Конспект урока: Натуральный ряд чисел. Десятичная система счисления. Римская нумерация. (5 класс)

5 класс                                                Урок №2

Тема. Ряд натуральных чисел и нуль. Десятичная система записи натуральных чисел.  Римская нумерация.

Цель:      

·        восстановление основных навыков действия с натуральными числами, полученными в начальной школе; 

·        обобщение и углубление знаний учащихся о натуральных числах;

·        расширение понятия классов и разрядов;

·        научиться читать, записывать и сравнивать многозначные натуральные числа;

·        развитие интереса к предмету.

Тип урока - урок усвоения новых знаний

Планируемый результат:

Предметный: проверить навыки определения классов натуральных чисел.

Личностные УУД: формировать учебную мотивацию, адекватную самооценку, необходимость приобретения новых знаний;

Познавательные УУД: формировать навыки нахождения алгоритма решения заданий.

Регулятивные УУД: понимать учебную задачу урока, осуществлять решение учебной задачи под руководством учителя, определять цель учебного задания, контролировать свои действия в процессе его выполнения, обнаруживать и исправлять ошибки, отвечать на итоговые вопросы и достижения;

Коммуникативные УУД: воспитывать любовь к математике, коллективизм, уважение друг к другу, умение слушать, дисциплинированность, самостоятельность мышления.

Ход урока

     I.         Организационный момент.

   1 Приветствие, проверка посещаемости.

   2  Сообщение темы.

   3  Проверка домашнего задания.

  II.         Постановка цели и задач урока. Мотивация учебной деятельности учащихся.

Сегодня мы вспомним, из чего состоят числа и какую систему счисления мы используем.

Давайте вспомним:

1.        Какие числа называются натуральными?

2.                      Объясните различия между цифрой и числом.

Число — это понятие, отражающее количество.

Цифра — это знак (символ) для обозначения чисел.

3.                     Назовите наименьшее натуральное число. Существует ли наибольшее натуральное число?

4.                     Что изучает арифметика?

Арифметика изучает действия над числами, различные правила обращения с ними, учит решать задачи, сводящиеся к сложению, вычитанию, умножению и делению чисел.

III.         Объяснение нового материала.

1)     История возникновения цифр и чисел

Первое доказательство использования древними людьми счета — это волчья кость, на которой 30 тысяч лет назад сделали зарубки.

                      
Счет появился более 30 тысяч лет назад. Но цифр тогда еще не было. Просто каждому предмету соответствовала одна зарубка, одна черточка.

Если уж своих пальцев не хватало, звали приятеля, чтобы уже считать на его руках и ногах. Но такой способ был неудобен.

При ведении хозяйства, при общении с соплеменниками человек использовал пальцы рук, а иногда и ног, чтобы посчитать, например, количество голов скота в стаде, или показать, сколько мужчин пойдет сегодня на охоту.

Потом начали применять для счета подручные материалы (камушки, палочки…)

Цифры появились у разных народов в разное время.
Например, индейцы майя вместо цифр использовали только три обозначения: точку, линию и овал и записывали ими любые цифры.

В Древнем Египте около 7 тысяч лет назад использовали такую запись чисел: единица обозначалась палочкой, сотня — пальмовым листом.

А сто тысяч — обозначалось лягушкой (в дельте Нила было очень много лягушек, вот у людей и возникла такая ассоциация: сто тысяч — очень много, как лягушек в Ниле).

Римские цифры появились 2500 лет назад. С небольшими числами эта форма записи вполне удобна, но для записи больших чисел очень сложна. И с ними неудобно проводить вычисления. Сейчас римские цифры тоже применяют, например, в записи века, порядкового номера монарха и т.п.

Индейцы и народы Древней Азии при счете завязывали узелки на шнурках разной длины и цвета.

У некоторых богатеев скапливалось по несколько метров этой веревочной «счетной книги», попробуй, вспомни через год, что означают четыре узелочка на красном шнурочке! Поэтому того, кто завязывал узелки, называли вспоминателем.

В V веке в Индии появилась система записи чисел, которая является основой для современных цифр. Индия была оторвана от других стран, - на пути лежали тысячи километров расстояния и высокие горы.

Арабы были первыми «чужими», которые заимствовали цифры у индийцев и привезли их в Европу.
Поэтому считается, что современные привычные для нас цифры имеют арабское происхождение.

Арабы немного видоизменили индийскую систему записи цифр, приспособив к своему письму. Но с течением времени цифры видоизменялись.

Считается, что арабские математики для удобства решили привязать количество углов в записи цифры к его численному значению. Например, в цифре 1 — один угол, в цифре 2 — два угла, в цифре 3 — три. И так до 9. Нуля еще не существовало, он появился позже. Вместо него просто оставляли пустое место.

Привычные нам формы цифр, более округлые, потому что угловатые цифры писать долго и не очень удобно.

Но, я заметил, что угловатые цифры все же используются и в нашей жизни при написании индекса на конверте, цифр в электронных часах и калькуляторах.

Хотя они выглядят уже немного не так. Да и с развитием книгопечатания появилось много различных шрифтов как для букв, так и для цифр. Но в школах России учат писать всех детей одинаково.

Вот такая история цифр и чисел. Сейчас тоже используются разные числа. Некоторые страны, как например, арабские страны и Китай, пользуются своими особенными цифрами. Но, все-таки, наибольшее распространение получили арабские цифры, которые используют во всем мире.

2)     Ряд натуральных чисел и нуль.

Натуральные числа — это числа, которые мы используем для подсчета чего-то конкретного, осязаемого.

Вот какие числа называют натуральными: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13 и т. д.

Натуральный ряд — последовательность всех натуральных чисел, расположенных в порядке возрастания.

