66, ( - 2) Х ( - 514), ( - 36) : 41, Частично допустимые алгебраические операции: извлечение корней из произвольных чисел Уравнения = - 5, - 2 = 9 не имеют корней в R
7 слайд
КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА, C Действительные числа и i, где i – мнимая единица Допустимы все алгебраические операции
8 слайд
Из истории комплексных чисел Название “мнимые числа” ввел в 1637 году французский математик и философ Р. Декарт. В 1777 году один из крупнейших математиков XVIII века - Л. Эйлер предложил использовать первую букву французского слова imaginaire (мнимый) для обозначения числа (мнимой единицы). Этот символ вошел во всеобщее употребление благодаря К. Гауссу . Термин “комплексные числа” так же был введен Гауссом в 1831 году. Слово комплекс (от латинского complexus) означает связь, сочетание, совокупность понятий, предметов, явлений и т. д. Образующих единое целое.
9 слайд
Из истории комплексных чисел Комплексные числа, несмотря на их “лживость” и недействительность, имеют очень широкое применение. Они играют значительную роль не только в математике, а также в таких науках, как физика, химия. В настоящее время комплексные числа активно используются в электромеханике, компьютерной и космической индустрии. Так с их помощью русский математик и механик Николай Егорович Жуковский создал теорию парения, показал как можно рассчитать подъёмную силу, возникающую при обтекании воздухом крыла самолёта. Именно поэтому нам следует расширять свои знания о комплексных числах, их свойствах и особенностях.
10 слайд
Чисто мнимые числа i; 2i; - 0,9i; 18,9i; i; i; i 0 i = 0
11 слайд
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1 Комплексным числом называют сумму действительного числа и чисто мнимого числа. z = a + bi C a R, b R, i – мнимая единица Число а называют действительной частью комплексного числа z, b – мнимой частью комплексного числа z
12 слайд
Алгебраическая форма комплексного числа z = a + bi Если а = 0, то a + bi = 0 + bi = bi bi – чисто мнимое число Если b = 0, то bi = 0 х i = 0, а значит a + bi = а + 0 = а а – действительное число
13 слайд
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2 Два комплексных числа называются равными, если равны их действительные и равны их мнимые части: a + bi = с + di a = c, b=d
14 слайд
Устная работа Назовите пары равных между собой комплексных чисел: а) -3+2i и 3+2i; б) 0,4+3,1i и 0,4+3i; в) 6-i и –i+6; г) 5,8-6i и -6i-5,8; д) 12,4 и 12,4i; е) 0 и iх0; ж) -10+3/2i и -10+1,5i ; з) 2/5+7i и 7i+0,4; и) -108+i и i-10,8; к) 6/8+iх0 и 6/8.
15 слайд
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3 Два комплексных числа z = а + bi и - z= - a – bi называются противоположными. Сумма двух противоположных чисел равна 0: z + (–z) = 0
16 слайд
Устная работа Назовите пары противоположных комплексных чисел: а) -8+i и -8+2i; б) -0,4+3i и 0,4-3i; в) 9-i и –i+9; г) 5,8-6i и 6i-5,8; д) -12,4 и 12,4i; е) 0 и iх0; ж) 57+3/2i и -57-1,5i ; з) 2/5-7i и 7i+0,4; и) -89,7+i и -i+8,97; к) 6/8+iх0 и -6/8.
17 слайд
Операции сложения, вычитания, умножения комплексных чисел удовлетворяют обычным законам арифметических действий Переместительному: (a + bi) + (с + di) = (с + di) + (a + bi) (a + bi) Х (с + di) = (с + di) Х (a + bi) Сочетательному: ((a+bi) + (с+di)) + (n+mi) = (a+bi)+ ((с+di) + (n+mi)) ((a+bi) х (с+di)) х (n+mi) = (a+bi) х ((с+di) х (n+mi)) Распределительному: ((a+bi) + (с+di)) х (n+mi) = (a+bi)х(n+mi) + (с+di)х(n+mi))
18 слайд
Операция сложения (вычитания) комплексных чисел + =(a + bi) + (с + di) = (а + с) + (bi + di) = = (а + c) + (b + d)i + (- )= (a + bi) - (с + di) = (а - с) + (bi + di) = = (а - c) + (b - d)i Пример. Найдите сумму и разность комплексных чисел = 1-2i, = -3+4i. + = (1 - 2 i) + ( – 3 + 4 i) = (1 -3) + ( -2 + 4)i = - 2 +2i - = (1 - 2 i) - ( – 3 + 4 i) = (1 +3) + ( -2 - 4)i = 4 - 6i
19 слайд
Операция умножения комплексных чисел Пример. Найдите произведение комплексных чисел = 1-2i, = -3+4i. В произведении следует раскрыть скобки и привести подобные члены: х = (1-2i ) х (-3+4i ) = -3 + 4i + 6i - 8 = = -3 +10i + 8 = 5 + 10i. ( a + bi) x ( с + di ) = (ac – bd) + (bc + ad)i
20 слайд
Деление комплексных чисел Рассмотрим уравнение (c+di)z=a+bi, где c+di отлично от нуля. Умножим обе части уравнения на с-di.
