Исследовательский прект "Функции вокруг нас"

муниципальное казенное общеобразовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа №2 пос. Пристень»

Пристенского района Курской области

Индивидуальный итоговый проект

Тема: «Функции вокруг нас»

Предмет: математика

                                 Выполнила  Вячина Елизавета ученица  9 «А» класса

Руководитель   Бобрышева Светлана Васильевна,

учитель математики

Оценка: ______________

Члены комиссии:  ________________________________

Оглавление

Введение. 3

I глава.  История развития понятия «функция». 4

§1. История развития понятия «функция». 4

§2. Способы задания функции. Особенности. График функции. 5

§3. Виды функций. Типы функций. Некоторые характеристики. 7

Глава II. Примеры функций в различных областях. 8

§1. Наши первые представления о функциях. 8

§2. Функции – наши помощники. 10

§3. Примеры функций в естествознании. 11

§4. Функции в экономике. 14

Заключение. 18

Список используемой литературы: 19

 «Когда математика стала изучать

переменные величины и  функции

как только она научилась 

описывать процессы, движение,

так она стала необходима всем».

Ф.Энгельс

Введение

На уроках математики я познакомилась с различными функциями, их свойствами и графиками. Однако размеры школьного учебника не позволяют показать всё многообразие задач, требующих для своего решения применение функций.  

Таким образом, мы столкнулись с противоречием между имеющимися теоретическими знаниями по данной теме и отсутствием понимания того, где в реальной жизни можно встретиться с функциональной моделью, и как человек использует свойства  функций в своей практической деятельности.

Функция – это одно из основных общенаучных и математических понятий, выражающее зависимость между переменными величинами.

Реальные процессы обычно связаны с большим количеством переменных и зависимостей между ними. 

Гипотеза: Если изучению функций в школе уделяется так много внимания, то они имеют большое значение в практической деятельности человека.     

Цель: увидеть связь функций с явлениями окружающего мира и практической деятельностью человека.

Задачи:

1.                 Изучить историю возникновения понятия «функция».

2.                 Найти примеры функций в окружающем  мире и практической деятельности человека

3.                 Выяснить, какие функциональные зависимости обуславливают  основные изменения в экономике на примере финансово-экономического кризиса.

Объект  исследования –   функции;

Предмет исследования - области их практического применения.

Методы исследования: изучение литературы, ресурсов удалённого доступа , обобщение, логический анализ, метод систематизации накопленного материала.

Практическая ценность. Я считаю, что моя работа будет полезна  ученикам, желающим расширить свои знания о функциях и их приложениях, а также учителям в качестве дополнительного материала при подготовке к урокам и элективным курсам.

I глава.  История развития понятия «функция»

§1. История развития понятия «функция»

Большинство математических понятий прошли долгий путь развития. Сложный путь прошло понятие функции. Оно уходит корнями в ту далекую эпоху, когда люди впервые поняли, что окружающие их явления взаимосвязаны. Они еще не умели считать, но уже знали, что чем больше оленей удастся убить на охоте, тем дольше племя будет избавлено от голода; чем сильнее натянута тетива лука, тем дальше полетит стрела; чем дольше горит костер, тем теплее будет в пещере. С развитием скотоводства, земледелия, ремесел и обмена увеличивалось количество известных людям зависимостей между величинами.

 Идея зависимости некоторых величин восходит к древнегреческой науке. Но греки рассматривали лишь вопросы, имеющие “геометрическую” природу, и не ставили вопроса об общем изучении различных зависимостей. Графическое изображение зависимостей широко использовали Г.Галилей (1564–1642), П.Ферма  (1601–1665) и  Р.Декарт (1569–1650), который ввел понятие «переменной величины». По определению Декарта: «Функцией переменной величины называется количество, образованное каким угодно способом из этой переменной величины и постоянных».

Развитие механики и техники потребовало введения общего понятия функции, что было сделано немецким философом и математиком Г.Лейбницем. Следующий шаг в развитии понятия функции сделал ученик Бернулли, член Петербургской Академии наук Леонард Эйлер (1707 – 1783). Он писал: “Величины, зависящие от других так, что с изменениями вторых изменяются и первые, принято называть их функциями”. В общем виде понятие обобщенной функции было введено французом Лораном Шварцем. В 1936 году, 28-летний советский математик и механик С. Л. Соболев первым рассмотрел частный случай обобщенной функции. Итак, знание законов природы дало человеку возможность объяснять и предсказывать ее разнообразнейшие явления. [1]

§2. Способы задания функции. Особенности. График функции.

