Понятие
и геометрический смысл дифференциала.
Определение. Дифференциалом
функции в некоторой точке x называется главная, линейная часть
приращения функции.
Дифференциал
функции y = f(x) равен произведению её производной на
приращение независимой переменной x (аргумента).
Это
записывается так:
или
или
же
Геометрический
смысл дифференциала. Дифференциал
функции y = f(x) равен приращению ординаты касательной S,
проведённой к графику этой функции в точке M(x; y), при изменении x (аргумента)
на величину (см.
рисунок).
Почему
дифференциал можно использовать в приближенных вычислениях?
Дифференциал, является главной, линейной
относительно частью
приращения функции; чем меньше , тем
большую долю приращения составляет эта часть. В этом можно убедиться, мысленно
передвигая перпендикуляр, опущенный из точки P (см. рисунок) к
оси Ox, ближе к началу координат. Поэтому при малых значениях (и
при ) приращение функции
можно приближенно заменить его главной частью , т.е.
О
разных формах записи дифференциала
Дифференциал
функции в точке x и обозначают
или
Следовательно,
(1)
или
,
(2)
поскольку
дифференциал функции y = f(x) равен произведению её
производной на приращение независимой переменной.
Замечание. Нужно
помнить, что если x – исходное значение аргумента, а -
наращенное значение, то производная в выражении дифференциала берётся в
исходной точке x ; в формуле (1) этого не видно из записи.
Дифференциал
функции можно записать в другой форме:
(3)
или
(4)
Пример
1. Найти дифференциалы функций:
1) ;
2) ;
3) ;
4) .
Решение.
Применяя формулы дифференцироивания степенной и логарифмической функций
из таблицы
производных, а также формулу (4), находим:
1) ;
2) ;
3) ;
4) .
В
основном же задачи на дифференциалы - это более сложные, чем рассмотренные выше
для разминки, поэтому стоит посетить страницу с решением задач на
дифференциалы сложных функций. Скорее всего,
вызывающие у вас трудности задачи именно к таким и относятся.
А,
поскольку дифференциал - это почти то же самое, что производная, то проверить
решение именно Вашей задачи можно на калькуляторе
производных.
Свойства дифференциала
В
этом и следующем параграфах каждую из функций будем считать дифференцируемой
при всех рассматриваемых значениях её аргументов.
Дифференциал
обладает свойствами, аналогичными свойствам производной:
(С
– постоянная величина) (5)
(6)
(7)
(8)
(9)
Формулы
(5) – (9) получаются из соответствующих формул для производной умножением обеих
частей каждого равенства на .
Одно
из особеннейших свойств дифференциала - инвариантность
формы дифференциала в случае сложных функций.
Нет
времени вникать в решение? Можно заказать работу!
К
началу страницы
Пройти
тест по теме Производная, дифференциал и их применение
Применение дифференциала в приближенных вычислениях
Установленное
во втором параграфе приближенное равенство
или
(10)
позволяет
использовать дифференциал для приближенных вычислений значений функции.
Запишем
приближенное равенство более подробно. Так как
а
то
или
(11)
Пример
2. Пользуясь понятием дифференциала, вычислить приближенно ln
1,01.
Решение.
Число ln 1,01 является одним из значений функции y = ln x .
Формула (11) в данном случае примет вид
Положим
тогда
Следовательно,
что
является очень хорошим приближением: табличное значение ln 1,01 = 0,0100.
Пример
3. Пользуясь понятием дифференциала, вычислить приближенно
Решение.
Число
является
одним из значений функции
Так
как производная этой функции
то
формула (11) примет вид
Полагая
и
получаем
(табличное
значение
).
Абсолютная и относительная погрешности приближенных вычислений
Пользуясь
приближенным значением числа, нужно иметь возможность судить о степени его
точности. С этой целью вычисляют его абсолютную и относительную погрешности.
Абсолютная
погрешность приближенного
числа равна
абсолютной величине разности между точным числом и его
приближенным значением:
(12)
Относительной
погрешностью приближенного
числа называется
отношение абсолютной погрешности этого числа к абсолютной величине
соответствующего точного числа:
(13)
Если
точное число неизвестно, то
(14)
Иногда,
прежде чем применить формулу (11), требуется предварительно преобразовать
исходную величину. Как правило, это делается в двух целях. Во-первых, надо
добиться, чтобы величина была
достаточно малой по сравнению с , так как чем меньше , тем точнее результат
приближенного вычисления. Во-вторых, желательно, чтобы величина вычислялась
просто.
Пример
4. Пользуясь понятием дифференциала, вычислить приближенно . Оценить
точность полученного результата.
Решение.
Рассмотрим функцию
Её
производная равна
а
формула (11) примет вид
В
данном случае было бы нерационально вычислять приближенно следующим
образом:
так
как значение
не
является малым по сравнению со значением производной в точке
Здесь
удобно предварительно вынести из под корня некоторое число, например 4/3.
Тогда
Теперь,
полагая
получим
Умножая
на 4/3, находим
Принимая
табличное значение корня
за
точное число, оценим по формулам (12) и (13) абсолютную и относительную
погрешности приближенного значения:
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.