Конспект урока:" Решение треугольников"

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение средняя общеобразовательная школа № 39

х. Трудобеликовского

Красноармейского района

«Решение треугольников»

(открытый урок по геометрии в 9В классе)

Подготовила: учитель математики

МБОУ СОШ № 39 х. Трудобеликовского

Заяц Ирина Анатольевна

Тема   «Решение треугольников». 30.11.15г.

Класс   -  9

Тип урока: урок повторения, обобщения и систематизации пройденного.

Цели урока:  обобщить и систематизировать изученное на предыдущих уроках; проконтролировать степень усвоения материала; продолжить работу по развитию мыслительной деятельности – выделять главное, ставить и разрешать проблемы, сравнивать и строить аналогии; работать над развитием речи – обогащать и усложнять ее словарный запас.

Задачи:

- актуализировать знание решения треугольников, развитие умения понимать сущность алгоритмических предписаний и умения действовать в соответствии с предложенным алгоритмом.

- УУД:

Познавательные:  овладение основами логического и алгоритмического мышления;

Интеллектуальные: развитие умения  читать и записывать информацию в виде различных математических моделей, планировать действия в соответствии с поставленной задачей;

Коммуникативные: строить высказывания, аргументировано доказывать  свою точку зрения;

Личностные: развитие умения ясно, точно, грамотно излагать свои мысли; понимать смысл поставленной задачи, развитие сотрудничества со сверстниками.

Оборудование: презентация, компьютер, проектор, раздаточный материал.

Ход урока:

1.     Организационный момент.

Сообщение темы и целей урока, эпиграфа к уроку и его девиза.

У каждого человека должна быть своя высота

От исходной точки до  вершины

И должна быть своя мечта

Высота с мечтой неразделимы.

2.      Мотивация урока.

Один мудрец сказал: « Высшее проявление духа – это разум. Высшее проявление разума – это геометрия. Клетка геометрии – это треугольник. Он так же неисчерпаем, как и Вселенная. Окружность – душа геометрии. Познайте окружность, и вы не  только познаете душу геометрии, но возвысите свою душу».

Мы вместе с вами попробуем провести небольшое исследование. Давайте делиться своими идеями, которые придут вам в голову, и не бойтесь ошибиться, любая мысль может дать нам новое направление поиска. Пусть наши достижения и не покажутся кому-то крупными, но ведь это будут наши собственные достижения!

3.     Актуализация опорных знаний.

Вводная беседа учителя: сегодня на уроке повторим как по данным длинам или градусным мерам трёх элементов треугольника вычислить остальные его элементы. Решая задачи такого типа, мы говорим …(решаем треугольник)

И прежде чем приступить к решению различных  задач,  нам необходимо вспомнить, что:

1.     Какие теоремы применяются при решении треугольников?(Слайд1

2.     Сформулируйте теорему синусов? Следствие из теоремы синусов? Теорему косинусов? (Слайд 2)

3.     Чему равна сумма углов треугольника?  А знаете ли вы как можно это доказать только  перегибанием треугольника? (Слайд 3)

4.     Какие задачи при этом можно выделить? (по стороне и двум прилежащим к ней углам; по двум сторонам и углу между ними; по трём сторонам; по стороне, прилежащему к ней углу и стороне противолежащей данному углу)(Слайд4)

5.     . Каким может быть ?(  Ответ: =30⁰ или =150⁰.) 

           1) , - тупой. Тогда  =30⁰;

        2) , а<b, то =30⁰;

        3) , а > c, то =30⁰ или =150⁰.

6. Почему теорема косинусов является обобщённой теоремой Пифагора?

(Слайд 5)   (когда треугольник АВС прямоугольный с прямым углом при вершине С; ).

7.Как, используя теорему косинусов, определить вид треугольника? (достаточно определить знак косинуса, соответствующего наибольшему углу, если сторона а наибольшая, то достаточно определить знак величины в²+с²-а²)

8.Найди ошибку в ответе товарищей.

 Слайд 6

Молодцы!

III. Решение задач на повторение.

Решение задач в группах по уровням.

 ( с последующей проверкой и комментарием)

1 группа: уровень С

Задача: В треугольнике АВС угол В равен 60⁰. Биссектриса угла В пересекает сторону АС в точке Д; АД=4см, ВД=6см. Найдите углы треугольника АВС и его сторону АС.

Решение:                            

(см)

Ответ:; ;АС=7,2 см

2 группа: уровень В

Задача: В треугольнике АВС  АВ=0,6см, ВС=0,5см, .Найдите сторону АС.

