"Краткий курс лекций для заочников СПО"

Раздел 1. Математический синтез и анализ

Тема 1.1. Элементарная математика. Элементы векторной алгебры, тригонометрии, геометрии.

§ 1. Множество действительных чисел. Определение порядка результата вычислений. Числа и числовые выражения. Проценты. Пропорции.

Степени и корни.

Числа управляют миром.

Пифагор.

         Число – одно из основных понятий математики, возникшее еще до нашей эры в связи с потребностями счета предметов. N – множество натуральных чисел. Исторически примерно одновременно возникли понятия натуральных и положительных рациональных чисел. В системе натуральных чисел выполняются операции сложения и умножения, но не всегда выполняется операция вычитания.

         Намного позже люди пришли к понятию отрицательного числа. Необходимость введения этого понятия связана с исследованием величин, которые меняются в двух направлениях: температура, уровень реки, доходы и убытки и т.д.  Отрицательные числа стали широко применяться в математике с XVII века в связи с введением метода координат. В Европе отрицательные числа ввел в употребление в XVII в. французский ученый Декарт.

       Целые числа – это объединение множества натуральных чисел, множества чисел, противоположных натуральным и числа ноль. Z – множество целых чисел. В нем выполняются операции сложения, вычитания  и умножения, но не всегда выполняется операция деления.

        Все целые и дробные числа, как положительные, так и отрицательные, и число ноль образуют множество рациональных чисел Q. Любое рациональное число можно представить в виде  , а также в виде конечной или бесконечной периодической десятичной дроби.

         Но, существуют операции, которые не всегда выполнимы на множестве рациональных чисел. Например, извлечение корня из положительного числа. Поэтому рациональные числа были дополнены новыми числами – иррациональными.

        I – иррациональные числа – бесконечные непериодические десятичные дроби.

Числа и числовые выражения.

      Запись, которая состоит из чисел, знаков и скобок, а также имеет смысл, называется числовым выражением.

      Так как в качестве знаков в числовых выражениях входят знаки арифметических действий, то можно посчитать значение числового выражения. Для этого необходимо выполнить указанные действия.

             Правила при вычислении значений числовых выражений.

1.  Если выражение не имеет скобок, то надо выполнять действия начиная с высших ступеней: третья ступень, вторая ступень и первая ступень. Если имеется несколько действий одной ступени, то их выполняют в порядке в котором они записаны, то есть слева на право.

2.   Если в выражении присутствуют скобки, то сначала выполняются действия в скобках, а лишь затем все стальные действия в обычном порядке. При выполнении действий в скобках, если их там несколько, следует пользоваться порядком описанным в пункте 1.

3. Если выражение представляет собой дробь, то сначала вычисляются значении в числителе и знаменателе, а потом числитель делится на знаменатель.

4. Если в выражении присутствуют вложенные скобки, то выполнять действия    

   следует с внутренних скобок.

                         Основные способы разложения на множители.

1.     Вынесение общего множителя за скобки.

     ab+ac = a(b+c)

2.     Формулы сокращенного умножения.

                       a²- b²=(a+b)(a-b)

                      a²+2ab+b²=(a+b)²

                                  a²-2ab+b²=(a-b)²

Пример.

 (3х+5)² =9х²+30х+25

4х²+12х+9 =(2х+3)²=(2х+3)(2х+3)

3.     Разложение квадратного трёхчлена на множители.

    ax² + bx + c= a(x – x₁)(x – x₂) где x₁ и x₂ – корни.

Пример.

    Разложим на множители трехчлен 2x² + 7x – 4.

     Наш трехчлен имеет два корня:

                     x₁ = 1/2, x₂ = –4.

      2x² + 7x – 4 = 2(x – 1/2) (x + 4).

                              Степени и корни.

  Определение степени с дробным и отрицательным показателем:

                            .

Свойства степени:

1.    

2.    

3.    

4.    

5.    

6.    

   Корнем п –ой степени из числа а называет такое число, п-ая степень которого равна а: 

Пример.

Вычислить: 

 

                                     Пропорции.

