Конспект урока « Биссектриса параллелограмма»

Защита  проекта по теме « Биссектриса параллелограмма»

1.Мотивация

 При  решении задачи №425 ("Геометрия 7-9" Л.С.Атанасян)

Периметр параллелограмма АВСД равен 46см, АВ=14см. какую сторону параллелограмма пересекает биссектриса угла А? Найдите отрезки, которые образуются при этом пересечении.

 У учащихся возникли  разногласия по построению рисунка к задаче.

В теоретических знаниях, полученных нами  на уроках геометрии, нигде не встретились свойства биссектрисы параллелограмма. И тогда учитель предложил нам попробовать исследовать эту проблему и наряду с этим попытаться отыскать ещё какие-нибудь свойства биссектрисы параллелограмма и, конечно, их доказать. Сначала мы начали вдвоём работать над этой проблемой, затем заинтересовались ещё двое.

II. Основная часть

Формулировка и доказательство свойств биссектрис параллелограмма

Мы  попытались подойти к этому вопросу практически. Изображая различные параллелограммы, при помощи транспортира проводили в них биссектрисы, анализировали рисунки и пытались сделать выводы. Так же  использовали бумажные модели параллелограммов. Проведенная работа позволила нам сформулировать и свойства биссектрис параллелограмма, а затем и доказать их.

Свойства биссектрис параллелограмма.

1.Биссектриса угла параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник.

2.Биссектрисы смежных углов параллелограмма пересекаются под прямым углом

3.Биссектрисы соседних углов параллелограмма пересекаются на большей стороне параллелограмма, если она в два раза больше меньшей стороны.

4.Биссектрисы соседних углов параллелограмма пересекаются внутри параллелограмма, если меньшая сторона больше половины большей стороны

5.Биссектрисы соседних углов параллелограмма пересекаются вне параллелограмма, если меньшая сторона меньше половины большей стороны

6.Биссектрисы соседних углов параллелограмма могут пересекать противоположную сторону или ее продолжение

7.Биссектрисы соседних углов параллелограмма равны и параллельны

8.Биссектрисы параллелограмма, пересекаясь, образуют прямоугольник.

Доказательства этих свойств мы оформили в виде презентации, чтобы затем познакомить с ними других учащихся (Приложение. Презентация)

Изучая школьные учебники по геометрии авторов А.В. Погорелова, Л.С. Атанасяна, И.Ф. Шарыгина, можно заметить, что как теоретический материал свойства биссектрис параллелограмма не встречаются, а даются как задачи на доказательство.

А это приводит к тому, что учащиеся не помнят сформулированные в них факты, так как повторяют пройденный материал по выделенным в учебнике формулировкам теорем, свойств геометрических фигур. А знание их очень полезно, так как значительно сокращает время, необходимое для решения задачи.

Формулировки некоторых из этих свойств можно встретить в сборниках олимпиадных задач, сборниках задач для подготовки к ЕГЭ, итоговой аттестации в 9 классе.

Так же мы  встретились с понятием "биссектриса внешнего угла параллелограмма" и свойства этих биссектрис. Они сформулированы в виде задач и приведены в разделе "Задачи".

При подготовке к экзамену по геометрии в новой форме в 9 классе задачи на применение свойств биссектрисы параллелограмма в основном предлагаются во второй части работы.

Учитывая всё это, мы  сделали следующее:

составили ряд несложных заданий для устного решения, которые предложили своим одноклассникам;

самостоятельно составили тестовую работу по теме "Биссектрисы параллелограмма";

сделали подборку задач по данной теме из различных сборников для подготовки к экзаменам и сборников олимпиадных заданий.

 Предложенные  задачи у учащихся вызвали затруднения, так как не владели данными знаниями, а пытались каждый раз сначала доказать очевидные для нас теперь свойства.

( Предлагается рассмотреть решение некоторых задач).

Проделанная работа убедила меня в необходимости изучения данного вопроса более глубоко, чем это предложено в учебнике.

IV. Заключение.

Рассмотрение вопроса о свойствах биссектрис параллелограмма позволило нам риобрести новые знания. Мы увидели необходимость этих свойств для решения большого количества задач. В своей работе мы не только сами сформулировали, доказали свойства, но и попыталась применить их к решению задач. Я думаю, что на следующий год этот материал будет необходим нам при подготовке к экзамену по геометрии. Будем рады, если другие ребята воспользуются им.