Решение

Воспользуемся теоремой косинусов

 

3 группа: уровень А

Задача: В треугольнике АВС  АВ=10см, . Найдите сторону АС.

Решение

Воспользуемся теоремой синусов:

Ответ:8,3 см

Задания сильным учащимся на доске( подготовка к ГИА).Учащиеся, которые быстро сделают свою работу, также могут выполнять данные задания.

Задача 1.

Две стороны треугольника имеют длины 6см и 12 см, а угол между ними равен 120⁰. Найдите длину биссектрисы, проведенной к большей стороне.

Решение

Пусть дан треугольник АВС:АВ=6 см, ВС=12 см, .Сторона АС-наибольшая, так как она лежит против тупого угла. По теореме косинусов имеем:

cos 120⁰=

36 + 144 - 2612(-0,5) = 252; AC = (см)

Задача 2.

Докажите, что биссектриса угла треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам.

Решение

Обозначим ADC = 2, а  Тогда так как DB – биссектриса

ADC; а Теперь применим теорему синусов к треугольникам ADB и BDC:  отсюда

IV Историческая справка: Слайд 6

   Тригонометрия- «измерение треугольников» - развивалась, прежде всего в связи с потребностями астрономии, географии, навигации. Поэтому её зачатки были в Древнем Вавилоне, где астрономия получила значительное развитие. Синус и косинус появляются в астрономических сочинениях индийских ученных 9-10вв.

Тангенс появился в связи с задачей определения высоты Солнца по длине  тени, решение которой необходимо для изготовления солнечных часов. Выделение тригонометрии в специальный раздел математики связано с именем выдающегося персидского ученого Н а с и р э д д и н а  Т у с и (1201-1274). В Европе первое изложение тригонометрии было дано в 15в. немецким ученым  Р е г и о м о н т а н о м ( 1436-1476). Современный вид тригонометрия получила в трудах крупнейшего математика 18в. Леонарда Э й л е р а (1707-1783).

Теорему косинусов знали еще древние греки, ее доказательство содержится во 2 книге «Начал» Евклида как обобщенная теорема Пифагора. Нить практической геометрии тянулась от вавилонян и древних египтян через Герона вплоть до новых времён. В этот период появляется много руководств по геометрии, в которых излагаются правила, формулы и рецепты для решения тех или иных практических задач.

V.   Решение задач с практическим содержанием.

Решение задач в парах ( 3 варианта)

1 группа:

Футбольный мяч находится в точке А футбольного поля на расстояниях 23 м и 24 м от оснований В и стоек ворот. Футболист направляет мяч в ворота. Найдите угол α попадания мяча в ворота, если ширина ворот равна 7 м.

Решение:

  Решим треугольник АВС(задача 1) и найдем угол А, равный α          

По теореме косинусов определим cos А

Ответ: 16⁰57^/

2 группа: задача №1036(учебник «Геометрия 7-9», Атанасян Л.С.)

Наблюдатель находится на расстоянии 50 м от башни, высоту которой хочет определить.

Основание башни он видит под углом 2° к горизонту, а вершину — под углом 45° к горизонту. Какова высота башни?

  Дано: АВ=50 м,  BDH=2⁰, CDH=45⁰, DH||AB.

  Найти: СВ

Решение

DH || AB →BDH=DBA=2⁰,  как накрест лежащие.

cos DBA= ДВ=

Применим терему синусов:

ΔСDB:

3 группа: задача №1037(учебное пособие»Геометрия 7-9», Атанасян Л.С.)

 Задача:       Для определения ширины реки отметили два пункта А и В на берегу реки на расстоянии 70 м друг от друга и измерили углы САВ и АВС, где С- дерево, стоящее на другом берегу у кромки воды.    Оказалось, что Р  САВ=12°30¢,  Р АВС=72°42¢. Найдите ширину реки.

  Дано:

АВ=70 м

Решение

По теореме синусов

 

Ответ:14,5 м

Сильным  учащимся можно предложить сделать индивидуальные задания у доски или на парте.

Карточка 1: Здание шириной 10 м имеет двускатную крышу с наклоном 35^o с одной стороны и 41^o - с другой. Найти длину скатов крыши с точностью до сантиметра.

Решение

1)Угол крыши

2)По теореме синусов

3)По теореме синусов:

Ответ: 5,912 см;  6,762 м.

Карточка 2.

На рис. показаны два вектора напряжения, V₁=50В и V₂=90В . Определить величину результирующего вектора. (т.е. длину СА) и угол между результирующим вектором и V₁.

