Исследовательская работа по математике "Футбольный мяч будущего" (6 класс)

Российская Федерация

Ханты-Мансийский автономный округ- Югра

(Тюменская область)

МУНИЦИПАЛЬНОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

САРАНПАУЛЬСКАЯ  СРЕДНЯЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА

628148 ул. Вокуева, 12 с.п.Саранпауль Ханты-Мансийского автономного округа, Тюменской области, Березовского района

Тел.45-888 Факс 45-890

Конкурсная исследовательская работа

на районный конкурс «Шаг в будущее-2014»

Направление: математика и информационные технологии

Выполнил:

Зайбель Степан, ученик 6-б класса

Руководитель:

Петренко Анжелика Владимировна,

учитель математики первой категории

	Саранпауль  -  2014 г

 

АННОТАЦИЯ

 к исследовательской работе «Футбольный мяч будущего»,

выполненную  Зайбель Степаном,

учеником 6б класса МБОУ Саранпаульская СОШ

с.п. Саранпаул,ь Березовский район, ХМАО-Югра

Работа посвящена изучению правильных и полуправильных многогранников, анализа их элементов, сравнения и классификации.

Занимаясь в секции футбола, автор заметил, что поверхность футбольного мяча – это сферический многогранник. Он ставит проблему определения вида такого многогранника, а так же, изучив историю этой игры, решает определить: можно ли создать новый футбольный мяч с другими лоскутками, чтобы его производство было экономичнее.

Выдвигая гипотезу, а затем, поставив ряд задач, автор проводит исследование многогранников, определяет полуправильный многогранник с наименьшим числом ребер и граней. Он считает, что ромбоусеченный кубооктаэдр, усеченный додекаэдр и усеченный икосаэдр могут быть геометрическими моделями футбольного мяча сферической формы, причем  наименьшее число ребер и граней у ромбоусеченного кубооктаэдра (на 20% меньше, чем у усеченного икосаэдра число ребер и на 18,75% меньше число граней). Таким образом, форма мяча в виде сферического ромбоусеченного кубооктаэдра наиболее экономичная для модели футбольного мяча. Добавив к виду мяча его трехцветную окраску, автор получает новый дизайн футбольного мяча.

Учитывая тот факт, что до настоящего времени футбольный мяч  клеят вручную из натуральной кожи  и качество мяча зависит от  прочности кожи и швов, автор утверждает, что мяч в виде сферического ромбоусеченного кубооктаэдра  изготовить легче, кроме этого будет лучше и герметичность. Это очень важно для футбола, потому что, согласно требованиям FIFA, масса должна составлять от 420 до 445 г.  и практически не увеличиваться в дождливую погоду за счет проникновения жидкости в швы.

 Автор считает, что новый взгляд на дизайн футбольного мяча будет интересен специалистам в области производства спортивного инвентаря, ведь новый облик  мяча – это не только новое веяние современного футбола, но и более экономичный проект. 

 Работа содержит красочное приложение и список литературы.

ПЛАН   ИССЛЕДОВАНИЯ.

1. Актуализация вопроса……………………………………………………………………..….1

2. Постановка проблемы ………………………………………………………………………. 3

3. Выдвижение гипотезы …………………………………………………………….………….3

4. Постановка целей, задач, отбор методов исследования ……………………………………3

5. Научная основа исследования ……………………………………………………………….4

А) «Платоновы» тела - правильные многогранники …………………………………………5

Б) «Архимедовы» тела - полуправильные многогранники………………..............................6

В) Звёздчатые многогранники или тела Кеплера-Пуансо ………………………………..…..8

6.Моделирование многогранников …………………………………………………….………9

7. Исследование дизайна футбольного мяча ………………………………………….……….9

8. Результаты исследования …………………………………………………………………… 11

9. Заключение ……………………………………………………………………………………13

Литература ……………………………………………………………………………………….14

Приложение ……………………………………………………………………………………I-Y

 

