Исследовательская работа "Симметрия - красота или необходимость?"

МБОУ Климовская средняя общеобразовательная школа №3

п. Климово, ул. Лесная, д. 30, телефон [phone]

Районный этап областной научно-практической конференции «Лаборатория открытий»

Номинация «Научно-исследовательская работа»

Симметрия в мире – красота или необходимость?

Работу выполнила:

учащаяся 8 «б» класса

КСОШ №3 Джалая  Анастасия  Отчество 12.12.2002 г.

Научный руководитель:

учитель математики  Сажнева Елена Викторовна

Оглавление

Введение……………………………………………………………………………3

Основная часть……………………………………………………………………5

Заключение………………………………………………………………………..19

Список литературы……………………………………………………………….20

Великая книга природы

говорит языком математики»

Галилео Галилей

         Введение: К понятию о симметрии мы привыкаем с детства. Мы знаем, что симметрична бабочка: у неё одинаковы правое и левое крылышки; симметрично колесо, секторы которого одинаковы; симметричны узоры орнаментов, звёздочки снежинок.

         Симметричными мы называем тела, которые состоят из равных, одинаковых частей. Эти части могут совмещаться друг с другом.

         Симметрия бывает разной. Какова, например, симметрия бабочки? Бабочка может сложить крылья, и тогда две её одинаковые половинки совмещаются. Это можно описать и иначе. Любое из двух крыльев бабочки как бы отражается в зеркале. Мы говорим, что половинки бабочки зеркально равны или, что бабочка обладает плоскостью симметрии.

         Если каждую точку данной фигуры сместить каким-нибудь образом, то мы получим новую фигуру. Говорят, что эта фигура получена преобразованием из данной. Преобразование одной фигуры в другую называется движением, если оно сохраняет расстояние между точками. Преобразование симметрии относительно точки и прямой является движением.

         Цель исследовательской работы: рассмотреть понятие симметрии в окружающей нас жизни, в частности симметрию относительно точки, прямой и плоскости; рассмотреть проявление симметрии в биологии, физике, химии, архитектуре и технике. Изучить необходимость проявления симметрии в живой природе и технических изделиях. Выявить значение принципа симметрии в деятельности человека.

Задачи:

- проследить связь между математикой и окружающей жизнью;

- раскрыть особенности симметрии в окружающем нас мире;

- рассмотреть необходимость симметрии в выживании биологических видов и надёжности технических изделий;

- дать целостное представление о законах симметрии окружающего мира, используя возможности математических и биологических законов.

         Объект исследования: растения, животные, технические изделия, архитектурные сооружения, обладающие симметрией.

         Предмет исследования: применение симметрии в окружающем нас мире.

         Гипотеза: Симметричные растения и животные лучше адаптируются к окружающей среде, а  симметрия технических и архитектурных сооружений  

Является гарантом их надёжности и красоты.

         Практическая значимость   исследования состоит в получении знаний о возможности решения технических и математических задач, с помощью применения явления симметрии.

         Методы исследования: знакомство и обработка литературных материалов, данных из Интернета, проведение экспериментальной работы, обработка результатов.

         Основная часть: Слово симметрия происходит от греческого слова, которое означает «такая же мера»

         Для  симметрии  важны, равенство, однообразие и пропорциональность.

         Если каждую точку данной фигуры сместить каким-нибудь образом, то мы получим новую фигуру. Говорят, что эта фигура получена преобразованием из данной. Преобразование одной фигуры в другую называется движением, если оно сохраняет расстояние между точками.   Преобразование симметрии относительно точки и прямой является движением.

         Если каждую точку данной фигуры сместить каким-нибудь образом, то мы получим новую фигуру. Говорят, что эта фигура получена преобразованием из данной. Преобразование одной фигуры в другую называется движением, если оно сохраняет расстояние между точками.   Преобразование симметрии относительно точки и прямой является движением.

         Посмотрите на кленовый лист, бабочку, снежинку. Их объединяет то, что они симметричны. Если прочертить вертикальную прямую вдоль центральной прожилки листа и поставить зеркальце вдоль прочерченной прямой, то отраженная в зеркальце половинка фигуры дополнит ее до целой (такой же, как исходная фигура). Поэтому такая симметрия назы­вается зеркальной (или осевой, если речь идет о плоскости). Прямая, вдоль которой поставлено зеркало, называется осью симметрии. Если симметричную фигуру сложить вдоль оси симметрии, то ее части совпадут.