21 слайд
Операция деления комплексных чисел Т.о. для того чтобы найти частное двух комплексных чисел нужно числитель и знаменатель дроби умножить на c-di
22 слайд
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4 Два комплексных числа называются сопряжёнными, если их действительные части равны, а мнимые противоположны по знаку. Если z = a + bi, то сопряжённое ему имеет вид = a – bi.
23 слайд
Если мнимая часть комплексного числа z равна 0, т.е. это действительное число, то =z Верно и обратное: если =z, то х+уi=х-уi, и следовательно у=0, т.е. z – действительное число. Т.о. для действительных чисел переход к сопряжённому не даёт ничего нового: число переходит само в себя. А это значит, что операция перехода к сопряжённому числу – это новая операция, которая содержательна именно для множества комплексных чисел.
24 слайд
Свойства операции перехода к сопряжённому числу Свойство 1. Если z=c+di, то z= Свойство 2. Свойство 3. Свойство 4. Свойство 5. Свойство 6.
25 слайд
Пример. Пусть =3-i, =1+2i. Вычислить Решение.
26 слайд
Тренировочные задания 1. Вычислите: 2. Дана геометрическая прогрессия с первым членом, равным i, и знаменателем, равным – i. а) выпишите первые 7 членов этой прогрессии; б) найдите значение 27-го члена прогрессии; в) найдите сумму первых 2006 членов прогрессии; г) найдите сумму членов прогрессии с 15-го по 30-й.
27 слайд
Тренировочные задания 1. Вычислите: 2. Решите уравнения:
28 слайд
Тренировочные задания 1. Найдите значение функции если: а) z=1+i; б) z=2i; в) z=2+i. 2. При каких действительных значениях а число а) является действительным; б) является чисто мнимым?
29 слайд
Задания для самостоятельной работы
30 слайд
При подготовке презентации использовались материалы:
31 слайд
Автор презентации: учитель математики МОУ СОШ №2 р.п. Беково Пензенской области Н.Е.Балуева
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
Выбранный для просмотра документ 2.docx
Скачать материал "ЭОР по математике раздел №1 Развитие понятия о числе 1курс"
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
Выбранный для просмотра документ урок 10 класс.doc
Скачать материал "ЭОР по математике раздел №1 Развитие понятия о числе 1курс"
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
Выбранный для просмотра документ 139_139_jEu-1-.pptx
Скачать материал "ЭОР по математике раздел №1 Развитие понятия о числе 1курс"
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
1 слайд
Множества чисел N Z Q R C R Z N С LOGO
2 слайд
Из истории комплексных чисел Комплексные числа были введены в математику для того, чтобы сделать возможной операцию извлечения квадратного корня из любого действительного числа. Это, однако, не является достаточным основанием для того, чтобы вводить в математику новые числа. Оказалось, что если производить вычисления по обычным правилам над выражениями, в которых встречаются квадратный корень из отрицательного числа, то можно прийти к результату, уже не содержащему квадратный корень из отрицательного числа. В XVI в. Кардано нашел формулу для решения кубического уравнения. Оказалось, когда кубическое уравнение имеет три действительных корня, в формуле Кардано встречается квадратный корень из отрицательного числа. Впервые, по-видимому, мнимые величины появились в известном труде «Великое искусство, или об алгебраических правилах» Кардано (1545), который счёл их непригодными к употреблению. Кардано Джероламо LOGO
3 слайд
Из истории комплексных чисел Леонард Эйлер Он же дал некоторые простейшие правила действий с комплексными числами. Выражения вида a+b√−1, появляющиеся при решении квадратных и кубических уравнений, стали называть «мнимыми» в XVI-XVII веках, однако даже для многих крупных ученых XVII века алгебраическая и геометрическая сущность мнимых величин представлялась неясной. Известно, например, что Ньютон не включал мнимые величины в понятие числа, а Лейбницу принадлежит фраза: «Мнимые числа – это прекрасное и чудесное убежище божественного духа, почти что амфибия бытия с небытием» Пользу мнимых величин, в частности, при решении кубического уравнения, в так называемом неприводимом случае (когда вещественные корни выражаются через кубические корни из мнимых величин), впервые оценил Бомбелли (1572). Задача о выражении корней степени n из данного числа была в основном решена в работах Муавра (1707) и Котса (1722). Символ i=√−1 предложил Эйлер (1777, опубл. 1794), взявший для этого первую букву слова imaginarius. LOGO
4 слайд