Особенности натуральных чисел:

1)       Наименьшее натуральное число: единица (1).

2)       Наибольшее натуральное число: не существует. Натуральный ряд бесконечен.

3)       У натурального ряда каждое следующее число больше предыдущего на единицу: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 и т. д.

4)       Множество всех натуральных чисел принято обозначать латинской буквой N.

Число 0 не является натуральным. Его при подсчете предметов мы использовать не можем.

3)     Десятичная система счисления

Практическая деятельность потребовала от человека не только умения считать, но и умения записывать числа. В старину для за­писи натуральных чисел использовались и особые рисунки, и чёр­точки, и буквы, и т. п.

Историческая справка

У разных народов в разное время употреблялись различные си­стемы счисления (нумерации). У первобытных народов не суще­ствовало развитой системы счисления. Ещё в XIX веке у многих племён Австралии и Полинезии было только два обозначения — для числа «один» и для числа «два». Эти обозначения они комбиниро­вали. Число «три» они называли «два и один», число «четыре» — «два и два», число «пять» — «два, два и один», число «шесть» — «два, два и два». А числа, большие шести, они не различали и называли словом «много».

В настоящее время принята десятичная система записи чисел (де­сятичная система счисления), в которой числа записывают при по­мощи десяти знаков (цифр): 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Эти знаки называют цифрами.

При этом одна и та же цифра имеет различное значение в за­висимости от того места (позиции), где она расположена в записи числа. Например, в записи числа 777 первая справа цифра 7 озна­чает семь единиц, вторая — семь десятков, третья — семь сотен.

Поэтому десятичную систему счисления называют позиционной.

Важную роль в десятичной системе счисления играет число 10. Десять единиц называют десятком, десять десятков — сотней, де­сять сотен — тысячей и т. д.

В 1703 году был издан первый печатный учеб­ник математики — «Арифметика» Л. Ф. Магницкого, в котором все вычисления велись в десятичной системе записи чисел.

Видео: https://resh.edu.ru/subject/lesson/7719/main/316205/

Римская система (непозиционной системы, счисления без нуля). В ней числа записывают с помощью сле­дующих цифр:

I = 1, V = 5, Х=10, L = 50, С=100, D = 500, М = 1000.

Если меньшая цифра стоит после большей, то она прибавляет­ся к большей: XV =15, XVI = 16. Если меньшая цифра стоит перед большей, то она вычитается из большей: IV = 4, IX = 9, ХL = 40, ХС = 90, СD = 400,                   СМ = 900. В других случаях правило вычитания не применяется. Числа от 1 до 21 обозначают так:

I,  II, III, IV, V, VI, VII, VIII, IX, X, XI, XII, XIII, XIV, XV, XVI, XVII, XVIII, XIX, XX, XXI.

Римскую систему нумерации используют и сейчас для обозна­чения веков, глав в книгах и т. п.

Древняя вавилонская систе­ма счисления была шестидесятеричная. Следы этой системы сохрани­лись сейчас в единицах измерения времени:

1 ч = 60 мин, 1 мин = 60 с.

Натуральные числа, записанные одной цифрой, называют одно­значными, а записанные несколькими цифрами — многозначными: двумя — двузначными, тремя — трёхзначными и т. д.

Например, 1, 7, 9 — однозначные числа; 10, 77, 99 — двузнач­ные числа; 100, 357 — трёхзначные числа; 537 633, 987 345 — ше­стизначные числа.

Первая цифра справа в десятичной записи числа называется цифрой первого разряда, вторая цифра справа — цифрой второго разряда и т. д. Каждые 10 единиц любого разряда составляют одну единицу следующего (более высокого) разряда.

Первую цифру слева в записи натурального числа называют цифрой высшего разряда. Она всегда отлична от нуля.

Чтобы прочитать многозначное число, цифры в его записи раз­бивают справа налево на группы по три цифры в каждой. Эти группы называют классами. В каждом классе цифры справа на­лево обозначают единицы, десятки и сотни этого класса.

Первый класс справа называют классом единиц, второй — клас­сом тысяч, третий — классом миллионов, четвёртый — классом миллиардов и т.д.

 IV. Первичная проверка понимания.

Пример 1. Прочитать число 148951784296.

Выделим в нём классы: 148 951 784 296 и прочитаем число единиц каждого класса слева направо:

148 миллиардов 951 миллион 784 тысячи 296.

Пример 2. Закончите равенство римским числом:

1)     X+II=XII

2)     IX-II=VII

3)     XIII+V=XVIII

4)     XX-XIV=VI

Пример 3. Запишите римскими цифрами: 21, 105, 216, 1002.

21=XXI

105=CV

216=CCXVI

1002=MII

Каждое натуральное число можно записать в виде суммы разрядных слагаемых.

Пример 4. Запишите число в виде суммы разрядных слагаемых:

1) 3 278 = 3 × 1000 + 2 × 100 + 7 × 10 + 8 × 1;

2) 5 031 = 5 × 1000 + 0 × 100 + 3 × 10 + 1 × 1 = 5 × 1000 + 3 × 10 + 1 × 1;

3) 3 700 = 3 × 1000 + 7 × 100 + 0 × 10 + 0 × 1 = 3 × 1000 + 7 × 100.

    V. Первичное закрепление.

Работа с учебником (автор Мерзляк)

№18, 19

 VI.Информация о домашнем задании, инструктаж по его выполнению.

№22, 23

Посмотреть видео: 1) https://resh.edu.ru/subject/lesson/7719/main/316205/

2) https://youtu.be/bmzhASttDLU

VII.Рефлексия

-Что такое натуральный ряд чисел?

-Какие системы счислений бывают?

-Всё ли было понятно? Есть ли вопросы?