Введение
«Наступили
времена «пара и железа», «электричества и воздухоплавания», с одной стороны, а
с другой, времена проникновения в глубочайшие тайники человеческого духа и
самопознания. Но в какой бы области человеческая жизнь ни стремилась к
самосовершенствованию, верно то, что всюду в основании верных выводов должны
лежать «счет и мера», т.е. число в той или иной форме. Явления ли так
называемого внешнего мира, глубины ли собственного духа желает исследовать
человек и связать свое бедное и жалкое пока «я» с великим и всеобъемлющим «всё»
- всюду и везде только тогда шествует он по верному пути, если великий и
строгий дух математики будет его руководителем… Счет, мера и число… Математика
– эта так называемая сухая, точная и строгая наука… Да! Только эта целомудренная,
с глубоко пытливым взглядом богиня может ввести нас в святая святых творения,
приподнять завесу, скрывающую от нас великие тайны мироздания, показать даже
возможность пространства, отличного от нашего, ввести в область иных измерений,
дать возможность уверенно говорить о невидимом, как о видимом, о будущем и
прошедшем как о настоящем, дать понятие человеческому духу о великой и вечной
поэзии творческих сил природы. Станет ли кто в наше время отрицать
настоятельную необходимость самого широкого распространения и популяризации
математических знаний? Железная сила логической, или, что то же, математической
мысли, сила разумной и быстрой «смекалки» только одна ведь в состоянии победить
разного рода беспочвенные самообольщения извращенной фантазии и низринуть
дурачащих бедное человечество кумиров.
Развитие самой
энергетической самодеятельности ума, сообразительности и «смекалки» - вот что
всё необходимее и необходимее делается человеку, если он желает преуспевать и
достигнуть гармонии жизни. Существенно необходимо, прежде всего, приобретение
самых разнообразных навыков в … счете, мере и числе. Нисколько не рискуя впасть
в преувеличение, скажем: жизнь каждого народа ныне культурна поскольку,
постольку в неё входит математика…». Так писал 100 лет назад в введении к
своей «Хрестоматии по математике» Е.И.Игнатьев. И сегодня эти слова
нисколько не устарели.
Я только начинаю
изучать математику, эту науку, о которой
Поэтому тема
моего исследования – числа: четные и нечетные, числа-близнецы,
совершенные и дружественные числа, простые и составные, фигурные. Ведь
все числа обладают длинной и необычной историей, удивительными свойствами,
притягивают внимание непроницаемостью окутывающей их тайны.
«Числа
правят миром!» (Пифагор)
Первого греческого
ученого, который начал рассуждать о математике, а не только пользоваться ею,
звали Фалес. А о числах начал рассуждать грек Пифагор, который родился на
острове Самосе в VI веке до нашей эры. Поэтому
его часто называют Пифагором Самосским. Много легенд рассказывали греки об этом
мыслителе. Его ученики уверяли даже, что он был сыном самого солнечного бога
Аполлона, что его бедро было сделано из чистого золота, а когда он подошел к
одной реке, та вышла из берегов, чтобы приветствовать Пифагора! Но мало ли что
рассказывали люди в то легковерное время!
Если отбросить сказки и выдумки,
то окажется, что Пифагор очень много сделал для развития науки (хотя начинал он
совсем не как ученый, а как победитель Олимпийских игр по кулачному бою!).
Сначала он занялся музыкой. Ему удалось установить связь между длиной струны
музыкального инструмента и издаваемым им звуком. И тогда Пифагор решил, что не
только законы музыки, но и вообще все на свете можно выразить с помощью чисел.
«Числа правят миром!» - провозгласил он.
Четные и нечетные числа
Разумеется, о том, что
натуральные числа бывают четными и нечетными, задолго до Пифагора знал любой
продавец на базаре его родного острова Самаса. Ведь ему приходилось
раскладывать свой товар попарно, и иногда это удавалось, а иногда яблоко, мешок
муки или баран оказывались лишними. Но Пифагор стал думать о свойствах четных
и нечетных чисел. Он сложил два четных числа и получил снова четное число. То
же самое вышло, когда о сложил два нечетных числа. А от сложения четного числа
с нечетным получалось нечетное число. Наверное, такое тысячи раз случалось и у
египтян и у вавилонян, да и у греков, живших до Пифагора. Но никто из них не
ставил вопроса : «А почему это так?» Получается - и хорошо, а почему - не наша
забота. Не задумывались до Пифагора о том, почему если одно из множителей
четный, то и произведение окажется четным, а если все множители нечетны, то
нечетным будет произведение.