Он же высказал в 1751 году мысль об алгебраической замкнутости поля комплексных чисел. К такому же выводу пришел Д’Аламбер (1747), но первое строгое доказательство этого факта принадлежит Гауссу (1799). Гаусс и ввёл в широкое употребление термин «комплексное число» в 1831 г, хотя этот термин ранее использовал в том же смысле французский математик Лазар Карно в 1803 году. Из истории комплексных чисел Полные гражданские права мнимым числам дал Гаусс, который назвал их комплексными числами, дал геометрическую интерпретацию и доказал основную теорему алгебры, утверждающую, что каждый многочлен имеет хотя бы один действительный корень. Геометрическое истолкование комплексных чисел и действий над ними появилось впервые в работе Весселя (англ.), (1799). Первые шаги в этом направлении были сделаны Валлисом (Англия) в 1685 году. Карл Гаусс LOGO
5 слайд
Cодержание Множества чисел 1 Алгебраические операции 2 Понятие комплексного числа 3 Действия над комплексными числами 4 Понятие сопряженного числа 5 Примеры 6 LOGO
6 слайд
Алгебраические операции Натуральные числа: +, Целые числа: +, –, Рациональные числа: +, –, , ÷ Действительные числа: +, –, , ÷, любые длины Q Z N R C Комплексные числа: +, –, , ÷, любые длины, √−1 LOGO
7 слайд
Понятие комплексного числа Комплексные числа C – это пара (a; b) действительных чисел с заданными определенным образом операциями умножения и сложения. Комплексное число z = (a; b) записывают как z = a + bi. i2 = −1, i – мнимая единица. Число Re z называется действительной частью числа z, а число Im z – мнимой частью числа z. Их обозначают a и b соответственно: a = Re z, b = Im z. Определение: Числа вида a + bi, где a и b – действительные числа, i – мнимая единица, называются комплексными. LOGO
8 слайд
Понятие комплексного числа Минимальные условия, которым должны удовлетворять комплексные числа: C1) Существует комплексное число, квадрат которого равен (−1). С2) Множество комплексных чисел содержит все действительные числа. С3) Операции сложения, вычитания, умножения и деления комплексных чисел удовлетворяют обычным законам арифметических действий (сочетательному, переместительному, распределительному). i – начальная буква французского слова imaginaire – «мнимый» LOGO
9 слайд
Действия над комплексными числами Сравнение a + bi = c + di означает, что a = c и b = d (два комплексных числа равны между собой тогда и только тогда, когда равны их действительные и мнимые части) Сложение (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i Вычитание (a + bi) − (c + di) = (a − c) + (b − d)i Умножение (a + bi) (c + di) = ac + bci + adi + bdi2 = (ac − bd) + (bc + ad)i Деление a + bi c + di ac + bd c2 + d2 = + i bc − ad c2 + d2 LOGO
10 слайд
Сопряженные числа Числа z = a + bi и z = a – bi называются сопряженными Свойство 1: Если z = a + bi , то z z = a2 + b2. Свойство 2: z1 + z2 = z1 + z2. Свойство 3: z1 – z2 = z1 – z2. Свойство 4: z1 z2 = z1 z2. Свойство 5: z1 z2 z3 … zn = z1 z2 z3 … zn. Свойство 6: zn = ( z )n. LOGO
11 слайд
Примеры (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i Например: 1. (2 + 3i) + (5 + i) = (2 + 5) + (3 + 1)i = 7 + 4i; 2. (– 2 + 3i) + (1 – 8i) = (– 2 + 1) + (3 + (– 8))i = – 1 – 5i; 3. (– 2 + 3i) + (1 – 3i) = (– 2 + 1) + (3 + (– 3))i = – 1 + 0i = – 1. (a + bi) – (c + di) = (a – c) + (b – d)i Например: (5 – 8i) – (2 + 3i) = (3 – 2) + (– 8 – 3)i = 1 – 11i; (3 – 2i) – (1 – 2i) = (3 – 1) + ((– 2) – (– 2))i = 2 + 0i = 2. LOGO
12 слайд
Примеры (a + bi)(c + di) = (aс + bd) + (ad + bc)i Например: 1. (– 1 + 3i)(2 + 5i) = – 2 – 5i + 6i + 15i2 = – 2 – 5i + 6i – 15 = – 17 + i; 2. (2 + 3i)(2 – 3i) = 4 – 6i + 6i – 9i2 = 4 + 9 = 13. Произведение двух сопряженных чисел – действительное число: (a + bi)(a – bi) = a2 – abi + abi – b2i2 = a2 + b2 Произведение двух чисто мнимых чисел – действительное число: bi di = bdi2 = − bd Например: 1. 5i•3i = 15i2 = − 15; 2. − 2i•3i = − 6i2 = 6. LOGO
13 слайд
Примеры Деление комплексного числа a + bi на комплексное число c + di ≠ 0 определяется как операция обратная умножению и выполняется по формуле: Формула теряет смысл, если c + di = 0, так как тогда c2 + d2 = 0, т. е. деление на нуль и во множестве комплексных чисел исключается. Обычно деление комплексных чисел выполняют путем умножения делимого и делителя на число, сопряженное делителю. Например: (a + bi)(c − di) (c + di)(c − di) LOGO
14 слайд
Комплексные числа на координатной плоскости Im z Re z 0 z = a + bi a b |z| φ LOGO
15 слайд
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
Выбранный для просмотра документ урок 11.docx
Урок 11. Определение комплексного числа.
