Геометрический метод (подобия) решения текстовых задач (на движение, работу) в курсе математики (8-9 класс)

НЕСТАНДАРТНЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ТЕКСТОВЫХ ЗАДАЧ В КУРСЕ МАТЕМАТИКИ

Умение решать текстовые задачи является одним из показателей уровня математического развития. Решение задач есть вид творческой деятельности, а поиск решения – процесс изобретательства.

В настоящее время в КИМах ЕГЭ по математике присутствуют разнообразные текстовые задачи. Среди них встречаются задачи на движение по замкнутой дороге, на движение протяженных тел, задачи на неявный объем работы, задачи на сложные проценты, на концентрацию.

 В связи с этим возникла необходимость восполнить недостаток программы по математике за курс средней школы, ознакомить учащихся с разными методами решения задач, выработать у них умения и навыки решать задачи алгебраическим методом.

Решения задач на движение методом подобия.

Основное преимущество геометрического метода в его наглядности. Оно позволяет увидеть то, что в алгебраическом методе скрыто за аналитическими выкладками. Кроме того, выполненный рисунок позволяет рассуждать, делать выводы. Недаром еще великий Р. Декарт в своем труде “ Правила для руководства ума” специально выделял правило о том, что “полезно чертить… фигуры и преподносить их внешним чувствам, для того чтобы таким образом нам было легче сосредотачивать внимание нашего ума”. Особую ценность это правило имеет при решении текстовых задач.

Задача № 1.

Два пешехода вышли одновременно из двух сел А и В навстречу друг другу. После встречи первый пешеход шел 25 минут до села В, а второй шел 36 минут до села А. Сколько минут они шли до встречи?

Решение. 1 способ.

Пусть до встречи пешеходы шли Х минут. Тогда первый был в пути (Х +25) минут, второй (Х + 36) минут. В 1 минуту первый пешеход проходил 1/(х +25)м., а второй 1/(х +36)м. расстояния АВ. Вместе они проходили в 1 минуту 1/х м. расстояния АВ. Составим уравнение:

Это уравнение имеет единственный положительный корень Х= 30. Следовательно, пешеходы шли до встречи 30 минут.

2 способ.

Теперь рассмотрим метод подобия, часто помогающий избежать громоздких рассуждений и составления сложного уравнения (или нескольких уравнений).

Пусть до встречи пешеходы шли Х минут. Построим графики движения пешеходов. Так как в задаче работа рассматривается как равномерный процесс, то отрезок АО – график движения первого пешехода, а отрезок ВР – график движения второго пешехода, АК – изображает время движения до встречи, МО– время движения первого пешехода после встречи до села В, МО=25,КР– время движения второго пешехода после встречи до села А, КР = 36. Проведем МК ‖ АВ и рассмотрим образовавшиеся треугольники.

Из подобия двух пар треугольников BNM и PNK, MNO и KNA (по двум углам) следует, что

Это уравнение имеет единственный положительный корень Х = 30. Следовательно, пешеходы шли до встречи 30 минут.

Задача№ 2.

Из двух городов навстречу друг другу вышли одновременно два курьера. После встречи один был в пути 16 часов, а другой – 9 часов. Сколько времени был в пути каждый?

Решение.

Можно составить систему из двух уравнений с тремя неизвестными, которая сводится к квадратному уравнению, дающему ответ t₁= 21, t₂= 28.

А мы условие задачи представим графически, смотри рис. 3.

Рис. 3

Аналогично решению предыдущей задачи из подобия треугольников имеем  ; t² =144; t = 12.

12 +6 =28(Ч), 12 + 9 =21(ч).

Ответ: 21 ч, 28 ч.

Задача № 3.

Три пункта – А, В, С – расположены на одной прямой, причем пункт В расположен между А и С. Из пунктов А и В по направлению к С одновременно выехали две машины. Через 5 часов расстояние между ними составило треть расстояния ВС, а еще через 5 часов они одновременно прибыли в С. Найдите отношение скоростей автомобилей.

Решение.

Сразу рисуем графики, соответствующие условию данной задачи (рис. 4) и начинаем размышлять.

(рис. 4)

Задача № 4.

Из пункта А в пункт В вышел пешеход. Вслед за ним через 2 ч из пункта А выехал велосипедист, а еще через 30 мин – мотоциклист. Пешеход, велосипедист и мотоциклист двигались равномерно и без остановок. Через некоторое время после выезда мотоциклиста оказалось, что к этому моменту времени все трое преодолели одинаковую часть пути от А до В. На сколько минут раньше пешехода в пункт В прибыл велосипедист, если пешеход прибыл в пункт В на 1 ч позже мотоциклиста?

Решение.

Для алгебраического решения задачи ситуация, описанная в ней, требует введения целого ряда неизвестных и составления системы из нескольких уравнений. В целях экономии времени не будем решать задачу с помощью системы. Итак, рассмотрим решение этой задачи геометрическим методом. Ситуацию, описанную в задаче, изобразим графически.

Поскольку все движения равномерные, то условию задачи соответствует рисунок 2.

(рис. 2)

А теперь, как говорили древние математики– индусы, “Смотри!”:

Из подобия треугольников (опустим доказательство ) следует пропорция

Ответ: на 48 мин.

Вывод: Благодаря интеграции алгебраического и геометрического методов, математические знания предстают перед вами как “живая”, динамическая система, способная решать любые задачи.