Симметрия растений

          Рассматривая комнатные растения, я заметила, что листочки некоторых цветов потеряли свою симметричность, а стебли отклонились от оси. Меня заинтересовал вопрос, от чего зависит строение и форма растений и всегда ли им необходима симметричная форма листьев и стеблей? Для ответа на этот вопрос я и решила изучить материалы объясняющие наличие симметрии  в природе. Узнала, что специфика строения растений определяется особенностями среды обитания, к которой они приспосабливаются. У любого дерева есть основание и вершина, "верх" и "низ", выполняющие разные функции. Значимость различия верхней и нижней частей, а также направление силы тяжести определяют вертикальную ориентацию поворотной оси "древесного конуса" и плоскостей симметрии. Дерево при помощи корневой системы поглощает влагу и питательные вещества из почвы, то есть снизу, а остальные жизненно важные функции выполняются кроной, т.е., наверху. В то же время направления в плоскости, перпендикулярной к вертикали, для дерева фактически неразличимы; по всем этим направлениям к дереву в равной мере поступает воздух, свет, влага.

         Зеркальной симметрией обычно обладают листья растений, удивительно симметричны листья дуба, вербы, клена, крапивы.

Многие цветы обладают характерным свойством: цветок можно повернуть на некоторый угол так, что каждый лепесток займет положение соседнего, иными словами, цветок совместится сам с собой. Такой цветок обладает поворотной осью симметрии.

         А вот плоды достаточно правильной формы могут оказаться совмещенными сами с собой при повороте на любой, в том числе сколь угодно малый угол вокруг оси, идущей вдоль черенка (естественно, при условии некоторой идеализации их формы).

         Если внимательно приглядеться к стеблю растения, то окажется, что и здесь действует закон симметрии. Стебель обладает винтовой осью симметрии. У подсолнечника каждый листок появляется после поворота на 72°. Листья на стебле располагаются по спирали так, чтобы, не мешая друг другу, воспринимать солнечный свет. Сумма двух предыдущих шагов спирали, начиная с вершины, равна величине последующего шага.

         Листья располагаются на стволе по винтовой линии, чтобы не заслонять друг от друга солнечный свет.

         Оказывается, винтовое расположение листьев составлено из чисел ряда Фибоначчи, которые играют немаловажную роль в природе.

         Было обнаружено, что применяемая в ботанике для описания видов винтового расположения листьев на побеге, последовательность дробей, во-первых, составлена из чисел ряда Фибоначчи; во-вторых, построена так, что числитель и знаменатель любой дроби, начиная с третьей, равны сумме числителей и знаменателей двух предыдущих дробей;

         Кроме того, выявилось, что последовательность дробей,

применяемая в ботанике же для описания спирального расположения семянок в головках подсолнечника или чешуи в сосновых шишках, так же составлена из чисел ряда Фибоначчи; построена так же, как и предыдущий ряд, только здесь знаменатель одной дроби равен числителю другой дроби, следующей за нею непосредственно; стремится к пределу

0,61803…

то есть золотому сечению единичного отрезка; (если отрезок АВ единичной длины разделить на две части так, что отношение большей части (АС=х) к меньшей части (СВ= 1-х) будет равно отношению всего отрезка (АВ=1) к большей части отрезка, такое деление называется золотым сечением).

Симметрия у живых организмов

Симметрия у живых организмов служит не только для красоты; она прежде всего связана с приспособлением их к окружающему миру, с их жизнестойкостью.

         Плоские черви.  Черви обладают двусторонней симметрией, т.е., только разрезав их в одной определенной плоскости, можно получить половины, зеркально отражающие одна другую; у них четко выражены правая и левая стороны, верхняя и нижняя поверхности и передний и задний концы тела. При двусторонней симметрии тело обладает ясно выраженной осью, что сочетается с эволюцией обтекаемой формы и эффективной локомоции (перемещение животных (в том числе человека) в пространстве: в водной среде, воздушной среде, по твердой поверхности, в плотной среде).

         Членистоногие. Характерная черта членистоногих - наличие сег­ментированного наружного скелета. Среди хорошо известных морских форм можно назвать раков, крабов, креветок и морских желудей. Двусторонне-симметричные элементы панциря членистоногого, напоминающие рыцарские доспехи, соединены между собой та­ким образом, что он может сгибаться в местах сочленения, обеспечивая живот­ному достаточную гибкость.

         Иглокожие. Среди камней и водорослей в лужах приливно-отливной зоны всегда можно увидеть морских звезд, морских ежей все они относятся к группе иглокожих.

         Для большинства иглокожих типична 5-лучевая симметрия; число лучей и других структур, располагающихся вокруг центрального диска, чаще всего равно у них пяти.