Цель урока: познакомить учащихся с понятием комплексного числа; рассмотреть основные действия над комплексными числами.
Задачи урока.
Образовательные:
Ввести понятие комплексного числа.
Показать алгебраическую и тригонометрическую формы комплексного числа.
Рассмотреть геометрическую интерпретацию комплексных чисел.
Познакомить с действиями над комплексными числами в алгебраической и тригонометрической формах.
Развивающие:
Развивать мышление в процессе выполнения практических заданий.
Развивать пространственные представления.
Воспитывающие:
Воспитывать культуру записей в тетради.
Воспитывать аккуратность, усидчивость, внимательность в процессе прослушивания лекции.
Тип урока: обзорная лекция.
План урока.
Организационный момент.
Изложение материала.
Домашнее задание.
Подведение итогов урока.
Ход урока
I. Организационный момент.
II. Изложение материала.
1. Мотивация.
Расширение множества вещественных чисел состоит в том, что к действительным числам присоединяются новые числа (мнимые). Введение этих чисел связано с невозможностью во множестве действительных чисел извлечения корня из отрицательного числа.
2. Введение понятия комплексного числа.
Мнимые числа, которыми мы дополняем действительные числа, записываются в виде bi, где i – мнимая единица, причем i 2 = - 1.
Исходя из этого, получим следующее определение комплексного числа.
Определение. Комплексным числом называется выражение вида a + bi, где a и b - действительные числа. При этом выполняются условия:
а) Два комплексных числа a1 + b1i и a2 + b2i равны тогда и только тогда, когда a1=a2, b1=b2.
б) Сложение комплексных чисел определяется правилом:
(a1 + b1i) + (a2 + b2i) = (a1 + a2) + (b1 + b2) i.
в) Умножение комплексных чисел определяется правилом:
(a1 + b1i) (a2 + b2i) = (a1a2 - b1b2) + (a1b2 - a2b1) i.
3. Алгебраическая форма комплексного числа.
Запись комплексного числа в виде a + bi называют алгебраической формой комплексного числа, где а – действительная часть, bi – мнимая часть, причем b – действительное число.
Комплексное число a + bi считается равным нулю, если его действительная и мнимая части равны нулю: a = b = 0
Комплексное число a + bi при b = 0 считается совпадающим с действительным числом a: a + 0i = a.
Комплексное число a + bi при a = 0 называется чисто мнимым и обозначается bi: 0 + bi = bi.
Два комплексных числа z = a + bi и = a – bi, отличающиеся лишь знаком мнимой части, называются сопряженными.
4. Действия над комплексными числами в алгебраической форме.
Над комплексными числами в алгебраической форме можно выполнять следующие действия.
1) Сложение.
Определение. Суммой комплексных чисел z1 = a1 + b1 i и z2 = a2 + b2 i называется комплексное число z, действительная часть которого равна сумме действительных частей z1 и z2, а мнимая часть - сумме мнимых частей чисел z1 и z2 , то есть z = (a1 + a2) + (b1 + b2) i.
Числа z1 и z2 называются слагаемыми.
Сложение комплексных чисел обладает следующими свойствами:
1º. Коммутативность: z1 + z2 = z2 + z1.
2º. Ассоциативность: (z1 + z2) + z3 = z1 + (z2 + z3).
3º. Комплексное число – a – bi называется противоположным комплексному числу z = a + bi. Комплексное число, противоположное комплексному числу z, обозначается -z. Сумма комплексных чисел z и -z равна нулю: z + (-z) = 0
Пример 1. Выполните сложение (3 – i) + (-1 + 2i).
(3 – i) + (-1 + 2i) = (3 + (-1)) + (-1 + 2) i = 2 + 1i.
2) Вычитание.
Определение. Вычесть из комплексного числа z1 комплексное число z2, значит найти такое комплексное число z, что z + z2 = z1.