Задать функцию – это значит указать ее область определения и правило, при помощи которого по данному значению независимой переменной находятся соответствующие ему значения функции.

1. Табличный способ.

При табличном задании просто выписывается ряд значений независимой переменной и соответствующих им значений функции. Табличный способ особенно распространен в технике, естествознании. Числовые результаты последовательных наблюдений какого-нибудь процесса обычно группируются в виде таблицы. Можно изобразить эту функцию на плоскости, она будет дискретной.

Преимущества: для каждого значения независимой переменной, помещенного в таблице, можно сразу без всяких вычислений найти соответствующее значение функции.

Недостатки:

·        обычно невозможно задать функцию полностью, найдутся такие значения независимой переменной, которые не помещены в таблице;

·        отсутствие наглядности при большом объеме таблицы, трудно выявить характер изменения функции.

2. Аналитическое задание (задание формулой).

Аналитическое задание функции состоит в том, что дается формула, с помощью которой по заданным значениям независимой переменной можно получить соответствующие им значения функции. При аналитическом задании функции под областью определения понимают множество значений х, при которых формула, определяющая функцию, имеет смысл.

Аналитическое задание функции – основной способ задания в математическом анализе. Можно построить график функции, она будет не дискретной.

Преимущества:

·        сжатость, компактность задания;

·        возможность вычислить значение функции для любого значения независимой переменной из области определения;

·        возможность применить к данной функции аппарат математического анализа, так как он наилучшим способом приспособлен как раз к аналитической форме задания функций.

Неудобства:

·        недостаточная наглядность;

·        необходимость вычислений, нередко очень громоздких.

3. Графическое задание.

Графиком функции (в системе декартовых прямоугольных координат) называется множество всех точек, абсциссы которых являются значениями независимой переменной, а ординаты – соответствующими значениями функции. Масштабы на обеих осях координат могут быть как одинаковыми, так и различными. Графиком функции служит некоторая кривая линия. Понятия линии и функции тесно связаны. Заданием функции порождается линия – ее график; заданием линии порождается функция – та, для которой эта линия служит графиком.

Графическое задание функции состоит в задании графика этой функции. В физике и технике функции нередко задаются графически, причем иногда график является единственным доступным средством задания функции. Чаще всего это бывает при употреблении самопишущих приборов, автоматически записывающих изменение одной величины в зависимости от изменения другой. В результате на ленте прибора получается линия, графически задающая регистрируемую прибором функцию.

Преимущества:

·        наглядность;

·        единственный способ задания для некоторых функций.

Недостаток: не может быть непосредственно применен аппарат математического анализа. [2]

§3. Виды функций. Типы функций. Некоторые характеристики.

1.     Основные элементарные функции (степенная, показательная, логарифмическая, тригонометрические, обратные тригонометрические)

2.     Элементарные функции. Из основных  элементарных функций можно строить другие функции при помощи арифметических действий и операции взятия функции от функции (суперпозиция).

3.     Алгебраические и трансцендентные функции.

Виды функций:

1.     По способу задания:

1.1. явно заданные (когда в левой части равенства, определяющего функцию, стоит только у, а в правой –выражение, зависящее от х)

1.2. неявно заданные (когда значения функции находятся из уравенния, связывающего и у, и х, но не разрешенного относительно у)

2.     По количеству значений

2.1. однозначные (когда каждому х ставится в соответствие только одно значение у)

2.2. многозначные (когда значений у может быть несколько) [2]

Глава II. Примеры функций в различных областях

§1. Наши первые представления о функциях

1. Многообразие значений слова «функция»

Значение слова «функция» разнообразно. В толковом словаре Ожегова можно прочитать следующие определения.

Функция, ж. (латин. functio – выполнение работы).

1.         Явление, зависящее от другого и изменяющееся по мере изменения этого другого явления (книжн.).

2.         Переменная величина, меняющаяся в зависимости от изменения другой величины (мат.).

3.         Работа, производимая органом, организмом (биол., физиол.).

4.         Обязанность, круг деятельности чего-нибудь, подлежащая исполнению работа (перен.).

5.         Значение, назначение, роль (книжн.).

То есть функция затрагивает все сферы нашей жизни, в зависимости от толкования слова. И все эти функции находятся вокруг нас! И представляют широкое поле деятельности для исследования в различных областях, в зависимости от определения слова.

