Исследовательская работа по математике "Универсальная формула Симпсона" (11 класс)

Российская Федерация

Ханты-Мансийский автономный округ - Югра

(Тюменская область)

МУНИЦИПАЛЬНОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

САРАНПАУЛЬСКАЯ  СРЕДНЯЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА

628148 ул. Вокуева, 12 с.п.Саранпауль Ханты-Мансийского автономного округа, Тюменской области, Березовского района

Тел.45-888 Факс 45-890

 

Исследовательская работа по геометрии

Автор: Селяева Евгенья,

ученица 11А класса

Руководитель: Петренко А.В.,

учитель  математики

Саранпауль - 2007

СОДЕРЖАНИЕ

1. Актуализация ………………………………………………………………………..  3

А) Проблема ……………………………………………………………………………… 6

Б) Гипотеза ………………………………………………………………………………...6

В) Цель работы …………………………………………………………………………… 6

Г) Задачи …………………………………………………………………………………...6

2. Применение формулы Симпсона для вывода формул площадей плоских фигур…7

Задача 1. Площадь параллелограмма ……………………………………………………. 7

Задача 2. Площадь трапеции ………………………………………………………………7

Задача 3. Площадь треугольника …………………………………………………………. 8

Задача 4. Площадь квадрата ………………………………………………………………. 9

Задача 5. Площадь прямоугольника ……………………………………………………...10

Задача 6. Площадь ромба ………………………………………………………………….11

Задача 7. Площадь круга …………………………………………………………………..12

3. Применение формулы Симпсона для вывода формул объемов

пространственных тел ……………………………………………………………………12

Задача 1. Объем призмы ………………………………………………………………….12

Задача 2.  Объем цилиндра ……………………….………………………………………14

Задача 3. Объем пирамиды ……… ……………………………………………………… 15

Задача 4. Объем конуса …….. …………………………………………………………… 16

Задача 5. Объем усеченного конуса ... ……………………………………………………18

Задача 6. Объем шара …….……………………………………………………………..…19

4. Заключение ……………………………………………………………………………..21
5. Литература ……………………………………………………………………………..22

1.Актуализация

Учащиеся школы на протяжении всех лет учебы на уроках алгебры, геометрии, физики, химии сталкиваются с огромным количеством различных формул. По моим подсчетам их более 500.

Среди учащихся 11 классов я провела исследование и опрос.

Цель исследования: определение количества формул, которые учащиеся могут воспроизвести без повторения за 10 минут, т.е. объема «остаточных» формул.

Результаты оказались следующими:

Диаграмма 1.

Определение количества «остаточных» формул

Наибольшее количество воспроизведенных формул – 33, наименьшее – 3. Учитывая то, что количество формул могло достигать 500 за неограниченное время, я пришла к выводу, что огромное количество формул, изучаемых в школе, учащиеся не помнят. Воспроизведенные формулы составляют лишь 3,6 % от общего количества изученных формул. Чаще всего учащиеся воспроизводили формулы по алгебре (формулы тригонометрии, логарифмические формулы, формулы сокращенного умножения, формула корней квадратного уравнения, производные); по геометрии (формулы площадей плоских фигур, некоторые объемы пространственных тел); несколько формул по физике (формула кинетической энергии, силы тяжести) и  химии (молярная масса вещества). Это было естественно, т.к. в математике формул больше, чем в любой другой науке. 

Увидев полученные результаты, я решила определить причины столь низкого результата. Мною был проведен опрос учащихся 11 классов, в котором предлагалось ответить на следующие вопросы:

Вопросы анкеты.

1. Как Вы считаете, сколько примерно формул должен знать выпускник школы?
2. Какой способ для запоминания формул Вы используете?

А) зазубривание

Б) понимание

В) метод ассоциаций

Г) другое

3. Считаете ли Вы, что количество формул для заучивания соответствует уровню памяти среднего ученика?

4. Считаете ли Вы, что для лучшего запоминания многих формул нужно использовать какую-нибудь одну универсальную формулу?

Результаты оказались следующими.

Вопрос 1. От 30 до 1000

Вопрос 2.

Диаграмма 2.

Методы запоминания формул

Из полученных ответов можно сделать вывод, что учащиеся 11 классов при заучивании формул стараются их понять или применяют зазубривание.

Вопрос 3.

Диаграмма 3.

Соответствие количества формул уровню памяти среднего ученика

Мнение двух классов по данному вопросу разошлись, хотя по диаграмме видно, что в основном отвечали «нет», т.е. учащиеся считают, что количество формул для запоминания не соответствуют уровню памяти среднего ученика.

Вопрос 4.

Диаграмма 4.

Необходимость применения универсальной формулы

Ответы на четвертый вопрос оказались практически одинаковыми: учащиеся 11-х классов хотели бы использовать вместо множества формул только одну - универсальную. 

Я во многом согласна с мнением одиннадцатиклассников, считаю, что замена многих формул по какой-то одной теме универсальной формулой поможет лучше запомнить данную формулу и при необходимости ее применить.