Пропорция — это равенство двух отношений.

Основное свойство пропорции.

Произведение крайних членов пропорции равно произведению ее средних членов.

   

   

Пример

Най­ти неиз­вест­ный член про­пор­ции  

                          

Числа 0,5 и 13 – это край­ние члены; числа  a и 2 – это сред­ние члены. Вос­поль­зу­ем­ся ос­нов­ным свой­ством про­пор­ции.

Проценты.

Процент — одна сотая часть величины или числа. Обозначается символом %.

                                      1% = 0,01 =

     Для преобразования десятичной дроби в проценты, ее необходимо умножить на 100.
Например:   4 = 400%;   0.4 = 40%;   0.04 = 4%;   0.004 = 0.4%.

     Для преобразования процентов в десятичную дробь необходимо число процентов разделить на 100.
Например:   500% = 5;   50% = 0.5;   5% = 0.05;   0.5% = 0.005.

Задача.

   Швейная фабрика изготовила 1200 платьев, где из них 32% - платья нового фасона. Сколько платьев нового фасона изготовила швейная фабрика?

Решение:

1. 1200 : 100 = 12 (платьев) - 1% от всех выпущенных изделий.

2. 12 х 32 = 384 (платья).

Ответ: фабрика изготовила 384 платья нового фасона.

Вопросы  для самоконтроля:

1.     Что называется числовым выражением?

2.     Сформулируйте правила вычисления значений числовых выражений.

3.     Какие вы знаете основные способы разложения на множители.

4.     Дайте определение степени с дробным и отрицательным показателем, сформулируйте их свойства.

5.     Что называется корнем п –ой степени?

6.     Что такое пропорция, сформулируйте основное свойство пропорции.

7.     Что такое проценты. Как вычислить проценты от числа?

§ 2.  Приближенные вычисления. Уравнения и неравенства.

Системы линейных уравнений и неравенств. Векторная алгебра. Тригонометрические формулы и теоремы.

                              Действия  над приближенными значениями.

  Абсолютной погрешностью приближенного значения числа называется модуль разности между точным и приближенным значением: .

       Часто точное  значение величины является неизвестным, следовательно, неизвестным является и точное значение абсолютной погрешности. Поэтому для оценки точности приближения вводится понятие границы абсолютной погрешности.

        Границей абсолютной погрешности приближения называется такое положительное число h, больше которого абсолютная погрешность быть не может: 

        Граница абсолютной погрешности не определяется однозначно, поэтому в качестве границы абсолютной погрешности берут наименьшее число, которое удобно для вычислений и обеспечивает необходимую точность.

      Цифра в записи приближенного числа называется верной, если абсолютная погрешность числа не превосходит единицы того разряда, в котором записана эта цифра. В противном случае она называется сомнительной.

Пример.

      Если а = 3,7412 ± 0,002, то цифра 4 верная, т.к. h = 0,002 < 0,01, следовательно, предыдущие цифры также верны, цифры 1 и 2 – сомнительные.

     Относительной погрешностью приближенного значения числа называется отношение абсолютной погрешности к приближенному значению числа.

          Действия над приближенными значениями чисел.

1.     При сложении и вычитании приближенных значений ответ необходимо округлить, оставив после запятой столько цифр, сколько их в менее точном числе.

Пример.

 Сложить приближенные числа: 2,369; 17,24; 8,653; 94,124.

Предварительно округлим данные числа по 1 правилу до сотых и сложим их:

2,37 + 17,24 + 8,65 + 94,12 ≈ 122,38.

2.     При умножении и делении приближенных значений ответ необходимо округлить, оставив в нем столько значащих цифр, сколько их в менее точном числе.

  Значащими называются все цифры числа, кроме первых нулей.

Пример.

      23,41 ∙ 0,0324 ≈ 0,758484 ≈ 0,758.

3.     При вычислении значения выражения в несколько действий, в промежуточных результатах надо оставить на одну цифру больше, чем указано в правилах. В конечном действии последнюю цифру надо округлить.

Вопросы  для самоконтроля:

1.     Что называется абсолютной и относительной погрешностью приближенного значения числа?

