Конспект занятия по математике на тему "Основы математической статистики"

Конспект учебного занятия по математике.

Тема: «Основы математической статистики»

Тип занятия: формирование новых знаний.

Цель занятия: формирование элементарных представлений об основных понятиях математической статистики.

Задачи занятия:

ознакомление с понятием «статистика», историей развития статистики как науки, изучение числовых характеристик случайной величины и способов их нахождения, обеспечение  усвоения основных понятий и формул; формирование умения решать статистические задачи,

развитие логического и абстрактного мышления, устной речи обучающихся,  формирование у обучающихся научной картины мира и элементов научного мировоззрения, обеспечить условия для воспитания положительного интереса к изучаемому предмету;

организовать ситуации, акцентирующие формирование активной жизненной позиции студента;

создать условия для воспитания информационной культуры обучающегося;

способствовать воспитанию у каждого студента умения грамотно интерпретировать результаты статистических исследований.

Ход занятия.

1. Оргмомент. Проверка готовности студентов к занятию, создание эмоционального настроя.

2. Целеполагание.

О теме нашего занятия вы можете догадаться, если угадаете, о какой профессии идет речь

У этих служащих все точно, как в аптеке,
Ответ короткий, цифра – это факт,
Сто нужных книжек, как в библиотеке,
Стоит отчетов кипа – только так.
С утра до ночи вереница разных сводок,
Все просчитать и выдать точный результат.

3. Изучение нового материала.

Изучение  информации и необходимость ее систематизации и обработки стало настолько чрезвычайно  важным для развития общества, что привело к появлению новой науки, первейшей задачей которой занялась разработкой научных способов сбора и  обработки информации.

Сегодня мы поговорим о статистике как о науке, немного затронем историю её развития, узнаем основные статистические характеристики величин.

Человек, сталкиваясь  ежедневно с разнообразными объектами и явлениями, постоянно анализирует поступающую к нему информацию, делает выводы, принимает решения, обобщает и систематизирует, т.е. использует элементы статистического мышления. С древнейших времен человечество принялось вести подсчеты: количество населения, скота, величина урожая, доходы и расходы производства, качественные характеристики больших групп объектов, закономерности изменения этих характеристик. Появились специальные люди, которые занимались расчетами и подсчетами.

Математическая статистика и ее методы используются в том случае, когда необходимо исследовать большое количество однородных объектов. Лучший вариант – провести сплошное обследование, т.е. изучить каждый объект. Однако в большинстве случаев по разным причинам это сделать невозможно, например, изучить вкусовые свойства всех яблок данного сорта или поражающую характеристику снаряда. Сплошное обследование проводить экономически нецелесообразно, даже если это возможно. Поэтому при изучении совокупности рассматривают не всю эту совокупность, а выбирают из неё небольшую группу объектов.

Определение 1. Статистическая совокупность, из которой отбирают часть объектов, называется генеральной совокупностью. Та часть объектов, которая попала на проверку, называется выборочной совокупностью или выборкой. Число элементов в генеральной совокупности или в выборке называют их объёмами.

Математическая статистика позволяет, анализируя данные, полученные при изучении выборки, сделать правильные выводы о всей совокупности.

Возможны два принципиально разных способа организации выборки – повторная и бесповторная.

При обследовании выборки очень важно, чтобы выборка была репрезентативной.

Определение 2. Выборка называется репрезентативной (представительной), если все объекты генеральной совокупности имеют одинаковую вероятность попасть в выборку.

- Будет ли репрезентативной выборка, если мы для изучения свойств определенного сорта сливы  соберем плоды только с одного дерева, растущего в большом саду? Почему? Как сделать выборку плодов сливы репрезентативной?

- Пусть из генеральной совокупности извлечена выборка, причем значение

х₁  наблюдалось n₁ раз,

х₂  –//-//-//-  n₂ раз,

…………

х_к   -//-//-//-  n_k раз,

n₁ + n₂ + … + n_k – объем выборки. Наблюдаемые значения х₁, х₂,…, x_k называют вариантами, а последовательность вариант, записанных в возрастающем порядке – вариационным рядом. Числа наблюдений n₁, n₂, … n_k называют частотами, а их отношения к объему выборки (n)

 – относительными частотами.

Определение 3. Статистическим распределением называют перечень вариант (либо последовательности интервалов) и соответствующих им частот или относительных частот.

Задача: Перейти от частот к относительным частотам в распределении:

Варианта хк	2	6	12
Частота nk	3	10	7

Найдем относительные частоты. Учитывая, что n = 3 + 10 + 7 = 20, будем иметь:

  

Для графического изображения статистического распределения используются полигоны и гистограммы.

Для построения полигона на оси Ох откладывают значения варианты х, на оси Оу  – значения частот n_к (или относительных частот).

П р и м е р . Построить полигон частот по данному распределению:

хк	1	4	5	7
nk	20	10	14	6

Гистограммой называют ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы длины h, а высоты равны отношениям , (плотность относительной частоты), можно брать и .

П р и м е р 2. Построить гистограмму частот по данному распределению выборки объема, n = 100:

Частичный интервал	Сумма частот вариант интервала nk
5 – 10 10 – 15 15 – 20 20 – 25 25 – 30 30 – 35 35 – 40	4 6 16 36 24 10 4	0.8 1.2 3.2 7.2 4.8 2.0 0.8

После сбора материала начинают его анализировать, подсчитывая различные средние характеристики.

