Конспект второго урока по элективному курсу по комбинаторике

Урок 2. Тема учебного занятия: «Комбинаторное правило умножения»

Цель урока: познакомить учащихся с простейшими комбинаторными задачами и способами их решения.

• Задачи:

– образовательная: сформировать умение применять изученные способы для решения простейших комбинаторных задач.

– развивающая: обеспечить развитие познавательного интереса, логического мышления и интуиции учащихся.

– воспитательная: содействовать воспитанию у учеников внимания и наблюдательности при изучении темы.

• Содержание:

– решение задач перебором вариантов

– решение задач с помощью правила умножения

– решение задач с помощью дерева вариантов.

Ход урока.

1.Организационный момент.

2.Мотивация к усвоению материала.

Окружающий нас мир полон случайностей. Это землетрясения, ураганы, подъемы и спады экономического развития, войны, болезни, случайные встречи и так далее.

Купив лотерейный билет, мы можем выиграть, а можем и не выиграть; завтра на уроке математики вас могут вызвать к доске, а могут и не вызвать.

Оценивая возможность наступления какого-либо события, мы часто говорим: «это очень возможно», «это непременно произойдет», «это маловероятно», «это никогда не случится».

Нельзя, например, сказать наверняка, какой стороной упадет подброшенная вверх монета, когда в следующем году выпадет первый снег или сколько человек в городе захотят в течение ближайшего часа позвонить по телефону

Такие непредсказуемые явления называются случайными. Однако случай тоже имеет свои законы, которые начинают проявляться при многократном повторении случайных явлений.

3.Изучение нового материала.

Задача 1 (перебор вариантов, таблица)

Сколько четных двузначных чисел можно составить из цифр

По строкам и столбцам мы перечислили все возможные варианты, значит, искомых чисел будет столько же, сколько строк в таблице, то есть 5 * 3 = 15

Ответ: 15.

Задача 2 (перебор вариантов)

Предположим, что имеется белый хлеб (Б), черный хлеб (Ч), сыр (С), колбаса (К) и варенье (В). Сколько видов бутербродов можно приготовить?

Решение

Выпишем сначала бутерброды с белым хлебом:

Столько же с черным хлебом:

Имеем: 3 * 2 = 6.

Ответ: 6 бутербродов.

Правило умножения.

Способ рассуждений, которым мы воспользовались при решении этих задач, называют перебором возможных вариантов.

Решение рассмотренных задач основано на комбинаторном правиле умножения:

Чтобы найти число комбинаций предметов двух типов, надо число предметов первого типа умножить на число предметов второго типа.

Чтобы найти число комбинаций из предметов нескольких типов, надо перемножить количества предметов каждого типа.

Задача3 (правило умножения)

Государственные регистрационные автомобильные номера состоят из буквы, трех цифр, еще двух букв и номера региона. Буквы и цифры могут повторяться. Можно использовать только 12 букв: А, В, Е, К, М, Н, О, Р, С, Т, У, Х .

Почему только эти буквы?

В автомобильных кодах используются только буквы. В качестве номера московского региона используется одно из чисел 77, 99, 97. Сколько всего можно составить регистрационных номеров для автомобилей в Москве?

Решение

• Первую букву можно взять одну из 12.

• Первую цифру берем одну из 10, вторую - снова одну из 10 и третью - снова одну из 10.

• Затем две буквы подряд. Каждая выбирается из 12 разрешенных букв.

 • И, наконец, номер региона. Он может оказаться одним из трех.

Всего вариантов: 12*10*10*10*12*12*3= 5 184 000

4.Закрепление новогоматериала.

Устные задачи на закрепление правила умножения

1) В кафе имеются три первых блюда, пять вторых блюд и два третьих. Сколькими способами посетитель может выбрать обед, состоящий  из трех, пяти и двух.

Каждое первое блюдо можно выбрать из трех; второе – из пяти; третье из двух. Согласно правилу умножения получим 3*5*2=30

2) В ларьке продается пять видов мороженого (не менее двух брикетов каждого вида). Оля и Таня покупают по одному брикету. Сколько существует вариантов того что Оля может выбрать брикет из 5-ти видов, Таня тоже из 5 видов.

Оля может выбрать брикет из 5-ти видов; Таня также можеь выбрать любрй из 5-ти видов; общее число вариантов покупки равно (по правилу умножения): 5*5=25.

Правило умножения для двух независимых испытаний удобно проиллюстрировать, используя прямоугольные таблицы.

Правило умножения для трех, четырех и более испытаний удобно показывать с помощью геометрической модели, которая называется деревом возможных вариантов или граф - деревом. Она наглядна и позволяет все учесть, ничего не пропустив.

Задача 5

Несколько стран в качестве символа своего государства решили использовать флаг в виде трѐх горизонтальных полос одинаковых по ширине, но разных по цвету: белый, синий, красный. Сколько стран могут использовать такую символику при условии, что у каждой страны свой, отличный от других, флаг?

Решение.

Задача 6

Вова точно помнит, что в формуле азотной кислоты подряд идут буквы H, N, O и что есть один нижний индекс – то ли двойка, то ли тройка.

а) Нарисуйте дерево возможных вариантов, из которых Вове придется выбирать ответ.

б) Сколько имеется вариантов, в которых индекс равен двойке?

в) Сколько имеется вариантов, в которых индекс стоит не на втором месте?

г) Как изменится дерево вариантов, если Вова помнит, что на первом месте точно стоит буква Н, а порядок остальных букв забыл?

Решение

а) Вова должен сделать два выбора: выбрать индекс и выбрать место для индекса:

б) вариантов в которых индекс равен двойке, - 3

в) вариантов в которых индекс стоит на втором месте, - 4

г) если Вова забыл, в каком порядке пишутся буквы N и O, то добавится еще один выбор с двумя вариантами, и общее количество вариантов формулы удвоится.

5.Домашние задачи

Д1. Из цифр 1, 2, 3, 5 составили все возможные четырехзначные числа (без повторения цифр). Сколько среди них таких чисел, которые больше 2000, но меньше 5000?

Д2. В автосервис одновременно приехали 3 машины для ремонта. Сколько существует способов выстроить их в очередь на обслуживание?

Д3.В контрольной работе будет пять задач - по одной из каждой из пройденных пяти тем. Задачи берутся из общего списка по 10 задач в каждой теме. При подготовке Вова решил только по 8 задач в каждой теме. Найдите :

а)общее число всех возможных вариантов контрольной работы;

б) число тех вариантов, в которых Вова умеет решать все 5 задач.

6. Подведение этогов.

С какими способами решения простейших комбинаторных задач вы познакомились.

- перебор вариантов;

- правило умножения;

- дерево вариантов.

Вывод.Однако правило умножения во многих случаях позволяет справиться с задачей быстрее.

-Ответьте на любые вопросы.

1. Что нового я узнал

2. Что я запомнил...

3. Что я научился делать...

4. Какова степень моей объективности при самооценке своей работы...

5. Какова степень моей комфортности при работе на этом уроке...

6. Что вызвало наибольшее затруднение...