Список литературы:

Атанасян Л.С. Геометрия 7-9 Учебник для общеобразоват.учреждений М..2002.

Безрукова Г.К. Геометрия. Тематические тренировочные задания ГИА 2009 М.,2009.

Глейзер Г.И. История математики в школе. М.,1983.

Денищева Л.О. ЕГЭ Универсальные материалы для подготовки учащихся М.2009.

Лысенко Ф.Ф. Математика ЕГЭ - 2009 Изд-во "Легион" 2009.

Свечников А. Путешествие в историю математики М., 1995.

Шарыгин И. Математика для поступающих в ВУЗы 1995.

Сборники олимпиадных заданий.

Свойства биссектрисы треугольника.

Теория:

Каждая точка биссектрисы неразвёрнутого угла равноудалена от его сторон (п. 72)

Биссектриса треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника (№ 535)

15. Периметр параллелограмма 48 см. Биссектриса одно а из углов делит параллелограмм на две части, разность периметров которых 6 см. Найдите длины сторон.

Задача №1 В треугольнике MNP биссектрисы MD и NK пересекаются в точке P. Найдите в каком отношении точка P делит биссектрису NK, если MN=5см, NP=3см, MP=7см.

Задача №2. Дан треугольник АВС со сторонами AB=15см, BC=12см и AC=18см . В каких отношениях, считая от вершин C и B биссектрисы CM и BN делятся их точкой пересечения?

Задача №3 В прямоугольном треугольнике точка пересечения биссектрис делит биссектрису острого угла на отрезки длиной 2см и 1см. Найдите площадь треугольника.

Задача №4 В прямоугольном треугольнике биссектриса прямого угла делит гипотенузу на отрезки, длины которых относятся как 5:12. Найдите гипотенузу треугольника, если его периметр равен 60см.

Задача №5. В прямоугольном треугольнике ABC биссектриса угла А делит катет BC на отрезки 4см и 5 см. На какие отрезки эта биссектриса делит высоту CD, опущенную на гипотенузу?

Задача №6. В прямоугольном треугольнике PNK гипотенуза NK=20см,а катет PN=16см. Найдите квадрат расстояния от вершины P до биссектрисы угла K.

Задача №7 В прямоугольном треугольнике MNE катет ME равен 12см, а гипотенуза NE имеет длину 20см. Найдите квадрат расстояния от вершины B до биссектрисы угла С.

1.Во всяком разностороннем треугольнике биссектриса треугольника заключена между высотой и медианой, выходящими из той же вершины.

2. В равнобедренном треугольнике биссектриса треугольника, заключенная между равными сторонами, является одновременно высотой, медианой и осью симметрии треугольника.

3.Во всяком треугольнике биссектриса его внутреннего угла делит противоположную сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам.

4. Биссектриса внешнего угла разностороннего треугольника пересекает продолжение противоположной стороны треугольника в точке, отстоящей от концов этой стороны на расстояниях, пропорциональных прилежащим сторонам треугольника. Справедливо и обратное предложение.

5.Четыре точки (A, B, K, L), две из которых A, B - вершины треугольника, а две другие K и L - основания биссектрис, проведенных из третьей вершины C треугольника ABC, образуют гармоническую четверку точек.

6.Биссектрисы внутреннего и внешнего углов треугольника, исходящие из одной вершин, взаимно перпендикулярны.

Биссектрису иногда называют биссектором.

7.Биссектриса прямого угла в прямоугольном треугольнике лежит между медианой и высотой и делит угол между ними пополам.

Доказать, что в прямоугольном треугольнике биссектриса, опущенная на гипотенузу, является так же биссектрисой угла, образованного высотой и медианой, опущенные на гипотенузу

Решение.

Пусть BH – высота треугольника, BL – биссектриса, BM – медиана (следует заметить, что в любом треугольнике биссектриса всегда лежит между высотой и медианой, проведенные из той же вершины)

Т.к. ВМ – медиана в прямоугольном треугольнике, проведенная из прямого угла, то ВМ=МА=МС (свойство медианы в прямоугольном треугольнике, значит, треугольник ВМС – равнобедренный, т.е. . Рассмотрим углы треугольника ВМС: . Тогда угол ВМА – как смежный с углом ВМС: . Рассмотрим теперь углы треугольника ВНМ (угол Н равен 90 градусам (как высота)):  По аксиоме измерения углов имеем: , а т.к. угол LBC равен 45 градусам (т.к. BL – медиана), то . Так же , т.е . Что и требовалось доказать.

