Гипертекстовое учебное пособие "Площади и объёмы"

1. Основанием пирамиды является прямоугольник со сторонами 3 и 4. Ее объем равен 16. Найдите высоту этой пирамиды.

2.Найдите объем правильной треугольной пирамиды, стороны основания которой равны 1, а высота равна .

3. Найдите высоту правильной треугольной пирамиды, стороны основания которой равны 2, а объем равен .

4. Во сколько раз увеличится объем пирамиды, если ее высоту увеличить в четыре раза?

5.В правильной четырехугольной пирамиде высота равна 6, боковое ребро равно 10. Найдите ее объем.

6.Основанием пирамиды служит прямоугольник, одна боковая грань перпендикулярна плоскости основания, а три другие боковые грани наклонены к плоскости основания под углом 60. Высота пирамиды равна 6. Найдите объем пирамиды.

7.Боковые ребра треугольной пирамиды взаимно перпендикулярны, каждое из них равно 3. Найдите объем пирамиды.

8.От призмы , объем которой равен 6, отсечена треугольная пирамида . Найдите объем оставшейся части.

9.Объем треугольной пирамиды SABC, являющейся частью правильной шестиугольной пирамиды SABCDEF, равен 1. Найдите объем шестиугольной пирамиды.

10.Объем правильной четырехугольной пирамиды SABCD равен 12. Точка E — середина ребра SB. Найдите объем треугольной пирамиды EABC.

1.Цилиндр и конус имеют общее основание и общую высоту. Вычислите объем цилиндра, если объем конуса равен 25.

2.Объем конуса равен 16. Через середину высоты параллельно основанию конуса проведено сечение, которое является основанием меньшего конуса с той же вершиной. Найдите объем меньшего конуса.

3.Найдите объем конуса, площадь основания которого равна 2, а образующая равна 6 и наклонена к плоскости основания под углом 30.

4.Во сколько раз уменьшится объем конуса, если его высоту уменьшить в 3 раза?

5.Во сколько раз увеличится объем конуса, если его радиус основания увеличить в 1,5 раза?

6.Цилиндр и конус имеют общие основание и высоту. Найдите объем конуса, если объем цилиндра равен 150.

7.Объем конуса равен 12. Параллельно основанию конуса проведено сечение, делящее высоту пополам. Найдите объем отсеченного конуса.

8. Высота конуса равна 6, образующая равна 10. Найдите его объем, деленный на .

9.Диаметр основания конуса равен 6, а угол при вершине осевого сечения равен 90°. Вычислите объем конуса, деленный на .

10.Конус получается при вращении равнобедренного прямоугольного треугольника ABC вокруг катета, равного 6. Найдите его объем, деленный на .

1. Площадь большого круга шара равна 3. Найдите площадь поверхности шара.

2. Около шара описан цилиндр, площадь поверхности которого равна 18. Найдите площадь поверхности шара.

3. Во сколько раз увеличится площадь поверхности шара, если радиус шара увеличить в 2 раза?

4. Во сколько раз увеличится объем шара, если его радиус увеличить в три раза?

5. Радиусы трех шаров равны 6, 8 и 10. Найдите радиус шара, объем которого равен сумме их объемов.

6. В куб с ребром 3 вписан шар. Найдите объем этого шара, деленный на .

7. Объем шара равен 288 . Найдите площадь его поверхности, деленную на .

8. Около куба с ребром  описан шар. Найдите объем этого шара, деленный на .

9. Во сколько раз увеличится площадь поверхности шара, если его радиус увеличить в два раза?

10. Объем одного шара в 27 раз больше объема второго. Во сколько раз площадь поверхности первого шара больше площади поверхности второго?