Решение

1)

2)По теореме косинусов

Результирующий вектор

3) По теореме синусов

Ответ: 130,2 В; 

VI Девиз нашего урока выбран не случайно, мы сегодня «возьмем свою высоту», решив данную задачу овысоте треугольника ( один ученик у доски, класс- запись в тетрадь)

Мы уже встречались с задачей вычисления высоты треугольника с известными сторонами. Один из способов нахождения высоты был получен  для прямоугольного треугольника. А как найти высоту в произвольном треугольнике с известными сторонами? Рассмотрим способ, основанный на применении теоремы косинусов.

Хотя бы один из углов А или С – острый. Пусть, например, это угол А. Тогда:

4.

1)

 - (формула Герона)

;  

3) 

А) Можно ли использовать для вывода формулы угол А, если он – тупой? [Да, так как sin(180° – a) = sina]

Б) Запишите формулы для вычисления высот треугольника, проведенных к сторонам а и с (самостоятельно в тетрадях по вариантам).

I вариант - h_c, II вариант-h_a

            Сегодня мы решили несколько задач  на нахождения неизвестных сторон треугольника, вывели новую формулу для нахождения высоты треугольника, попробовали свои силы для   определения расстояния до недоступного примета, применив изученные способы решения. И  мы попробовали свои силы, оценили свои знания, свои возможности.  Ведь «самое трудное  –  познать самого себя»(Фалес)

VII. Подведение итогов.

Домашнее задание:    п. 96 – 99, №1038

1.Две планки длиной 35см и 42см скреплены одним концом. Какой угол между ними надо взять, чтобы расстояние между другими концами планок равнялось 24см? Может ли это расстояние для какого-нибудь угла равняться 5см; 80см?

 2. Из пункта А в пункт В ездили через пункт С, причем участок

 АС≈ 13,6км, СВ ≈8,8км, ∠АСВ ≈ 125⁰. Затем пункты А и В соединили прямолинейной дорогой. На сколько сократится путь из А в В?

Рефлексия

Ребята, что узнали на уроке нового, как работал каждый из вас. Где на уроке почувствовали неуверенность, что показалось сложным.  Ребята предлагаю сейчас  каждому из вас  высказаться одним предложением, выбирая начало фразы из рефлексивного экрана на доске:

1.     сегодня я узнал…

2.     было интересно…

3.     было трудно…

4.     я выполнял задания…

5.     я понял, что…

6.     теперь я могу…

7.     я приобрел…

8.     я научился…

9.     у меня получилось …

10. я попробую…

11. меня удивило…

12. урок дал мне для жизни…

13. мне захотелось…

Заключительное слово учителя :

Треугольник удивительная фигура. Я предлагаю вашему вниманию басню моего ученика, а в настоящее время студента первого курса Юрк Кирилла «Веселый треугольник»

По тропинке треугольник

Весело бежал.

И еще при этом песню напевал:

Я- счастливый  треугольник,

На меня ты посмотри,

У меня ведь элементов разных,

Ровно три, ровно три!

Три угла и три вершины

И еще три стороны

И поэтому все фигуры-остальные

Восторгаться мной должны.

Вдруг ему повстречался

Строгий квадрат

И спросил его сердито:

«И чему ты так уж рад?

Что ты так торопишься,

Словно на парад?

Ты ведь, жесткая фигура,

Все об этом говорят»

У тебя есть три вершины-

Это слишком!

Ты, наверное, слыхал, что

Третий - лишний!

Я советую тебе от одной избавиться,

 И тогда, наверняка,

Сможешь ты прославиться!

Треугольник в мастерскую резво побежал

О своем желании столяру сказал.

Одна вершина вмиг пропала,

И треугольника не стало.

Мораль у нашей басни в том,

Что нужно жить своим умом!

Литература.

1.     Геометрия, 7 – 9: Учеб. для общеобразоват. учреждений/ Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. – М.: Просвещение, 2012.

2.     Б.Г. Зив, В.М. Мейлер, А.П. Баханский. Задачи по геометрии для 7 – 11 классов. – М.: Просвещение, 2011.

3.     С.М. Саакян, В.Ф. Бутузов. Изучение геометрии в 7-9 классах: Методические рекомендации к учебнику. Книга для учителя. – М.: Просвещение, 2011.

4.     Т.М.Мищенко Тематические тесты по геометрииИз-во «Издательство Астрель»2013г

5.     http://geometr.info/

6.     http://ru.wikipedia.org/wiki