8. Если острые углы прямоугольного треугольника относятся, как 1:3, то биссектриса наибольшего угла равна одному из катетов. Докажите.

Проанализировав задачи в ЕГЭ, можно сказать, что в преподавании геометрии в школе очень много изучается как бы вскользь, чуть затрагивая свойство или даже теорему.

К таким моментам можно отнести, например, свойство биссектрисы угла в треугольнике.

Биссектриса угла в треугольнике делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные сторонам угла, из которого проведена данная биссектриса. В учебнике геометрии Л.С. Атанасяна ни слова не сказано об этом свойстве, даже в задачах не упоминается. К слову сказать, учебник совсем не плохой, по сравнению с учебником геометрии Погорелова А.В. Однако на экзаменах в форме ЕГЭ в заданиях по геометрии 2004 и 2005 года дается задача именно на данное свойство. В варианте 60 2005 года приведена задача по геометрии: В прямоугольном треугольнике АВЕ с прямым углом Е проведена биссектриса ВТ, причем АТ = 15, ТЕ = 12. Найдите площадь треугольника АВТ. Данная задача именно на свойство биссектрисы. В варианте 74 2005 года задача по геометрии: В прямоугольном треугольнике АВС с прямым углом С проведена биссектриса ВК. Найдите площадь треугольника АВК, если площадь треугольника АВС равна 21, а синус угла А равна 0,4. Данная задача также на свойство биссектрисы.

Задача11. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС высоты ВМ и АН пересекаются в точке К, причём АК=5, КН=3. Найдите площадь треугольника АВК. Проведём высоту СЕ. Она проходит через точку К (п. 73).

SАВК=. Так как треугольник АВС – равнобедренный, то высота ВМ является биссектрисой.

КЕ=КН=3. Из треугольника АЕК по т. Пифагора . В треугольнике АВН  ВН - биссектриса и делит сторону АН на отрезки, пропорциональные сторонам АВ и ВН:.

Примем ВН = х, где х>0, тогда . АВ = 6+4=10.

. Ответ 15.

Задача 12. В ромбе АВСD из вершины тупого угла В проведена высота ВН к стороне АD. Она пересекает диагональ АС в точке М. Сторона ромба равна 15, а его площадь равна 135.

Найдите площадь треугольника АМН

.

. SABCD= AD. BH. ВН = 135:15 = 9. Из треугольника АВН по теореме Пифагора,. Так как диагональ ромба является биссектрисой (п.46), то по свойству биссектрисы треугольника АВН  получим  Примем МН=х, х>0, тогда

Ответ:24.

Задача 13. Площадь равнобедренного треугольника АВС равна 20. К основанию АС и стороне ВС проведены высоты BD и АН, пересекающиеся в точке К. Найдите площадь треугольника ВКН, если

.

 тогда  АВ=ВС (так как треугольник АВС-равнобедренный). Из треугольника АВН :

1) по т. Пифагора

2) ВК – биссектриса, поэтому .

Примем КН = х, х>0, тогда ,, КН = . . Ответ: 4,5.

Литература:

Учебник для общеобразовательных учреждений “Геометрия 7-9”, Л.С. Атанасян,В.Ф. Бутузов и другие. Москва, “Просвещение”, 2006г.

КИМ “ЕГЭ -2006” под редакцией Л.О.Денищевой. Москва, “Просвещение”, 2006г

“Типовые тестовые задания ЕГЭ” - 2007г, Т.А. Корешкова, Ю.А.Глазков, В.В. Мирошин, Н.В. Шевелёва. Москва, “Экзамен”, 2007

КИМ “ ЕГЭ – 2007”, Ю.А. Глазков, Т.А. Корешкова, В.В. Мирошин, Н.В.Шевелёва. Москва, “Экзамен” -2007г

“Тренировочные задания ЕГЭ” -2008, Т.А. Корешкова, Н.В.Шевелёва, В.В. Мирошин. Москва, “Эксмо” -2008.