Конспект урока на тему: "Логарифм. Производная логарифмической функции"

Обобщающий урок по теме:

 «Логарифм. Производная логарифмической функции».

                                                                      Изобретение логарифмов,

                                                                      сократив работу астронома ,

                                                                       продлило ему жизнь…

Лаплас.

Цели урока:

• обобщение свойств логарифмической функции,  свойств логарифмов, понятия производной логарифмической и показательных функций, применение их к решению заданий;
• обобщение и систематизация знаний, умений и навыков учащихся в решении логарифмических уравнений и неравенств при подготовке к ЕГЭ;
• проверка умения самостоятельного применения полученных  знаний к решению задач.
  
  

Задачи урока:

Обучающая:

ü  повторить понятие логарифма, логарифмической функции;

ü  закрепить знание свойств логарифмов, логарифмической функции;

ü  систематизировать знания и умения для решения логарифмических  уравнений и неравенств;

ü  продолжить закрепление   практических навыков решения ключевых задач и формирование навыков применения знаний к решению  задач повышенной сложности при подготовке к ЕГЭ;

Развивающая:

ü  продолжить формирование аналитического и логического мышления учащихся;

ü  продолжить формирование у учащихся навыков самостоятельной деятельности при подготовке к ЕГЭ;

ü  пополнение интеллектуального багажа учащихся;

ü  продолжить формирование навыков математической речи.

Воспитательная:

ü  повышение мотивации к изучению предмета, повышение интереса к математике;

ü  воспитание уважения к соучастникам образовательного процесса;

ü  воспитание культуры поведения, общения, работы;

ü  воспитание стремления к самосовершенствованию.

Тип урока:

закрепление и обобщение изученного материала.

Здравствуйте ребята, меня зовут Гаджиева Айна Гюлахмедовна и наш сегодняшний урок я хотела бы начать словами:

Покоряет вершины тот, кто к ним стремится.

 Сегодня на уроке мы постараемся покорить свою вершину.

Будьте настойчивы и внимательны. Удачи!

1.Создание проблемной ситуации.

Рассмотрим задание из открытого банка заданий ЕГЭ:

Задача. Найдите точку минимума функции:

         y = 2x − 5 ln (x − 7) + 3

Можем ли мы выполнить это задание сейчас?

Что нужно знать для решения этой задачи?

Как вы думаете  будет звучать  тема нашего урока?

Что мы должны узнать?

Чему будем учиться? (Высвечивается на доске).

Правильно ребята. Тема нашего урока: «Производная логарифмической функции»

Сегодня на уроке мы повторим понятие логарифма и логарифмической функции и научимся находить ее производную, исследовать функцию с помощью производной.

Ребята, а в чем заключается взаимосвязь развития математической науки и развития общества?

1.      Актуализация знаний.

Я вам хочу рассказать о незнакомце, который увлекался астрологией, алхимией, инженерным делом и, конечно, математикой. Научное наследство его содержит целый ряд математических работ, но наибольшую известность незнакомец  приобрел как изобретатель логарифмов, которые, по словам Лапласа, «сокращая вычисления нескольких месяцев в труд нескольких дней, словно удваивают жизнь астрономов».

Как зовут этого незнакомца? Вы узнаете это, когда решите следующие задания.

Ребята, весь урок вы будите работать, отвечать. Все что мы будем делать, отмечайте в технологической карте, по каждому этапу урока.

В конце урока, каждый выставит себе оценку.

1.      Разделим наш класс на  3 лаборатории. А вы ребята выберите лидера в каждой группе. В конце урока лидер вашей группы оценит вашу работу.

Группа	Тема для исследования	Проблемный вопрос
1.Теоретики	Понятие логарифма и логарифмической функции.	Для чего нужны логарифмы.
2. Исследователи	Вывод формулы производной логарифмической функции.	Как исследовать функции.
3.практики	Логарифмы в жизни	Встречаются ли в жизни логарифмы?.

2.      Лаборатория «исследователей»

Итак, настало время поработать в творческой лаборатории. Представьте себе, что вы учёные и работаете над выводом формул производных логарифмической функции.

1.     Вывод формул производных логарифмической функции (работа парами).

Каждая пара берёт лист № 1. Опорный лист для доказательства формулы производной логарифмической функции.

Лист № 1.

    (lnx)′ =   

1). По основному логарифмическому тождеству

                

2)   В этом равенстве справа и слева стоит одна и та   же функция. Вычислите  их производные

     3). Производную левой части вычисляйте по правилу нахождения производной сложной функции.