Например, рассматривая формулы по геометрии, я убедилась, что огромное количество формул связано с площадями и объемами фигур. Таких формул более двенадцати по площадям плоских фигур и более десяти по объемам пространственных тел.

Проблема.

Необходимо ввести в преподавание геометрии универсальную формулу, позволяющую заменить большое количество формул площадей плоских фигур и объемов пространственных тел.

Гипотеза.

В XYIII веке английский математик Томас Симпсон вывел формулу для нахождения некоторых площадей плоских фигур и объемов пространственных тел через вычисление площадей нижнего, верхнего и среднего основания.

Я предполагаю, что данная универсальная формула позволит заменить все названные формулы и позволит легко их запомнить.

Цель работы: доказать, что универсальная формула Симпсона может заменить все изучаемые формулы площадей и объемов в школьном курсе геометрии.

Задачи работы:

1. Изучить имеющуюся литературу по данной теме.
2. Используя универсальную формулу, вывести формулы площадей и объемов для всех фигур и тел.
3. Сравнить полученные формулы с формулами, предлагаемыми в учебнике.
4. Показать, что универсальная формула позволяет легко, в отличие от приведенных в учебнике доказательств,  выводить сложные формулы объемов тел вращения, не применяя определенный интеграл.

2. Применение формулы Симпсона для вывода формул площадей плоских фигур.

Задача 1.Площадь параллелограмма.

Дано: АВСД – параллелограмм;

           ВH = h – высота;

           АД = b₁ – длина нижнего основания;

           РQ = b₂ – длина среднего основания;

           ВС = b₃ – длина верхнего основания.

Найти: S параллелограмма.

Решение:    

                                       Наша универсальная формула.

b₁ = b₂ =b₃, тогда получаем:

                                                        

Ответ:  S= hb₁

Вывод. Действительно, площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту.

Задача 2. Площадь трапеции.

Дано: АВСД – трапеция;

           ВH = h – высота;

           АД = b₁ – длина нижнего основания;

           РQ = b₂ – длина среднего основания;

           ВС = b₃ – длина верхнего основания.

Найти: S трапеции.

Решение:

                                                     Универсальная формула.

 

               Т.к АВСД-трапеция, то b₂ – ее средняя линия, значит                           

               Тогда получаем:

 

Ответ:

Вывод. Действительно, площадь трапеции равна половине произведения двух оснований на высоту.

Задача 3.Площадь треугольника.

Дано: АВС – треугольник;

          АС= b₁- длина нижнего основания;

          ВН=h- высота;

          PQ=b₂- длина среднего основания:

           b₃- длина верхнего основания.

Найти:  S _∆АВС.

Решение:         

                                                   Универсальная формула.

                b₃=0, так как верхнее основание является точкой.

Т.к. b₂- является в треугольнике средней линией, то  ,

                тогда получаем:

                

 

Ответ:

Вывод. Действительно, площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту.

Задача 4.Площадь квадрата.

Дано: АВСД – квадрат:

          СД = h – высота;

           АД = b₁ – длина нижнего основания;

           РQ = b₂ – длина среднего основания;

           ВС = b₃ – длина верхнего основания.

Найти: Sквадрата АВСД.

Решение:

                                                       Универсальная формула.

                   Т.к. АВСД - квадрат, то b₁=b₂=b₃=h, тогда получаем

 

Ответ:

Вывод. Действительно, площадь квадрата равна квадрату его стороны.

Задача 5. Площадь прямоугольника.

Дано: АВСД – прямоугольник;

           СД = h – высота;

           АД = b₁– длина нижнего основания;

           РQ = b₂ – длина среднего основания;

           ВС = b₃ – длина верхнего основания.

Найти: Sпрямоугольника АВСД.

Решение:

                                                       Универсальная формула.

                 Т.к. АВСД – прямоугольник, то b₁=b₂=b₃, тогда получаем:

                                                                             

Ответ: S=hb₁.

Вывод. Действительно, площадь прямоугольника равна двух смежных сторон.

Задача 6. Площадь ромба.

Дано: АВСД – ромб;

          СД= b₁ -  длина нижнего основания;

          PQ= b₂- длина среднего основания;

          АВ= b₃- длина верхнего основания;

          АН= h- высота.

Найти: Sромба АВСД.

Решение:                                      Универсальная формула.

            

                 b₁=b₂=b₃, тогда получаем:

   Ответ:

Вывод. Действительно, площадь ромба, как и параллелограмма, равна произведению его стороны на высоту, проведенной к этой стороне.

А В                                   С                    D

Задача 7. Площадь круга.  

Дано: Круг, b₁- длина нижнего основания,

                    b₂=BC – длина среднего основания,

                   b₃ – длина верхнего основания

Найти: S круга

Решение.

. Универсальная формула.

 

Так как b₁ и b₃ – точки, то их длины равны 0, а высота является диаметром, равным b₂.

Сравнивая полученный результат S≈0,67D² с результатом, полученным по известной формуле  S=ПR²≈0,785D², можно сделать вывод. Так  как площадь круга всегда значение приближенное, то полученная формула может дать практически тот же результат с некоторой погрешностью.

