Конспект урока по алгебре "Функции y=sinx и y=cosx их свойства и график"

Тема: Тригонометрические функции y=sinx и y=cosx, их свойства и графики.

Цели: детально рассмотреть функции y=sinx и y=cosx, выделить их основные свойства; построить в прямоугольной системе координат графики функции  y=sinx и y=cosx на основе выделенных свойств; формировать умения находить значение функции  у = sin х и y=cosx для заданных аргументов/

      Используемые технологии:

      проблемного обучения, критического   мышления,  коммуникативного общения.

Ход урока

1. Организационный момент.

2. Устная работа.

1. Вычислите.

2. Сопоставьте графики функций и формулы их задающие.

а	б	в	г	д	е

3. Актуализация опорных знаний

Давайте ответим на несколько вопросов?

1.                      Тригонометрическое уравнение sin t = a всегда имеет решения?

2.                      Сколько решений имеет тригонометрическое уравнение cost=a?  

3.                      Можно ли график нечетной функции построить с помощью преобразования симметрии относительно оси Оу?

4.                      Как построить график четной функции?

5.                      График тригонометрической функции можно построить, используя одну главную полуволну?

Мы уже познакомились с функциями  y= sin t, y=cost.

 Давайте сейчас вспомним, все что мы знаем про эти функции и заполним опорный конспект.

1)  Какие значения может  принимать  переменная t.   Какова  область  определения

каждой функции?

2) В каком промежутке заключены значения выражения sin t, cost.  Найти наибольшее и наименьшее значения функций   y= sin t, y=cost.

3)  Решите уравнение sin t = 0, cost=0, cost=1?

4)  Что происходит с ординатой точки при ее движении по первой четверти? (ордината увеличивается). Что происходит с ординатой точки при ее движении по второй четверти? (ордината постепенно уменьшается). Как это связано с монотонностью функции? (функция s = sin t возрастает на отрезке  и убывает на отрезке ). Что можно сказать про абсциссу точки?

Какие можно сделать выводы?

Функция y=cosx определена на всей числовой прямой и множеством её значений является отрезок [−1;1]

Следовательно, график этой функции расположен в полосе между прямыми y=−1 и y=1

Так как функция y=cosx периодическая с периодом 2π, то достаточно построить её график на каком-нибудь промежутке длиной 2π, например на отрезке −π≤x≤π, тогда на промежутках, получаемых сдвигами выбранного отрезка на 2πn,n∈Z, график будет таким же.

Функция y=cosx является чётной. Поэтому её график симметричен относительно оси Oy.

Функция y=sinx определена на всей числовой прямой, является нечётной и периодической с периодом 2π.  

График этой функции можно построить таким же способом, как и график функции y=cosx, начиная с построения, например,  на отрезке [0;π]. 

Однако проще применить формулу sinx=cos(x−π2), которая показывает, что график функции y=sinx можно получить сдвигом графика функции  y=cosx вдоль оси абсцисс вправо на π2 

4. Изучение нового материала

      5)  Запишем функции в привычном для нас виде в привычном для нас виде у = sin х и y=cosx (строить будем в привычной системе координат хОу) и составим таблицу значений этих функции.

y=sinx

х	0
у	0			1			0

y=cosx

х	0
у	1			0	-	-	-1

Можно по­лу­чить гра­фик функ­ции  и дру­гим спо­со­бом. По фор­му­лам при­ве­де­ния  по­это­му гра­фик ко­си­ну­са – это си­ну­со­и­да, сдви­ну­тая по оси x на  влево
Построение графиков функции у = sin х и y=cosx и запись свойств функции в тетради.

1) D(y) = 2) E (y) = 3) функция ограничена и сверху, и снизу 4) унаиб = 1, унаим = -1 - наибольшее значение, равное 1, при x=π2+2πn,n∈Z  - наименьшее значение, равное −1, при x=−π2+2πn,n∈Z   5) непрерывная функция 6) нечетная функция 7) возрастает на ; убывает на - возрастает на отрезке  [−π2;π2] и на отрезках, получаемых сдвигами этого отрезка на 2πn,n∈Z - убывает на отрезке  [π2;3π2] и на отрезках, получаемых сдвигами этого отрезка на 2πn,n∈Z 8) нули функции - значение, равное 0, при  x=πn,n∈Z

1) D(y) = 2) E (y) = 3) функция ограничена и сверху, и снизу 4) унаиб = 1, унаим = -1 - наибольшее значение, равное 1, при x=2πn,n∈Z  - наименьшее значение, равное −1, при  x=π+2πn,n∈Z   5) непрерывная функция 6) четная функция 7) Функция y=cosx - возрастает на отрезке [π;2π] и на отрезках, получаемых сдвигами этого отрезка на 2πn,n∈Z - убывает на отрезке [0;π] и на отрезках, получаемых сдвигами этого отрезка на 2πn,n∈Z 8) нули функции - значение, равное 0, при x=π2+πn,n∈Z;

График функции у = sin х называется синусоидой.

Замечание. Приведем одну из версий происхождения термина «синус». По-латыни sinus означает изгиб (тетива лука). Построенный график в какой-то степени оправдывает эту терминологию.

Можно по­лу­чить гра­фик функ­ции  и дру­гим спо­со­бом. По фор­му­лам при­ве­де­ния  по­это­му гра­фик ко­си­ну­са – это си­ну­со­и­да, сдви­ну­тая по оси x на  влево

5. Формирование умений и навыков.

