Конспект по теме "Метод координат"

 МЕТОД КООРДИНАТ.

В чем преимущество метода координат? В том, что он трафаретный, просто работаешь с формулами и всё. И ещё, самое главное! Применяя этот метод, можно не строить плоскости, а это большой плюс.

Немного теории.

Чтобы научиться применять метод координат при решении задач, необходимо уметь выбрать удобную систему координат. В работе разобраны примеры с правильной четырёхугольной пирамидой (в основании квадрат), правильной треугольной и четырёхугольной призмой и пирамидой, в основании которой лежит прямоугольный треугольник.

Напомню, что 1) Координаты вектора

2) Длина вектора  =

3) Уравнение прямой , где     направляющий вектор прямой.

4) Уравнение плоскости ax +by +cz +d =0, причем d=0, если плоскость проходит через начало координат. Вектор нормали имеет координаты    {a; b;

Задачи, которые решает метод координат:

1)   Найти расстояние от точки до плоскости М (;

=  , где вектор нормали     {А; В;

2)    Найти расстояние между прямыми. Расстоянием между скрещивающимися прямыми будет расстояние между любой точкой одной прямой и параллельной ей плоскостью, проходящей через другую прямую.

3)  Найти угол между прямой и плоскостью

sin (

4)  Найти угол между прямыми  = , 

где координаты направляющих векторов  и

5)  Найти угол между плоскостями

6)  Найти расстояние от точки до прямой CH =AC , где

Задача 1. Сторона основания правильной четырёхугольной пирамиды SABCD относится к боковому ребру как 1: Через вершину D проведена плоскость α, перпендикулярная боковому ребру SB и пересекающая его в точке М.

а) Докажите, что М-середина SB.

б) Найдите расстояние между прямыми АС и DM, если высота пирамиды равна 6.

Решение.

а) Искомую плоскость α строить не будем.

1)  Пусть AD=а, тогда SD= а BD= а , так как ABCD – квадрат. Имеем  SBD -равнобедренный (SD= BD) и DM – высота (BS α), проведённая к основанию, значит DM – медиана. То есть М-середина SB.

 SOD – прямоугольный  =  -

                                             36*3=  –( )²

                                             36*3= 

                                              a² =72

                                              a = 6

2)    В плоскости (BSD) через точку О проведём прямую ON // MD

 BNO подобен  BMD по двум углам с к=  , значит точка N – середина BM. Расстоянием между прямыми   AC и DM (это у нас скрещивающиеся прямые) будет расстояние между любой точкой прямой DM и параллельной ей плоскостью (ACN).

Формула = 

Где вектор нормали имеет координаты    {A; B;  , а точка прямой имеет координаты (

3)  Найдём координаты точек A (3 ; 3 ; 0)

                                               C (-3 ; -3 ; 0)

                                               D (-3 ; 3 ; 0)

Точка М – середина BS       B (3 ; -3 ; 0)

                                               S (0; 0 ; 6 )

                                               M ( ;  ;  )

                                               M ( ;  ; 3)

4)  Точка N – середина BM       B (3 ; -3 ; 0)

                                               M ( ;  ; 3)

                                               N ( ;  ;  )

                                                N ( ;  ;  )

5)    Найдём уравнение плоскости (ACN)

                                           ax +by +cz +d =0

d=0, так как плоскость проходит через начало координат.

                                               A (3 ; 3 ; 0)

                                               C (-3 ; -3 ; 0)

                                                          N ( ;  ;  )

1)    a= -b 

2)  9 a - 9 b+6 c=0

6 c = 18b

c= b

-bx +by + b z =0 /:b

-x +y + z =0

Вектор нормали имеет координаты    {-1; 1;

6)    Расстояние от точки до плоскости

=   

Точка D (-3 ; 3 ; 0)

= 

= ==3

Ответ: 3

Задача 2. В правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁ на рёбрах AC и BC отмечены соответственно точки M и N так, что AM: MC= CN : BN = 2:1, точка К – середина ребра А₁С₁

а) Докажите, что плоскость MNK проходит через вершину В₁

б) Найдите расстояние от точки С до плоскости KMN, если АВ=6, АА₁=2,4

В этой задаче, конечно, пункт а) можно доказать из подобия треугольников

CMN и BCH, но я хочу применить метод координат. Поэтому докажу, что расстояние от точки В₁ до плоскости KMN равно нулю.