         Общие принципы строения организма человека заложены миллиарды лет назад, когда возникла первая клетка, в наших генах содержится значительная часть генофонда древних рыб, первых беспозвоночных животных. Одним из признаков, переданных нам, является двусторонняя симметрия человеческого тела. «Симметричные» животные живут дольше, чем «несимметричные», что так же говорит в пользу того, что симметрия – это показатель здоровья. Это и показатель лучшей способности к воспроизводству.

Симметрия в физике

         Существует старинная притча о буридановом осле. У одного философа, по имени Буридан, был осел. Однажды, уезжая надолго, философ положил перед ослом две совершенно одинаковые охапки сена – одну слева, а другую справа.

         Осел не смог решить с какой охапки ему начать, и умер с голоду… Левое и правое настолько одинаковы, что нельзя отдать предпочтение ни тому, ни другому. Иными словами, в обоих случаях мы имеем дело с симметрией, проявляющейся в полном равноправии, уравновешенности левого и правого.

         В самом деле, если шарик неподвижен на столе, значит стол ровный и слева наклон тот же самый, что и справа. Если ток не идет по проводу, значит, нет разности потенциалов. Если тучка застыла на небе, значит давление вокруг одинаково и стих ветер. Было бы странным, если бы все происходило наоборот. Природа никогда не отдает предпочтения при равенстве.

         Значит, если имеет место симметрия, то чего-то не произойдет и, значит, что-то обязательно останется неизменным, сохранится.

         В природе, как и у людей, существует два типа законов. Один тип говорит, что должно происходить при определенных обстоятельствах. Например, закон Ома утверждает, что при таком-то напряжении и таком-то сопротивлении проводника сила идущего по нему электрического тока будет равна частному от деления первого на второе. Ответ единственный. Второй тип законов — так называемые законы сохранения. Они описывают, чего не должно быть. Например, закон сохранения материи и энергии утверждает, что при любом процессе эти величины должны сохраниться.

         В 1915 году немецкий математик Эмми Нётер чисто математически доказала, что все законы сохранения связаны с симметриями природы. На равноправии места (однородность пространства) покоится закон сохранения импульса.

         На равноправии направлений (изотропность пространства) — законы сохранения момента количества движения. На равноправии времени — закон сохранения материи и энергии. Это было выдающееся открытие.

         В физике существует огромное количество законов и все они пронизаны несколькими общими принципами, которые содержатся в каждом законе. Примерами таких принципов могут служить некоторые свойства симметрии.          Одно из важнейших свойств симметрии физических законов – постоянство во времени, сформулированный Ньютоном закон всемирного тяготения описывает не меняющийся во времени факт взаимного притяжения тел. Это притяжение существовало до Ньютона, оно будет существовать и в последующие века. Закон идеального газа широко используется в современной науке и технике. Если бы физические законы изменялись со временем, то каждое физическое исследование имело бы “сиюминутное” значение. Важным законом сохранения в физике является закон сохранения импульса замкнутой системы.

         Все симметричное в природе считают отражением фундаментальных качеств мира, а несимметричное — игрой случая.

Симметрии в неживой природе

         Говоря о симметрии в неживой природе, возникает точка зрения, что симметрия в неживой природе — отнюдь не частый гость. Например, нагромождение камней, неправильная линия холмов на горизонте. Конечно, груда камней — это беспорядок, но каждый камень состоит из кристаллов. А кристаллы вносят в мир неживой природы очарование симметрии. Кристаллы какого-либо вещества могут иметь самый разный вид, но углы между гранями всегда постоянны. Для каждого данного вещества существует своя, присущая только ему идеальная форма его кристалла. Симметрия внешней формы кристалла является следствием его внутренней симметрии – упорядоченного взаимного расположения в пространстве атомов (молекул). Все твёрдые тела состоят из кристаллов.

Проводя дома эксперимент по выращиванию кристаллов, я взяла литровую банку, наполнила её дистиллированной водой и сделала насыщенный раствор поваренной соли,  накрыв банку  крышкой, поместила её в место с постоянной температурой.  Через несколько дней  на дно выпало несколько мелких кристаллов, выбрав из них самый крупный – затравку, переместила  его в новый, насыщенный раствор. Раствор, в который собираются погрузить затравку, желательно приготовить заранее и оставить на пару дней для выпадения первых кристалликов (чтобы быть уверенным, что затравка не растворится). Раствор фильтруют от выпавших кристалликов, переливают в чистый стакан и погружают туда затравку. Стакан накрывают бумагой и оставляют на полке. Уже через неделю можно заметить, что кристалл заметно подрос. Чем дольше он будет оставаться в растворе, тем крупнее он станет.

Выращивая кристаллы поваренной соли, я убедилась в симметричности их внешней формы, которая имела вид куба и обладала центром симметрии, осью и плоскостью симметрии.