1

Научная статья

1. Актуализация

Я второй год занимаюсь в секции футбола. Футбол – известная и любимая многими командная игра. Кто первый изобрел такую игру до сегодняшнего времени точно неизвестно. Во всем мире датой рождения футбола считается 1863 год, а страной подарившей миру эту забаву – Англия. Играя  мячом, я обратил внимание, что он  похож на шар, поверхность которого покрыта 12 пятиугольниками и 20 шестиугольниками правильной формы. Читая страницы из истории футбола, можно узнать много интересного. Оказывается, что наши предки очень любили забавы ради играть в различные сферические предметы. Самые древние мячи к нам дошли из Египта (2000 г. до н.э.). Они изготавливались из дерева, кожи и даже папируса. Согласно историческим ссылкам и легендам, ранние мячи создавались из человеческих голов, завернутых в кожу животных или в мочевые пузыри свиней и коров.

По средневековым традициям  люди брали свиные пузыри и пытались раздуть их до необходимых для игры размеров. С помощью ног и рук они пытались удержать шар в воздухе.  Со временем пузыри стали обтягивать кожей для придания им правильной формы и для долговечности (Рис. 1)

В 1836 году Чарльз Гудиер запатентовал вулканизированный каучук. До этого мячи очень сильно зависели от размеров и формы свиных пузырей. Из-за нестабильности животной ткани очень трудно было предсказать поведение снаряда во время удара. Только ближе к двадцатому веку большинство мячей было сделано с использованием резины.

В 1855 году, тот же Гудиер спроектировал первый каучуковый футбольный мяч. Он до сих пор хранится в национальном футбольном зале славы, который расположена в Онеонте (Нью-Йорк, США).

В 1862 году изобретатель Лайндон разработал одну из первых надувных резиновых камер. Он прекрасно знал недостатки мячей из свиных мочевых пузырей. Его целью было создать надувную резиновую камеру, которая бы не взрывалась от каждого прикосновения ногой. Каучуковые камеры обеспечивали мячам форму и плотность. В 1863 году новоиспеченная Английская Футбольная Ассоциация собралась с целью разработать и обобщить правила новой игры — футбол. На первом собрании никто не предложил стандарты для футбольных мячей.

А вот в 1872 году было достигнуто соглашение, что мяч для игры в футбол «должен быть сферическим с окружностью 27-28 дюймов» (68,6-71,1 см). Этот стандарт не менялся на протяжении ста с лишним лет и остается в сегодняшних правилах ФИФА. В энциклопедии футбола (английское издание 1956 года) говорится следующее: «Согласно

2

футбольным правилам, мяч должен быть сферическим с внешним покрытием из кожи или из других одобренных материалов. Окружность не должна быть меньше 27 дюймов, но и не превышать 28 дюймов, а вес мяча вначале игры не должен быть меньше 14 унций и больше 16 унций» (Рис. 2)

Мячи двадцатого века  благодаря более прочным  каучуковым камерам  могли выдерживать сильное давление. Все профессиональные мячи к тому времени, создавались на основе резиновых камер. Они покрывались грубой коричневой, а позднее белой кожей. Большинство кожаных сфер имели покрытие с восемнадцатью секциями (шесть групп, по три полосы) и напоминали современные волейбольные мячи со шнуровкой. Не надутая камера вставлялась в заранее подготовленный разрез. Оставляли отверстие для последующего надувания мяча с помощью специальной трубки. После этого приходилось шнуровать покрытие (Рис.3)

Эти мячи хорошо держали удары ногами, но имели ряд недостатков — трудоемкий процесс сшивания и водопоглотительные особенности кожи. Когда шел дождь, кожа разбухала, мяч становился очень тяжелым и опасным. Существовали и другие проблемы — невозможно было сделать универсальную кожу животного происхождения. В течение только лишь одного состязания качество мячей могло сильно ухудшиться, падало качество самой игры.

После Второй мировой войны появилась прокладка между камерой и внешним покрытием. Сфера стала более прочной, а формы конструкции — правильнее. Но обшивка все еще часто рвалась из-за низкого качества кожаных покрытий.

