Исследовательская работа "Необычные приемы устного счета"

VIII районная научно-практическая конференция

« Наследие родного края»

Исследовательская работа.

«Необычные приемы устного счета»

Автор:

Бадышева Валентина

 Владимировна,

 7класс,

 МКОУ Короленковская ООШ

Руководитель(и):

 Сидаева Екатерина

Александровна,

учитель, математика

Кизнер

2016

Содержание.

Введение……………………………………………………………..……3

Глава I.

1.1.    Как люди научились считать………………………….……..5

1.2. Первая литература по способам счёта……………………………..6

Глава II.

2.1 Умножение на 9 на пальцах………………………………………….7

2.2. Умножение на пальцах чисел от 6 до 10……………………………-

2.3  Умножение на 11………………………………………………….….8

2.4. Алгоритм перемножения двузначных чисел, близких к 100…..….-

2.5. Китайский??? Рисовательный способ умножения……………..…..-

Заключение……………………………………………………………….10

Список литературы и ссылок на источники………………………..…..11

Приложения …………………………………………………...…………12

Введение.

    Мне предложили участвовать в районной научно-практической конференции школьников «Наследие родного края». Я стала думать над выбором темы для участия. И вспомнила интересную тему, которую нам рассказывали на кружке  «Математика для любознательных». Это необычные способы устного счета. Мне всегда было интересно, как же люди считали «на пальцах», когда не было калькуляторов. Определённые приёмы быстрого счёта, предложенные на кружке, мне давались легко, но чем дальше мы познаём математику, тем больше мне хочется узнать о том, как можно еще использовать быстрый счёт на более сложных числах.

    На дворе сейчас 21 век – век новых технологий. Мы каждый день используем компьютер и умение быстро производить в уме достаточно сложные вычисления ни в коем случае не утратило своей актуальности. Гибкость ума является предметом гордости людей, а способность, быстро производить в уме вычисления вызывает откровенное удивление. Такие навыки помогут человеку в учёбе, в быту, в профессиональной деятельности. Кроме того, быстрый счёт – настоящая гимнастика для ума, приучающая в самых сложных жизненных ситуациях находить в кратчайшее время хорошие и нестандартные решения. Производя математические вычисления в уме, человек пользуется, по сути, теми же правилами, что и при письменных вычислениях.

Для того чтобы, рассмотреть эти способы руководитель моего исследования, Е.А. Сидаева, дала мне почитать  несколько  книг о математике. Проанализировав очень многие статьи, я открыла для себя очень интересные исторические данные о необычных способах быстрого счёта, а также много закономерностей и неожиданных результатов. Для меня было необычно, что приложив немного усилий, я теперь смогу и сама вести быстрый счёт и поделиться этими познаниями с одноклассниками на кружке, с взрослыми и со знакомыми. И, как правило, они, заинтересованные этим, начинают использовать такие приёмы и способы. А ведь большинство моих сверстников считают плохо. То ли думать им лень (зачем загружать себя лишней работой, если есть калькуляторы), то ли в своё время этому никто не научил. Приёмов рациональных вычислений в учебниках практически нет. Сложные формулы и алгоритмы школьной программы всё дальше и дальше уводят учеников от простых, понятных навыков устного счёта.

    Я выбрала тему «Необычные приемы устного счета» потому, что я люблю математику и хотела бы научиться считать быстро и правильно, не прибегая к использованию калькулятора. А так же удивить  одноклассников своими знаниями.

    Я поставила перед собой проблему: найти и рассмотреть необычные приёмы устного быстрого счёта, не рассматриваемые  в школьном курсе математики.

   Объект  исследования – вычислительные навыки и быстрый счёт на уроках математики.

   Предмет исследования – необычные приёмы и навыки устного счёта.

   Задачи:

1)узнать об упрощённых, нестандартных способах  устных вычислений.

2)рассмотреть и показать на примерах применение нестандартных способов

   Методы исследования:

   1) сбор информации;

   2) систематизация и обобщение.

Цель исследовательской работы: изучить методы и приёмы быстрого счёта и доказать необходимость умения быстрого счёта и эффективного использования этих приёмов.

Актуальность выбранной темы заключается в том, что  нижеперечисленные способы быстрого счёта рассчитаны  на ум «обычного» человека и не требуют уникальных способностей. Главное – более или менее продолжительная тренировка. Кроме того освоение этих навыков развивает логику и память учащегося.

Глава I.

1.2.                Как люди научились считать.