В современный динамично развивающийся мир прочно вошли в обиход различные гаджеты. Мы пользуемся сотовыми телефонами, смартфонами, планшетниками и т.д. Ни одна современная хозяйка не обходится без множества бытовых приборов и разнообразных «помощников». Как мы сравниваем их: что лучше, что удобнее? Какой вопрос мы задаем продавцу, когда хотим приобрести новый товар? Мы всегда спрашиваем о его функциях! Что мы имеем в виду? Нам хочется узнать, какие именно действия может совершать тот или иной агрегат. И слово «функция» приобретает в этом случае еще один смысл: «возможности» прибора. А с этими возможностями напрямую связана и цена, и полезность… А здесь уже можно проследить классическое математическое определение функции - зависимость. Если аппарат обладает множеством функций, значит он более функциональный, то есть удобный. (Зависимость: количество возможностей – удобство, количество возможностей – цена).

2. Мой первый в жизни график.

В семейном альбоме хранятся данные моего роста с рождения по данный момент времени. Это яркий пример табличного задания функции.(Приложение1. Рис1)

График должен быть дискретным, то есть изображаться на точками на плоскости, так как функция задана только в определенных точках. Но поскольку по физическому смыслу понятно, что при увеличении возраста рост не может уменьшаться, то, не искажая сути, можно считать, что соединение точек прямыми линиями не изменит сущности функции. Для наглядности я эти точки соединила. Получился график моего роста. .(Приложение1. Рис2)

§2. Функции – наши помощники

Квадратичная функция

Квадратичная функция является наиболее хорошо изученной функцией, она довольно часто встречается на практике. .(Приложение1. Рис.3)

Графиком квадратичной функции является парабола. Эту кривую можно определить как фигуру, состоящую из всех тех точек М плоскости, расстояние каждой из которых до заданной точки F, называемой фокусом параболы, равно ее расстоянию до заданной прямой,  называемой директрисой параболы. .(Приложение1. Рис.4)

Хорошо известно, что траектория камня, брошенного под углом к горизонту, летящего футбольного мяча, струи воды, выпущенной из шланга, парашютиста, выпрыгнувшего из горизонтально летящего самолета, артиллерийского снаряда, будет параболой (Приложение1. Рис.5).

Парабола обладает оптическим свойством: все лучи, исходящие из источника света, находящегося в фокусе параболы, после отражения оказываются направленными параллельно ее оси. Свойство параболических зеркал используют при конструировании солнечных печей, солнечных электростанций, отражательных телескопов – рефлекторов. (Приложение1. Рис.6).

Это свойство параболы используется при изготовлении прожекторов, автомобильных фар, карманных фонариков. Его использовал  и Архимед при защите Сиракуз от врагов.

Функция «Обратная пропорциональность» очень важна, как предмет изучения.

Она обладает замечательными свойствами, которые позволяют считать её не только предметом изучения, но и средством познания мира, позволяющим сделать мир более совершенным.

Наши предки наблюдали ветвь гиперболы на стене, когда подносили к ней горящую свечу в подсвечнике с круглым основанием.

Применение гиперболы для определения местонахождения. Во время второй мировой войны использовались гиперболические навигационные системы. Штурман на борту самолёта или морского судна принимал радиосигналы от двух пар станций на берегу, которые испускали их одновременно. Используя разность времени между моментами приема сигналов от обеих станций, штурман строил две гиперболы, пересечение которых на карте позволяло определить место, где он находился.

Как закруглить железную дорогу?

Экспресс стрелой несется по железной дороге, и о поворотах пассажиры узнают, лишь наблюдая последние вагоны состава из окна своего купе. Они и  не предполагают, что их комфорт обеспечили не только проводники и машинисты. Спираль Корню, лемниската Бернулли и кубическая парабола мягко направляют путь экспресса  (Приложение1. Рис.7). [3]

§3. Примеры функций в естествознании

Экологическая ниша.

Есть в экологии универсальное понятие – экологическая ниша. Под «нишей» понимают условия, в которых живет вид, т.е. диапазон факторов среды, в котором данный вид живет и размножается. Допустим, что известны верхние и нижние пределы температуры и влажности, приемлемые для существования какого-либо вида. На рисунке     в виде графика представлена экологическая ниша некоторого вида (это может быть любое растение, животное, человек и т.д.)  (Приложение1Рис. 8). Из него видно, что организмы успешнее размножаются и лучше всего чувствуют себя в условиях, близких к оптимальным для данного вида. Отклонение значения фактора от оптимального приводит к угнетению,  а затем и к гибели особей.