Решать эти вопросы было для
Пифагора затруднительно. Теперь их решают так: если число четное, то оно
делится на 2. Поэтому его можно записать в виде 2п, где п – натуральное
число. Значит, сумма двух четных чисел имеет вид 2m + 2n, и поэтому ее можно записать так: 2(m + n).
Ясно, что эта
сумма делится на 2. А нечетное число при делении на 2 дает остаток 1. Поэтому
ее можно записать в виде 2п+1. Значит, сумма двух нечетных чисел имеет
вид (2m+1)+ (2п+1), то
есть 2m+2п+2=2(m+
п+1). Опять видим, что получилось четное число. Также
можно доказать, что сумма четного числа и нечетного нечетна.
Но
во времена Пифагора на человека, сказавшего, что неизвестное число можно
обозначить буквой, посмотрели бы с удивлением. И Пифагор придумал замечательный
способ доказывать общие утверждения о числах: он стал изображать числа точками.
Например, число 5 изображается так: •••••, а число 8 так: ••••••••. Картинки
получались двух видов – у одних была средняя точка (как у числа 5), а у других
такой точки не было (как у числа 8), Первые числа были нечетными, а вторые
четными.
Чтобы
доказать, что произведение двух нечетных чисел нечетно, Пифагор строил из точек
прямоугольник.
• • • • •
• • • • •
• • • • •
• • • • •
• • •О • •
• • • • •
• • • • •
• • • • •
• • • • •
Так
как и снизу и сбоку есть средняя точка, то найдется она и во всем
прямоугольнике (точка О на рисунке). А тогда видно, что для каждой точки
прямоугольника, кроме этой средней точки, есть пара. Значит, число точек в
прямоугольнике нечетно. Похожим образом можно доказать остальные утверждения
про суммы произведения четных и нечетных чисел.
Фигурные числа
Потом Пифагор
стал усложнять свои фигуры из точек, Вместо прямоугольника он стал строить
треугольники. При этом получились числа 1, 3, 6, 10, 15, 21 и т.д. Они получили
имя треугольных .
•
•
• •
•
• • • • •
• •
• • • • •
• • •
• •
• • • • • • • •
• • • • •
1
3 6
10 15
Но ведь можно строить из точек не треугольники, а квадраты. Эти рисунки
имеют 1, 4, 9, 16, и т. д. точек.
• • • • •
•
• • • • • • • •
• • • • • • • • • •
• •
•
• • • • • • • •
• • • • •
• •
• • • • • • • •
• • • • •
1
4 9 16
25
Такие
числа получили название квадратных, и этим названием мы пользуемся до
сих пор (хотя со времени Пифагора прошло два с половиной тысячелетия). Можно
также изобразить точками пятиугольные числа (1, 5, 12, 22, …) и шестиугольные
(1, 6, 15, …).
Пифагор не ограничился плоскими фигурами. Из точек он стал складывать
пирамиды, кубы и другие тела и изучать пирамидальные, кубические и иные числа.
К слову сказать, названием куб числа мы тоже пользуемся и сегодня.
Справедливость, совершенство, дружба в числах
Но числами,
получившимися из различных фигур, Пифагор не удовлетворился. Ведь он
провозгласил, что числа правят миром. Поэтому ему пришлось придумывать, как с
помощью чисел изображать такие понятия, как, справедливость, совершенство,
дружба. Например, справедливость Пифагор и его ученики изображали числом
4 – оно является первым произведением двух равных множителей: 4 = 2 × 2 (единицу в те
далекие времена не считали настоящим числом). Как и вавилоняне, четные числа
Пифагор считал женскими, а нечетные – мужскими. Поэтому
бракосочетание он обозначал числом 5 – суммой первого нечетного и первого
четного числа: 5 = 3 + 2. Первыми четырьмя числами 1, 2, 3 и 4 он
обозначал четыре элемента, из которых, по воззрениям древнегреческих мудрецов,
состоял весь мир: огонь, землю, воду и воздух. Не удивительно поэтому,
что числу 10 Пифагор придавал особое значение – это число равнялось
сумме всех элементов, то есть изображало весь мир. Вообще, многое в
учении Пифагора шло от шумеров и вавилонян. В частности, как и они, Пифагор
чтил число 7, а один из его учеников написал целое сочинение о необыкновенных
свойствах семерки и о ее роли в земных небесных делах.
