Конспект урока по элективному курсу по комбинаторике

Урок 1. Тема " Введение в комбинаторику "

Цели урока: создать условия для формирования понятия о науке «Комбинаторика», о истории ее возникновения, научится решать несложные комбинаторные задачи.

Задачи урока:

Образовательная:

дать понятие способов решения комбинаторных задач (дерево испытаний, перебор), определить правило умножения и правило сложения.

Воспитательная:

воспитание трудолюбия;

создание условий для творческой самореализации личности.

Развивающая:

развитие познавательного интереса, логического мышления и внимания.

Оборудование:

Мультимедийное оборудование.

Демонстрационные файлы.

Раздаточный материал.

Материалы и предметы, связанные с комбинаторикой.

Ход урока:

1.Организациооный момент.

2. . Постановочно – практическое задания, содержащее проблемную

ситуацию.

Сегодня мы начинаем изучать новый курс математики – «Комбинаторика».

Учитель: Как вы думаете, что может изучать комбинаторика?

Ученики: Комбинациями (добиться наводящими вопросами этого ответа).

Учитель: Верно. Чтобы лучше понять, о чем речь, к доске прошу выйти Михаила, Сергея, Виктора. А Вас подумать сколькими способами можно их построить в шеренгу?

Все дети вовлекаются в этот игровой момент.

Учитель: Как видите решение не однозначно, мы можем различными способами переставлять одноклассников. К решению этой задачи мы с Вами ещё вернемся. В математике существует немало задач, в которых приходится составлять различные комбинации из конечного числа элементов и подсчитывать число комбинаций. Такие задачи называются комбинаторными, а раздел математики, занимающийся решением таких задач, – комбинаторикой. (слайд 4)

3. Введение понятий.

Об истории возникновения науки «Комбинаторика» расскажут ученики класса.

Представителям самых различных специальностей приходится решать задачи, в которых рассматриваются те или иные комбинации, составленные из букв, цифр и иных объектов.

Например:

начальнику цеха надо распределить несколько видов работ между имеющимися станками;

агроному – разместить посевы зерновых культур на нескольких полях;

завучу школы – составить расписание уроков.

Учитель: Об истории возникновения науки «Комбинаторика» расскажут ученики класса. (слайд 5 – 7)

Комбинаторика возникла в XVI веке. Первоначально она применялась для расчета шансов на выигрыш в различных азартных играх: рулетке, игре в кости, а также в карточных играх. В карты и кости выигрывались и проигрывались золото и бриллианты, дворцы и имения, породистые кони и дорогие украшения. Широко были распространены всевозможные лотереи. Ясно, что первоначально комбинаторные задачи касались в основном азартных игр. Теоретические исследования вопросов комбинаторики предпринимали итальянские математики Тарталья и Кардано, французы Паскаль и Ферма, причем в работах последних были уже заложены основы теории вероятностей – ещё одного большого раздела математики, введением в которую является комбинаторика, она имеет большое значение для теории вероятностей, теории управляющих систем, статистики и других разделов науки и техники.

Постепенно комбинаторные методы стали тем аппаратом, с помощью которого удалось получить замечательные результаты в теории вероятностей. Здесь можно отметить работы Я.Бернулли, который комбинаторными методами доказал первую содержательную теорему теории вероятностей – так называемый закон больших чисел. Серьезный вклад в разработку теории вероятностей сделали русские и советские математики П.Л. Чебышев, А.А.Марков, А.М.Ляпунов, А.Н.Колмогоров и другие. И хотя ее аппарат чрезвычайно расширился и усложнился по сравнению с аппаратом теории вероятностей XIX века, комбинаторные методы сохраняют свое значение и сегодня.

Исторический анонс.

Французский дворянин, некий господин де Мере, был азартным игроком в кости и страстно хотел разбогатеть. Он затратил много времени, чтобы открыть тайну игры в кости. Он выдумывал различные варианты игры, предполагая, что таким образом приобретет крупное состояние. Так, например, он предлагал бросать одну кость по очереди 4 раза и убеждал партнера, что, по крайней мере, один раз выпадет при этом шестерка. Если за 4 броска шестерка не выходила, то выигрывал противник.

В те времена еще не существовала отрасль математики, которую сегодня мы называем теорией вероятностей, а поэтому, чтобы убедиться, верны ли его предположения, господин Мере обратился к своему знакомому известному математику и философу Б. Паскалю с просьбой, чтобы он изучил этот вопрос. Паскаль не только сам заинтересовался этим, но и написал письмо известному математику П. Ферма, чем спровоцировал его заняться общими законами игры в кости и вероятностью выигрыша.

Таким образом, азарт, жажда разбогатеть дали толчок возникновению новой математической дисциплины – теории вероятностей. В разработке ее основ принимали участие математики такого масштаба, как Паскаль и Ферма, Гюйгенс (1629 – 1695), который написал трактат «О расчетах при азартных играх», Яков Бернулли (1654 – 1705), Муавр (1667 – 1754), Лаплас (1749 – 1827), Гаусс (1777 – 1855) и Пуассон (1781 – 1840). В наше время вероятностью пользуются почти во всех отраслях знаний: в статистике, биологии, экономике и т. д.

За десятилетия комбинаторика перешла период бурного развития. Установлены связи между комбинаторикой и задачами линейного программирования, статистики. Комбинаторика используется для составления и декодирования шифров и для решения других проблем теории информации.

4. Изучение и первичное закрепление нового материала.

Учитель: А теперь прочитайте условия задач и выберите те из них, которые являются комбинаторными. 

Задача № 1. Сколькими способами можно построить 3 – х человек в шеренгу.

Задача № 2. На первой полке в 2 раза больше книг, чем на второй. Когда с первой полки переставили на вторую 12 книг, на обеих полках стало поровну. Сколько книг было на каждой полке?

Задача № 3. В автосервис приехали 5 машин для ремонта. Сколько существует способов выстроить их в очередь на обслуживание?

Задача № 4. За 8 часов по течению лодка проходит расстояние, в 2 раза больше, чем за 5 часов против течения. Какова скорость течения, если собственная скорость лодки 13,5 км/ч?

       Задача № 5. Сколько различных трёхцветных флагов можно сшить из желтого, красного и синего материала, если все полосы на них расположены горизонтально?

Учитель: А теперь добавим к ним ещё задачи и примемся за их решение.

Итак, знакомая нам первая задача. 

Задача № 1. Сколькими способами можно построить 3 – х человек в шеренгу?

(Сергей, Михаил и Виктор). 

На первое место может стать любой из трёх учащихся.

На второе место любой из двух учащихся.

Тогда на третье место может занять один учащийся.

Сколько получилось различных вариантов?

Представим решение задачи в виде следующей схемы (такая схема называется деревом испытаний) – это удобный способ решения таких задач, при котором трудно пропустить какую – нибудь возмож­ность. Решая задачу, мы просто переставляли имена трёх человек, т.е. составляли всевозможные перестановки из трёх элементов, отличающиеся друг от друга порядком расположения в них элементов.

Получилось: 3 ∙ 2 ∙ 1 = 6 (способов).

Задача № 2. В автосервис приехали 5 машин для ремонта. Сколько существует способов выстроить их в очередь на обслуживание? (слайд 13)

Номер очереди	Способы
Первая	5
Вторая	4
Третья	3
Четвертая	2
Пятая	1

Рассуждения аналогичные первой задаче мы оформим в виде таблицы.

Получится: 5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 120 (способов).

Задача № 3. Сколько различных трёхцветных флагов можно сшить из желтого, красного и синего материала, если все полосы на них расположены горизонтально? 

(для решения этой задачи учащиеся получают раздаточный материал в виде полосок цветной бумаги и составляют всевозможные комбинации, получая различные способы решения, и после решения двух предыдущих задач ответ находят быстро)

Получилось: 3 ∙ 2 ∙ 1 = 6 (способов).

Задача № 4. В магазине «Всё для чая» продают 5 чашек и 3 блюдца. Сколькими способами можно купить один предмет? 

Давайте подумаем, если чашек пять, а блюдец три то сколькими способами можно купить один предмет.

