Конспект по математике на тему: "Комплексные числа. Действия с комплексными числами"(практикум).

Тема: «Комплексные числа. Действия с комплексными числами»

Цели: Закрепить выполнение действий над комплексными числами, заданными в алгебраической форме, дать понятие о тригонометрической форме комплексного числа, выработать   навыки перехода от алгебраической формы комплексного числа к тригонометрической и обратно, выполнять действия над комплексными числами в тригонометрической форме.

Развивать мыслительную деятельность в процессе выполнения практических заданий посредством разнообразия форм заданий. Развивать умение анализировать, сравнивать, обобщать, устанавливать причинно-следственные связи, классифицировать.

В процессе решения упражнений воспитывать   сознательное отношение к процессу обучения, к овладению практическими умениями и навыками. При этом   обращать внимание на воспитание продуктивного мышления и развития интереса к предмету. Обратить внимание, что умение правильно воспринимать, анализировать, сопоставить полученные знания с изученным ранее материалом, активно осмысливать и запоминать новую информацию – важнейшая черта будущего специалиста.

Основные знания и умения

Знать: Основные теоретические понятия комплексного числа.

Уметь: Выполнять действия над комплексными числами, заданными в алгебраической форме; переходить от алгебраической формы комплексного числа к тригонометрической и обратно. Выполнять действия над комплексными числами, заданными тригонометрической форме.

Вид занятия. Формирование умений и навыков.

Мотивация познавательной деятельности: опираясь на знания и первичные умения, полученные на предыдущих занятиях, обратить внимание обучающихся на характер упражнений, на постепенное усложнение заданий, на связь с пройденными ранее темами.   Обратить внимание, что помимо алгебраической формы комплексного числа существуют ещё и другие его формы. При подготовке к внеаудиторной самостоятельной и, впоследствии, зачетной работы, показать роль личной ответственности каждого за качество выполненной работы, роль систематической работы на уроке и дома по углублению и повышению прочности знаний, для формирования умений и навыков.

Тип урока: урок применения знаний, умений и навыков

Формы организации труда: индивидуальная, коллективная

Методы: словесные, практические, проблемно-поисковые

Оборудование урока: компьютер, лекция – практикум, тест «Комплексные числа», кроссворд, карточки с заданиями.

1. Основные формулы и соотношения

Определение

Числа вида , где  и  - действительные числа и  , называются комплексными числами (обозначение С).

Число  называется действительной частью комплексного числа и обозначается ;

число  - мнимой частью ().

Для геометрического изображения комплексных чисел можно использовать плоскую декартову систему координат , в которой по оси  будем откладывать действительные части комплексных чисел, а по оси - мнимые части комплексных чисел. Таким образом, любое комплексное число  можно изобразить в системе координат  либо точкой , либо вектором , соединяющим начало координат и точку

  .

Определение

Модулем комплексного числа  (длиной вектора ) называется число

.

Пример

.

Определение

Комплексное число  называется комплексно-сопряженным с числом

 .

Выполняется соотношением:

Если мы хотим найти расстояние между точками , то оно будет равно

 (Рис. 3.1).

(Расстояние между концами векторов  равно длине вектора  , т.е. .)

Пример

.

2. Действия над комплексными числами

Комплексное число задано в алгебраической форме.

Приведем несколько примеров.

Пример

Пример

;

3. Комплексное число задано в тригонометрической форме

;

;

(это можно сделать,

так как ).

Тогда .

Определение

Угол  между положительным направлением оси  и вектором  называется аргументом комплексного числа(обозначается ).

Для числа  не определен.

Аргумент комплексного числа определяется неоднозначно. Любое комплексное число  имеет бесконечное множество аргументов, отличающихся друг от друга на число, кратное .

Определение

Наименьшее по абсолютной величине значение аргумента из промежутка

 называется главным значением аргумента.

Таким образом, .

Пример

1.Найти модуль и главное значение аргумента комплексных чисел

(число  записать в тригонометрической форме):

;

.

;

в) ;

;

Приведем формулы для осуществления   арифметических действий для комплексного числа вида

1)      произведение двух комплексных чисел

  

2)      частное от деления двух комплексных чисел:

3)      формула Муавра:

4)      Извлечение корня

 

Пример

1. Даны числа:

Найти .

Решение

.

Пример

2. Даны числа:

.

Найти .

Решение.

Пример

3. Дано число:

.

Найти .

Решение.

.

Пример

4. Даны числа

 

Необходимо:

а) представить числа, а, b, и с

в тригонометрической форме;

 б) вычислить выражение ;

в) найти выражение .

Ответ записать в алгебраической форме.

Решение.

 а)

 

б)

=;

в)

Получаем три корня:

·    

·    

¹⁰.М

И

Н

У

С

Комплексные числа, несмотря на их «лживость» и недействительность, имеют очень широкое применение. Они играют значительную роль не только в математике, а также в таких науках, как физика, химия. В настоящее время комплексные числа активно используются в электромеханике, компьютерной и космической индустрии.