   4). Из полученного выражения выразите (lnx)′ =

     5). Запишите получившееся выражение, учитывая, что

(ln x)′  =	1	,      х > 0
	x

(ln (Rx + b))′ = R ·	1	=	k	.
	kx + b		kx + b

Проанализируйте результаты.

3.                 Лаборатория «теоретиков.»

1)     Я предлагаю вспомнить определение логарифма

2)     Определение логарифмической функции

3)     Область определения логорифмической функции

4)     График.

 Повторение понятия логарифмической функции.

Испокон веков целью математической науки было помочь людям узнать больше об окружающем мире, познать его закономерности и тайны. Ряд явлений природы помогает описать именно логарифмическая зависимость. Иначе говоря, математики, пытаясь составить математическую модель того или иного явления, достаточно часто обращаются именно к логарифмической функции. Одним из наиболее наглядных примеров такого обращения является логарифмическая спираль.

4.      Лаборатория «практики».

1.      Я вам предлагаю ответить на вопрос, где в в жизни встречаются логарифмы? 

И раковины моллюсков, и рога архаров, семечки в подсолнухе и многие галактики (в том числе Солнечная система) закручены по логарифмической спирали.

Шум, звезды, логарифмы: Шум и звезды объединяются здесь потому, что и громкость шума и яркость звезд оцениваются одинаковым образом по логарифмической шкале. Яркость звёзд оценивают по логарифмической шкале с основанием 2,5. Величина звезды представляет собой логарифм её яркости. Громкость шума, выраженная в белах, равна десятичному логарифму его физической силы. Тихий шелест листьев оценивается в 1 бел, громкая разговорная речь  в 6,5 бела, рычанье льва  в 8,7 бела. Отсюда следует, что по силе звука разговорная речь превышает шелест листьев в: 10^(6,5-1) = 10^5,5 = 316000 раз; львиное рычанье сильнее громкой разговорной речи в 10^(8,7-6,5) = 10^2,2 = 158 раз.

Логарифм и психология: Опыты показали, что организм как бы логарифмирует полученные им раздражения, т.е. величина ощущения приблизительно пропорциональна десятичному логарифму величины раздражения.

            Логарифмы находят самое широкое применение и при обработке результатов тестирований в психологии и социологии, в составлении прогнозов погоды, в экономике, музыке. Мы не смогли привести всех примеров применения логарифмов, поскольку это сделать просто невозможно.

А сейчас, кто-то из группы исследователей пойдет к доске и попытается вывести формулу производной натурального логарифма:

  А формулу сложной функции кто запишет?

(ln (Rx + b))′ = R ·	1	=	k	.
	kx + b		kx + b

А формулу производной логарифмической функции с основанием а?

 

Сложной функции?

(loga(kx + b))′ = loga′(kx + b) · (kx +b )′ =	k
	(kx + b)ln a

5.      Решение проблемной задачи1 .(данной в начале урока).

·        Что значит исследовать  функцию?

·        Ребята, для того чтобы исследовать функцию с помощью производной, что необходимо найти?

·        Давайте попытаемся составить схему исследования функции.

Решение проблемной задачи.(данной в начале урока).

Задача. Найдите точку минимума функции:

y = 4x − 4 ln (x + 7) + 6

Снова считаем производную:

Хmin = 6

Разноуровневая самостоятельная работа.(Карточки)

Задача 2. Найдите точку минимума функции (на закрепление):

y = 2x − 5 ln (x − 7) + 3

Снова считаем производную:

Под логарифмом стоит линейная функция y = x − 7. Коэффициент при переменной x равен k = 1, поэтому в числителе никаких дополнительных множителей не возникнет — только множитель 5, который стоит перед логарифмом.

Поскольку требуется найти точку минимума, считаем нули числителя и знаменателя:

2x − 19 ⇒ x = 19 : 2 = 9,5;
x − 7 = 0 ⇒ x = 7.

Отмечаем эти точки на прямой, расставляем знаки производной между точками:

Итак, в точке x = 9,5

производная меняет знак с минуса на плюс, если считать слева — направо,

в направлении стрелки.

Это и есть точка минимума.

       Некоторые из вас получат карточки.

Поставить в соответствие.(на карточках затем на доске).

Несколько учащихся работают над индивидуальными, цветными, разноуровневыми карточками.