Объемы и площади поверхностей фигур

	Куб Объем куба: V = a 3, где a - ребро куба. Площадь поверхности куба: S = 6a 2.
	Прямоугольный параллелепипед Объем прямоугольного параллелепипеда: V = abc, где a, b , c - ребра прямоугольного параллелепипеда. Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда: S = 2(ab + bc + ac).
	Цилиндр Объем цилиндра: V = Sоснh = πr 2h, где r - радиус основания цилиндра, h - высота цилиндра. Площадь боковой поверхности цилиндра: Sбок = 2πrh. Площадь полной поверхности цилиндра: S = 2πr(h + r).
	Конус Объем конуса: V = (Sоснh)/3 = (πr 2h)/3, где r - радиус основания конуса, h - высота конуса. Площадь боковой поверхности конуса: Sбок = πrl, где l - образующая конуса. Площадь полной поверхности конуса: S = πr(r + l).
	Усеченный конус Объем усеченного конуса: V = πh(r12 + r1r2 + r22)/3, где r1, r2 - радиусы оснований усеченного конуса, h - высота усеченного конуса. Площадь боковой поверхности усеченного конуса: Sбок = π(r1 + r2)l, где l - образующая усеченного конуса. Площадь полной поверхности усеченного конуса: S = π(r1 + r2)l +πr12 + πr22.
	Пирамида Объем пирамиды: V = (Sосн · h)/3, где Sосн - площадь основания пирамиды, h - высота пирамиды. Площадь боковой поверхности правильной пирамиды: Sбок = (P · hбок )/2, где P - периметр основания пирамиды, hбок - высота боковой грани. Площадь полной поверхности пирамиды: S = Sосн + Sбок.
	Усеченная пирамида Объем усеченной пирамиды: V = h(Sосн1 + Sосн1 · Sосн2 + Sосн2 )/3, где Sосн1, Sосн2 - площади оснований усеченной пирамиды, h - высота усеченной пирамиды. Площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды: Sбок = hбок(P1 + P2)/2, где P1, P2 - периметры оснований усеченной пирамиды,hбок - высота боковой грани. Площадь полной поверхности пирамиды: S = Sосн1 + Sосн2 + Sбок.
	Шар Объем шара: V = (4πR 3)/3, где R - радиус шара. Площадь поверхности шара: S = 4πR 2.
	Шаровой сегмент Объем шарового сегмента: V = πh 2(3R - h)/3, где R - радиус шара, h - высота шарового сегмента.
	Шаровой сектор Объем шарового сектора: V = (2πR 2h)/3, где R - радиус шара, h - высота шарового сегмента.

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ НА ОБЪЁМЫ

1. Найдите объем цилиндра с высотой, равной 3см и диаметром основания – 6см.

а)27п  б)9п  в)36п  г)18п  д)54п

2. Диагональ осевого сечения цилиндра составляет с плоскостью основания цилиндра угол 600. Найдите объем цилиндра, если площадь осевого сечения равна 16 см³.

а) 16п  б)16  в)32п  г)8п  д)26п

3. Площадь осевого сечения цилиндра равна 21см³, площадь основания - 18п. Найдите объем цилиндра.

а)9п  б)31,5  в)21п  г)63п  д)31,5п

4. Найдите объем конуса, осевое сечение которого представляет собой равнобедренный прямоугольный треугольник с гипотенузой, равной 6 см.

а) 18п  б)28п  в)6п  г)54п  д)6п

5.Найдите объем конуса, полученного в результате вращения вокруг большего катета прямоугольного треугольника с гипотенузой, равной 2 см, и углом 300.

а)18п  б)28п   в)6п  г)2п  д)6п

Образовательные

·         Фронтальное повторение и систематизация формул для вычисления площадей и объемов геометрических фигур, изученных в средней школе.

·         Контроль и оценка ЗУН.

Развивающие

·         Развивать память, повысить скорость вычисления. Развитие интереса к изучению математики.

·         Расширить кругозор учащихся, повысить их интеллект.

Воспитательные

·         Развивать культуру общения и культуру математической речи. Воспитание чувства ответственности и солидарности.

Оборудование урока:

·         графопроектор,

·         позитивы с чертежами геометрических фигур,

·         карточки,

·         модели многогранников,

·         таблицы по геометрии,

·         измерительные инструменты.

Тип урока: комбинированный

Форма организации учебно-познавательной деятельности: дифференцированно-групповая практическая работа.

