Конспект урока. Тема: Основные понятия стереометрии. Аксиомы стереометрии.

Название предмета : геометрия

Класс: 10

УМК:"Геометрия. 10-11 классы" , Л.С. Атанасян, 2012

Уровень обучения: профильный

Тема: Основные понятия стереометрии. Аксиомы стереометрии.

Общее количество часов, отведенное на изучение темы: 5

Место урока в системе уроков по теме: 1 урок темы (изучение нового материала)

Цель:    повторить аксиомы планиметрии; изучить аксиомы стереометрии; ознакомить учащихся с содержанием курса стереометрии.

Задачи

·         сформировать у учащихся представление о стереометрии как о разделе геометрии, изучающем свойства фигур в пространстве, сформулировать основные аксиомы стереометрии;

·         способствовать развитию внимания, пространственного мышления, умению анализировать, применять знания в стандартных ситуациях,

·         воспитывать у учащихся интерес к изучению математики, развивать культуру устной и письменной математической речи,

·         развивать у учащихся коммуникативные  компетенции .

Планируемые результаты: Сформировать представления учащихся об аксиомах стереометрии, взаимном расположении прямой и плоскости, плоскостей в пространстве, способах задания плоскости в пространстве.

Техническое обеспечение урока: компьютер, проектор.

Дидактическое обеспечение урока: раздаточный материал.

Ход урока.

I.                   Организационный момент.

- Объявляется цель и план урока.

II.                Введение нового материала.

      Изучение школьного курса геометрии мы с вами начали с 7 класса, но первые представления о геометрических фигурах вы получали еще с 5 класса на уроках наглядной геометрии.

Вопрос к учащимся: что такое геометрия? (Геометрия – наука о свойствах геометрических фигур). До 9 класс мы изучали с вами первый раздел геометрии – планиметрию, познакомились с основными геометрическими фигурами и их свойствами, но все эти фигуры располагались на плоскости. В конце 9-го класса были рассмотрены пространственные фигуры: конус, пирамида, цилиндр и многогранники,  тем самым получили наглядные представления о пространстве, простейших геометрических фигурах.

В курсе математики 5 класса вы учились строить изображения параллелепипеда, пирамиды.

      Вопрос к учащимся: что такое планиметрия? (Изучает свойства фигур на плоскости). Сегодня мы приступаем к изучению нового раздела геометрии – стереометрии, которая изучает свойства фигур в пространстве.

Именно она формирует необходимые пространственные представления, знакомит с разнообразием пространственных форм, позволяет правильно ориентироваться в окружающем нас мире. В стереометрии изучаются красивые математические объекты. Их формы находят широкое применение в искусстве, архитектуре, строительстве.

Геометрия

 

Планиметрия                                                       Стереометрия

Изучает свойства фигур на плоскости.  

Изучает свойства фигур в пространстве

В знаменитом сочинении Евклида «Начала» (III в. до н.э.) были систематизированы основные известные в то время  геометрические сведения. Главное же − в «Началах» был развит аксиоматический подход к построению геометрии, который состоит в том, что сначала формулируются основные положения, не требующие доказательства (аксиомы), а затем на их основе посредством рассуждений доказываются другие утверждения (теоремы).Многие  из аксиом, предложенных Евклидом, и сейчас используются в курсах геометрии.
Само слово «аксиома» происходит от греческого «аксиос», что означает «ценный, достойный». Некоторые из этих аксиом мы уже рассматривали.

В планиметрии основными фигурами были точки и прямые. Рассматривая геометрию как математическую систему, начнем с определений исходных объектов. Как правило, эти определения весьма туманны.  Многие ученые давали их определение, но впоследствии их стали принимать как неопределяемые.

      Слово «точка» в русском языке означало конец заточенного гусиного пера, которым раньше писали. 

«Точка—это то, что не имеет частей». Помогает ли оно понять, что же такое точка? «Линия — это длина без ширины». 

Из определения «Точка есть то, что не имеет частей» следует, что точка является отрезком прямой, длина которого равна его ширине. Следовательно, точка является частью прямой или частным случаем отображения прямой и, в то же время, длина ее и ширина не равны нулю, так как в этом случае точка не существовала бы;

Из определения «Прямая есть такая линия, которая одинаково расположена ко всем точкам» из предыдущего определения следует, что прямая линия – это плоскость, ширина которой равна ширине точки.

Следовательно,  прямая линия - часть плоскости или частный случай отображения плоскости;

В стереометрии наряду с точкой и прямой рассматривается еще одна основная фигура - плоскость. Представление о плоскости дает гладкая поверхность стола или стены. Плоскость как геометрическую фигуру следует представлять себе простирающейся неограниченно во все стороны.

Определение плоскости Евклида еще более сложно для осмысления, чем определение прямой. На сегодняшний день существуют сотни определений плоскости, но ни одно из них, на мой взгляд, не передает кратко и точно суть плоскости. Между тем люди с древнейших времен окружены плоскостями и постоянно стремятся плоскости создавать. Сейчас мы живем в домах, которые представляют собой набор плоскостей, пользуемся мебелью, в которой плоские поверхности преобладают. Из определения «Плоскость есть поверхность, которая одинаково расположена ко всем прямым на ней лежащим» следует, что плоскость может состоять из точек, прямых линий или других плоскостей совпадающих с данной.

Объяснить, как можно построить плоскость.