Теорема. Разность комплексных чисел существует и притом единственна.
Пример 2. Выполните вычитание (4 – 2i) - (-3 + 2i).
(4 – 2i) - (-3 + 2i) = (4 - (-3)) + (-2 - 2) i = 7 – 4i.
3) Умножение.
Определение. Произведением комплексных чисел z1=a1+ b1 i и z2=a2+b2 i называется комплексное число z, определяемое равенством:
z = (a1a2 – b1b2) + (a1b2 + a2b1) i.
Числа z1 и z2 называются сомножителями.
Умножение комплексных чисел обладает следующими свойствами:
1º. Коммутативность: z1z2 = z2z1.
2º. Ассоциативность: (z1z2)z3 = z1(z2z3)
3º. Дистрибутивность умножения относительно сложения:
(z1 + z2) z3 = z1z3 + z2z3.
4º. z · = (a + bi) (a – bi) = a2 + b2 - действительное число.
На практике умножение комплексных чисел производят по правилу умножения суммы на сумму и выделения действительной и мнимой части.
В следующем примере рассмотрим умножение комплексных чисел двумя способами: по правилу и умножением суммы на сумму.
Пример 3. Выполните умножение (2 + 3i) (5 – 7i).
1 способ. (2 + 3i) (5 – 7i) = (2 5 – 3 (- 7)) + (2 (- 7) + 3 5)i =
= (10 + 21) + (- 14 + 15)i = 31 + i.
2 способ. (2 + 3i) (5 – 7i) = 2 5 + 2 (- 7i) + 3i 5 + 3i (- 7i) =
= 10 – 14i + 15i + 21 = 31 + i.
4) Деление.
Определение. Разделить комплексное число z1 на комплексное число z2, значит найти такое комплексное число z, что z · z2 = z1.
Теорема. Частное комплексных чисел существует и единственно, если z2 ≠ 0 + 0i.
На практике частное комплексных чисел находят путем умножения числителя и знаменателя на число, сопряженное знаменателю.
Пусть z1 = a1 + b1i, z2 = a2 + b2i, тогда
+ .
В следующем примере выполним деление по формуле и правилу умножения на число, сопряженное знаменателю.
Пример 4. Найти частное .
1 способ. .
2 способ. .
5) Возведение в целую положительную степень.
а) Степени мнимой единицы.
Пользуясь равенством i2 = -1, легко определить любую целую положительную степень мнимой единицы. Имеем:
i3 = i2 i = -i,
i4 = i2 i2 = 1,
i5 = i4 i = i,
i6 = i4 i2 = -1,
i7 = i5 i2 = -i,
i8 = i6 i2 = 1 и т. д.
Это показывает, что значения степени in, где n – целое положительное число, периодически повторяется при увеличении показателя на 4 .
Поэтому, чтобы возвести число i в целую положительную степень, надо показатель степени разделить на 4 и возвести i в степень, показатель которой равен остатку от деления.
Пример 5. Вычислите: (i 36 + i 17) · i 23.
i 36 = (i 4) 9 = 1 9 = 1,
i 17 = i 4 4+1 = (i 4)4 i = 1 · i = i.
i 23 = i 4 5+3 = (i 4)5 i3 = 1 · i3 = - i.
(i 36 + i 17) · i 23 = (1 + i) (- i) = - i + 1= 1 – i.
б) Возведение комплексного числа в целую положительную степень производится по правилу возведения двучлена в соответствующую степень, так как оно представляет собой частный случай умножения одинаковых комплексных сомножителей.
Пример 6. Вычислите: (4 + 2i) 3
(4 + 2i) 3 = 4 3 + 3 42 2i + 3 4 (2i)2 + (2i)3 = 64 + 96i – 48 – 8i = 16 + 88i.
5. Геометрическое изображение комплексных чисел.
а) Комплексные числа изображают точками плоскости по следующему правилу: a + bi = M (a; b) (рис.1).
Рисунок 1
б) Комплексное число можно изобразить вектором, который имеет начало в точке О и конец в данной точке (рис.2).
Рисунок 2
Пример 7. Постройте точки, изображающие комплексные числа: 1; - i; - 1 + i; 2 – 3i (рис.3).
Рисунок 3
6. Тригонометрическая запись комплексных чисел.
Комплексное число z = a + bi можно задать с помощью радиус – вектора с координатами (a; b) (рис.4).
Рисунок 4
Определение. Длина вектора , изображающего комплексное число z, называется модулем этого числа и обозначается или r.
Для любого комплексного числа z его модуль r = | z | определяется однозначно по формуле .
Определение. Величина угла между положительным направлением действительной оси и вектором , изображающим комплексное число, называется аргументом этого комплексного числа и обозначается Аrg z или φ.