Рост дерева подчиняется сложнейшей функции, которая зависит от породы дерева и времени роста. (Приложение1Рис. 9)

На  графической иллюстрации (Приложение1Рис. 10) хорошо видна зависимость численности рысей от численности зайцев. Для того, чтобы рыси продолжали свое существование, необходимо явное преобладание зайцев. [4]

Функции в физике

Многие физические процессы описываются с помощью линейной функции. Конечно же, самыми распространенными примерами функций линейной зависимости, с которыми мы сталкиваемся, являются расстояния, которые проезжают машины, поезда или проходят пешеходы при определенной скорости движения. Это и есть линейные функции времени движения.

При равнопеременном движении скорость является линейной функцией времени: v = v₀ + at, где v – скорость, v₀ – начальная скорость, a – ускорение, t – время.

Скорость распространения звука в зависимости от температуры можно узнать, применив формулу v = 331 + 0,6t, где v – скорость (в м/с), t – температура. Если мы начертим график этой зависимости, то увидим, что он будет линейным, то есть представлять прямую линию.

Длина рельсов является линейной функцией температуры:
l = l0 (1 + at) – линейное расширение твердых тел.

Зависимость давления жидкости на дно сосуда (P) от высоты столба жидкости (h) – линейная зависимость и задаётся формулой: P = gρh, где ρ – плотность жидкости, g ≈ 10.

Линейная зависимость массы тела (кг) от объёма тела (м³) m = ρ v, где ρ – плотность вещества.

Закон Гей-Люссака

Эта зависимость означает, что при нагревании газа на 1°С его объём увеличивается на 1/273 своей величины при 0°С, а при температуре около
-273°С обращается в 0. Графиком указанной зависимости является отрезок прямой: V=V (1+ t/273) (Приложение1Рис. 11)

Обратно пропорциональная зависимость

Закон Ома

Сила тока в проводнике прямо пропорциональна напряжению и обратно пропорциональна сопротивлению  на концах проводника.

I = U/R. На рисунке  зависимость силы тока от сопротивления проводника при одном и том же напряжении на его концах показана графически. (Приложение1.Рис.12)

Закон Бойля Мариотта

Закон Бойля Мариотта описывает количественную зависимость давления от объёма газа. Если поддерживать постоянную температуру, то при увеличении объёма V давление газа p падает, когда же уменьшается объём V – давление p растет, а произведение p на V сохраняется. Это известный закон Бойля-Мариотта. Графиком его является часть одной из веток гиперболы. (Приложение1.Рис.13) [5]

Вывод. Рассмотрев материалы о функциях в различных энциклопедических справочниках по математике, физике, биологии, обществознанию, в  научно-популярной литературе, я убедилась, что функция является очень важным общенаучным понятием. Я увидела, что функциональные зависимости  встречаются практически во всех окружающих нас предметах и явлениях. Изучив свойства этих зависимостей, человек использовал их как для развития науки, так и в своей практической деятельности.

§4. Функции в экономике

В течение последних нескольких лет страны мира находятся в состоянии финансово-экономического кризиса, начавшегося в США. Пришел кризис и в Россию. Нас заинтересовало, какие функциональные зависимости в экономике  подверглись изменениям в связи с этим, и каким образом. Я  выяснила, что изучением этих вопросов занимается математическая экономика – наука, предметом которой являются математические модели экономических объектов и процессов.

Чтобы изучить эти зависимости, я обратилась к энциклопедическому справочнику по экономике  

Если спросить у знакомых: «Что лучше – когда цены растут или когда они падают?». Большинство ответят: «Лучше, если падают». Если же спросить: «Что лучше - когда заработная плата растет или уменьшается?». Ответ также очевиден. Но мало кто задумывается над тем, что они отвечали практически на один и тот же вопрос. В первом случае они считали себя потребителями товаров и услуг, поэтому хотели покупать больше на имеющиеся деньги. Во втором – производителями и стремились продать свои услуги по более высокой цене. Все  доступные товары и услуги – результат деятельности членов общества, поэтому всегда есть как сторонники снижения цен, так и сторонники их повышения. Как же установить компромисс?

Надо найти такую цену, с которой согласятся  и потребители, и производители товара. Объем спроса при данной цене станет равен объему предложения – получится равновесная рыночная цена.

Что произойдет, если установить цены ниже равновесных (запретить высокие цены)? Предложение станет меньше спроса: производитель не будет заинтересован в росте производства, ведь он приводит к увеличению затрат. Товаров на все желающих не хватит, и они исчезнут из продажи.

А могут ли производители установить очень высокие цены (выше равновесной)? При цене выше равновесной спрос станет меньше предложения: потребитель не желает покупать больше. Товаров будет выпущено больше, чем продано, и они останутся на складе.

