Изучение понятия «тренд» на уроках математики в 6 – 8 классах

Изучение понятия «тренд» на уроках математики в 6 – 8 классах

Одним из основных пунктов при анализе функции одной переменной является исследование на монотонность, т.е. на убывание и возрастание. Определение возрастания (убывания) функции на некотором промежутке содержательно дается так: если значение аргумента увеличить, то увеличится (уменьшится) значение функции. Возрастание и убывание функции одной переменной на промежутке объединяют в едином термине – «строгая монотонность». Нестрогая монотонность возникает в том случае, если с увеличением аргумента будет не уменьшаться (не возрастать) значение функции; вполне возможна ситуация, когда на некотором участке функция будет принимать одно и то же значение. В учебниках по математике для школьников среднего звена вполне оправданно не «увлекаются» строгими математическими дефинициями, связанными с монотонностью, а большее внимание уделяют иллюстрации этих понятий. Ниже приведены примеры графиков возрастающей, убывающей, неубывающей и невозрастающей функций.

 

Обычно школьники хорошо понимают графические иллюстрации монотонных функций в виду наглядности представления этих функций. Однако зачастую на практике графики функций имеют более сложное поведение. На наш взгляд целесообразно уже при первом знакомстве с монотонными функциями и их графическими представлениями давать на уроках некоторое обобщение монотонного роста или убывания функций.

После краткого знакомства с вариантами монотонности можно, например, привести следующий график:

 

Сразу возникает у школьников вопрос: а здесь можно ли назвать функцию возрастающей на отрезке [a, m]? С одной стороны, эта функция не удовлетворяет свойствам какой-либо монотонности на этом отрезке. Но, с другой стороны, явно наблюдается изменение значения функции в сторону роста, причём значение функции на правой границе существенно больше, чем на левой границе отрезка [a, m]. И как это выразить простыми словами, не применяя сложные термины из статистики и эконометрики? Следует отметить, что многие экономические показатели и финансовые инструменты на фондовых рынках демонстрируют зачастую похожую динамику. 

Перейдем к более детальному описанию графика функции. Внимательно просматривая график, видим, что в точках x = b, x = d, x = g, x = k имеются «ямки» или «лунки», а в точках x = с, x = е, x = h – «кочки» или «бугорки». На таком описательном уровне школьники хорошо понимают содержательную часть понятий «локальный минимум» и «локальный максимум»; определения экстремумов с привлечением терминов типа «окрестность точки» и записей с использованием математической символики затруднительна для понимания учеников 6 – 7 классов. Однако пояснения наподобие того, что минимум (или максимум) – это если пойти «чуть вправо или влево», то значение функции станет больше (или меньше в случае максимума) вполне доступно. Слово «локальный» в данном контексте тоже легко воспринимается учениками. Например, в точке x = с имеется максимум, но наибольшее значение функции будет наблюдаться лишь тогда, когда мы «недалеко отойдём от этой точки»: ведь даже точке минимума x = k, которая «далеко вправо» расположена от точки максимума x = с, значение функции будет больше.

На приведенном рисунке о возрастание функции можно говорить как о «трендовом возрастании». Понятие «тренд» часто используется в экономическом анализе для характеристики изменения во времени значений различных показателей, а также для составления прогнозов изменения показателей. Чтобы основательно разобраться с этим понятием, требуются определенные знания из математического анализа, теории вероятностей и математической статистики. Естественно, для учеников 6 – 7 классов нужно адаптировать понятие тренда. 

Во многих случаях трендовый рост (или убывание) можно доступно для школьников описать следующим образом. Если внимательно приглядеться к приведенному выше графику, то можно увидеть, что «ямки» (локальные минимумы) с увеличением аргумента x будут располагаться всё выше и выше: иначе говоря, значения функции в локальных минимумах всё больше и больше. При этом «кочки» (локальные максимумы) также с увеличением x будут располагаться на «большей высоте», что свидетельствует о росте значений функции на точках локальных максимумов.

Ниже приведена иллюстрация трендового убывания функции; подобную иллюстрацию школьники среднего звена могут изобразить самостоятельно после ознакомления с трендовым возрастанием: 

 

После того, как ученики получат краткие сведения о трендовых изменениях функций, следует обратить их внимание на то обстоятельство, что практически для любой функции всегда найдутся такие промежутки изменения аргумента, на которых функция ведет себя монотонно, и, следовательно, является на этих промежутках возрастающей или убывающей в классическом понимании. 

В заключение отметим, что исследование трендовых изменений функций с приведением соответствующих примеров из других предметов (физика, география, экономика и т.д.) может осуществляться в старших классах средней школы в рамках проектной деятельности.

Краткое описание документа:

В статье приведены методические рекомендации, относящиеся к тому как можно обобщить понятия "монотонность" и "строгая монотонность" функций. Поднимается вопрос о целесообразности рассматривать на уроках математики не только классическое понятие монотонности, но также трендовое возрастание или убывание функций в связи с тем, что трендовые изменения рассматриваются во многих сферах науки и практической деятельности.Особо отмечается, что указанные понятия легко интерпретируются графически, и в связи с этим они становятся понятны школьникам на качественном уровне.