Аргумент комплексного числа z = 0 не определен. Аргумент комплексного числа z ≠ 0 – величина многозначная и определяется с точностью до слагаемого 2πк (к = 0; - 1; 1; - 2; 2; …): Arg z = arg z + 2πк, где arg z – главное значение аргумента, заключенное в промежутке (-π; π], то есть -π < arg z ≤ π (иногда в качестве главного значения аргумента берут величину, принадлежащую промежутку [0; 2π)).
a = r · cos φ, b = r · sin φ.
Следовательно, комплексное число z = a + bi можно записать в виде:
z = r · cos φ + i r · sin φ или z = r · (cos φ + i sin φ).
Такая запись комплексного числа называется тригонометрической формой комплексного числа.
Пример 8. Представить в тригонометрической форме комплексное число 1– i.
a = 1, b = -1.
φ = .
1 – i = (cos + i sin ).
7. Действия над комплексными числами в тригонометрической форме.
1) Умножение.
Пусть два числа заданы и в алгебраической и в тригонометрической формах:
z1 = a1 + b1i = r1 (cos φ1 + i sin φ1), z2 = a2 + b2i = r2 (cos φ2 + i sin φ2).
На основании исходного определения правила умножения и формулы косинуса и синуса суммы получаем:
z1· z2 = r1 · r2 (cos (φ1 + φ2) + i sin (φ1 + φ2)); r1 · r2>0.
Умножение комплексных чисел в тригонометрической форме обладает следующими свойствами:
1º. Коммутативность: z1z2 = z2z1
2º. Ассоциативность: (z1z2) z3 = z1 (z2 z3).
Пример 9. Найти произведение комплексных чисел z1 = 2cos 50º + 2 i sin 50º,
z2 = cos 40º + i sin 40º.
Решение. Тригонометрические формы этих чисел имеют вид:
z1 = 2 · (cos 50º + i sin 50º), z2 = 1· (cos 40º + i sin 40º).
Тогда z1 · z2 = 1· 2 · (cos (50º + 40º) + i sin (50º + 40º)) = 2(cos 90º + i sin 90º) = 2(0 + i) = 2i.
2) Деление комплексных чисел в тригонометрической форме.
Деление в поле комплексных чисел на числа, отличные от нуля, всегда выполнимо. Если числа z1 и z2 заданы в тригонометрической форме
z1 = r1 (cos φ1 + i sin φ1), z2 = r2 (cos φ2 + i sin φ2), причем z1 ≠ 0, то комплексное число = [cos (φ2 - φ1) + i sin (φ2 - φ1)] является частным чисел z1 и z2 (то есть z1y = z2).
Пример 10. Найти частное комплексных чисел z1 = 2cos 50º + 2 i sin 50º,
z2 = cos 40º + i sin 40º.
Решение. Тригонометрические формы этих чисел имеют вид:
z1 = 2 · (cos 50º + i sin 50º), z2 = 1· (cos 40º + i sin 40º).
Тогда (cos (50º - 40 º) + i sin (50º - 40º)) = 2(cos 10º + i sin 10º).
3) Возведение в степень.
Определение. n – ой степенью комплексного числа z называется комплексное число, получающееся в результате умножения числа z самого на себя n раз.
Число z называется основанием степени, а натуральное число n – показателем степени.
Возвести комплексное число в n – ую степень можно по формуле:
z n = (r n) [cos (nφ) + i sin (nφ)].
Эту формулу при r =1 часто называют формулой Муавра:
(cos φ + i sin φ) n = cos (nφ) + i sin (nφ), n N.
Пример 11. Вычислите (1 + i)100.
Запишем комплексное число 1 + i в тригонометрической форме.
a = 1, b = 1.
.
cos φ = , sin φ = , φ = .
(1+i)100 = [(cos + i sin)]100= ()100 (cos·100 + i sin·100) = = 250(cos 25π + i sin 25π) = 250(cos π + i sin π) = - 250.
4) Извлечение квадратного корня из комплексного числа.
При извлечении квадратного корня из комплексного числа a + bi имеем два случая:
если b > о, то ;
если b < о, то .
Так как из комплексного числа всегда можно извлечь квадратный корень, то любое квадратное уравнение всегда будет иметь решения во множестве комплексных чисел. Решения квадратного уравнения ах2 + bх + с = 0 можно найти по известной формуле: .
Пример 12. Вычислите .
Так как b < о, то воспользуемся формулой
= = .
= ,
= .
III. Домашнее задание.
Дома учащимся предлагается выполнить задание на повторение и закрепление пройденного материала.
Вариант 1.1. Выполните действия.
а) ;
б) ;
в) .
2. Решите уравнения.