         Каждая снежинка – это маленький кристалл замерзшей воды. Форма снежинок может быть очень разнообразной, но все они обладают симметрией.     У снежинки шесть осей симметрии. Наверное, она была бы совсем другой, если бы молекулы воды не обладали определенной симметрией.

         Соединение двух атомов водорода с атомом кислорода приводит к заполнению электронной оболочки кислорода посредством образования электронных пар. Ковалентная связь обеспечивает создание очень устойчивой молекулы воды, при этом молекула поляризована. Около кислорода избыточный отрицательный заряд, около водорода избыточный положительный заряд. Смещение водородной части молекулы в сторону кислородной приводит к образованию электрического диполя.

         Молекула воды имеет форму тетраэдра, атом кислорода располагается в центре, а в вершинах тетраэдра 2 атома водорода. Составляющие данную молекулу атомы имеют малые атомные радиусы, в результате чего длина Н—О связи в молекуле воды составляет 0,096 нм. Малый молекулярный радиус обеспечивает высокую прочность молекулы воды. Обладая свойством смачиваемости, вода легко проникает в мельчайшие поры. Итак, молекула воды имеет малые размеры, прочную химическую связь, большую величину диэлектрической проницаемости.

Земля имеет форму,  близкую к форме шара. Силы земного тяготения направлены к центру Земли, образуя шаровую симметрию поля тяготения. Для шарообразных объектов характерно наличие бесконечного числа плоскостей симметрии.

Симметрия в архитектуре

         Изучение археологических памятников показывает, что человечество на заре своей культуры уже имело представление о симметрии и осуществляло ее в рисунке и в предметах быта. Надо полагать, что применение симметрии в первобытном производстве определялось не только эстетическими мотивами, но в известной мере и уверенностью человека в большей пригодности для практики правильных форм. Необходимость симметрии в архитектуре обусловлена тем, что если не соблюдать пропорции, то здание потеряет устойчивость и надёжность. Любая архитектурная конструкция является ярким примером единства закона формирования естественных и искусственных структур. Так, фасады многих зданий обладают осевой симметрией. В архитектуре наиболее распространен простейший вид симметрии — зеркальная. В композиции жилого дома часто существует несколько плоскостей симметрии: одна — является плоскостью симметрии для всей композиции в целом, а остальные — частные, соответствующие отдельным частям здания.

Симметрия в технических изделиях

         Технические объекты: самолёты, автомобили, ракеты, молотки, гайки — практически все они обладают той или иной симметрией. Случайно ли это? В технике красота, соразмерность механизмов часто,  связаны  с их надёжностью в работе. Симметричная форма подводной лодки, дирижабля, самолёта и т.д. Обеспечивает хорошую обтекаемость воздухом или водой, а значит, минимальное сопротивление движению. Знаменитые учёные С.А. Чаплыгин и Н. Е. Жуковский исследовали полёт птиц, чтобы сделать вывод о наиболее выгодной форме крыла. Большую роль в этом сыграла симметрия.

         Заключение:  В ходе изучения различных материалов по данной теме, я убедилась, что большинство растений и животных организмов обладают симметрией,  что обусловлено воздействием внешней среды, которая принимает активное участие в формировании внешнего облика обитателей нашей планеты.  Повторяемость однотипных структурных элементов в природе – закономерное явление. Естественный отбор сохраняет структуры наиболее совершенные и наиболее экономные по затрате материала. Симметрия у живых организмов служит не только для красоты, она, прежде всего, связана с приспособлением их к окружающему миру, с их жизне­стойкостью. Двусторонняя симметрия тела позволила животным приспособиться к самым разнообразным условиям на нашей планете и завоевать все среды жизни – воду, воздух, сушу. Это также и показатель лучшей способности к воспроизводству.

         Красота и гармония архитектурных строений и технических изделий неразрывно и тесно связана с симметрией. Наиболее качественные и функционально совершенные технические изделия обладают симметричными формами. Симметричность выступает в качестве критерия истинности технического решения и его надёжности.

         Симметрия, которую человек раскрыл и осмыслил в творениях природы, для него стала своеобразной нормой прекрасного и необходимого для жизни. Я убедилась, что знание математических фактов и законов необходимо для изучения внешнего мира.

Список литературы:

Геометрия. Учебник для 7-9 кл.  А.В. Погорелов. Москва изд. Просвещение, 2009г.

Симметрия и структура кристаллов, Е.С. Федоров

Симметрия, Джесси Рассел.

Симметрия в науке и искусстве, А. В. Шубников, В. А. Копцик.

 Урманцев Ю. А. “Симметрия природы и природа симметрии”. Москва, Мысль, 1974г.

 http://www.worldnatures.ru

 http://otherreferats

 http://ru.wikipedia.org