    Никто не знает, как впервые появилось число, как первобытный человек начал считать. Однако десятки тысяч лет назад первобытный человек собирал плоды деревьев, ходил на охоту, ловил рыбу, научился делать каменный топор и нож, и ему приходилось считать различные предметы, с которыми он встречался в повседневной жизни. Постепенно возникала необходимость отвечать на жизненно важные вопросы: по сколько плодов достанется каждому, чтобы хватило всем, сколько расходовать сегодня, чтобы оставить про запас, сколько нужно сделать ножей и т.п. Таким образом, сам не замечая, человек начал считать и вычислять.

    Вначале человек научился выделять единичные предметы. Например, из стаи волков, стада оленей он выделял одного вожака, из выводка птенцов – одного птенца и т.д. Научившись выделять один предмет из множества других, говорили «один», а если их было больше – «много». Даже для названия числа «один» часто пользовались словом, которым обозначался единичный предмет, например «луна», «солнце». Такое совпадение названия предмета и числа сохранилось в языке некоторых народов до наших дней.

Частые наблюдения множеств, состоящих из пары предметов (глаза, уши, крылья, руки) привели человека к представлению о числе два. До сих пор слово «два» на некоторых языках звучит так же, как «глаза» или «крылья».

    Если предметов было больше двух, то первобытный человек говорил «много». Лишь постепенно человек научился считать до трёх, затем до пяти и до десяти и т.д. Название каждого числа отдельным словом было великим шагом вперёд.

Для счёта люди использовали пальцы рук, ног. Ведь и маленькие дети тоже учатся считать по пальцам. Однако этот способ годился только в пределах двадцати.

    Выход нашелся: считать на пальцах до 10, а затем начинать сначала, отдельно подсчитывая количество десятков. Система счисления на основе десяти возникла как естественное развитие пальцевого счёта.

   По мере развития речи люди начали использовать слова для обозначения чисел. Отпала необходимость показывать кому-то пальцы, камешки или реальные предметы, чтобы назвать их количество. Для изображения чисел стали применяться рисунки, чертежи или символы. Существовали и системы с отдельными символами для каждой цифры до 9 включительно, как в арабской системе счисления, которую мы сейчас используем, а у греков имелся специальный символ и для 10.

    При помощи пальцев рук люди научились не только считать большие числа, но и выполнять действия сложения и вычитания.

    Древние торговцы для удобства счёта начали накладывать зерна и раковины на специальную дощечку, которая со временем стала называться абаком.

    Особенно сложны и трудны были в старину действия умножения и деления, особенно последнее. «Умноженье – мое мученье, а с деленьем – беда» – говорили в старину. Тогда не существовало еще, как теперь, одного выработанного практикой приёма для каждого действия. Напротив, в ходу была одновременно чуть ли не дюжина различных способов умножения и деления – приёмы один другого запутаннее, твёрдо запомнить которые не в силах был человек средних способностей. Каждый учитель счётного дела держался своего излюбленного приёма, каждый «магистр деления» (были такие специалисты) восхвалял собственный способ выполнения этого действия.[4]

1.2. Первая литература по способам счёта.

    В книге В. Беллюстина « Как постепенно дошли люди до настоящей арифметики» (1914) изложено 27 способов умножения, причем автор замечает: «весьма возможно, что есть и еще (способы), скрытые в тайниках книгохранилищ, разбросанные в многочисленных, главным образом рукописных сборниках». Наш современный способ умножения описан там под названием «шахматного». Был так же и очень интересный, точный, лёгкий, но громоздкий способ «галерой» или «лодкой», названный так в силу того, что при делении чисел этим способом получается фигура, похожая на лодку или галеру. У нас такой способ употреблялся до середины XVIII века. («Арифметика» – старинный русский учебник математики, которую Ломоносов назвал «вратами своей учености») пользуется исключительно способом «галеры», не употребляя, впрочем, этого названия.[8]

    Упоминаются такие способы, как «загибание», «решетка», «задом наперед», «ромб», «треугольник»  и многие другие. Многие такие приемы для умножения чисел долгие и требуют обязательной проверки.

    Интересно, что и наш способ умножения не является совершенным, можно придумать еще более быстрые и еще более надежные.

    Приведу примеры умножения чисел, получившие наибольшее описание в литературе.

Глава II.

2.1. Умножение на 9 на пальцах.

    Умножение для числа 9 – 9·1, 9·2 … 9·10 – легче выветривается из памяти и труднее пересчитывается вручную методом сложения, однако именно для числа 9 умножение легко воспроизводится» на пальцах». Растопырьте пальцы на обеих руках и поверните руки ладонями от себя. Мысленно присвойте пальцам последовательно числа от 1 до 10, начиная с мизинца левой руки и заканчивая мизинцем правой руки (это изображено на рисунке). Допустим, хотим умножить 9 на 7.  Загибаем палец с номером, равным числу, на которое мы будем умножать 9. В нашем примере нужно загнуть палец с номером 7. Количество пальцев слева от загнутого пальца показывает нам количество десятков в ответе, количество пальцев справа – количество единиц. Слева у нас 6 пальцев не загнуто, справа – 3 пальца. Таким образом, 9·7=63. Ниже на рисунке детально показан весь принцип «вычисления».(см. приложение 1)

   Еще пример: нужно вычислить 9·9=? По ходу дела скажем, что в качестве «счетной машинки» не обязательно могут выступать пальцы рук. Возьмите к примеру 10 клеточек в тетради. Зачеркиваем 9-ю клеточку. Слева осталось 8 клеточек, справа – 1 клеточка. Значит 9·9=81. Все очень просто. (см. приложение 2)[1]

2.2. Умножение на пальцах чисел от 6 до 10.

    Каждому пальцу на левой и на правой руке приписывается определенное число:
мизинцу - 6,
безымянному пальцу - 7,
среднему - 8,
указательному - 9
и большому - 10.
    В начале освоения метода эти числа можно нарисовать на кончиках пальцев. При умножении руки располагаются естественным образом, ладонями к себе.
Методика
1. Умножим 7 на 8. Развернем руки ладонями к себе и коснемся безымянным пальцем (7) левой руки среднего пальца (8) правой (см. приложение 3)
Обратим внимание на пальцы рук, оказавшиеся выше соприкоснувшихся пальцев 7 и 8. На левой руке выше 7 оказались три пальца (средний, указательный и большой), на правой выше 8 - два пальца (указательный и большой).
Будем называть эти пальцы (три на левой руке и два на правой) верхними. Остальные пальцы (мизинец и безымянный на левой руке и мизинец, безымянный и средний на правой) назовем нижними. В этом случае (7 х 8) получается 5 верхних пальцев и 5 нижних.
   Теперь найдем произведение 7 х 8. Для этого:
1) умножим количество нижних пальцев на 10, получим 5 х 10 = 50;
2) перемножим количества верхних пальцев на левой и правой руках, получим 3 х 2 = 6;
3) наконец, сложим эти два числа, получим окончательный ответ: 50 + 6 = 56.
Мы получили, что 7 х 8 = 56.
2. Умножим 6 на 6. Развернем руки ладонями к себе и коснемся мизинцем (6) левой руки мизинца (6) правой (см. приложение 4).
    Теперь на левой и правой руках по 4 верхних пальца.
Найдем произведение 6 х 6:
1) умножим количество нижних пальцев на 10: 2 х 10 = 20;
2) перемножим количества верхних пальцев на левой и правой руках: 4 х 4 = 16;
3) сложим эти два числа: 20 + 16 = 36.
Мы получили, что 6 х 6 = 36.
3. Умножим 7 на 10. Это будет проверка правила умножения на 10. Коснемся безымянным пальцем (6) левой руки большого пальца (10) правой. На левой руке 3 верхних пальца, на правой - 0 (см. приложение 5).
Найдем произведение 7 х 10:
1) умножим количество нижних пальцев на 10: 7 х 10 = 70;
2) перемножим количества верхних пальцев на левой и правой руках: 3 х 0 = 0;
3) сложим эти два числа: 70 + 0 = 70.
Мы получили, что 7 х 10 = 70.[5]

2.3.  Умножение на 11.

    Чтобы умножить на 11 число, сумма цифр которого 10 или меньше 10, надо мысленно раздвинуть цифры этого числа, поставить между ними сумму этих цифр, а затем к первой цифре прибавить 1, а вторую и последнюю (третью) цифру оставить без изменения.

   27 х 11= 2 (2+7) 7 = 297;

  62 х 11= 6 (6+2) 2 = 682.

Чтобы умножить на 11 число, сумма цифр которого 10 или больше 10, надо мысленно раздвинуть цифры этого числа, поставить между ними сумму этих цифр, а затем к первой цифре прибавить 1, а вторую и последнюю (третью) цифру оставить без изменения.