Некоторые задачи на работу аналогичны задачам на движение. Давайте попробуем применить описанный способ к решению такой задачи.

Решения задач на работу методом подобия.

Задача № 5.

Чан наполняется водой при помощи двух кранов А и В. Наполнение чана только с помощью крана А длится на 22 минуты дольше, чем наполнение через кран В. Если же оба крана открыть одновременно, то чан наполнится водой за 1 час. За какое время может наполнить водой чан только кран В?

Рассмотрим рисунок. На нем АА1 и BВ1 – графики зависимости выполненного объема работы от времени наполнения чанов водой кранами А и В соответственно.

По условию задачи ВК = АN = 1 час = 60 минут. В1М = 22 минуты. Используем подобие треугольников:

ΔBКО подобен ΔВ1NO, тогда BK/NB1 = KO/ON; 60/x = KO/ON.

ΔKOA1 подобен ΔNOA, тогда KA1/AN = KO/ON; (x + 22)/60 = KO/ON.

Таким образом, имеем пропорцию 60/x = (x + 22)/60.

Перепишем в виде квадратного уравнения:

х² + 22х – 3600 = 0;

х = 50 или х = -72.

По смыслу задачи х = 50 минут.

Таким образом, АВ1 = AN + NВ1 = 60 + 50 = 110 (минут).

Ответ: 110 минут.

Задача № 6.

Двое рабочих, выполняя задание вместе, могли бы закончить его за 12 дней. Если сначала будет работать только один из них, а когда он выполнит половину всей работы, его сменит второй рабочий, то все задание будет закончено за 38 дней. За сколько дней каждый рабочий в отдельности может выполнить все задание?

Решение. 1 способ.

Алгебраический метод решения приводит к уравнению

Где Х– количество дней, за которое первый рабочий выполнит все задание.

2 способ. Теперь рассмотрим метод подобия.

Построим графическую модель задачи (рис. 5).

(рис. 5)

Для определенности предположим, что первый рабочий работает быстрее, чем второй. Так как в задаче работа рассматривается как равномерный процесс, то отрезок AN – график работы первого рабочего, а отрезок BD – график работы второго рабочего, AQ изображает время совместной работы, AQ = 12. Проведем NK ІІ BD, тогда AK = 50. Далее используем подобие образовавшихся треугольников.

Треугольники NMA, PQA и PCN подобны по двум углам, отсюда следует, что

Треугольники NMK, PQD и PCB подобны по двум углам, отсюда следует, что

Составим уравнение:. Решая это уравнение, находим: х₁=18, х₂ = 8. Учитывая, что первый рабочий работает быстрее, то Х<значит, Х = 8. Тогда время t₁, его изображает отрезок AM, равно 20 ч, а время t₂, его изображает отрезок MK,равно 30 ч.

Ответ: 20 ч, 30 ч.

Задание 1. Двое рабочих, выполняя некоторое задание вместе, могли бы справиться с ним за 12 дней. Если сначала будет работать только один из них, а когда он выполнит половину всей работы, его сменит второй рабочий, то  все задание будет выполнено за 25 дней. За какой срок, работая один, второй рабочий сможет выполнить все задание?

Действительно, способ, который мы рассмотрели  на мой взгляд, весьма эффективен, поскольку помогает заменить громоздкие решения задач на работу и движение, более простыми. Основное преимущество геометрического метода в его наглядности. Это позволяет увидеть то, что в алгебраическом методе скрыто за аналитическими выкладками. Кроме того, выполненный рисунок позволяет рассуждать, делать выводы. А значит, применение его, позволит сократить время выполняя заданий .

НЕСТАНДАРТНЫЕ СПОСОБЫ РЕШЕНИЯ ТЕКСТОВЫХ ЗАДАЧ.

Существует специальные приемы решения нестандартных задач  и задач олимпиадной и конкурсной тематики: 

1.       переформулировка задачи;

2.       использование «лишних» неизвестных;

3.       делимости;

4.       диофантовых уравнений;

5.       решение задач в общем виде (когда все или некоторые значения величин в условии обозначены буквой);

6.       метод подобия.

         I.            Переформулировка задачи.

Рассмотрим пример. В зоомагазине продают больших и маленьких птиц. Большая птица вдвое дороже маленькой. Леди, зашедшая в магазин, купила 5 больших птиц и 3 маленьких. Если бы она вместо этого купила 3 больших птицы и 5 маленьких, то потратила бы на 20 долларов меньше. Что стоит каждая птица?

Простое решение задачи основано на замене каждой большой птицы двумя маленькими, т.е. в такой переформулировке задачи, при которой ответ новой задачи является ответом для первой задачи.

Вот как выглядит перефразированная задача. В зоомагазине продают больших и маленьких птиц. Большая птица вдвое дороже маленькой. Леди купила 13 маленьких птиц. Если бы она вместо этого купила 11 маленьких птиц, то потратила бы на 20 долларов меньше. Что стоит каждая птица?

Задач, в которых возможна такая переформулировка, не так много, но они встречаются и на конкурсном экзамене.

       II.            «Лишние» неизвестные.

Суть этого метода состоит в ведении неизвестных, значения которых не требуется находить для получения ответа на вопрос задачи (а часто и невозможно найти).

     III.            Использование делимости.

    IV.            Решение задач в общем виде.

      V.            Метод подобия