Определение 3. Выборочной средней  называют среднее арифметическое значение признака выборочной совокупности. Если статистическое распределение задано таблицей

x	x1	x2	…	xk
n	n1	n2	…	nk

то 

где 

n = n₁ + n₂ + … + n_k

По найденному значению  судят о генеральной средней , т.е. о средней в генеральной совокупности.

П р и м е р 3. Пусть из партии в 10000 электрических лампочек образована выборочная совокупность из 200 лампочек. Качество лампочек в генеральной и выборочной  совокупностях характеризуется данными

Срок службы, в час	Количество лампочек		Срок службы, в час	Количество лампочек
900 – 1100 1100 – 1300 1300 – 1500	1000 6000 3000		900 – 1100 1100 – 1300 1300 – 1500	10 120 70
Итого:	10000		Итого:	200

Как видно, выборочная средняя дает хорошее приближение средней генеральной, ошибка всего в 20 часов; зато вместо исследования 10000 лампочек мы ограничились исследованием 200 лампочек.

Определение 4. Медианой (Ме) называется значение наблюдаемой величины х_к , приходящееся на середину статистического распределения.

Если выборочная совокупность содержит четное число членов, то в качестве Ме берут среднее арифметическое значение 2-х средних членов.

Определение 5. Модой (Мо) называется наиболее часто встречающееся значение наблюдаемой величины.

Определение 6.  Размахом вариации называют разность между наибольшим и наименьшим значениями наблюдаемой величины всего статистического распределения: R = .

Удачнее всего характеризует колебание наблюдаемой величины около ее выборочной средней так называемое среднее квадратическое отклонение.

Определение 13.2. Средним квадратическим отклонением называют число

,

где

.

4. Закрепление знаний и умений через решение практических задач.

1. Пусть из партии электрических лампочек образована выборка из 200 лампочек. Качество лампочек характеризуется данными таблицы:

Срок службы в час.	Число лампочек
900 – 1100 1100 – 1300 1300 – 1500	10 120 70
Итого:	200

Постройте гистограмму частот.

2. Произведено выборочное обследование дальности поездок пассажиров в пригородных электропоездах. Данные обследования приведены в таблице:

Дальность поездки (в км)	Число пассажиров
0 – 10 10 – 20 20 – 30 30 – 40 40 – 50 50 – 60	50 150 200 400 300 100
Итого:	1200

Постройте гистограмму частот.

3.Построить полигон частот распределения выборки:

Процент выполнения нормы	Процент рабочих
50 75 100 125 150 175 200	2 18 32 30 11 6 1

4. Результаты измерения роста 100 школьников приведены в таблице:

Рост	154-158	158-162	162-166	166-170	170-174	174-178	178-182
Число школь-ников	10	14	26	28	12	8	2

Найти , Мо, Ме.

5. С плодового дерева случайным образом отобрано 10 плодов, их веса в граммах записаны в таблице:

Вес в граммах	116	134	156	158	165	170	171	178	179	182
Число плодов	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1

Найти  , Ме.

6. Выборка задана статистическим распределением

x	12	17	19	23	25
n	10	15	30	20	25

Найти  , Me, Mo.

7. Имеются данные о числе учащихся в 24-х классах:

25  26  27  26  29  24  26  22

23  21  22  24  25  27  29  17

19  22  24  29  23  25  26  19

 Составьте таблицу cтатистического распределения. Найдите  , Me, Mo.

8. Проведено 10 наблюдений над контрольными участками посева. Данные собраны в таблице:

Урожай в ц с га	15	21	17	14	16	24	26
	1	1	2	1	2	2	1

Найти .

5. Постановка домашнего задания.

Составить статистическое распределение выборки, построить гистограмму и вычислить основные характеристики для ряда чисел 13, 15, 14, 18, 16, 18, 16, 19, 14, 15, 21,16, 17,16, 11, 16, 14.

6. Подведение итогов. Анализ и оценка работы студентов. Рефлексия.

В конце проводится анализ эффективности занятия.

«В среднем в день ребёнок улыбается 400 раз, взрослый — 17. Теперь все улыбнулись, чтобы испортить статистику».

Литература.

1. А.И. Орлов. Организационно-экономическое моделирование. В 3 частях. Часть 1. Нечисловая статистика. – М.: МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2009. – 544 с.

2. Гнеденко Б. Н. Курс теории вероятностей / Б. Н. Гнеденко. - М.: Наука, 2002. - 400 c.

3. Гмурман, В.С. Теория вероятностей и математическая статистика/ В.С. Гмурман. М.: Высш. шк., 2004. - 479 с

4. Линьков В.М., Яремко Н.Н. Высшая математика в примерах и задачах. Компьютерный практикум : учеб. пособие / под редакцией А.А. Емельянова. – М. : Финансы и статистика, 2006.

5. М.А. Родионов, Н.Н. Яремко. Краткий курс комбинаторики, теории вероятностей и математической статистики : учебное пособие для старшеклассников и студентов. – Пенза : ПГПУ им. В.Г. Белинского, 2007. – 115 с.

6. Родионов М.А., Шершаков В.П., Марина Е.В. От простого к сложному : учебно-методическое пособие для школь-ников и абитуриентов. – Пенза, 2001.

7. Селютин В.Д. О формировании первоначальных стохастических представлений // Математика в школе – 2003. – № 3.