В условиях рынка, если спрос больше предложения, продавцы поднимут цену до рыночной равновесной цены, предложение вырастет, и объем спроса станет равен объему предложения. В случае, если спрос меньше, чем предложение, залежавшийся товар продадут по более низкой цене. Снижение цены приведет к увеличению спроса и уменьшению предложения, равновесие восстановится.

Стихийное выравнивание спроса и предложения в условиях рыночной экономики происходит в результате взаимодействия людей, преследующих собственные интересы. Адам Смит назвал этот процесс действием «невидимой руки», которая заставляет участников рынка обеспечивать членов общества необходимыми товарами и услугами.

Возникает вопрос: если в условиях рыночной экономики все так отрегулировано, почему же  происходят кризисы? Ответ я  нашла в шуточной форме.

Как делаются кризисы?

В мексиканскую деревню приехал бизнесмен  и объявил, что покупает местных обезьян по 10 песо за штуку. Обезьян вокруг море, жители рады – все сдают обезьян  в розницу и оптом по 10 песо. Обезьян стало меньше, тогда бизнесмен сказал, что повышает цену до 20.Жители напряглись, изловили последних обезьян, принесли – и сдали по 20 песо. Самых последних бизнесмен забрал по 25, а потом объявил, что хочет еще, и уже по 50! Но сам уехал и оставил управляющего.

Управляющий говорит:

- Давайте так: я продам вам втихую этих обезьян назад по 35 песо, а когда босc приедет, вы их ему по 50 продадите.

Народ рад! Назанимал кучу денег и скупил всех обезьян по 35 песо.

На следующий день управляющий исчез вслед за боссом, а народ остался без денег, в долгах, но при обезьянах.

Вернемся к  кризисной ситуации. Выясним, каким образом кризис в США повлиял на благосостояние россиян. Как известно, кризис начался в США, где большая денежная масса была выдана населению в виде кредитов. В определенный  момент времени взявшие кредиты не смогли в полной мере выполнять обязательства по их выплате. Это привело к резкому кризису финансовой системы США, и как следствие этого, к оттоку денежных средств, вложенных иностранными инвесторами в российскую экономику. Параллельно падали цены на нефть, что также снижало приток денежных средств в нашу страну.

Экономический рост в России   в большей степени определялся высокими ценами на энергоресурсы: нефть и газ. И когда цены на нефть упали, денежный поток, который шел в Россию, сократился. Как следствие этого сократился спрос внутри страны на продукцию, что в свою очередь привело к сокращению производства. Финансовый кризис перешел в промышленный. [6] 

С помощью нескольких простых графиков  проиллюстрирую  сказанное выше. (Приложение2)

   1. Цены на нефть упали, курс доллара вырос, соответственно приток долларов в Россию снизился, денежной массы в стране стало меньше. 

  2. Денежная масса сократилась – снизилась покупательная способность населения.

 3. Снизилась покупательная способность населения – произошел спад промышленного производства - сократилась инвестиционная привлекательность производства (вкладывать деньги стало невыгодно). Сократилось производство.

 4. Сократилось производство – сократилось предложение товаров на рынке.

5. Предложение упало – выросли цены.

Вывод. Увеличение спроса произошло за счет простого увеличения денежных выплат всем членам общества, а не вследствие эффективного использования ресурсов и расширения производства,  в результате выросла  цена.

Такой процесс, согласно определению в выше указанном источнике, называется инфляцией - обесцениванием денег, когда за те же блага приходится платить все больше

  В условиях  низкого уровня собственного производства мы вынуждены отметить, что благополучие россиян остаётся зависимым от цен на энергоресурсы на мировых рынках.

В сложившейся ситуации, правительство России использует валютный резерв. Но вместе с тем,   возлагает надежды на развитие собственного российского производства.

В  связи  с  этим  особое  значение  приобретает  инновационное  развитие предприятий, которое ориентирует производственную деятельность на запросы потребителей, позволяет более гибко реагировать и осуществлять своевременные изменения, наращивать конкурентные преимущества в долгосрочной перспективе.

Заключение

В своей работе мы показали, что функция является очень важным понятием для всех наук, т. е. общенаучным понятием. Кроме того, она является необходимым инструментом исследования многих происходящих в мире процессов.  Я увидела функциональные зависимости там, где их раньше не замечала.   Т. о,  гипотеза о важности функции в практической деятельности человека подтвердилась.

