Примеры оформления стенда в кабинете математики

Решение квадратного уравнения 

ax² + bx + c =  0

            Находим дискриминант              D   =   b² – 4ac ;   

–b

2a

• если   D < 0 ,   то квадратное уравнение не имеет корней ; 

• если   D = 0 ,   то квадратное уравнение имеет один корень   X =

–b±√ D

2a

• если   D > 0 ,   то квадратное уравнение имеет два корня         X 1,2  =   

Теорема ВИЕТА

Для приведенного квадратного уравнения                x² + bx + c = 0 ,   a = 1 
сумма корней равна коэффициенту   b ,   взятому с обратным знаком   ( – b ), 
а произведение корней равно свободному члену   c : 
         

 x 1 + x 2  =  – b ;           x 1 • x 2  =  c  

b

a

 В неприведенном квадратном уравнении                ax² + bx + c = 0 : 

c

a

x 1 + x 2   =   –                x 1 • x 2   =           

Пример решения квадратного уравнения: 
                       x 2   +   x   –   6   =   0 . 
                       Здесь   a = 1 ,   b   =   1 ,   c = – 6 , 
                       D   =     b 2 – 4ac     =   1   –   4 • 1 • (–6)   =   25 . 
                           D > 0 ,   значит уравнение имеет два корня : 

–b+√ D

2a

–1+√ 25

2•1

Х1 =                    =      =   2                    

–b−√ D

2a

–1−√ 25

2•1

Х2 =           =          = - 3              

 О т в е т :            2 ,    –3 .   

Координатная плоскость.

 Плоскость с двумя взаимно перпендикулярные прямыми,  на которых выбрано направление и обозначены единичные отрезки,  образуют координатную плоскость. 

          Координаты точки, абсциссу (x)   и ординату (y) , определяют с  помощью перпендикуляров от этой точки к соответствующим осям  координат. 

Алгебра 7А класс

Многочленом называется сумма одночленов.            Одночлены, входящие в состав многочлена, называют его членами.          Членами многочлена   4x 3y – 3ab   являются   4x 3y   и   – 3ab   .            Если многочлен состоит из двух членов, то его называют двучленом:              5x 3y – 7a 3b 4 ;       y+5b 4 ;       7a 2+13a 4 .            Если из трех – трехчленом:              5x 3y – 7a 3b 4+5 ;       y+5b 4 – 3x 3 ;       7a 2+13a 4+5ab 2 .            Одночлен считают многочленом, состоящим из одного члена:              2x 2 ;     3 ;     0 ;       7x 3y 4 .

Подобные слагаемые в многочлене называются подобными членами  многочлена, а приведение подобных слагаемых в многочлене –  приведением подобных членов многочлена.    Например:            5x 3y – 7x 3y+5   =   – 2x 3y+5 ;            17ay 2 – 7ay 2+5ay 2+a   =   15ay 2+a .            Если все одночлены в многочлене приведены к стандартному виду и среди них нет подобных, то говорят, что это многочлен стандартного вида.                нестандартный вид                                           стандартный вид            5x 2yx – 7xyx 2+5axa           =             5a 2x – 2x 3y .            Любой многочлен можно привести к стандартному виду.                   нестандартный вид                                           стандартный вид            22a 3b – 12a 3b+5aba 2+5ab         =         15a 3b+5ab .

Степенью многочлена называется наибольшая из степеней его  слагаемых (членов).                4           10           0        5x 3y – 7x 8y 2+5       –   степень этого многочлена = 10.            0       –   степень этого (нулевого) многочлена неопределена.

Умножение многочлена на одночлен

Чтобы умножить одночлен на многочлен, нужно умножить одночлен на каждый член многочлена и полученные произведения сложить.

                                            

 

а ∙ (в + с)= ав + ас

Например:            (x +3x) • y   =   x •y   + 3 x • y     =     x y + 3 x y

Умножение многочлена на многочлен

Чтобы умножить многочлен на многочлен, нужно каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого многочлена и полученные произведения сложить.

 

(a  + b) ∙ (c + d)= аc + аd + bc +bd

 

 Например:  (3x −4y ) • (5a−2b)  = 3x •5a  +  3x •(−2b) +  (−4y )•5a   +  (−4y )•(−2b) = 

                            =  15ax   –   6bx    –   20ay    +   8by  .   

Окружность

Ци́ркуль (от лат. circulus — круг, окружность) инструмент для черчения окружностей и дуг окружностей, также может быть использован для измерения расстояний.

Окружность — геометрическая фигура на плоскости, все точки которой равноудалены от данной точки (центра окружности)

         

Раскрытие скобок.

Выражение   а + (b + с)   можно записать без скобок: 

A + (b + C)   =   A + b + C   

        Эту операцию называют раскрытием скобок.   

    Пример .   Раскроем скобки в выражении   а + ( – b + с).   


         а + ( –b + с)   =   а + ( (–b) + с )   =   а + (–b) + с   =   а – b + с.

A+ (- b + C)   =   A - b + C

Чтобы записать сумму, противоположную сумме нескольких 

слагаемых, надо    изменить знаки    данных слагаемых: 

– (A + b)   =   –a – b   

Системы уравнений.