86 х 11= 8 (8+6) 6 = 8 (14) 6 = (8+1) 46 = 946.[2]

2.4. Алгоритм перемножения двузначных чисел, близких к 100.

          Например:      98 х 97 = 9506

                                    2          3

   Здесь мы пользуюемся таким алгоритмом: если хочешь перемножить два

двузначных числа, близких к 100, то поступай так:

1) найди недостатки сомножителей до сотни;

2) вычти из одного сомножителя недостаток второго до сотни;

3) к результату припиши двумя цифрами произведение недостатков

сомножителей до сотни. (см. приложение 6)[3]

2.5. Китайский??? Рисовательный способ умножения.

     С этим способом умножения меня познакомила моя руководительница исследовательской работы. Она показала мне, как перемножать с помощью линий и точек и «закипел» процесс расшифровки алгоритма рисовательного способа умножения. Для наглядности решила прибегнуть к помощи цветных карандашей, и у меня стало получаться.
    Предлагаю Вашему вниманию три примера в цветных картинках (в правом верхнем углу проверочный столбик).

Пример №1: 12 × 321 = 3852
    Рисуем первое число сверху вниз, слева на право: одна зелёненькая палочка (1); две оранжевых палочки (2). 12 нарисовали.
    Рисуем второе число снизу вверх, слева на право: три голубеньких палочки (3); две красненькие (2); одну сиреневую (1). 321 нарисовали.

Теперь простым карандашиком по рисунку прогуляемся, точечки пересечения чисел-палочек на части разделим и приступим к подсчёту точечек. Двигаемся справа налево (по часовой стрелке): 2, 5, 8, 3. Число-результат будем «собирать» слева направо (против часовой стрелки) и получили 3852: (см. приложение 7)

Пример №2: 24 × 34 = 816
   В этом примере есть нюансы:

При подсчёте точечек в первой части получилось 16. Единичку отправляем-прибавляем к точечкам второй части (20 + 1) (см. приложение 8)

Пример №3: 215 × 741 = 159315
Без комментариев: (см. приложение 9)

На первых порах рисовательный способ умножения показался мне несколько сложным, но при этом интригующим и удивительно гармоничным. На пятом примере поймала себя на мысли, что умножение идёт в «лёт» и работает в режиме автопилота: рисуем, точечки считаем, про таблицу умножения не вспоминаем, вроде как мы её вообще не знаем. [6]

      При работе с более «серьёзными» числами рисовательный способ умножения стал чересчур громоздким, так что большие числа лучше умножать столбиком.

Заключение.

        В ходе нашего исследования нашли и рассмотрели необычные приёмы устного быстрого счёта, не рассматриваемые  в школьном курсе математики. Некоторые из них эффективные, а некоторые слишком громоздкие. Самой мне больше всего понравился рисовательный способ.

       Мы узнали об упрощённых, нестандартных способах  устных вычислений и рассмотрели  на примерах применение нестандартных способов.

       Цель нашего исследования, на мой взгляд, достигнута. Мы изучили способы и попробовали применить их на уроках и тем самым доказали, что необходимо уметь быстро считать и эффективно использовать эти приемы.

       Как мы видим, быстрый счёт это уже не тайна за семью печатями, а научно разработанная система. Раз есть система, значит её можно изучать, ей можно следовать, ею можно овладевать.

       Все рассмотренные мною методы устного счета говорят о многолетнем интересе ученых, и простых людей к игре с цифрами.

       Используя некоторые из этих методов на уроках или дома, можно развить скорость вычислений, привить интерес к математике, добиться успехов в изучении всех школьных предметов.

Список литературы и ссылок на источники

1.                 «Устный счёт – гимнастика ума» Г.А.Филиппов

2.                 «Алгоритмы ускоренных вычислений» Л.В. Бикташева

3.                 «Устный счет». Э.Л.Струнников

4.                 «Математическая шкатулка» Ф.Ф.Нагибин Е.С.Канин

5.                 http://nashsite.narod.ru/html.123.html

6.                 http://iralebedeva.ru/inform7.html

7.                 Библиотечка «Первое сентября»

Приложения

Приложение 1

Умножение на 9 на ладони

Приложение 2

 Умножение на 9 с помощью клеток

Приложение 3

Умножение чисел с 6 до10

Приложение 4

Умножение чисел с 6 до 10

Приложение 5

Умножение чисел с 6 до 10

Приложение 6

Умножение чисел близких к 100

Приложение 7

Рисовательный способ умножения

Приложение 8

Рисовательный способ умножения

Приложение 9

Рисовательный способ умножения