Я попыталась изложить свой взгляд на финансово-экономический кризис в России, построила  некоторые простейшие модели зависимостей, связанных с финансово-экономическим кризисом.

 Я разобралась, каким образом кризис в США повлиял на благосостояние россиян, каким образом изменения этих зависимостей приводят к инфляции и ухудшению уровня жизни россиян,  узнала,  каким может быть выход из сложившейся кризисной ситуации.

Знание свойств функций позволяет понять суть происходящих процессов, предсказать ход их развития, управлять ими.     

 По итогам работы  выполнили 2 презентации: Линейная функция вокруг нас (7 кл) и Квадратичная функция вокруг нас (8 кл)

 Мы считаем, что   работа будет полезна  ученикам, желающим расширить свои знания о функциях и их приложениях, а также учителям в качестве дополнительного материала при подготовке к урокам и внеурочным занятиям.

Список используемой литературы:

1.     Белл Э.Т./ Просвещение /Творцы математики, пособие для учителей, М.:, 1979 г., 255 с.

2.     Савин А. П./ Педагогика, 2-е издание/ Энциклопедический словарь юного математика - М:/ 1989 г., 359 с.

3.     Виленкин Н.Я./ Просвещение/ Функции в природе и  технике - М.:,  

4.     Наука / Эволюция органического мира: Факультативный курс. Учеб. пособие для 10 -11 классов средней  школы 2-е издание, переработанное и дополненное М.: /1996. 256с.: ил..

5.      Пёрышкин А. / Дрофа / Физика. 8 класс: учебник для общеобразовательных учреждений /.. – 8-е издание, дополненное – М.:, 2006. – 191 с.: ил.

6.     Володин В.А/ Аванта +/ Энциклопедия для детей «Общество. Экономика и политика Ч.1», том 21- М.:/ 2002 г., 464 c.

Приложение 1

Возраст	0	1 год	2 года	3 года	4 года	5 лет	6 лет	7 лет
Рост, см	53	77	93	97	105	115	123	125

Возраст	8 лет	9 лет	10 лет	11 лет	12 лет	13 лет	14 лет	15 лет
Рост, см	130	137	141	144	156	159	164	168

    Рисунок1.

Рисунок2.                  

Рисунок3.

                

Рисунок4

.

   Рисунок5

                                                                                Рисунок 6

 

Рисунок 7. 

Рисунок 8. 

                                                               Рисунок 9.

Рисунок 10.

 

 Рисунок 11.

Рисунок 12.

       Рисунок 12.

                                                                                                                                           Рисунок 13

                     Приложение2 

• 1 слайд

  "Кажется, нельзя сомневаться
  ни в истине того, что всё в мире может быть представлено числами,
  ни в справедливости того, что всякая в нем перемена и отношение выражается аналитической функцией". (Н.И.Лобачевский)
  МКОУ «СОШ №2 пос.Пристень»
  Индивидуальный итоговый проект
  Тема: «Функции вокруг нас»
  Предмет: математика
  Выполнила Вячина Елизавета
  ученица 9 «А» класса .
  Руководитель Бобрышева Светлана Васильевна, учитель математики.
  

• 2 слайд

  Гипотеза: Если изучению функций в школе уделяется так много внимания, то они имеют большое значение в практической деятельности человека.
  Цель: увидеть связь функций с явлениями окружающего мира и практической деятельностью человека.
  Задачи:
  1.Изучить историю возникновения понятия «функция».
  2.Найти примеры функций в окружающем мире и практической деятельности человека.
  3.Выяснить, какие функциональные зависимости обуславливают основные изменения в экономике на примере финансово-экономического кризиса.
  Объект исследования – функции;
  Предмет исследования - области их практического применения.
  Методы исследования: изучение литературы, ресурсов удалённого доступа , обобщение, логический анализ, метод систематизации накопленного материала.
  Практическая ценность. Мы считаем, что работа будет полезна ученикам, желающим расширить свои знания о функциях и их приложениях, а также учителям в качестве дополнительного материала при подготовке к урокам и элективным курсам
  

• 3 слайд

  История развития понятия «функция»
  Понятие функции прошло сложный путь развития. Оно уходит корнями в ту далекую эпоху, когда люди впервые поняли, что окружающие их явления взаимосвязаны.
  Идея зависимости некоторых величин восходит к древнегреческой науке. Но греки рассматривали лишь вопросы, имеющие “геометрическую” природу, и не ставили вопроса об общем изучении различных зависимостей. Графическое изображение зависимостей широко использовали Г.Галилей (1564–1642), П.Ферма (1601–1665) и Р.Декарт (1569–1650), который ввел понятие «переменной величины». Развитие механики и техники потребовало введения общего понятия функции, что было сделано немецким философом и математиком Г.Лейбницем. Следующий шаг в развитии понятия функции сделал ученик Бернулли, Леонард Эйлер (1707 – 1783). Он писал: “Величины, зависящие от других так, что с изменениями вторых изменяются и первые, принято называть их функциями”. В общем виде понятие обобщенной функции было введено французом Лораном Шварцем. В 1936 году, 28-летний советский математик и механик С. Л. Соболев первым рассмотрел частный случай обобщенной функции. Итак, знание законов природы дало человеку возможность объяснять и предсказывать ее разнообразнейшие явления.
  

• 4 слайд

  Способы задания функции. График функции.
  
  
  .
  
  
  
  
  
  
  Значение слова «функция» разнообразно.
  1. Явление, зависящее от другого и изменяющееся по мере изменения этого другого явления (книжн.)
  2. Переменная величина, меняющаяся в зависимости от изменения другой величины (мат.).
  3. Работа, производимая органом, организмом (биол., физиол.).
  4. Обязанность, круг деятельности чего-нибудь, подлежащая исполнению работа
  5. Значение, назначение, роль (книжн.).
  3. Графическое задание.
  2. Аналитическое
  задание
  1. Табличный способ.
  
  Многообразие значений слова «функция»
  

• 5 слайд

  Наши первые представления о функциях
  Мой первый в жизни график.
  В семейном альбоме хранятся данные моего роста с рождения по данный момент времени. Это яркий пример табличного задания функции.
  Функция затрагивает все сферы нашей жизни, в зависимости
  от толкования слова. И все эти функции находятся вокруг нас!
  В современный мир прочно вошли в обиход различные гаджеты. Мы пользуемся смартфонами, планшетами и т.д. Ни одна хозяйка не обходится без множества бытовых приборов.Как мы сравниваем их: что лучше, что удобнее? Мы всегда спрашиваем о его функциях! Что мы имеем в виду? Нам хочется узнать, какие именно действия может совершать тот или иной агрегат. И слово «функция» приобретает в этом случае еще один смысл: «возможности» прибора. А с этими возможностями напрямую связана и цена, и полезность… А здесь уже можно проследить классическое математическое определение функции - зависимость. Если аппарат обладает множеством функций, значит он более функциональный, то есть удобный. (Зависимость: количество возможностей – удобство, количество возможностей – цена).
  

• 6 слайд

  Функции – наши помощники
  Квадратичная функция
  Квадратичная функция часто встречается на практике.
  Графиком функции является парабола.
  Эту кривую можно определить как фигуру, состоящую из всех тех точек М плоскости, расстояние каждой из которых до заданной точки F, называемой фокусом параболы, равно ее расстоянию до заданной прямой, называемой директрисой параболы
  Парабола обладает оптическим свойством: все лучи, исходящие из источника света, находящегося в фокусе параболы, после отражения оказываются направленными параллельно ее оси. Это свойство использовал и Архимед при защите Сиракуз от врагов.
  

• 7 слайд

  Свойство параболических зеркал используют при конструировании солнечных печей, солнечных электростанций, отражательных телескопов – рефлекторов.
  Это свойство параболы используется при изготовлении прожекторов, автомобильных фар, карманных фонариков.
  Использование свойства параболы фокусировать лучи
  

• 8 слайд

• 9 слайд

• 10 слайд

  Экспресс стрелой несется по железной дороге, и о поворотах пассажиры узнают, лишь наблюдая последние вагоны состава из окна своего купе. Они и не предполагают, что их комфорт обеспечили не только проводники и машинисты. Спираль Корню, лемниската Бернулли и кубическая парабола мягко направляют путь экспресса
  Как закруглить железную дорогу?
  

• 11 слайд

  Примеры функций в естествознании
  .
  Экологическая ниша-это диапазон факторов среды, в котором данный вид живет и размножается.
  Допустим, что известны верхние и нижние пределы температуры и влажности, приемлемые для существования какого-либо вида. На рисунке в виде графика представлена экологическая ниша некоторого вида Из него видно, что организмы успешнее размножаются и лучше всего чувствуют себя в условиях, близких к оптимальным для данного вида. Отклонение значения фактора от оптимального приводит к угнетению, а затем и к гибели особей.
  
  Рост дерева подчиняется сложнейшей
  функции, зависит от породы дерева и
  времени роста.
  