Графическое решение.

Если графики линейных уравнений пересекаются, то система имеет одно решение; 
если прямые параллельны, то система не имеет решений; 
если они совпадают, то система имеет бесконечное множество решений.   

Пример:

Найдем решение ещё одной системы. 

 
x – 2y + 4   =   0 , 

2x – y – 4   =   0 .   


          Построим графики этих уравнений и найдем координаты точки пересечения. 

 

          Система имеет единственное решение:   x = 4 ,   y = 4   или  (4;4)

Метод алгебраического сложения.

Метод алгебраического сложения заключается в сложении  (вычитании) уравнений. 
  2x – 3y – 6   =   0 , 

  5x + 3y – 8   =   0 ,   

сложим левую часть 1-го уравнения и левую часть 2-го уравнения,  приравняв результат нулю (сумме правых частей уравнений), 
  2x – 3y – 6   =   0 , 

  5x + 3y – 8   =   0 ,   

                                        ( 2x – 3y – 6 ) + ( 5x + 3y – 8 ) =   0 + 0 , 

                                          2x + 5x – 3y + 3y – 6 – 8   =   0 , 

                                          7x – 14   =   0 , 

                                          7x   =   14 , 

                                          x   =   2 ,   

подставим полученное значение   x = 2   в любое уравнение системы, например в 1-ое, 
                                          2x – 3y – 6   =   0 , 

                                          2 • 2 – 3y – 6   =   0 , 

                                          4 – 6   =   3y , 

                                          3y   =   – 2 , 

                                          y   =   – 2/3

  
            О т в е т :   (2;– 2/3)     —   решение системы.   

Метод подстановки.

Метод подстановки заключается в том, что используя первое выражение мы выражаем   y , а затем подставляем  полученное выражение во второе уравнение, вместо   y.   Решая уравнение  с одной переменной, находим   x ,   а затем   и   y. 

  3x – y – 10   =   0 , 

  x + 4y – 12   =   0 ,   

            выразим   y   ( 1-ое уравнение ), 

  3x – 10   =   y , 

  x + 4y – 12   =   0 , 
            подставим выражение   3x – 10   во второе уравнение вместо   y , 

  y   =   3x – 10 , 

  x + 4 • ( 3x – 10 ) – 12   =   0 , 
            найдем   x , используя полученное уравнение, 

                                                x + 4 • ( 3x – 10 ) – 12   =   0 , 

                                                x + 12x – 40 – 12   =   0 , 

                                                13x – 52   =   0 , 

                                                13x   =   52 , 

                                                x   =   4 , 
            найдем   y , используя уравнение   y = 3x – 10 , 
                                                y = 3x – 10 , 

                                                y = 3 • 4 – 10 , 

                                                y = 2 . 

            О т в е т :   ( 4; 2 )   —   решение системы.   

Сложение отрицательных чисел

Чтобы сложить два отрицательных числа, надо:   

1)   сложить их модули; 

2)   поставить перед полученным числом знак " – ".   

        Например:   


        – 5,7 + (– 3,3)   =   – (5,7 + 3,3)   =   – 9.  

Сложение чисел с разными знаками

Чтобы сложить два числа с разными знаками, надо:   

1)   из большего модуля слагаемых вычесть меньший;   

2)   поставить перед полученным числом знак того слагаемого,  модуль   которого   больше.   


      Например: 

                                          7 > 4 
                      4 + ( – 7)       =       – ( 7   –   4 )   =   – 3 ;   

                                          13 > 7 

                    13 + ( – 7)         =         + ( 13   –   7 )   =   6.   

Вычитание

Чтобы из данного числа вычесть другое, надо к уменьшаемому  прибавить число, противоположное вычитаемому:        а – b   =   a + ( – b);             а – ( – b)   =   a + b .              Например:                            4 – 9   =   4 + ( – 9)   =   – ( 9 – 4 )   =   – 5 ;                            7 – ( – 4)   =   7 + 4       =   11 ;                            – 5 – 3   =   – 5 + ( – 3)   =   – (5 + 3)     =   – 8 .

Чтобы найти длину отрезка на координатной прямой, надо из  координаты его правого конца вычесть координату его левого конца.                                    AB   =     4 – 1   =   3 .                                      AC   =     4 – ( – 2)   =     4 + 2   =   6 .

Деление  дробей

Чтобы разделить одну дробь на другую, надо делимое умножить на число, обратное делителю.

Например:

Чтобы разделить дробь на натуральное число, надо делимое умножить на число, обратное делителю. (Другими словами, чтобы разделить дробь на натуральное число, надо знаменатель умножить на это число).

Например:

Умножение  дробей

При умножении дроби на натуральное число, мы должны ее числитель умножить на это число, а знаменатель оставить без изменения.

Например:

Чтобы умножить дробь на дробь, нужно числитель умножить на числитель, а знаменатель – на знаменатель.  

Например:

 

Для умножения смешанных чисел, надо записать их в виде неправильных дробей, а затем воспользоваться правилом умножения простых дробей.

 

Например: