Конспект урока по математике "Арифметический корень натуральной степени"

Тема:  Арифметический корень натуральной степени.     

Задачи:  Пополнить и систематизировать знания учащихся об арифметическом корне

               натуральной степени.

               Развитие памяти, математической устной и письменной речи.

               Воспитание культуры мышления, трудолюбия.

Тип занятия. комбинированный урок

Оборудование: учебники, раздаточный материал

Ход занятия.

I.                  Организационный момент

Проверка подготовки группы к уроку

Работа с классным журналом.

II.               Постановка темы и задач занятия

Сегодня на занятии мы с вами вспомним определение корня квадратного из числа,  Рассмотрим определение и свойства корня n-й степени

III.           Проверка домашнего задания.

№№ 15, 18 с. 138, § 2, гл. IV.

IV.            Актуализация знаний

Повторение изученного

- Вспомним:

определение квадратного корня из числа и основные его свойства;

(квадратным корнем из числа а называется такое число, квадрат которого равен а)

свойства степени с целым показателем.

- Сформулируем теорему о корне, которая нам будет необходима для определения корня п-й степе­ни из числа а.

Теорема о корне.  Пусть функция f(x) возрастает (или убывает) на промежутке I, число a – любое из значений, принимаемых функцией f(x) на этом промежутке. Тогда уравнение f(x) = a имеет единственный корень на этом промежутке I.

V.               Изучение нового

Арифметический корень натуральной степени и его свойства

1. Определение корня. С понятием квадратного корня из числа а вы уже знакомы: это такое число, квадрат которого равен а. Аналогично определяется корень п-й степе­ни из числа а, где п — произвольное натуральное число.

Определение. Корнем n-й степени из числа а называется такое число, п-я степень которого равна а.

Согласно данному определению корень n-й степени из числа а — это решение уравнения х^п = а. Число корней этого уравнения зависит от n и а. Рассмотрим функцию f(x) = xⁿ.

Как известно, на промежутке [0; ¥) эта функция при любом п возрастает и принимает все значения из промежутка [0; ¥). По теореме о корне (п. 8) уравнение х^п = а для любого aÎ[0; ¥) имеет неотрицательный корень и притом только один. Его называют арифметическим корнем п-й степени из числа а и обозначают ; число п называется показателем корня, а само число а — подкоренным выражением. Знак корня называют также радикалом.

Определение. Арифметическим, корнем п-й степени из числа а называют неотрицательное число,  п-я степень которого равна а.

При четных n функция f(x) = xⁿ четна. Отсюда следует, что если а > 0, то уравнение х^п = а, кроме корня х₁ = , имеет также корень x₂ = - . Если а = 0, то корень один:    x = 0; если а < 0, то это уравнение корней не имеет, поскольку чет­ная степень любого числа неотрицательна.

Вывод: при четном п существуют два корня n-й степени из любого положительного числа а; корень n-й степени из чис­ла 0 равен нулю; корней четной степени из отрицательных чи­сел не существует.

При нечетных значениях n функция f(x)= х^п возрастает на всей числовой прямой; ее область значений — множество всех действительных чисел. Применяя теорему о корне, нахо­дим, что уравнение х^п = а имеет один корень при любом а и, в частности, при а<0. Этот корень для любого значения а (в том числе и а отрицательного) обозначают  .

Вывод: при нечетном n существует корень n-й степени из любого числа а, и притом только один.

Для корней нечетной степени справедливо равенство  = -  .

В самом деле,   = ( - 1 )ⁿ .  = - 1 × a = - a ,  т. е. число -  есть корень n-й степени из - а. Но такой корень при нечетном п единственный. Следовательно,          = -  .

Равенство  = -  (при нечетном п) позволяет вы­разить корень нечетной степени из отрицательного числа че­рез   арифметический   корень   той   же   степени.   Например,  = -,  = -3.

З а м е ч а н и е   1. Для любого действительного х

 = .

 (Докажите это свойство самостоятельно.)

З а м е ч а н и е 2. Удобно считать, что корень первой сте­пени из числа а равен а. Как вы уже знаете, корень второй степени из числа называют квадратным корнем, а показатель 2 корня при записи опускают (например, корень квадратный из 7 обозначают просто ). Корень третьей степени называ­ют кубическим корнем.

2. Основные свойства корней. Сформулируем свойства арифметических корней n-й степени.

Для любого натурального n, целого k и любых неотрицательных чисел а и b выполнены равен­ства:

1⁰.

      2⁰.  ( b≠ 0 ).

         3⁰.  ( k > 0 ).

         4⁰.  ( k > 0 ).

                                     5⁰.  ( если k ≤ 0 , то a ≠ 0 ).

6⁰. Для любых чисел а и b, таких, что  0 ≤ а <  b, выполняется неравенство  .

VI.            Закрепление изученного

1.     Решение упражнений с разбором у доски.

Пример 1. Корень третьей степени из числа 27 равен 3, так как 3³ = 27. Числа 2 и -2 являются корнями шестой степени из числа 64, поскольку 2⁶ = 64 и ( -2)⁶ = 64.

Пример   2.  Найдем значение: a)  ;  б)  .

а)  = 2,  так как  2³ = 8  и  2 > 0;

б)  =  ,  так как =  и  > 0 .

Пример 3. Уравнение х⁴ = 81 имеет два корня: это чис­ла 3 и - 3. Таким образом, существуют два корня четвертой степени из 81. При этом   - это неотрицательное число, т. е.  = 3, а - 3 = - .

Пример   4.  Положительным корнем уравнения x⁴ = 3 является число . Это число (так же, впрочем, как и - ) иррационально. Его десятичные знаки вычислим последова­тельно:

1 <  < 2, так как 1⁴ < 3 < 2⁴ ;

1,3 <  < 1,4,  так как  1,3⁴ < 3 < 1,4⁴  и  т. д.

(убедитесь, что  = 1,31607...).

Пример  5. Решим уравнение: а) х⁵ = -11; б) х⁸ = 7.

а)  По определению корня n-й степени число х — корень пятой степени из -11. Показатель корня — нечетное число 5, поэтому такой корень существует и притом только один: это  . Итак, х= -.

б)  По определению корня n-й степени решением уравнения х⁸ = 7 является число  . Так как 8 — число четное, -    также  является  решением данного уравнения.  Итак,

х₁ = , х₂ = -. Ответ  запишем так: :  х = ±.

Пример  6. Преобразуем выражения: а) ; б) ; в) ; г) ; д) .

а)  =  = 2  (свойство 1⁰); б)  =      (свойство 2⁰);

в)  =                         (свойство 3⁰); г)  =               (свойство 4⁰);

д)   = 2³ = 8      (свойство 5⁰).

Пример  7. Сравним числа  и .

Представим  и  в виде корней с одним и тем же показателем:  = ,  =  (свойство 4⁰). Из неравенства 32 > 27 по свойству 6⁰ следует, что  >  и, значит  > .

2.     Самостоятельное решение упражнений с последующей проверкой

3.     Дополнительные задания

VII.        Итог урока

VIII.    Задание на дом: 

Глава IV, § 3, №№ 40,45, с.140 – 147.