Методы обучения: контроль и самоконтроль; создание ситуации занимательности; метод организации дискуссии.

Ход урока

Класс разбит на три группы, каждая группа получает конверт с заданиями.

Разминка.

·         Дать определение призмы и пирамиды, их виды. Параллелепипед .

·         Цилиндр и конус.

·         Шар. Шаровой сегмент.

Решение задач с практическим содержанием.

1. Определить сумму денег, которую нужно уплатить за побелку одной классной комнаты, ширина, длина и высота которой соответственно равны 9,4 м, 6,5 м, 4,2 м. Побелка одного квадратного метра стоит 80 тенге. Окна и двери составляют 9,1% общей площади.

2. Комната имеет длину 6,8 м, ширину 4,7 м и высоту 3,5 м. Площадь дверей и окон составляет 1/5 части всей площади стен. Сколько рулонов обоев необходимо для оклеивания комнаты, если длина рулона 12 м, а ширина – 0,5 м?

3. Бак имеет форму прямоугольного параллелепипеда, длина основания которого равна 2,25 м, ширина 12 дм. Емкость бака равна 6,75 м куб. Вычислите высоту бака.

4. Бассейн имеет форму прямоугольного параллелепипеда, длина которого равна 50 м, ширина 25 м и глубина 4 м. Сколько плит прямоугольной формы размером 80 см и 60 см нужно для облицовки дна и стен бассейна?

5. Для прокладывания водопроводных труб вырыли котлован длиной 257,5 м, шириной 1,2 м и глубиной 1,4 м. Сколько кубических метров земли было вынуто из котлована?

6. Комната имеет длину 8,23 м, ширину 5,5 м и высоту 4,2 м. Определить объем комнаты и площадь, которую необходимо белить. Окна и двери составляют 9,1% общей площади.

7. Ведро цилиндрической формы имеет высоту 4,9 дм, а диаметр дна 32см. Сколько квадратных дециметров листового железа необходимо для изготовления ведра, если на швы нужно добавить 5% всей поверхности ведра?

8. Сколько необходимо краски для покраски колонны цилиндрической формы, диаметр основания которой равен 63 см, а высота – 38 дм, если на один квадратный метр поверхности колонны расходуется 200 г краскится 200 г краскиличество нефти в тоннах, находящейся в цистерне цилиндрической формы, диаметр которой равен 22 м, а высота 8 м, плотность нефти 800 кг/м³.

10. Автоцистерна для перевозки молока имеет форму цилиндра. Внутренний диаметр, которого равен 1,4 м, а длина - 3,5 м. Сколько тонн молока можно налить в такую цистерну, если заполнить ее доверху? плотность молока 1032 кг/м³.

11. Необходимо окрасить круглую трубу диаметром 1,4 м и высотой 2,9 м. Сколько потребуется для этого краски, если на один м² поверхности ее идет 250 г?

12. Сколько тонн бензина помещается в подземном бензохранилище, имеющем цилиндрическую форму, если диаметр цилиндра равен 1,8 м, а длина его – 6,5 м? Плотность бензина 720 кг/м³.

13. Сколько кубометров земли потребуется для устройства клумбы, имеющей форму шарового сегмента с радиусом основания 5 м и высотой 60 см?

14. Сколько кожи пойдет на покрышку футбольного мяча радиуса 10 см? На швы добавить 8% от площади поверхности мяча.

15. Кирпич имеет форму прямоугольного параллелепипеда с измерениями 25 см, 12 см и 6,5 см. Плотность кирпича равна 1,8 г/см³. Найти его массу.

Практическая работа.

На столах находятся модели: правильная треугольная и четырехугольная призмы, правильная пирамида треугольная и четырехугольная, конус, цилиндр, шар, усеченная пирамида.

Задача: вычислить объемы и площади поверхностей данных фигур.

Домашнее задание: результаты обработать и внести в таблицу.

Вид многогранников, чертеж	Площадь	Объем

Примерные задания группам.