Решение.

Искомую плоскость KMN строить не будем.

а) Пусть AB=3p, а BB₁= h.

 

1)    Найдём координаты точек M (0; 0.5p; 0)

                                              N (-p; 0.5p; 0)

                                              K (0; 0; h)

2)    Найдём уравнение плоскости (KMN)

                                           ax +by +cz +d =0

1)   b=  

2)  =0

a=0

3)   c=  

y - z +d =0 / : d

y - z +1 =0

Вектор нормали имеет координаты    {-

3)Расстояние от точки до плоскости    B₁ (0; h

=   

= 

=, значит плоскость MNK проходит через вершину В₁

б) Расстояние от точки до плоскости    С {1,5p; 0

=   

= 

По данным задачи 3p=6, p=2, h=2,4

=  =  = =  =  =

Ответ:

Задача 3. В правильной призме ABCDA₁B₁C₁D₁ с основанием ABCD боковое ребро

 , а сторона основания равна 2. Через точку А₁ перпендикулярно плоскости AB₁D₁ проведена прямая l.

а) Докажите, что прямая l пересекает отрезок АС  и делит его в отношении 3:1.

б) Найдите угол между прямыми l и СВ₁.

Решение. Слова «проведена прямая перпендикулярно плоскости» указывают на метод координат

1)    Найдём координаты точек A (2; 0; 0)

                                              B₁ (0; 0;

                                              D₁ (2; 2; )

                                               A₁ (2; 0; )

2)    Найдём уравнение плоскости (AB₁D₁)

                                           ax +by +cz +d =0

1)   a=  

2)   c=  

=0

     b=  

y - z +d =0 / : d

x+ y - z +1 =0

Вектор нормали имеет координаты    { ;

3)Уравнение прямой, где     направляющий вектор прямой. Так как прямая l параллельна вектору нормали и проходит через точку A₁ (2; 0; ), то

4)    В условии сказано, что прямая l должна пересекать плоскость (АВС) в точке М ( х;y;z), то z=0. Найдём эти координаты

2) = -3

1

x=0.5

2y=3

y=1,5

5)    Докажем, что точка К (0,5;1,5;0) принадлежит прямой АС и делит этот отрезок в отношении 3:1.

Составим уравнение прямой АС. Так как эта прямая лежит в плоскости (АВС), то z=0

A (2; 0; 0); С (0; 2; 0);  

Подставим в это уравнение координаты точки К (0,5;1,5;0)

Равенство верное, значит точка К принадлежит прямой АС

АК = = =1,5

СК = = =0,5

АК:СК=1,5 :0,5 

б) Найдём угол между прямыми l и СВ₁.

=   

Найдём координаты направляющих векторов

A₁ (2; 0; ), К (0,5;1,5;0)

     ,

    С (0; 2; 0), B₁ (0; 0;

    ,     

=   

          =  =  =  =  =

    = =  =  = =

Ответ: arccos  .

Задача 4. Основание пирамиды SABC – прямоугольный треугольник АВС с прямым углом при вершине С. Высота пирамиды проходит через точку В.

а) Докажите, что середина ребра SA равноудалена от вершин В и С.

б) Найдите угол между плоскостью SBC и прямой, проходящей через середины рёбер ВС и SA, если известно, что BS = AC.

Решение: а)

  

1) 

                                              C (0; 0;

                                              B (0; n;0)

                                              S (0; n; k)

M – середина AS, M ( ;  ;  )

2)     

          =

        =

     MB=MC.

б) Найдём угол между плоскостью SBC и прямой EM

sin (

1)  Условие. k=m.  E (0;  М( 

2)    Найдём координаты точек A (m; 0; 0)

                                              S (0; n;

                                              B (0; n;0)

                                               C(0; 0;0)

3)    Найдём уравнение плоскости (SBC) d=0

                                           ax +by +cz +d =0

; ;

ax=0

x=0

Вектор нормали имеет координаты    { 0;

4)   sin (  ) =   

sin (  ) =  =  =  =

sin (

Ответ:

Краткое описание документа:

Данная работа содержит в себе необходимые формулы для решения задач методом координат. Также здесь рассмотрены 4 типа задач, которые можно решить вместе с учащимися при подготовке к ЕГЭ профиль.