Конспект урока по теме: "Система уравнений"

Муниципальное общеобразовательное автономное учреждение «Средняя                общеобразовательная школа № 4 г. Соль-Илецка»

Оренбургской области

Конспект урока по алгебре

«Системы линейных уравнений

с двумя переменными»

7 класс

Разработан

 учителем математики

Ержановой А.К.

 

Урок алгебры в 7-м классе.

Тема: "Системы линейных уравнений" 

Цель урока:  сформировать представление о математической модели система уравнений,  изучить графический метод решения систем уравнений.

 Задачи урока:

• Сформировать представление о математической модели система уравнений
• Изучить графический метод решения систем линейных уравнений
• Развить: ясность и точность мысли, интуицию, элементы алгоритмической культуры, способности к преодолению трудностей
• воспитание эстетического восприятия математики посредством решения исторических задач.

Оборудование:

• Компьютерная презентация
• Листы контрольных вопросов по теме «Линейные уравнения с двумя переменными».

.

Тип урока. Урок погружения в тему.

Ход урока

I этап. Мотивационный этап.

Учитель. Сегодняшний урок мне хотелось бы начать словами великого ученого и политика Альберта Эйнштейна: “Мне приходится делить время между политикой и уравнениями. Однако уравнение, по-моему, гораздо важнее. Политика существует только для данного момента, а уравнения будут существовать вечно”.

А девизом урока будут слова “Дорогу осилит идущий, а математику – мыслящий”.

II этап. Актуализация опорных понятий.

1. Из предложенных уравнений выберите линейное с двумя переменными

а) ах²+ bx + c = 0; б) ax + by + c = 0; в) ax + b = 0

2. Дайте название математической модели 6(х – 2) + 5 = 19

а) уравнение                          б) равенство                           в) система уравнений

3. Выберите решение уравнения 5х + 3у – 19 = 0

а) (2; 3);   б) (5; 6);   в) (1; 2)

4. Дайте название математической модели

а) уравнение                          б) равенство                           в) система уравнений

5. Выберите график линейного уравнения

6. Каково взаимное расположение на координатной плоскости графиков линейных функций:

а) у= -3х+1 и у=5х+2; б) у=6х-5 и у=6х+7 ?

III этап. Сообщение темы урока.

Исаак Ньютон сказал:

“Чтобы решить вопрос, относящийся к числам 
или к отвлеченным отношениям величин, 
нужно лишь перевести задачу с родного языка 
на язык алгебраический”.

Предлагаю вам задачу из “Всеобщей арифметики” Ньютона: Лошадь и мул шли бок о бок с тяжелой поклажей на спине. Лошадь жаловалась на свою непомерно тяжелую ношу. “Чего же ты жалуешься? – отвечал ей мул. – Ведь если я возьму у тебя один мешок, ноша моя станет вдвое тяжелее твоей. А вот если бы ты сняла с моей спины один мешок, то твоя поклажа стала бы одинакова с моей”. Скажите же, мудрые математики, сколько мешков несла лошадь и сколько мул?

Нарисуем таблицу (на доске таблица, правый столбик заполнен, левый заполняется совместно с учащимися).

Реальная ситуация	Математический язык
Поклажа лошади	Х
Поклажа мула	У
Если я возьму у тебя один мешок	Х -1
Ноша моя	У + 1
А вот если ты снимешь с моей спины один мешок	У – 1
Твоя поклажа	Х + 1

Составим уравнения, которые должны выполняться одновременно.

Зная, что ноша моя станет тяжелее твоей, составим первое уравнение

 у + 1 = 2(х – 1);

 твоя поклажа стала бы одинакова с моей, составим второе уравнение

 у – 1 = х + 1.

Как вы думаете, какова же тема нашего урока?

(выслушиваются варианты детей, если они совпадают с темой урока то их ответы поощряются )

Чем мы будем сегодня заниматься на уроке?

Итак сегодня на уроке мы продолжим работать с системами уравнений.

Поэтому тема нашего сегодняшнего урока: "Системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Графический метод решения линейных уравнений"

·         Нас интересует такая пара чисел, которая одновременно удовлетворяет и одному и другому уравнению. В таких случаях говорят, что математическая модель представляет собой систему уравнений.

Что значит решить систему?

Решить систему- значит найти все её решения или установить, что их нет.

Какими же методами можно решить систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными: графический метод, метод подстановки, метод сложения

С каким методом решения системы уравнений с двумя переменными мы познакомились? В чем же он заключается? Как вы думаете?