1-й вариант

1.      Определить сумму денег, которую нужно уплатить за побелку одной классной комнаты, ширина, длина и высота которой соответственно равны 9,4 м, 6,5 м, 4,2 м. Побелка одного квадратного метра стоит 80 тенге. Окна и двери составляют 9,1% общей площади.

2.      Бассейн имеет форму прямоугольного параллелепипеда, длина которого равна 50 м, ширина 25 м и глубина 4 м. Сколько плит прямоугольной формы размером 80 см и 60 см нужно для облицовки дна и стен бассейна?

3.      Ведро цилиндрической формы имеет высоту 4,9 дм, а диаметр дна 32 см. Сколько квадратных дециметров листового железа необходимо для изготовления ведра, если на швы нужно добавить 5% всей поверхности ведра?

4.      Автоцистерна для перевозки молока имеет форму цилиндра. Внутренний диаметр, которого равен 1,4 м, а длина - 3,5 м. Сколько тонн молока можно налить в такую цистерну, если заполнить ее доверху? плотность молока 1032 кг/м³.

5.      Кирпич имеет форму прямоугольного параллелепипеда с измерениями 25 см, 12 см и 6,5 см. Плотность кирпича равна 1,8 г/см³. Найти его массу.

2-й вариант

1.      Комната имеет длину 6,8 м, ширину 4,7 м и высоту 3,5 м. Площадь дверей и окон составляет 1/5 части всей площади стен. Сколько рулонов обоев необходимо для оклеивания комнаты, если длина рулона 12 м, а ширина –0,5 м ?

2.      Для прокладывания водопроводных труб вырыли котлован длиной 257,5 м, шириной 1,2 м и глубиной 1,4 м. Сколько кубических метров земли было вынуто из котлована?

3.      Сколько необходимо краски для покраски колонны цилиндрической формы, диаметр основания которой равен 63 см, а высота – 38 дм, если на один квадратный метр поверхности колонны расходуется 200 г краски?

4.      Вычислите количество нефти в тоннах, находящейся в цистерне цилиндрической формы, диаметр которой равен 22 м, а высота 8м, плотность нефти 800 кг/м³.

5.      Сколько кубометров земли потребуется для устройства клумбы, имеющей форму шарового сегмента с радиусом основания 5 м и высотой 60 см?

3-й вариант

1.      Бак имеет форму прямоугольного параллелепипеда, длина основания которого равна 2,25 м, ширина 12 дм. Емкость бака равна 6,75 м куб. Вычислите высоту бака.

2.      Комната имеет длину 8,23 м, ширину 5,5 м и высоту 4,2 м. Определить объем комнаты и площадь, которую необходимо белить. Окна и двери составляют 9,1% общей площади.

3.      Необходимо окрасить круглую трубу диаметром 1,4 м и высотой 2,9 м. Сколько потребуется для этого краски, если на один м² поверхности ее идет 250 г?

4.      Сколько тонн бензина помещается в подземном бензохранилище, имеющем цилиндрическую форму, если диаметр цилиндра равен 1,8 м, а длина его – 6,5 м? Плотность бензина 720 кг/м³.

5.      Сколько кожи пойдет на покрышку футбольного мяча радиуса 10 см? На швы добавить 8% от площади поверхности мяча.

Подведение итогов урока, обсуждение.

• 1 слайд

  Площадь поверхности тел вращения
  

• 2 слайд

  Площадь поверхности цилиндра.
  O
  Цилиндр –
  тело, ограниченное
  цилиндрической поверхностью
  и двумя кругами
  AB –
  образующая, высота цилиндра
  OB –
  радиус цилиндра
  O1
  B
  A
  

• 3 слайд

  O1
  
  Площадь поверхности цилиндра
  
  A
  B
  A1
  B1
  h
  2πR
  Sцилиндра = 2Sосн+Sбок
  Sцилиндра= 2πR(R+h)
  O
  B
  A
  Sосн = πR2
  Sбок = 2πRh
  