 Итак, ранние мячи были со шнурками. Более поздние игровые снаряды были сделаны из сшитых в единое целое заплаток. Дизайнеры задумались о современном облике  нового футбольного мяча. Самое главное, чтобы внешний  вид  сразу отличал его от мячей для других игр (тенниса, волейбола, баскетбола). Дизайн нового мяча был основанном на проекте «Мяч Бакминстера», более известном как «Бакибол». Американский архитектор Ричард Бакминстер и не помышлял о футболе. Он всего лишь пытался придумать новые способы строительства зданий с использованием минимума материалов. А получилась гениальная структура, которую сегодня знает любой болельщик. 32 кусочка: 12 из них — черные пятиугольники, 20 — белые шестиугольники.

Первый такой мяч был произведён в Дании в 1950 году фирмой Select и получил в Европе широкое распространение. Всемирно стал употребляться после чемпионата мира 1970 года, на котором были такие мячи, произведённые фирмой Адидас.

3

Мяч «Telstar» Adidas стал первым «официальным» мячом на Кубке Мира в 1970 году в Мексике. Теперь к каждому большому состязанию разрабатывают новый уникальный футбольный мяч (Рис.4)

 Кожаный мяч Telstar был сшит вручную из 32 элементов – 12 пятиугольных и 20 шестиугольных панелей – и стал самым круглым мячом тех лет. Его дизайн навсегда вошел в историю футбола. Белый мяч, украшенный черными пятиугольниками – Telstar (Star of Television, «Телезвезда») гораздо лучше заметен на черно-белом экране. Этот мяч стал прототипом последующих поколений.

Рассматривая все мячи, я заметил, что их основой является один и тот же рисунок – правильные пятиугольники и шестиугольники.  Неужели  за 60 лет не было изобретено что-то новое? Конечно, этот дизайн – визитная карточка футбольного мяча, но его производство сложное, требует больших временных затрат. Чтобы сшить или склеить 32 лоскута кожи нужно терпение и время, ведь производство каждого мяча до сих пор не обходится без труда человека.  

Я подошел к проблеме: каким геометрическим телом является поверхность футбольного мяча? Можно ли создать новый футбольный мяч с другими лоскутками, чтобы его производство было экономичнее?

Объект исследования  -  футбольный мяч.

Предмет исследования – геометрическая  поверхность футбольного мяча.

Гипотеза.

·         Я предполагаю, что футбольный мяч является правильным или полуправильным многогранником сферической формы.

·         Существуют другие правильные и  полуправильные многогранники, среди которых можно выбрать дизайн нового футбольного мяча. Благодаря этому дизайну, мы получим более надежный в использовании и экономичный в производстве  мяч.

Цель исследования:

- найти  новый дизайн футбольного мяча через исследование  правильных и полуправильных многогранников или доказать, что его никогда не будет.

Задачи исследования:

- Изучить вопрос о правильных и полуправильных многогранниках в литературе

- Рассмотреть их применение в нашей жизни.

- Провести исследование по определению оптимального многогранника, подходящего для дизайна нового футбольного мяча.

4

Методы исследования: наблюдение, теоретический анализ,  моделирование, индуктивный метод.

2.Научная основа исследования

Правильным многогранником называется выпуклый многогранник, грани которого – равные правильные многоугольники, а двугранные углы при всех вершинах равны между собой. Доказано, что в каждой из вершин правильного многогранника сходится одно и то же число граней и одно и то же число ребер.                   

Названия правильных многогранников пришли из Греции. В дословном переводе с греческого "тетраэдр", "октаэдр", "гексаэдр", "додекаэдр", "икосаэдр" означают: "четырехгранник", "восьмигранник", "шестигранник". "двенадцатигранник", "двадцатигранник".  Правильные многогранники с древних времен привлекали к себе внимание ученых, строителей, архитекторов и многих других. Их поражала красота, совершенство, гармония этих многогранников. Пифагорейцы считали эти многогранники божественными и использовали их в своих философских сочинениях о существе мира. Подробно описал свойства правильных многогранников древнегреческий ученый Платон (427 – 348гг. до н.э.). Именно поэтому правильные многогранники называются также телами Платона. Правильным многогранникам посвящена последняя XIII книга знаменитых «Начал» Евклида(Рис. 6)

  В эпоху  Возрождения большой интерес к формам правильных многогранников проявили скульпторы, архитекторы, художники. Леонардо да Винчи (1452-1519), например, увлекался теорией многогранников и часто изображал их на своих полотнах. Так, он проиллюстрировал изображениями правильных и полуправильных многогранников книгу своего друга монаха Луки Пачоли (1445-1514) «О божественной пропорции».

  Другим знаменитым художником эпохи Возрождения, также увлекавшимся геометрией, был Альбрехт Дюрер (1471-1528). В его известной гравюре «Меланхолия»   на переднем плане изображен додекаэдр   В 1525 году Дюрер написал тракт, в котором представил пять правильных многогранников, поверхности которых служат хорошими моделями перспективы.

  Иоганн Кеплер (1571-1630) в своей работе «Тайна мироздания» в 1597 году, используя правильные многогранники, вывел принцип, которому подчиняются формы и размеры орбит планет Солнечной системы. Геометрия Солнечной системы, по Кеплеру, заключалась в следующем: «Земля (имеется в виду орбита Земли) есть мера всех орбит. Вокруг нее опишем додекаэдр. Описанная вокруг додекаэдра сфера есть сфера Марса.

5

Вокруг сферы Марса опишем тетраэдр. Описанная вокруг тетраэдра сфера есть сфера Юпитера. Вокруг сферы Юпитера опишем куб. Описанная вокруг куба сфера есть сфера Сатурна. В сферу Земли вложим икосаэдр. Вписанная в него сфера есть сфера Меркурия». Такая модель Солнечной системы получила название «Космического кубка» Кеплера 

  Вслед за Евклидом изучением пяти правильных многогранников занимался Архимед (287-212гг. до н.э). Убедившись в том, что нельзя построить шестой правильный многогранник, Архимед стал строить многогранники, у которых гранями являются правильные, но не одноименные многоугольники, а в каждой вершине, как и у правильных многогранников, сходится одно и то же число ребер. Так он получил 13 равноугольно полуправильных многогранников. До нас дошла работа самого ученого «О многогранниках», в которой подробно описаны и даны рисунки всех 13 многогранников, названных в честь ученого телами Архимеда.               Таким образом, изучение всех видов многогранников начиналось в глубокой древности, но особое внимание учёных – математиков привлекали правильные, полуправильные и звёздчатые многогранники.

      Ни одно геометрическое тело не обладают таким совершенством и красотой, как правильные многогранники. "Правильных многогранников вызывающе мало, - написал когда-то Л. Кэролл, - но этот весьма скромный по численности отряд сумел пробраться в самые глубины различных наук".  

              А) «Платоновы» тела - правильные многогранники

  Наиболее простым  правильным многогранником является треугольная пирамида, гранями которой являются правильные треугольники.   В каждой ее вершине сходится по три грани. Имея всего четыре грани, этот многогранник называется также тетраэдром, что в переводе с греческого языка означает четырехгранник.

  Многогранник, гранями которого являются правильные треугольники и в каждой вершине сходится четыре грани, а   его поверхность состоит из восьми правильных треугольников,    называется октаэдром.

            Многогранник, в каждой вершине которого сходятся пять правильных треугольников, а  его поверхность состоит из двадцати правильных треугольников,   называется икосаэдром.

Заметим, что поскольку в вершинах выпуклого многогранника не может сходиться более пяти правильных треугольников, то других правильных многогранников, гранями которых являются правильные треугольники, не существует. Аналогично, поскольку в вершинах выпуклого многогранника может сходиться только три квадрата, то, кроме куба,   

6

других правильных многогранников, у которых гранями являются квадраты, не существует. Куб имеет шесть граней и поэтому называется также гексаэдром.

            Многогранник, гранями которого являются правильные пятиугольники и в каждой вершине сходится три грани, а его поверхность состоит из двенадцати правильных пятиугольников,   называется додекаэдром.

            Великий древнегреческий ученый Платон, живший в IV-V вв. до н. э. и его ученики в своих работах уделяли большое внимание правильным многогранникам, и их поэтому еще называют "платоновыми телами". Они  считали, что эти тела олицетворяют сущность природы. Человечеству были известны четыре стихии: огонь, вода, земля и воздух. По мнению Платона их атомы имели вид правильных многогранников: огня — тетраэдр, земли  — гексаэдр, воздуха  —октаэдр, воды  — икосаэдр. Но оставался еще додекаэдр, для которого отсутствует полное соответствие. Платон предположил, что существует еще одна сущность- мировой эфир, атомы которого имеют вид додекаэдра.

            Возникает вопрос: «Какими соображениями руководствовался Платон, приписывая частицам огня форму тетраэдра, частицам земли – форму куба и т.д.?». Здесь он учитывает чувственно-воспринимаемые свойства соответствующих стихий. Огонь – наиболее подвижная стихия, он обладает разрушительным действием, проникая в другие тела (сжигая или расплавляя, или испаряя их); при соприкосновении с ним мы испытываем чувство боли, как если бы мы укололись или порезались.

            Какие частицы могли бы обусловить все эти свойства и действия? Очевидно, наиболее подвижные и легкие частицы, и притом обладающие режущими гранями и колющими углами. Из четырех многогранников, о которых может идти речь, в наибольшей степени удовлетворяет тетраэдр. Поэтому, говорит Платон, образ пирамиды (т.е. тетраэдра) и должен быть в согласии с правильным рассуждением и с правдоподобием, первоначалом и семенем огня. Наоборот, земля выступает в нашем опыте как самая неподвижная и устойчивая из всех стихий. Поэтому частицы, из которых она состоит, должны иметь самые устойчивые основания. Из всех четырех тел этим свойством в максимальной мере обладает куб.  Аналогичным образом с двумя прочими стихиями мы соотнесем частицы, обладающие промежуточными свойствами. Икосаэдр, как самый обтекаемый, представляет частичку воды, октаэдр – частицу воздуха. Пятый многогранник – додекаэдр – воплощал в себе «все сущее», символизировал весь мир и почитался главнейшим.

Б) «Архимедовы» тела – полуправильные многогранники

7

В предыдущей главе я рассмотрел правильные многогранники, т.е. такие выпуклые многогранники, гранями которых являются равные правильные многоугольники и в каждой вершине которых сходится одинаковое число граней. Если в этом определении допустить, чтобы гранями многогранника могли быть различные правильные многоугольники, то получим многогранники, которые называются полуправильными (рис.7)

  Полуправильным многогранником называется выпуклый многогранник, гранями которого являются правильные многоугольники, возможно, и с разным числом сторон, причем в каждой вершине сходится одинаковой количество граней. К полуправильным многогранникам относятся правильные n – угольные призмы, все ребра которых равны. Например, правильная пятиугольная призма   имеет своими гранями два правильных пятиугольника – основания призмы – и шесть квадратов, образующих боковую поверхность призмы. К полуправильным многогранникам относятся и так называемые антипризмы.     Пятиугольная антипризма получена из пятиугольной призмы поворотом одного из оснований относительно другого на угол 36°. Каждая вершина верхнего и нижнего оснований соединена с двумя ближайшими вершинами другого основания. Кроме этих двух бесконечных серий полуправильных многогранников имеется еще 13 полуправильных многогранников, которые впервые открыл и описал Архимед – это тела Архимеда. Самые простые из них получаются из правильных многогранников операцией «усечения», состоящей в отсечении плоскостями углов многогранника. Если срезать углы тетраэдра плоскостями, каждая из которых отсекает третью часть его ребер, выходящих из одной вершины, то получим усеченный тетраэдр, имеющий 8 граней.   Из них четыре – правильные шестиугольники и четыре – правильные треугольники. В каждой вершине этого многогранника сходятся три грани. Если указанным образом срезать вершины октаэдра и икосаэдра, то получим соответственно усеченный октаэдр  ) и усеченный икосаэдр.   Из куба и додекаэдра также можно получить усеченный куб  и усеченный додекаэдр.   

  Для того чтобы получить еще один полуправильный многогранник, проведем в кубе отсекающие плоскости через середины ребер, выходящих из одной вершины. В результате получим полуправильный многогранник, который называется кубооктаэдром.   Его гранями являются шесть квадратов, как у куба, и восемь правильных треугольников, как у октаэдра. Отсюда и его название – кубооктаэдр.

  Аналогично, если в додекаэдре отсекающие плоскости провести через середины ребер, выходящих из одной вершины, то получим многогранник, который называется икосододекаэдром.  У него двадцать граней – правильные треугольники и двенадцать граней – правильные пятиугольники, т.е. все грани икосаэдра и додекаэдра.

8

К последним двум многогранникам снова можно применить операцию усечения. Получим усеченный кубооктаэдр   и усеченный икосододекаэдр.  

  Мы рассмотрели 9 из 13 описанных Архимедом полуправильных многогранников. Четыре оставшихся – многогранники более сложного типа. Поверхность ромбокубооктаэдра состоит из граней куба и октаэдра, к которым добавлены еще 12 квадратов. Поверхность ромбоикосододекаэда   состоит из граней икосаэдра, додекаэдра и еще 30 квадратов.  Есть ещё так называемые плосконосый иногда называют курносый) куб и плосконосый (курносый) додекаэдр, поверхности которых состоят их граней куба или додекаэдра, окруженных правильными треугольниками состоят из двух типов граней: квадраты и треугольники; пятиугольники и треугольники.

В). Звёздчатые многогранники или тела Кеплера - Пуансо

  Кроме правильных и полуправильных многогранников красивые формы имеют так называемые правильные звездчатые многогранники (Рис.8). Они получаются из правильных многогранников  продолжением граней или ребер аналогично тому, как правильные звездчатые многоугольники получаются продолжением сторон правильных многоугольников.

  Первые два правильных звездчатых многогранника были открыты И. Кеплером, а два других почти 200 лет спустя построил французский математик и механик Л. Пуансо (1777 – 1859). Именно поэтому правильные звездчатые многогранники называются телами Кеплера – Пуансо.

В работе «О многоугольниках и многогранниках» (1810) Пуансо описал четыре правильных звездчатых многогранника, но вопрос о существовании других таких многогранников оставался открытым. Ответ на него был дан год спустя, в 1811 году, французским математиком О. Коши (1789 – 1857). В работе « Исследование о многогранниках» он доказал, что других правильных звездчатых многогранников не существует.

  Рассмотрим вопрос о том, из каких правильных многогранников можно получить правильные звездчатые многогранники. Из тетраэдра, куба и октаэдра правильные звездчатые многогранники не получаются. Возьмем додекаэдр. Продолжение его ребер приводит к замене каждой грани звездчатым правильным пятиугольником,   и в результате возникает многогранник, который называется малым звездчатым додекаэдром .  

  При продолжении граней додекаэдра возникают две возможности. Во – первых, если рассматривать правильные пятиугольники, то получится большой додекаэдр.   Если же, во –

9

вторых, в качестве граней рассматривать звездчатые пятиугольники, то получается большой звездчатый додекаэдр.  Икосаэдр имеет одну звездчатую форму. При продолжении граней правильного икосаэдра получается большой икосаэдр.  

  Таким образом, существуют 4 типа правильных звездчатых многогранников.

  Кроме правильных звездчатых многогранников существуют и другие звездчатые формы, получающиеся продолжением граней правильных и полуправильных многогранников. Так, продолжения граней кубооктаэдра приводят к четырем звездчатым многогранникам. Первый из них   получается достраиванием на гранях кубооктаэдра треугольных пирамид и представляет собой соединение куба и октаэдра. Следующая звездчатая форма кубооктаэдра     образована из соединения куба и октаэдра добавлением 24 бипирамид. Третья звездчатая форма кубооктаэдра   представляет собой соединение шести четырехугольных пирамид, основаниями которых служат квадраты.  Последняя звездчатая форма кубооктаэдра  является соединением звезды Кеплера     и трех правильных четырехугольных призм, общей частью которых служит исходный куб.

Икосододекаэдр имеет 19 звездчатых форм. Наконец, икосаэдр имеет 59 звездчатых форм.  

  Многие формы звездчатых многогранников подсказывает сама природа. И люди пользуются этими подсказками, создавая вокруг себя настоящие шедевры в форме многогранников.

6. Моделирование правильных многогранников

Выкройки правильных многогранников называются развертками.

На рисунке 5 представлены развертки всех правильных многогранников. Вырезая и склеивая развертки, можно получить эти тела.

7. Исследование дизайна футбольного мяча

Итак, стандарт FIFA определяет качество и параметры футбольного мяча:

• имеет сферическую форму
• изготовлен из кожи или другого пригодного для этих целей материала
• имеет длину окружности не более 70 см (28 дюймов) и не менее 68 см (27 дюймов). Стандартный размер мяча 5 (англ. Size 5).
• на момент начала матча весит не более 450 г (16 унций) и не менее 410 г (14 унций). Вес указываетcя для сухого мяча. имеет давление, равное 0,6 -1,1 атмосферы (600—1100 г/кв. см) на уровне моря (от 8,5 фунта/кв. дюйм до 15,6 фунта/кв. дюйм)

10

Логично предположить, что из правильных, полуправильных  и звездчатых многогранников более приближены к форме шара полуправильные многогранники, поэтому кожи на производство мячей такой формы будет затрачено меньше. Правильные многогранники, натянутые на сферы,  должны быть изготовлены из наиболее долгоноского материала, притом, если многогранник очень отличается от формы сферы, то материал, из которого будет сделан мяч, при растяжении утончится и разорвется.

Вывод: из всех многогранников только полуправильные многогранники могут быть дизайном футбольного мяча.

Большое значение при выборе дизайна мяча будет иметь количество и длина швов, которыми скрепляются лоскутки мяча, то есть грани многогранника. Если количество швов или их размеры будет большим, то вода, попадая через них,  утяжелит мяч, что повлияет на ход игры и не будет соответствовать стандартам FIFA.

Рассмотрим полуправильные многогранники.

Во-первых, отклоним те из них, которые меньше всего по форме похожи на шар.

Из оставшихся 6 полуправильных многогранников выберем те, в которых длина швов и их количество будет наименьшим.

Для этого выполню следующие шаги исследования:

1. Сконструирую развертки полуправильных многогранников: ромбоикосододекаэдр,  ромбоусеченный кубооктаэдр, курносый додекаэдр, усеченный икосаэдр, усеченный додекаэдр, усеченный икосододекаэдр        

2. Подсчитаю виды многоугольников, которые являются гранями, и их количество.

3. Подсчитаю количество  ребер и граней.

4. Оформлю результаты в табличной форме.

5. Проанализирую данные и выберу те полуправильные многогранники, которые будут содержать меньшее число граней и ребер.

11

8. РЕЗУЛЬТАТЫ  ИССЛЕДОВАНИЯ

Полуправильный многогранник	Развертка	Треугол	Квадраты	Пятиугол	Шестиуг	Восьмиугол	Десятиугол	Р	Г
Ромбоикосододекаэдр		20	30	12	-	-	-	120	62
Ромбоусеченный кубооктаэдр		-	12	-	8	6	-	72	26
Курносый додекаэдр		80	-	12	-	-	-	150	92
Усеченный икосаэдр		-	-	12	20	-	-	90	32
Усеченный додекаэдр		20	-	-	-	-	12	90	32

12

Усеченный икосододекаэдр

-

30

-

20

-

12

180

62

Итак, считая ребра всех многогранников в среднем равной длины (длина окружности мяча около 70 см), можно сделать вывод: ромбоусеченный кубооктаэдр, усеченный додекаэдр и усеченный икосаэдр могут быть геометрическими моделями футбольного мяча сферической формы, причем  наименьшее число ребер и граней у ромбоусеченного кубооктаэдра. Путем подсчета можно увидеть, что на 20% меньше, чем у усеченного икосаэдра число ребер и на 18,75% меньше число граней. Значит форма ромбоусеченного кубооктаэдра наиболее экономичная для модели футбольного мяча сферической формы.

Известно, что современные футбольные мячи в основном черно-белой раскраски. Это связано с тем, что первые футбольные матчи транслировались по черно-белому телевизору, и черно-белый мяч был болельщикам хорошо заметен. Дизайн нашего  мяча может состоять из трех цветов, так как ромбоусеченный кубооктаэдр состоит из трех различных многоугольников: квадратов, шестиугольников и восьмиугольников. Поэтому можно использовать белый цвет, чтобы мяч было видно в темноте, черный – чтобы его было видно из-под снега и оранжевый -  чтобы позволял зрителям лучше видеть мяч во время снегопада (Рис. 9)

13

 9. Заключение

В начале своей работы я поставил проблему: каким геометрическим телом является поверхность футбольного мяча? Можно ли создать новый футбольный мяч с другими лоскутками, чтобы его производство было экономичнее?

Рассмотрев теорию о  правильных и полуправильных многогранниках, я  увидел, что современный футбольный мяч, используемый в матчах всего мира уже более 60 лет, имеет форму сферического усеченного икосаэдра.

Я поразился красотой правильных и полуправильных многогранников. Они самые выгодные фигуры. И природа этим широко пользуется.   Благодаря правильным многогранникам открываются не только удивительные свойства геометрических фигур, но и пути познания природной гармонии, практическое использование полученных знаний во многих науках. Таких как – геология и геодезия (кристаллы и их структура), биология и генетика (строение клеток и минеральный состав)  культурное развитие общества(развлечение, живопись, архитектура).   Правильные и полуправильные  многогранники открыли нам попытки ученых приблизиться к тайне мировой гармонии и показали неотразимую привлекательность геометрии.

Из всех многогранников более приближены к сферической форме полуправильные многогранники, поэтому форму футбольного мяча я выбирал среди них.

Учитывая тот факт, что до сих пор футбольные мячи клеят вручную из натуральной кожи  и качество мяча зависит от  прочности кожи и швов, я рассмотрел, какие многогранники не  превосходят усеченный икосаэдр по количеству граней и ребер, ведь известно, что чем меньше ребер, тем меньше сложность работы по сбору каркаса мяча, а так же и лучше герметичность.  Согласно требованиям FIFA, она должна составлять от 420 до 445 г., и практически не увеличиваться в дождливую погоду за счет проникновения жидкости в швы.

Проведя исследование, я пришел к выводу, что ромбоусеченный кубооктаэдр, усеченный додекаэдр и усеченный икосаэдр могут быть геометрическими моделями футбольного мяча сферической формы, причем  наименьшее число ребер и граней у ромбоусеченного кубооктаэдра ( на 20% меньше, чем у усеченного икосаэдра число ребер и на 18,75% меньше число граней) и  форма сферического ромбоусеченного кубооктаэдра наиболее экономичная для модели футбольного мяча.

Считаю, что полученный новый облик футбольного мяча – это не только новое веяние современного футбола, но и более экономичный проект. Хотелось бы, чтобы в будущем

14

съэкономленные деньги на изготовлении мячей пошли на финансирование детских команд в селах и поселках, в том числе и той,  в которую я вхожу.

Проблема, поставленная в начале работы решена, цель достигнута.

                         Литература.

1. И. М. Смирнова, В. А. Смирнов «Геометрия. Учебник 7-9 классы», М,  «Мнемозина», 2005 год.

2. Википедия – свободная энциклопедия.

3. www.1september.ru

4. http://www.alleng.ru/edu/math3.htm

I

ПРИЛОЖЕНИЕ

                                                   

                    Рис.1                                                                             Рис.2

Мяч, сделанный около 450 лет назад                              Футбольный мяч 19 века

                             Рис.3

Изменение дизайна футбольного мяча

      

Мексика-1970             Германия-1974           Аргентина- 1978                Испания-1982

II

                                
                                    США -1994                   Франция-1998           Япония и Корея 2002

Рис.4

Официальные мячи чемпионатов мира по футболу разных лет

Рис.5

Развертки правильных многогранников

III

Куб                                                          Тетраэдр

 

Октаэдр                                                Икосаэдр                               

                         Додекаэдр

Рис. 6.

Правильные многогранники

IY

                                        

                Усеченный октаэдр          Усеченный икосаэдр                 Усеченный додекаэдр

                                             

                    Усеченный куб                   Усеченный тетраэдр           Усеченный кубооктаэдр

                                                        

Усеченный икосододекаэдр         Ромбокубооктаэдр          Ромбоикосододекаэдр

                             

                                   Курносый куб                                    Курносый додекаэдр

Рис.7.

Полуправильные многогранники

 Y

Рис. 8

Звездчатые многогранники

Рис.9

Футбольный мяч будущего в руках у автора