Задача3 . Найдите точку максимума функции (если успеем):

y = 18 ln x − x² + 5

ОДЗ логарифма: x > 0 ⇒ x ∈ (0; +∞). Считаем производную:

Поскольку требуется найти точку максимума, нас интересует и числитель, и знаменатель. Приравниваем их к нулю:

2 · (9 − x²) = 0 ⇒ x² = 9 ⇒ x = ±3 — числитель;
x = 0 — знаменатель.

Получили три точки. Отмечаем эти точки и знаки производной на числовой прямой:

Требуется найти точку максимума — там, где плюс меняется на минус. Таких точек две: x = −3 и x = 3. Но вспомним ОДЗ: x ∈ (0; +∞). Значит, точка x = −3 не подходит. Остается точка x = 3 — это и будет ответ.

6.      Итоги урока. Достигли ли мы поставленной цели?

·        Чему мы планировали научиться на уроке?

·        –Перечислите формулы производных логарифмических функций?

·        -Зачем это необходимо знать?

·        –  Какие знания нам пригодились при выполнении заданий на уроке?

• логарифмы и сегодня позволяют упрощать вычисления.

·         логарифмы можно применять в практических задачах, описывая природные и жизненные процессы.

–Оцените  свою работу, заполнив технологическую карту.

Прошу каждого из вас заполнить зачётный лист, в котором дорисуйте смайлик, соответствующий Вашему настроению

Музыка может возвышать или умиротворять душу,
Живопись  радовать глаз, 
Поэзия - пробуждать чувства,
Философия удовлетворять потребности разума,
Инженерное дело  совершенствовать материальную сторону жизни людей, а математика способна достичь всех этих целей.
                                                                          Американский математик Морис Клайн

7.     Домашняя работа.

И в заключение я хочу сказать:

Вы- талантливые дети!

Когда-нибудь вы сами приятно поразитесь,

Какие вы умные, как много вы сумеете, если

Постоянно будите работать над собой!

Хочу пожелать вам удачи на экзаменах, спасибо вам большое за прекрасный урок. Досвидание.

Технологическая карта ученика (цы)        

Задание	Результат : " +" всё выполнено верно,  "" не всё выполнено верно, "-" ничего не выполнено.
1.     Устный счет
2.     Теоретические знания
3.     Вывод формулы дифференцирования логарифмической функции
4.     Логарифмы вокруг нас
5.     Решение проблемной задачи                  y = 4x – 4ln(x + 7) + 6.
6.     Работа по карточкам (индивидуально).
7.     Творческое задание

Зачетный лист

Как я сам оцениваю свои  знания, полученные на уроке (по пятибалльной системе)	Оценка за самостоятельную работу, за выполнение творческого задания (по пятибалльной системе)	Дорисуй смайлик: •    доволен результатом •   не очень •    разочарован

Творческое задание:

 Внимательно прочитайте текст.

На полях против каждого абзаца поставьте один  из предлагаемых знаков: «v», «+», «-», «?».

«v» — это новый факт;

 «+» — это я знал;

«-» — думал иначе;

«?» — сомневаюсь в истинности информации.

Практическое применение логарифмической функции.

В математике часто используется логарифмическая функция
у = log_ax. Если а>0, то функция возрастает, если 0<a<1, то функция убывает. Логарифмическая функция проходит через точку (1;0).

Данная функция широко используется в жизни человека. Например, громкость звука и яркость звезд оценивается по логарифмической шкале. «Величина» звезды представляет собой логарифм ее физической яркости. Короче говоря, оценивая яркость звезд, астроном оперирует таблицей логарифмов, составленной по основанию 2,5.

Логарифм вторгается и в область психологии. Опыты показали, что организм как бы «логарифмирует» полученные им раздражения, т.е. величина ощущения приблизительно пропорциональна десятичному логарифму величины раздражения.

Прибыль, начисляемая на банковский счет, определяется с помощью логарифмов. Так сумму прибыли завещания Нобеля определяется с помощью формулы lgx =lg1000 + 100lg1,05

Математическая спираль является символом жизни. Развитие раковин, завитки рогов архаров, расположение семечек в подсолнухе все это развитие по логарифмической спирали. Один из наиболее распространенных пауков эпейра, сплетая паутину, закручивает нити вокруг центра логарифмической спирали. По логарифмическим спиралям закручены и многие галактики, в частности Галактика, которой принадлежит Солнечная система.