• 4 слайд

  O
  A
  S
  Площадь поверхности конуса
  Конус –
  тело, ограниченное конической поверхностью и кругом.
  SA –
  образующая конуса
  SO –
  высота конуса
  OA –
  радиус конуса
  

• 5 слайд

  O
  A
  S
  Площадь поверхности конуса
  Sконуса = Sосн+Sбок
  Sконуса= πR( R+l )
  Sосн= πR2
  Sбок= πRl
  S
  A
  A1
  l
  α
  

• 6 слайд

  O
  A
  Площадь поверхности сферы
  A
  Сфера –
  поверхность, состоящая из
  всех точек пространства,
  расположенных на данном
  расстоянии от данной точки.
  ОА –
  радиус сферы
  

• 7 слайд

  O
  A
  Площадь поверхности сферы
  A
  За площадь сферы принимают предел
  последовательности площадей
  поверхностей описанных около сферы
  многогранников при стремлении к нулю
  наибольшего размера каждой грани.
  Sсферы = 4πR2
  

• 8 слайд

  O
  A
  S
  Площадь поверхности тел вращения
  B
  A
  O1
  B
  A
  O
  A
  Sбок= 2πRh
  Sцилиндра= 2πR(R+h)
  Sбок= πRl
  Sконуса= πR( R+l )
  Sсферы = 4πR2
  A
  

• 9 слайд

  Задачи
  Диаметр основания цилиндра равен 1 м, высота цилиндра равна длине окружности основания. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.
  
  Прямоугольный треугольник с катетами 6 см и 8 см вращается вокруг меньшего катета. Вычислите площади боковой и полной поверхностей образованного при этом вращении тела.
  
  Площадь сечения сферы, проходящего через ее центр, равна 9 м2. Найдите площадь сферы.
  
  Высота цилиндра на 12 см больше его радиуса, а площадь полной поверхности равна 288π см2. Найдите радиус основания и высоту цилиндра.
  
  
  

• 10 слайд

  Дополнительные задания
  Сколько понадобится краски, чтобы покрасить бак цилиндрической формы с диаметром основания 1,5 м и высотой 3 м, если на один квадратный метр расходуется 200 г краски?
  
  Из квадрата, диагональ которого равна d, свернута боковая поверхность цилиндра. Найдите площадь основания этого цилиндра.
  
  Вычислите радиус круга, площадь которого равна площади сферы радиуса 5 м.
  

• 11 слайд

  
  Подведение итогов
  
  O
  A
  S
  B
  A
  O1
  B
  A
  O
  A
  A
  В) S = 2πRh
  Д) S = 2πR(R+h)
  Г) S = πRl
  А) S = πR( R+l )
  Б) S = 4πR2
  1
  2
  3
  О
  

• 1 слайд

  
  Решение задач
  на нахождение площади поверхности призмы
  Задачи с практическим
  содержанием
  

• 2 слайд

  Цели урока:
  1. С помощью задач практического содержания закрепить в памяти формулу нахождения площади поверхности призмы; вспомнить формулы площадей различных геометрических фигур;
  2. Показать тесную связь математики с повседневной действительностью;
  3. Вырабатывать вычислительные навыки учащихся.
  

• 3 слайд

  1). На заводе игрушек выпускают наборы кубиков. В набор входит по одинаковому количеству кубиков красного, зеленого, синего и желтого цвета. Сколько кубиков каждого цвета понадобиться для одного такого набора, если ребро кубика 3 см и общая площадь их поверхности 2160 см²?
  

• 4 слайд

  Решение:
  1. Узнаем площадь поверхности одного кубика:
  3²∙6=54(см²)
  2. Найдем площадь поверхности кубиков одного цвета:
  2160:4=540(см²)
  3. Найдём, сколько кубиков одного цвета в данном наборе:
  540:54=10(кубиков)
  
  Ответ: 10 кубиков
  
  Sполн.призмы = Sбок. + 2Sосн.
  

• 5 слайд

  2). Коллекционер заказал аквариум, имеющий форму правильной четырёхугольной призмы. Сколько квадратных метров стекла необходимо для изготовления аквариума, если сторона основания 0,5 м, а высота 1,2 м? Ответ округлите до сотых.
  