Алгоритм решения систем двух линейных уравнений с двумя неизвестными графическим методом:

1.     Построить в декартовой системе координат первое уравнение системы

2.     Построить в той же декартовой системе координат второе уравнение системы

3.     Если прямые пересекаются то координаты точки пересечения двух прямых и будут решением системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными, если прямые параллельны, то система двух линейных уравнений с двумя неизвестными не имеет решений, если прямые совпадают то система двух линейных уравнений с двумя неизвестными имеет бесконечно много решений.

Устная работа:

·         Некоторая система уравнений решена графически. Сколько решений имеет эта система уравнений? (слайды 15-19)

·         Некоторая система уравнений решена графически. Сколько решений имеет эта система уравнений?

·         Некоторая система уравнений решена графически. Сколько решений имеет эта система уравнений?

IV этап. Закрепление нового материла.

Давайте все таки решим задачу про мула и лошадь с помощью графического способа. Пользуемся алгоритмом.

Один ученик на доске под контролем учителя, применяя алгоритм решает задачу

Ответ: (5;7)

V этап. Проверка домашнего задания.

Есть вопросы по решению домашнего задания ?

№11.7

№11.11 (а,б)

Задания 2

·         Убедитесь, что пара чисел (12;15) является решением системы уравнений:(слайды)

·         Является ли решением системы уравнений

пара чисел: а) (1;2); б) (4;3) в) (0;1)?

VI этап. Историческая справка.

Учитель. Мы повторили основные понятия систем линейных уравнений. Где же возникли первые задачи, решаемые системой двух линейных уравнений с двумя переменными?

Ученица 1. ЕГИПЕТ. Первые задачи на составление и решение систем уравнений с несколькими переменными встречаются в египетских и вавилонских текстах второго тысячелетия до нашей эры, а также в трудах древнегреческих и индийских ученых. Решались они различными искусственными способами, единого алгоритма не было.

Ученик 2. КИТАЙ. Алгоритм решения систем линейных уравнений был напечатан в Китае в труде “Математика в девяти книгах” (206 г. до н.э.), где рассматривались системы и давились правила их решения. При этом все изложение словесно. Коэффициенты системы располагались на счетной доске в виде таблицы. При повторных действиях было замечено, что следует поступать по одному и тому же правилу систематически. Первым появился способ сложения, а затем и способ подстановки. В книге “Всеобщая арифметика” (1707 г.) Ньютон излагает уже все способы решения систем, изучаемые ныне в школе.

VII этап. Тренировочные упражнения

Фронтальная работа: составить математическую модель и решить систему.

Я хочу прочитать задачу из «Курса алгебры» известного русского математика А.Н. Страннолюбского (1868 год), который был домашним учителем Софьи Ковалевской: «Некто на вопрос о возрасте двух его сыновей отвечал: «Первый мой сын втрое старше второго, а обоим им вместе столько лет, сколько было мне 29 лет тому назад; мне теперь 45 лет». Найдите лета обоих сыновей».

Для решения задачи мы составили систему уравнений  

Масштаб возьмите в координатной плоскости за 2 единичных отрезка одну клетку.

Решая эту систему, мы получили ответ: х = 4, у = 12, т.е. сыновьям 4 года и 12 лет.

№ 11.12 (а)

№ 11. 13 (а)

VIII этап. Итог урока.

·         Мы познакомились с системой двух линейных уравнений с 2 неизвестными, графическим методом решения систем уравнений.

ВЫВОДЫ:

·         В каком случае система имеет единственное решение?

·         В каком случае система не имеет решений?

·         В каком случае говорят, что система имеет бесконечно много решений?

Домашнее задание (слайд 23)

§11 11.5; 11.10(а, б)

Рефлексия

Я понял отлично	Понял, но остались некоторые вопросы	Возникло много вопросов	Не понял.
Что такое система линейных уравнений с двумя неизвестными
Что такое решение системы линейных уравнений
Как графически решать систему линейных уравнений

План – карта для решения систем линейных уравнений с двумя переменными графическим способом.

 у + 1 = 2(х – 1),

у – 1 = х + 1.

В уравнениях выразить у через х	у = 2х – 3 у = х + 2
Графиками уравнений являются прямые. В одной и той же координатной плоскости построить графики уравнений у = 2х – 3 у = х + 2
Найти координаты точки пересечения графиков	Х = 5 У = 7
Ответ	(5; 7)

План – карта для решения систем линейных уравнений с двумя переменными способом подстановки.

 у + 1 = 2(х – 1),(1)

у – 1 = х + 1.     (2)

В одном из уравнений выразить одну переменю через другую (например в уравнении (2) у через х)	у = х + 1 +1 у = х + 2 (3)
Подставить полученное выражение в другое уравнение	х +2 + 1 = 2(х – 1)
Раскрыть скобки, привести подобные слагаемые.	х + 3 = 2х - 2
Перенести слагаемые из одной части уравнения в другую и решить полученное линейное уравнение.	2х – х = 3 + 2 х = 5
Подставить значение переменной в выражение (3) и вычислить значение другой переменной.	у = 5 + 2 у = 7
Ответ	(5; 7)

План – карта для решения систем линейных уравнений с двумя переменными способом сложения.

 у + 1 = 2(х – 1),(1)

у – 1 = х + 1.     (2)

В уравнениях раскрыть скобки привести подобные слагаемые.	у + 1 = 2х -2,  у – 1 = х + 1;
Перенести слагаемые из одной части уравнения в другую	у = 2х – 3, (3)  у = х + 2; (4)
Умножить одно или оба уравнения, на какое – либо число так, чтобы коэффициенты при одной из переменных были противоположны.	у = 2х – 3,  -1   -у = -2х + 3,  у = х + 2;          у = х + 2;
Сложить почленно полученные уравнения	- х = - 5
Решить линейное уравнение	х = 5
Подставить значение переменной в одно из уравнений. Например в уравнение (4)	у = 5 + 2, у = 7.
Ответ	(5; 7)

Литература:

1. Перельман Я. И. «Занимательная алгебра»

1. Вопросы для теста:

1. Дайте название математической модели 6(х – 2) + 5 = 19

а) уравнение                          б) равенство                           в) система уравнений

2. Выберите график линейного уравнения

3. Каково взаимное расположение на координатной плоскости графиков линейных функций:

а) у= -3х+1 и у=5х+2; б) у=6х-5 и у=6х+7 ?

4. Из предложенных уравнений выберите линейное с двумя переменными

а) ах²+ bx + c = 0; б) ax + by + c = 0; в) ax + b = 0

5. Что называют линейным уравнением с двумя переменными?

6. Что называется решением линейного уравнения с двумя переменными?

7. Выберите решение уравнения 5х + 3у – 19 = 0

а) (2; 3);   б) (5; 6);   в) (1; 2)

Задача 1. «Первый мой сын втрое старше второго, а обоим им вместе столько лет, сколько было мне 29 лет тому назад; мне теперь 45 лет». Найдите лета обоих сыновей».

Задача 2.

Прилетели галки, сели на палки,
Если на каждую палку
Сядет по одной галке,
То для одной галки
Не хватит палки.
Если же на каждой палке
Сядет по две галки,
То одна из палок
Будет без галок.
Сколько было галок?
Сколько было палок?

Физминутка 

Ученик читает рэп под музыку и выполняет соответствующие упражнения.

Ну-ка школьник, хватит сидеть.

Время пришло встать, чуть вспотеть.

Шею потянуть, плечи поднять,

круговыми движениями лопатки сжать.

Руки в стороны разведи,

шире грудью воздух вбери.

Мысленно противнику удар нанеси,

выплесни энергию, себя спаси.

А слабо пальцами правой руки

достать ботинок левой ноги.

Ноги - пружины, в теле - благодать.

Еще бы неплохо присесть и встать.

В конце потянись, сон развей,

и до конца урока будет все о'кей.

Ученица 1. ЕГИПЕТ. Первые задачи на составление и решение систем уравнений с несколькими переменными встречаются в египетских и вавилонских текстах второго тысячелетия до нашей эры, а также в трудах древнегреческих и индийских ученых. Решались они различными искусственными способами, единого алгоритма не было.

Ученик 2. КИТАЙ. Алгоритм решения систем линейных уравнений был напечатан в Китае в труде “Математика в девяти книгах” (206 г. до н.э.), где рассматривались системы и давились правила их решения. При этом все изложение словесно. Коэффициенты системы располагались на счетной доске в виде таблицы. При повторных действиях было замечено, что следует поступать по одному и тому же правилу систематически. Первым появился способ сложения, а затем и способ подстановки. В книге “Всеобщая арифметика” (1707 г.) Ньютон излагает уже все способы решения систем, изучаемые ныне в шк