• 12 слайд

  Примеры функций в естествознании
  физика
  

• 13 слайд

  Вывод. Рассмотрев материалы о функциях в различных энциклопедических справочниках по математике, физике, биологии, обществознанию, в научно-популярной литературе, мы убедились, что функция является очень важным общенаучным понятием; увидели, что функциональные зависимости встречаются практически во всех окружающих нас предметах и явлениях. Изучив свойства этих зависимостей, человек использовал их как для развития науки, так и в практической деятельности.
  

• 14 слайд

  Функции в экономике
  Стихийное выравнивание спроса и предложения в условиях рыночной экономики происходит в результате взаимодействия людей, преследующих собственные интересы. Адам Смит назвал этот процесс действием «невидимой руки», которая заставляет участников рынка обеспечивать членов общества необходимыми товарами и услугами.
  Если увеличение спроса происходит за счет простого увеличения денежных выплат всем членам общества, а не вследствие эффективного использования ресурсов и расширения производства, в результате выросла цена. Такой процесс, называется инфляцией - обесцениванием денег, когда за те же блага приходится платить все больше
  

• 15 слайд

  В течение последних нескольких лет страны мира находятся в состоянии финансово-экономического кризиса, начавшегося в США. Пришел кризис и в Россию.
  Каким образом кризис в США повлиял на благосостояние россиян.
  В США большая денежная масса была выдана населению в виде кредитов. В определенный момент времени взявшие кредиты не смогли в полной мере выполнять обязательства по их выплате.
  Это привело к резкому кризису финансовой системы США, и как следствие , к оттоку денежных средств, вложенных иностранными инвесторами в российскую экономику. Параллельно падали цены на нефть, что также снижало приток денежных средств в нашу страну.
  

• 16 слайд

  Курс доллара
  

• 17 слайд

  Вывод. В условиях низкого уровня собственного производства благополучие россиян зависимо от цен на энергоресурсы на мировых рынках.
  В связи с этим особое значение приобретает инновационное развитие производства, которое ориентирует производственную деятельность на запросы потребителей, позволяет более гибко реагировать и осуществлять своевременные изменения.
  

• 18 слайд

  
  В работе мы показали, что функция является очень важным понятием для всех наук, т. е. общенаучным понятием. Кроме того, она является необходимым инструментом исследования многих происходящих в мире процессов. Я увидела функциональные зависимости там, где их раньше не замечала.
  Т. о, гипотеза о важности функции в практической деятельности человека подтвердилась.
  Я разобралась, каким образом кризис в США повлиял на благосостояние россиян, каким образом изменения этих зависимостей приводят к инфляции и ухудшению уровня жизни россиян, построила некоторые простейшие модели зависимостей, связанных с финансово-экономическим кризисом.
  Знание свойств функций позволяет понять суть происходящих процессов, предсказать ход их развития, управлять ими.
  По итогам работы выполнили 2 презентации: Линейная функция вокруг нас и Квадратичная функция вокруг нас.
  
  https://www.calameo.com/books/006653485bf4c3c39e2a8?authid=Zhw7CvYFthHt
  
  Мы считаем, что работа будет полезна ученикам, желающим расширить свои знания о функциях и их приложениях, а также учителям в качестве дополнительного материала при подготовке к урокам и внеурочным занятиям.
  
  Заключение
  

• 19 слайд

• 1 слайд

• 2 слайд

• 3 слайд

• 4 слайд

  В БЫТУ
  

• 5 слайд

• 6 слайд

• 7 слайд

• 8 слайд

• 9 слайд

• 10 слайд

• 11 слайд

  "Кажется, нельзя сомневаться ни в истине того, что всё в мире может быть представлено числами, ни в справедливости того, что всякая в нем перемена и отношение выражается аналитической функцией". (Н.И.Лобачевский)
  

• 12 слайд

  КВАДРАТИЧНАЯ ФУНКЦИЯ
  ВОКРУГ НАС
  

• 13 слайд

  Параболические траектории
  струй воды
  

• 14 слайд

  Использование свойства параболы фокусировать лучи
  В прожекторе свет, исходящий
  из фокуса параболического
  зеркала , после отражения
  образует параллельный пучок
  и не рассеивается
  

• 15 слайд

  Парабола в архитектуре
  

• 16 слайд

  Квадратичная функция в космическом пространстве
   Параболический
  компас
  Леонардо да Винчи
  

• 17 слайд

  Квадратичная функция
  в природе
  

• 18 слайд

• 19 слайд

  УЧИТЕ МАТЕМАТИКУ