• 6 слайд

  Решение:
  1. Сначала найдём площадь основания. Так как основание – правильный четырёхугольник, то площадь основания найдём по формуле:
  S=
  2. Найдём площадь боковой поверхности:
  0,5∙1,2∙4= 2,4(м²)
  3. Площадь полной поверхности найдём по формуле:
  
  Ответ: 2,9
  
  .
  .
  Sполн.призмы = Sбок. + 2Sосн.
  

• 7 слайд

  3). На даче нужно покрасить с внешней и внутренней стороны бак с крышкой для воды. Бак имеет форму прямой призмы высотой 1,5 м. В основании призмы лежит прямоугольный треугольник с катетами 0,6 м и 0,8 м. В магазине имеется краска в банках по 1 кг и 2,5 кг. Сколько и каких по массе банок краски надо купить для покраски бака, если на 1 квадратный метр расходуется 0,2 кг краски?
  

• 8 слайд

  Решение:
  1. Сначала найдём площадь основания: Sосн.=0,6∙0,8:2=0,24(м²)
  2. Для нахождения площади боковой поверхности вычислим квадрат гипотенузы основания:
  0,6² + 0,8²=1. Значит гипотенуза равна 1.
  3. Найдём площадь боковой поверхности:
  (0,6+0,8+1)∙1,5 = 3,6(м²)
  4. Вычислим площадь полной поверхности бака:
  0,24∙2+3,6 = 4,08(м²)
  5. Так как бак необходимо покрасить ещё изнутри, то удвоим этот результат:
  4,08∙2 = 8,16(м²)
  6. Узнаем количество краски, необходимое для покраски этого бака: 8,16∙0,2=1,632(кг)
  7. Значит необходимо купить две банки по 1 кг.
  Sполн.призмы = Sбок. + 2Sосн.
  Sбок.=Pосн.∙ H
  

• 9 слайд

  4). На заводе выпускают подарочные коробки в виде прямой призмы, в основании которой лежит ромб с диагоналями 24 см и 10 см. Площадь полной поверхности призмы равна 760 кв.см. Какой будет высота этой коробки?
  

• 10 слайд

  Решение:
  1. Найдём площадь основания:
  (24∙10):2=120(см²)
  2. Найдём площадь боковой поверхности:
  760 – 120∙2 = 520(см²)
  3. Найдём по т.Пифагора квадрат стороны ромба:
  12²+5²=169=13²
  Значит сторона ромба равна 13 см.
  4. Найдём площадь одной боковой грани:
  520:4=130(см²)
  5. Вычислим высоту коробки:
  130:13=10(см)
  Ответ: 10 см.
  Sполн.призмы = Sбок. + 2Sосн.
  

• 11 слайд

  5). Необходимо изготовить короб с крышкой для хранения картофеля в форме прямой призмы высотой 0,7 м. В основании призмы лежит равнобедренная трапеция с основаниями 0,1 м и
  0,6 м и боковой стороной 0,5 м. Сколько квадратных метров фанеры понадобиться для изготовления короба? Ответ округлите до целого числа.
  

• 12 слайд

  
  
  
  
  1. Сначала найдём квадрат высоты трапеции из
  прямоугольного треугольника:
  0,5²-0,1²=0,25 - 0,01 = 0,24
  Тогда высота трапеции равна 0,4899
  2. Вычислим площадь трапеции:
  (0,6 + 0,4):2∙0,49=0,245(м²)
  3. Найдём площадь боковой поверхности:
  (0,6 + 2∙0,5 + 0,4)∙0,7 = 1,4(м²)
  4. Найдём площадь полной поверхности:
  1,4 + 0,245∙2 = 1,8(м²)≈2(м²)
  Ответ: 2 м²
  Решение:
  0,4
  0,6
  0,5
  0,5
  0,4
  0,1
  0,1
  

• 13 слайд

  Домашнее задание:
  Подобрать или придумать задачу с практическим содержанием по теме «Призма»