Ввести обозначение плоскости:

                                        α

с помощью малых букв греческого алфавита и изображается в виде параллелограмма или замкнутой кривой линии. Учащиеся воспроизводят этот теоретический материал в тетрадь.

      Представление плоскости дает гладкая поверхность стены, стола. Плоскость как геометрическую фигуру следует представлять себе простирающейся неограниченно во все стороны.

      Наряду с точкой, прямой и плоскостью в стереометрии изучают и геометрические фигуры. При изучении пространственных фигур, в частности геометрических тел, пользуются их плоскими изображениями на чертеже. Изображением пространственной фигуры служит ее проекция на ту или иную плоскость. Одна и та же фигура допускает различные изображения. Здесь учитель показывает модели и приводит примеры из окружающей действительности.

  Как в планиметрии мы будем строить рисунки  к теоремам, задачам и будем использовать основные фигуры в пространстве.

   Вопрос к  учащимся:  какие  аксиомы планиметрии вы знаете? (Учащиеся называют, например, такую: «Через любые две точки можно провести прямую, и притом только одну»).

      Далее учитель сообщает, что основные свойства точек, прямых и плоскостей, касающиеся их взаимного расположения, выражены в аксиомах. 

      Аксиома А1: «Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна». Учащиеся воспроизводят этот теоретический материал в тетрадь.

Важно отметить, что если взять не 3, а 4 произвольные точки, то через них может не проходить ни одна плоскость, то есть 4 точки могут не лежать в одной плоскости.

Всем знакома ситуация: если ножки стула не одинаковые по длине, то стул стоит на трех ножках, т.е. опирается на три «точки», а конец четвертой ножки (четвертая «точка») не лежит в плоскости пола, а висит в воздухе.

Этот пример служит наглядным подтверждением того факта, что через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна.

Привести примеры многогранников из жизни. Стереометрия широко используется во многих областях науки и техники. Каких?

Далее  иллюстрация к аксиоме А1. Заметим, что т к. согласно А1 через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна, то отсюда вытекает ещё один способ обозначения плоскости, принятый во всём мире – по именам любых трёх точек, лежащих в данной плоскости и не лежащих на одной прямой.

Значит, данную плоскость  можно обозначить (АВС), причем плоскость принято обозначать в скобках. Учащиеся воспроизводят этот теоретический материал в тетрадь.

 Аксиома А2: «Если две точки прямой принадлежат плоскости, то и все точки прямой принадлежат этой плоскости».

Учащиеся воспроизводят этот теоретический материал в тетрадь.

Далее с помощью – иллюстрация к аксиоме А2.

Замечание:  «Если прямая и плоскость имеют только одну общую точку, то говорят, что прямая и плоскость пересекаются».

      Аксиома А3: «Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей». Учащиеся воспроизводят этот теоретический материал в тетрадь.

Далее с иллюстрация к аксиоме А3.

III.      Закрепление изученного материала

1. Прочитать формулировки аксиом А₁—А₃.

2. Решаем задачи:

Учащиеся читают условие задачи по учебнику стр. 7—8 и дают ответ с объяснениями.

Задача 1 (а, б) с. 7.

Ответ:

а) Точки Р и Е лежат в плоскости (АDВ), а значит и прямая РЕ лежит в плоскости (АDВ) (по А₂). Аналогично МК лежит в плоскости (ВDС). Точки В и D лежат одновременно в плоскостях (АDВ) и (ВDС), а значит прямая ВD лежит в плоскостях (АDВ) и (АВС).

Аналогично АВ лежит в плоскостях (АDВ) и (АВС).

Точки С и Е лежат одновременно в плоскостях (АВС) и (DЕС), а значит прямая СЕ лежит в этих же плоскостях.

б) Заметим, что точка С лежит на прямой (DК) и в плоскости АВС, а следовательно, DК∩(АВС) в точке С, так как точек пересечения более одной (прямая не лежит в плоскости), то это единственная точка.

Аналогично СЕ пересекается с плоскостью (АDВ) в точке Е.

Задача 2(а) с. 7.

Ответ: а) В плоскости DСС₁: D, С, С₁, D₁, К, M, R (см. №1). В плоскости ВQС: В₁, В, Р, Q, С₁, М, С.

IV.     Подведение итогов

Мы познакомились с новым разделом геометрии — стереометрией, узнали новые аксиомы и использовали их при решении задач.

Объявление оценок (с комментариями).

Домашнее задание

Повторить аксиомы планиметрии.

Выучить аксиомы А₁—А₃.

Прочитать пункт 1—2.

Задача 1(в, г)

Ответы:

в) в плоскости АDВ лежат точки: А, D, В, Е, Р, М, так как точка Е лежит на прямой АВ, а значит, и в плоскости АВD. В плоскости DВС лежат точки: D, В, С, M, К

г) плоскости АВС и DСВ пересекаются прямой ВС, так как обе точки В и С лежат в обеих плоскостях. Аналогично: АВD пересекается с СDА по прямой АD. Так как точка Е принадлежит РD, значит, Е принадлежит РDС и так как точка С принадлежит РDС, то прямая СЕ принадлежит РDС, а так как СЕ принадлежит АВС, то плоскости АВС и РDС пересекаются по прямой СЕ.

Задача 2 (б, д)

Ответы:

б) АА₁В₁; АА₁D₁.

д) МК∩DС = R; В₁С₁∩ВР =Q; С₁М∩DС = С.