Конспект по математике на тему "Принципы решения матричных уравнений", 11 класс

РЕШЕНИЕ простейших матричных уравнений (Занятие №3) Гр.1542

Начнём с простого школьного уравнения, например уравнения . Оно состоит из математических знаков, чисел и неизвестной «икс». Перенесём «тройку» в правую часть и найдём решение уравнения:

Выполним проверку, для этого подставим найденное значение  в исходное уравнение:

Получено верное равенство, значит, решение найдено правильно.

Про матричные уравнения рассказывать? =) Они устроены практически так же, только вместо чисел… правильно – матрицы (и конечно, числа тоже есть, помним, что матрицу можно умножить на число).

Общие принципы решения матричных уравнений

Типовое матричное уравнение состоит, как правило, из нескольких матриц и неизвестной матрицы , которую предстоит найти. То есть, решением матричного уравнения является матрица.

Пример 1

Решить матричное уравнение, выполнить проверку

Как решить матричное уравнение?

Фактически нужно использовать алгоритм решения детского уравнения с числами.

В правой части умножаем каждый элемент матрицы на три, а матрицу левой части переносим направо со сменой знака:

Причёсываем правую часть:

Выразим , для этого обе части уравнения умножим на :

Все числа матрицы делятся на 2, поэтому уместно избавиться от дроби. А заодно и от «минуса». Делим каждый элемент матрицы на –2:

Ответ: 

Как выполнить проверку?

Подставим найденное значение  в левую часть исходного уравнения и проведём упрощения:

Последним действием вынесли «тройку» из матрицы.

Получена правая часть исходного уравнения, значит решение найдено правильно.

Кстати, всегда ли матричное уравнение вообще имеет решение? Конечно не всегда. С ходу привожу простейшее доказательство: .

Пример, который мы разобрали, элементарен, и, скажу честно, вероятность столкнуться с чем-то подобным на практике невелика.

Раздать карточки с простейшими уравнениями, в каждой карточке по 2 уравнения

1.      Задание на сложение двух матриц (2А+В), или (3А-В), или (2А-С), или (А+3С).

2.    -2Х=3* или +2Х=2* или +Х=-2*

Рассказать про матричный метод решения-с применением обратной матрицы. (взять материал лекционный)

Пример 2

Решить матричное уравнение, выполнить проверку

Решение: Уравнение уже имеет вид , поэтому никаких предварительных действий проводить не нужно.

Для разрешения уравнения относительно  умножим обе его части на  слева:

Да-да, прямо так и пишем при оформлении решения.  Хотя можно ограничиться единственной фразой: «Решение ищем в виде » – без всяких пояснений и вывода формулы .

Из условия известны матрицы , однако, обратной матрицы  мы не знаем. Придётся её найти:

Обратную матрицу найдем по формуле:
, где  – транспонированная матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы .

 – матрица миноров соответствующих элементов матрицы .

 – матрица алгебраических дополнений.

 – транспонированная матрица алгебраических дополнений.

Таким образом, обратная матрица:

На финише проводим матричное умножение и получаем решение:

Ответ: 

Проверка: Подставим найденное значение  в левую часть исходного уравнения:
 

Получена правая часть исходного уравнения. Таким образом, решение найдено правильно.