а) x2 – 4x + 5 = 0;
б) y3 – 6y + 9 = 0.
Вариант 2.
1. Выполните действия.
а) ;
б) ;
в) .
2. Решите уравнения.
а) x2 + 6x + 12 = 0;
б) y3 – 12y + 16 = 0.
IV. Подведение итогов урока.
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
Выбранный для просмотра документ prezentacija_k_uroku_kompleksnye_chisla.ppt
Скачать материал "ЭОР по математике раздел №1 Развитие понятия о числе 1курс"
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
1 слайд
2 слайд
ЧИСЛОВЫЕ СИСТЕМЫ Действительные числа Рациональные числа Целые числа Комплексные числа Натуральные числа
3 слайд
НАТУРАЛЬНЫЕ ЧИСЛА , N 1, 2, 3, 4, 5, … Допустимые алгебраические операции: сложение, умножение 34 + 6, 45 Х 15 Частично допустимые алгебраические операции: вычитание, деление, извлечение корней 6 - 5, 45 : 15, Уравнения 2х + 7 = 8, 5х = 9 , = 15 не имеют корней в N
4 слайд
ЦЕЛЫЕ ЧИСЛА , Z …-3, -2, -1, 0,1, 2, 3, … Допустимые алгебраические операции: сложение, вычитание, умножение 24 + 5, 4 – 15, 18 х 2 Частично допустимые алгебраические операции: деление, извлечение корней (- 6) : ( - 2), Уравнения 16х = 9 , 2 = 60 не имеют корней в Z
5 слайд
РАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА , Q Целые числа и обыкновенные дроби Допустимые алгебраические операции: сложение, вычитание, умножение, деление - 14 + 26, 8 – 34, ( - 22) Х 14, 30 : 23 Частично допустимые алгебраические операции: извлечение корней из неотрицательных чисел Уравнения = 5, 2 = 9 не имеют корней в Q
6 слайд
ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА , R Рациональные и иррациональные числа Допустимые алгебраические операции: сложение, вычитание, умножение, деление, извлечение корней из неотрицательных чисел 43 - 66, ( - 2) Х ( - 514), ( - 36) : 41, Частично допустимые алгебраические операции: извлечение корней из произвольных чисел Уравнения = - 5, - 2 = 9 не имеют корней в R
7 слайд
КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА, C Действительные числа и i, где i – мнимая единица Допустимы все алгебраические операции
8 слайд
Из истории комплексных чисел Название “мнимые числа” ввел в 1637 году французский математик и философ Р. Декарт. В 1777 году один из крупнейших математиков XVIII века - Л. Эйлер предложил использовать первую букву французского слова imaginaire (мнимый) для обозначения числа (мнимой единицы). Этот символ вошел во всеобщее употребление благодаря К. Гауссу . Термин “комплексные числа” так же был введен Гауссом в 1831 году. Слово комплекс (от латинского complexus) означает связь, сочетание, совокупность понятий, предметов, явлений и т. д. Образующих единое целое.
9 слайд
Из истории комплексных чисел Комплексные числа, несмотря на их “лживость” и недействительность, имеют очень широкое применение. Они играют значительную роль не только в математике, а также в таких науках, как физика, химия. В настоящее время комплексные числа активно используются в электромеханике, компьютерной и космической индустрии. Так с их помощью русский математик и механик Николай Егорович Жуковский создал теорию парения, показал как можно рассчитать подъёмную силу, возникающую при обтекании воздухом крыла самолёта. Именно поэтому нам следует расширять свои знания о комплексных числах, их свойствах и особенностях.
10 слайд
Чисто мнимые числа i; 2i; - 0,9i; 18,9i; i; i; i 0 i = 0
11 слайд
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1 Комплексным числом называют сумму действительного числа и чисто мнимого числа. z = a + bi C a R, b R, i – мнимая единица Число а называют действительной частью комплексного числа z, b – мнимой частью комплексного числа z
12 слайд
Алгебраическая форма комплексного числа z = a + bi Если а = 0, то a + bi = 0 + bi = bi bi – чисто мнимое число Если b = 0, то bi = 0 х i = 0, а значит a + bi = а + 0 = а а – действительное число
13 слайд
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2 Два комплексных числа называются равными, если равны их действительные и равны их мнимые части: a + bi = с + di a = c, b=d
14 слайд
Устная работа Назовите пары равных между собой комплексных чисел: а) -3+2i и 3+2i; б) 0,4+3,1i и 0,4+3i; в) 6-i и –i+6; г) 5,8-6i и -6i-5,8; д) 12,4 и 12,4i; е) 0 и iх0; ж) -10+3/2i и -10+1,5i ; з) 2/5+7i и 7i+0,4; и) -108+i и i-10,8; к) 6/8+iх0 и 6/8.
