Фрагмент рабочей тетради по теме "Комплексные числа"

Раздел 2. Комплексные числа

Множество комплексных чисел. Геометрическая интерпретация

Задание № 1.

Решить систему линейных уравнений:

Вывод: ____________________________________________________________

__________________________________________________________________

__________________________________________________________________

__________________________________________________________________

Если рассматривать плоскость, то каждой точке плоскости (а, b) можно сопоставлять некоторое число, которое будем называть ______________________________ .

Однако чаще комплексные числа изображают в виде вектора с началом в точке , а именно, радиус-вектором точки с координатами (а, b).

Задание № 2.

Записать изображенные на плоскости комплексные числа в виде координат точек:

Задание № 3.

Изобразить на плоскости комплексные числа, зная координат точек:

А (5;3), В (0,4), С (-2,7), Д (-4,-1)

Операции над комплексными числами:

1) сложение ________________________________________________________

2) умножение на число _______________________________________________

3) умножение _______________________________________________________

Задание № 4.

Выполнить операции над комплексными числами, изображенными на рисунке:

1) z₁ + z₂

2) z₂ + z₃

3) 2 · z₄

4) -1 · z₃

Задание № 5.

Выполнить операции над комплексными числами, изображенными на рисунке, в координатах:

1) z₁ + z₂ = ____________________________________________________________

2) z₂ + z₃ = _________________________________________________________

3) 2 · z₄ = __________________________________________________________

4) -1 · z₃ = ___________________________________________________________

Алгебраическая форма записи комплексного числа

Вектору сопоставим комплексное число вида z = х + у·i .

Символ х называется _____________________________________________ комплексного числа и обозначается х = Re z.

Символ у называется _______________________________________ комплексного числа и обозначается у = Im z.

 – это ______________________________________________________

Задание № 1.

Записать действительную и мнимую части комплексных чисел:

z ₁ = 3 - 2i _____________________________________________________________

z₂ = 5 _________________________________________________________________

z₃ = - 3i _______________________________________________________________

z₄ = 1+i _______________________________________________________________

Два комплексных числа считаются равными между собой тогда и только тогда, __________________________________________________________________

__________________________________________________________________

__________________________________________________________________

Комплексные числа называются сопряженными, если _____________________

__________________________________________________________________

Число, сопряженное числу , обозначается .

Задание № 2.

Записать числа, сопряженные данным комплексным числам:

z ₁ = 3 - 2i _____________________________________________________________

z₂ = 5 _________________________________________________________________

z₃ = - 3i _______________________________________________________________

z₄ = 1+i _______________________________________________________________

Понятия больше или меньше для комплексных чисел не существует.

Сравнивать комплексные числа можно только по длине вектора, которая называется _________________________________________________________ ,

которая вычисляется по формуле _________________________________________

Операции над комплексными числами в алгебраической форме

Операция	Правило	Обозначение
1. Сумма комплексных чисел	складываются действительные и мнимые части соответственно
2. Разность комплексных чисел	из действительной и мнимой частей уменьшаемого вычитаются соответственно действительная и мнимая части вычитаемого
3. Умножение комплексного числа на действительное число	действительные и мнимые части умножают на данное число
4. Умножение комплексных чисел	числа перемножаются, как двучлены, при этом учитывается, что .
5. Деление комплексных чисел	числитель и знаменатель дроби  умножить на число , сопряженное знаменателю.
6. Возведение комплексного числа в степень	используется правило возведения в степень двучлена , в общем случае применяется формула бинома Ньютона: , где .
7. Извлечение корня из комплексного числа	используя определение корня и правило возведения в степень, составить и решить систему уравнений относительно искомых х и у

Задание №3.

Найти сумму чисел z₁ + z₂, z₂ + z₃, где z₁ = 3 – 2i, z₂ = 5 + 2i, z₃ = 1 – i.

Задание №4.

Найти разность чисел z₁ – z₂, z₂ – z₃, где z₁ = 3 – 2i, z₂ = 5 + 2i, z₃ = 1 – i.

Задание №5.

Найти произведение чисел z₁ · z₂, где z₁ = 1 – 2i, z₂ = 3 + 4i.

Задание №6.

Найти сумму и произведение пары комплексных сопряженных чисел z и , где

z = 1 – 2i.

Задание №7.

Найти частное от деления числа z₁ = 3 + 2i на z₂ = 2 – i.

Задание №8.

Найти различные степени числа i, то есть i^п.

Задание №9.

Возвести комплексное число 2 + i в пятую степень, то есть (2 + i)⁵.

Задание №10.

Извлечь корень из комплексного числа 3 – 4i.