Чашку – 5 способами.

Блюдце − 3 способами.

Получилось: 5 + 3 = 8(способов0

Задача № 5. Имеется 4 яблока и 2 груши. Сколькими способами можно съесть по одному фрукту? 

Аналогично предыдущей задаче проведём рассуждения и получим: 4 + 2 = 6 (способов).

Учитель: Скажите, пожалуйста, почему задачи разделены на два столбика?

Каким действием решались задачи из первого столбика?

Каким действием решались задачи из второго столбика?

Так вот основные два правила комбинаторики это правила: «правило умножения», и «правило сложения». 

        -А теперь, ребята отправимся на несколько тысячелетий назад в Древний Китай, где в конце XIX века на постоялом дворе произошел разговор между пассажиром и кучером.

Инсценировка.

Пассажир ходит, ожидая кучера. Затем появляется кучер и пассажир спрашивает:

- Не пора ли запрягать?

Что вы! - ответил кучер.

Еще полчаса до отъезда. За это время я успею 20 раз и запрячь, и отпрячь, и опять запрячь. Нам не впервой...

А сколько в карету впрягается лошадей?

Пять.

Сколько времени полагается на запряжку лошадей?

Да минуты 2, не более.

Ой, ли? - усомнился пассажир.

Пять лошадей запрячь в две минуты... Что-то уж очень скоро!

И очень просто, - отвечал кучер.

Выведут лошадей в сбруе, постромках с вальками, в вожжах. Остается только накинуть кольца вальков на крюки, приструнить двоих средних лошадей к дышлу, взять вожжи в руки, сесть на козлы и готово... Поезжай!

Ну, хорошо! - заметил пассажир.

-Допустим,что таким образом можно запрячь и отпрячь лошадей хоть 20 раз в полчаса. Но если их придется перепрягать одну на место другой, да еще всех, то уж этого не сделать не  только в полчаса, но и в два часа.

- Тоже пустячное дело! - расхвастался кучер.

- Разве нам не приходится перепрягать! Да какими угодно способами я их всех перепрягу в час, а то и меньше - одну лошадь на место другой поставил, и готово! Минутное дело!
        - Нет, ты перепряги их не теми способами, которые мне угодны, - сказал
пассажир, а всеми способами, какими только можно перепрячь 5 лошадей,
считая на перепряжку одну минуту, как ты хвастаешь.
Самолюбие кучера было задето.

Конечно, всех лошадей и всеми способами я перепрягу не более как за час.

Я дал бы 100 рублей, чтобы посмотреть, как ты сделаешь это за час! - сказал пассажир.

А я при всей своей бедности заплачу за ваш проезд в карете, если я этого не сделаю, - ответил кучер.

Так и условились.

Учитель: Итак, ребята, кучер с пассажиром задали нам задачу. Ответьте на этот вопрос дома, т. е. помогите кучеру посчитать, сколькими способами можно перепрячь пять лошадей, и успеет ли он выполнить эту работу за час. Плюс к этому Вам раздаю ксерокопию домашнего задания, и предлагаю Вам дома решить не меньше трёх задач.

4.Домашняя работа.

1. Квартет.

Проказница Мартышка,

Осел,

Козел

Да косолапый Мишка

Затеяли сыграть квартет...

Начали музыканты играть — не получается.

— Стой, братцы, стой! —

кричит Мартышке, — погодите!

Как музыке идти?

Ведь вы не так сидите...

И так и этак пересаживались — музыка на лад не идет.

Тут пуще прежнего пошли у них раздоры

И споры,

Кому и как сидеть...

Помогите музыкантам перепробовать все возможные способы перемены мест.

2. Имеются треугольники четырёх цветов, синий, жёлтый, зелёный и красный. Сколько можно составить ёлочек, не повторяя цвета.

5. Подведение итога урока

С какой наукой мы познакомились?

Кто из учёных внёс вклад в развитие науки?

Какие способы решений задач Вы узнали?

А теперь давайте посмотрим видео фрагмент из фильма «Турецкий гамбит», герои которого использовали игральные кости для разрешения проблемной ситуации.