Краткий конспект по геометрии на тему "Удвоение медианы"(8 класс)

УДВОЕНИЕ МЕДИАН

Проработать материал, сделать записи в тетрадь

ТЕОРЕМА

Пусть в треугольнике АВС точка М является серединой стороны АС. Если отразить точку В симметрично относительно  М и получить точку Д (по сути мы удваиваем медиану ВМ), то мы получаем, что четырехугольник АВСД является параллелограммом.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:

Удвоим эту медиану, т.е. проведем отрезок MD: MD=BM.

Т.к. в четырехугольнике АВСД диагонали пересекаются в точке М и при этом делятся точкой М пополам, то по признаку параллелограмма получаем, что  АВСД- параллелограмм.

Получили параллелограмм ABCD (по признаку: диагонали делятся точкой пересечения пополам).

Задача: Докажите, что треугольники ABC и  равны, если  где  и медианы треугольников.

Доказательство:

Продлим медианы AM и . Отложим отрезки МD=АМ и M₁D₁=A₁M₁. Соединим точки D и С, D₁ и C₁, тем самым получим дополнительные треугольники: ADC и A₁D₁C₁, ABM и A₁B₁M₁, CMD и  C₁M₁D₁, AMC и  A₁M₁C₁.

- Можно сказать про треугольники ABM и CMD (они равны по 1 признаку: углы AMВ и CMD равны (как вертикальные углы), ВМ=МС (т.к. АМ – медиана), АМ= MD(по построению).

- Тогда можно сказать об элементах этих треугольников? (AB=DC, A₁B₁=D₁C₁).

- По условию нам известно, что АВ=А1В1, тогда вывод можно сделать о DC и D₁C₁? (DC=D₁C₁).

- Используя сделанные выводы, найдем ещё пару равных треугольников (треугольники ADC и A₁D₁C₁ равны: АС=А₁С₁ (по условию), AD=A₁D₁ (по построению), DC=D₁C₁ (по доказанному).

Следовательно, их соответствующие элементы равны, то есть медиана СМ равна медиане , а  .

Тогда:

1) (по условию)

2)  (по условию)

3)  (по доказанному), значит треугольники ABC и  равны, по третьему признаку равенства треугольников, что и требовалось доказать.

Домашнее задание: решить задачу

Задача. Медиана AD треугольника ABC продолжена за сторону BC на отрезок DE, равный AD, и точка E соединена с точкой C. Докажите, что треугольник ABD равен треугольнику ECD.