Вывод: Универсальная формула Симпсона подошла для вычисления площадей таких плоских фигур как: параллелограмм, трапеция, треугольник, квадрат, ромб, прямоугольник, а площадь круга по ней можно вычислить только с некоторой погрешностью.

3. Применение формулы Симпсона для вывода формул объемов пространственных тел.

Задача 1. Объем призмы.

Применение формулы Симпсона Дано: Призма.            h- высота            b1- площадь нижнего основания:            b2 –площадь среднего сечения:            b3 – площадь верхнего основания. Найти: Vпризмы. Решение:  Т.к. b1=b2=b3, тогда получаем: Ответ: V=b1h

Доказательство, предложенное в учебнике геометрии авт. Л.С.Атанасяна

Вывод. Действительно, объем призмы равен произведению площади основания на высоту.

Задача 2. Объем цилиндра.

Дано: Цилиндр

           h- высота

           b₁- площадь нижнего основания:

           b₂ –площадь среднего сечения:

           b₃ – площадь верхнего основания.

Найти:  Vцилиндр.

Решение:                

Т.к. b₁=b₂=b₃, тогда получаем:

Ответ: V=b₁h

Доказательство, предложенное в учебнике геометрии авт. Л.С.Атанасяна

Вывод. Действительно, объем цилиндра равен произведению площади основания на высоту.

Задача 3. Объем пирамиды.

Дано: пирамида:

           h- высота

           b₁- площадь нижнего основания:

           b₂ –площадь среднего сечения:

           b₃ – площадь верхнего основания.

Найти:Vпирамиды.

Решение:

                  Т.к b₃=0, а   ,  то тогда получаем:

Ответ:

Доказательство, предложенное в учебнике геометрии авт. Л.С.Атанасяна

Вывод. Действительно, объем пирамиды равен одной трети произведения площади основания на высоту.

Задача 4. Объем конуса

Дано: конус

               h- высота

           b₁ - площадь нижнего основания:

           b₂ –площадь среднего сечения:

           b₃ –площадь верхнего основания.

Найти:Vконуса.

Решение:

 

                  Т.к b₁=0, а                ,то тогда получаем:

Ответ:

Доказательство, предложенное в учебнике геометрии авт. Л.С.Атанасяна

Вывод. Действительно, объем конуса равен одной трети произведения площади основания на высоту.

Задача 5.Объем усеченного конуса

Дано: усеченный конус.

            h- высота

           b₁ - площадь нижнего основания:

           b₂ –площадь среднего сечения:

           b₃ –площадь верхнего основания.

Найти:Vусеченного.конуса.

Решение:

 

               

 

                    Тогда получаем:    

                                                                                                                                                           

 

Ответ:

Вывод. Выведенная формула полностью совпадает с формулой, предложенной в учебнике.

Задача 6. Объем шара.

Дано: шар

            h- высота

           b₁- площадь нижнего основания:

           b₂ –площадь среднего сечения:

           b₃ – площадь верхнего основании

Найти: Vшара.

Решение: Т.к. b₁=b₃=0,   

                        H=2R   

                Тогда получаем:     

 

Ответ:                            

Доказательство, предложенное в учебнике геометрии авт. Л.С.Атанасяна

                  

Вывод: Формулы объемов всех пространственных тел, изучаемые в 11-м классе,  также легко выводятся с помощью универсальной формулы Симпсона.

4. Заключение

За время обучения в школе, учащиеся должны знать огромное количество формул по разным предметам. Проведенный мной опрос показал, что не все учащиеся могут запомнить все эти формулы. Я столкнулась с проблемой: необходимо ввести в преподавание геометрии универсальную формулу, позволяющую заменить большое количество формул площадей плоских фигур и объемов пространственных тел, т.е формулу, пригодную для многих целей, выполняющую разнообразные функции.

Я предположила, что формула английского математика Томаса Симпсона

позволит заменить 13 формул площадей фигур и объемов тел одной формулой.

Я поставила перед собой цель:  доказать, что универсальная формула Симпсона может заменить все изучаемые формулы площадей и объемов в школьном курсе геометрии. Эту цель я раскрыла в нескольких задачах.

В результате своей работы я убедилась, что формула Симпсона позволяет легко и быстро доказать теоремы о площадях и объемах тел, не применяя определенный интеграл.

Для того, чтобы облегчить работу по запоминанию и выводу формул, я предлагаю перед изучением темы «Площади фигур» учителю познакомить учащихся  с формулой Симпсона, и предложить самостоятельно вывести изучаемые формулы. Доказательство, предложенное в учебнике, можно использовать учителю как дополнительный материал для урока или в качестве домашней работы.

Считаю, свою работу полезной, т.к. мною были выведены все формулы площадей и объемов изучаемых в школе.

5. Литература.

1. Я.И.Перельман. Занимательная алгебра. Занимательная геометрия. - М., «АСТ»,1999.
2. CD - ROM. Большая энциклопедия Кирилла и Мефодия, 2002.
3. Л.С. Атанасян и др. Геометрия 10-11 . Учебник для общеобразовательных учреждений,- М., «Просвещение», 2002.