15 слайд
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3 Два комплексных числа z = а + bi и - z= - a – bi называются противоположными. Сумма двух противоположных чисел равна 0: z + (–z) = 0
16 слайд
Устная работа Назовите пары противоположных комплексных чисел: а) -8+i и -8+2i; б) -0,4+3i и 0,4-3i; в) 9-i и –i+9; г) 5,8-6i и 6i-5,8; д) -12,4 и 12,4i; е) 0 и iх0; ж) 57+3/2i и -57-1,5i ; з) 2/5-7i и 7i+0,4; и) -89,7+i и -i+8,97; к) 6/8+iх0 и -6/8.
17 слайд
Операции сложения, вычитания, умножения комплексных чисел удовлетворяют обычным законам арифметических действий Переместительному: (a + bi) + (с + di) = (с + di) + (a + bi) (a + bi) Х (с + di) = (с + di) Х (a + bi) Сочетательному: ((a+bi) + (с+di)) + (n+mi) = (a+bi)+ ((с+di) + (n+mi)) ((a+bi) х (с+di)) х (n+mi) = (a+bi) х ((с+di) х (n+mi)) Распределительному: ((a+bi) + (с+di)) х (n+mi) = (a+bi)х(n+mi) + (с+di)х(n+mi))
18 слайд
Операция сложения (вычитания) комплексных чисел + =(a + bi) + (с + di) = (а + с) + (bi + di) = = (а + c) + (b + d)i + (- )= (a + bi) - (с + di) = (а - с) + (bi + di) = = (а - c) + (b - d)i Пример. Найдите сумму и разность комплексных чисел = 1-2i, = -3+4i. + = (1 - 2 i) + ( – 3 + 4 i) = (1 -3) + ( -2 + 4)i = - 2 +2i - = (1 - 2 i) - ( – 3 + 4 i) = (1 +3) + ( -2 - 4)i = 4 - 6i
19 слайд
Операция умножения комплексных чисел Пример. Найдите произведение комплексных чисел = 1-2i, = -3+4i. В произведении следует раскрыть скобки и привести подобные члены: х = (1-2i ) х (-3+4i ) = -3 + 4i + 6i - 8 = = -3 +10i + 8 = 5 + 10i. ( a + bi) x ( с + di ) = (ac – bd) + (bc + ad)i
20 слайд
Деление комплексных чисел Рассмотрим уравнение (c+di)z=a+bi, где c+di отлично от нуля. Умножим обе части уравнения на с-di.
21 слайд
Операция деления комплексных чисел Т.о. для того чтобы найти частное двух комплексных чисел нужно числитель и знаменатель дроби умножить на c-di
22 слайд
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4 Два комплексных числа называются сопряжёнными, если их действительные части равны, а мнимые противоположны по знаку. Если z = a + bi, то сопряжённое ему имеет вид = a – bi.
23 слайд
Если мнимая часть комплексного числа z равна 0, т.е. это действительное число, то =z Верно и обратное: если =z, то х+уi=х-уi, и следовательно у=0, т.е. z – действительное число. Т.о. для действительных чисел переход к сопряжённому не даёт ничего нового: число переходит само в себя. А это значит, что операция перехода к сопряжённому числу – это новая операция, которая содержательна именно для множества комплексных чисел.
24 слайд
Свойства операции перехода к сопряжённому числу Свойство 1. Если z=c+di, то z= Свойство 2. Свойство 3. Свойство 4. Свойство 5. Свойство 6.
25 слайд
Пример. Пусть =3-i, =1+2i. Вычислить Решение.
26 слайд
Тренировочные задания 1. Вычислите: 2. Дана геометрическая прогрессия с первым членом, равным i, и знаменателем, равным – i. а) выпишите первые 7 членов этой прогрессии; б) найдите значение 27-го члена прогрессии; в) найдите сумму первых 2006 членов прогрессии; г) найдите сумму членов прогрессии с 15-го по 30-й.
27 слайд
Тренировочные задания 1. Вычислите: 2. Решите уравнения:
28 слайд
Тренировочные задания 1. Найдите значение функции если: а) z=1+i; б) z=2i; в) z=2+i. 2. При каких действительных значениях а число а) является действительным; б) является чисто мнимым?
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
6 672 378 материалов в базе
Настоящий материал опубликован пользователем Жучкова Екатерина Алексеевна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт
Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.
Удалить материал
Ваша скидка на курсы
40%
Курс профессиональной переподготовки
500/1000 ч.
Курс повышения квалификации
36 ч. — 144 ч.
Курс профессиональной переподготовки
300/600 ч.
Курс повышения квалификации
36 ч. — 180 ч.
Мини-курс
10 ч.
Мини-курс
3 ч.
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.