Упражнения на изучение функциональной символики: № 16.1 (а; б), № 16.2 (а; б), № 1\6.4 (а; б), № 16.6 (а; б).№ 16.8 (а; б).

Решение:

№ 16.1.

№ 16.4.

а) Если  то  значит, точка  принадлежит графику функции у = sin х.

б) Если  то  значит, точка  не принадлежит графику функции у = sin х.

№ 16.5.

а) Если х = 0, то  значит, точка  принадлежит графику данной функции.

б) Если  то  значит, точка  принадлежит графику данной функции.

№ 16.6.

а) Построив график функции у = sin х и выделив его часть на отрезке  убеждаемся, что  а

б) На луче  

Выполняя упражнения № 10.7 – 10.10, учащиеся должны проговаривать правила «механического» преобразования графика исходной функции у = sin х.

6. Итоги урока.

Вопросы учащимся:

– Назовите D_f  и E_f  функции у = sin х.

– Назовите D_f  и E_f  функции у = cos х.

– Как называется график функции у = sin х? y=cosx?

– Назовите основные свойства функции у = sin х, y=cosx.

– Принадлежат ли графику функции у = sin х точки А (0; 0);  

Домашнее задание, п 16, 17,/ № 16.1(в,г); 16.3; 16.6; 16.9(а,б);  № 16.4, 16.5, 16.8, 16.7

Опорный конспект

1. Теоретическая часть.

1.1 Выполните следующие задания:

1) Выделите цветом ось синусов, другим цветом ось косинусов

2) Подпишите значения выделенных точек

1.2 Заполните таблицу «Свойства функции числового аргумента»

№ п/п	Свойство	Sint=y, графическая интерпретация	Cost=y, u графическая интерпретация
1	Область определения
2	Область значения
3	Периодичность
4	Четность, нечетность
5	Промежутки монотонности
6	Наибольшее и наименьшее значения

1.3 Заполните таблицу значений и постройте график функции y=sin x.

x	0
y

1.3 Заполните таблицу значений и постройте график функции y=cos x.

x	0
y

1.3 Заполните таблицу «Свойства функции y=sin x, y=cosx»

№ п/п	Свойство
	y=sin x	y=cosx
1
2
3
4
5
6
7
8

2. Практическая часть.

2.1 Заполните таблицу

	а)	б)		в)	г)
1. Найдите значение функции	Ответ:	Ответ:		Ответ:	Ответ:
2. Не выполняя построения, ответьте на вопрос, принадлежит ли точка графику	(   ;   ) Ответ:	(  ;  1 ) Ответ:		(   ;   ) Ответ:	(   ;  1 ) Ответ:
3. Постройте график функции	y=cosx+0,5, y=sinx-0,5, y=cos(x-), y=sin(x+)
4. Найдите область определения функции
5. Найдите область значений функции
6. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на
7. На каких множествах функция возрастает, убывает	возр: убыв:	возр: убыв:		возр: убыв:	возр: убыв:
8. Найдите нули функции

Вариант 1

Проверочный тест по тригонометрии «Функция у = sin(x), ее свойства и график»

Всего 5 вопросов. Оценка «5» ставится за 5 правильных ответов, «4» - 4 ответов, «3» - за 3 ответа.

1 вопрос: Знак синуса положителен в какой из четвертей?

1. 1 и 2
2. 2 и 3
3. 3 и 4
4. 4 и 1
5. 3 и 1

2 вопрос: Какие из данных уравнений не имеют решений: а) sin x=π/3      б) sin x =  3   

 в) sin x =  π/2    г)  sin x=   π /6   д)  sin x = 2?

1. а и в
2. а и д
3. а и г
4. б и д

3 вопрос: Если для любого х из области определения f значение (–х) также входит в область определения и выполняется равенство f(–х) = - f(х), то как называют такую функцию?

1. нечетной
2. ни четной, ни нечетной
3. четной
4. честной

4 вопрос:

Не выполняя построения, определите, принадлежит ли графику функции точка: .         1. М и К -  принадлежат;         2. М – принадлежит, К – не принадлежит;         3. М – не принадлежит, К – принадлежит;         4. М и К – не принадлежат.

5 вопрос:  Укажите, на каком рисунке изображён график  функции .

   1.                               2.

   3.                                4.

Вариант 2

Проверочный тест по тригонометрии «Функция у = sin(x), ее свойства и график»

Всего 5 вопросов. Оценка «5» ставится за 5 правильных ответов, «4» - 4 ответов, «3» - за 3 ответа.

1 вопрос: Знак синуса положителен в какой из четвертей?

1. 2 и 3
2. 1 и 2
3. 3 и 4
4. 4 и 1
5. 3 и 1

2 вопрос: Какие из данных уравнений не имеют решений: а) sin x =  3    б) sin x=π/3     

 в) sin x =  π/4   г)  sin x=   π /6   д)  sin x = -2?

1. а и в
2. а и д
3. а и г
4. б и д

3 вопрос: Если для любого х из области определения f значение (–х) также входит в область определения и выполняется равенство f(–х) = - f(х), то как называют такую функцию?

1. четной
2. ни четной, ни нечетной
3. нечетной
4. честной

4 вопрос: Не выполняя построения, определите, принадлежит ли графику функции точка: .

        1. М и К -  принадлежат;

        2. М – принадлежит, К – не принадлежит;

        3. М – не принадлежит, К – принадлежит;

        4. М и К – не принадлежат.

5 вопрос:  Укажите, на каком рисунке изображён график  функции .

   1.                               2.

   3.                                 4.