Совершенные и дружественные числа
Чтобы
изобразить совершенство, Пифагор принялся за делители чисел (при этом делитель
1 он брал, а само число не брал).
Греческие математики называли
число совершенным, если сумма всех его собственных делителей (т.е. натуральных
делителей, отличных от самого числа) была равна этому числу. Им были
известны четыре таких числа: 6, 28, 496, 8128 (так, 6 = 1 + 2 + 3, 28
= 1 + 2 + 4 + 7 + 14, 496 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248).
Первые два
числа знали уже пифагорейцы (VI в. до
н.э.), которые считали, что они отражают совершенство, а заслуга
открытия двух последних принадлежит Евклиду.
Числа, сумма
собственных делителей которых были больше или меньше самого числа, назывались
греческими авторами соответственно избыточными и недостаточными.
Так, например, число 12 - избыточное, а число 8 – недостаточное, так как 1 + 2
+ 3 + 4 + 6 + 16 > 12, а 1 + 2 + 4 = 7 < 8.
Греческий математик I в. н.э. Никомах Геразский
писал: «Совершенные числа красивы. Но известно, что красивые вещи редки и
немногочисленны, безобразные же встречаются в изобилии. Избыточными и
недостаточными является подавляющее большинство чисел, в то время как
совершенных чисел немного».
Совершенные числа
встречаются в греческих преданиях. В сказочном государстве золотого века, Атлантиде,
описанном Платоном в разных местах его диалогов, фигурирует преимущественно
число 6. У римлян на пирах самым почетным местом было шестое, на котором, по
сатире Горация, возлежал Меценат, благодетель Горация. В Риме при постройке
метро под землей была обнаружена странная комбинация помещений: общий зал и
вокруг него 28 келий, выходящих в этот зал. Это оказалось помещение
неопифагорейской академии, которая существовала в Риме в первые века нашей эры.
Очевидно, что в академии этой было 28 членов. Ранние комментаторы Ветхого
завета усматривали в совершенстве чисел 6 и 28 особый смысл. Разве не за 6 дней
был сотворен мир, восклицали они, и разве луна обновляется не за 28 суток?
От совершенных чисел
повествование естественным образом переходит к дружественным числам.
Это – два натуральных числа, каждое из которых равно сумме собственных
делителей второго числа (заметим, что каждое совершенное число можно
рассматривать как дружественное самому себе). Открытие наименьшей пары
дружественных чисел (220, 284)
(220 = 1 + 2 + 4 +
71 + 142 и
284 = 1 + 2 + 4 + 5
+ 10 + 11 +
+ 20 + 22 + 44 +
55 +110)
приписывают пифагорейцам. Впрочем,
некоторые ссылаются на то более древнее место в библии, где говорится, что Иаков
в знак примирения подарил Исаву ровно 220 овец и 220 коз. Первым из
сохранившихся документов, содержащих упоминание о дружественных числах,
является трактат «Изложение пифагорейского учения», написанный в III в. н.э. Ямвлихом из Хальциса.
Ямвлих рассказывает, как однажды великий Пифагор на вопрос, кого следует
считать другом, ответил: «Того, кто является моим вторым как я, как числа 220 и
284». К сожалению, более ранних свидетельств не сохранилось. Возможно, это
связано с тем, что пифагорейская шкала наряду с числовым мистицизмом и культом
дружбы славилась еще и приверженностью к таинственности. Разглашение добытых
математических знаний считалось кощунством.
Средневековые математики
приписывали дружественным числам сверхъестественные свойства, единодушно
настаивая на возможности их практического использования. Так, ибн Хальдун
приводит в своем трактате руководство по изготовлению талисмана дружбы, а
мадридский ученный аль- Маджрити приводит следующий рецепт: «Чтобы добиться
взаимности в любви, нужно на чем-либо написать числа 220 и 284, меньшее дать
объекту любви. А большее съесть самому» (ученный добавляет, что действенность
этого способа он проверял на себе).
Многие античные и арабские
ученые, а также ученые средневековья посвящали в своих трактатах одну из глав
совершенным и дружественным числам. Дань увлечения этими числами отдали
Р.Декарт, П.Ферма, Л.Эйлер, А.Лежандр, П.Л.Чебышев и многие другие великие
математики. Сегодня на помощь ловцам совершенных и дружественных чисел пришли
компьютеры.
Числа-близнецы
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.