2.     Сформулируйте правила действий над приближенными значениями чисел.

 3. Какие цифры числа называются значащими?

                Уравнения и неравенства I и II степени.

     Уравнением называется равенство с переменной.

     Корнем уравнения называется значение переменной, при подстановке которого  в   уравнение уравнение обращается в верное равенство.

        Решить уравнение – это значит найти все его корни или показать, что корней нет.

               Линейное уравнение с одной переменной имеет вид: .

          Решение линейных уравнений основано на следующих теоремах:

1.     Если к обеим частям уравнения прибавить одно и то же число, то получится уравнение, равносильное данному.

2.     Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же число, то получится уравнение, равносильное данному.

     Пример.

                

      Ответ:  .

            Квадратное уравнение имеет вид: .

                        .

Пример.

            

          

       Ответ:  2; 3.

        Неполные квадратные уравнения:

      1.   ,                              2.  ах²+с = 0,

           ,                                    ах² = - с,

                                 х² = -,

                          ах = - b,                        

                         

   Биквадратные уравнения  ах⁴ + bх² + с = 0 решают заменой:  х² = t.

Пример.

Решить уравнение: 

Пусть , тогда: 

                                      

                                      

  Выполним обратную замену:

   

  Ответ: 

       Решение неравенств.

      Решением неравенства является промежуток:

   а) открытый (а; в), если неравенство нестрогое;

б) закрытый [а; в], если неравенство строгое.

     При решении неравенств применяют их основные свойства:

1.   Если к обеим частям неравенства прибавить одно и то же число, то получится неравенство, равносильное данному.

2.   Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же число, то получится неравенство, равносильное данному.

3.   Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же отрицательное число, то знак неравенства изменится на противоположный.

Пример.

Ответ:

Решение неравенств методом интервалов.

Пример.

Решить неравенство:

Рассмотрим функцию   f(x) = и найдем ее нули.

    Отметим полученные корни на прямой и определим знаки функции на полученных интервалах:

 f(0) =  = 40.

              

      Ответ: 

                               Системы уравнений и неравенств.

     Решением системы уравнений с двумя переменными являются упорядоченные пары чисел, являющиеся решением каждого из уравнений, входящих в систему.

Пример.

Решить систему уравнений методом сложения:

Умножим первое уравнение на 2 и сложим его со вторым:

Подставим вместо х найденное значение в одно из уравнений:

Ответ:  (3; 4)

Пример.

Решить систему уравнений методом подстановки:

                         

                                              

                           

                             

        Ответ:          

Вопросы  для самоконтроля:

1.     Что называется  уравнением?

2.      Что такое корень уравнения?

3.     Алгоритм решения линейного уравнения.

4.     Формулы для решения квадратного уравнения.

5.     Решение биквадратных и неполных квадратных уравнений.

6.     Что является решением неравенства или системы неравенств?

7.     Основные свойства неравенств, применяемые при их решении.

8.     Как решить неравенство методом интервалов?

9.     Какие Вы знаете способы решения систем уравнений?

Векторы.

          Физические величины, имеющие не только абсолютное значение, но и направление, называются векторными.                                               

Вектор — это направленный отрезок (отрезок, у которого одна граничная точка считается начальной, другая – конечной). На чертеже вектор обозначается стрелкой.

       Равными называются векторы, имеющие одинаковые длины     

        и одинаковое направление:                                                          

        Единичным называется вектор, длина которого равна 1. Нулевым — вектор, длина которого равна нулю, то есть его начало совпадает с концом.

  Коллинеарные векторы — это векторы, которые лежат на одной прямой, либо на параллельных прямых.
     Нулевой вектор коллинеарен любому вектору.

 Длина вектора (модуль) — это расстояние между началом и концом вектора.     

                                  ;  

                          Координаты вектора.

          Если вектор задан координатами своих начала и конца: A(,  B( то его координаты равны разности соответствующих координат конца и начала:

        Суммой векторов (;) и(;) называется вектор

При вычитании векторов их соответственные координаты вычитаются:

                     (x₁; y₁) — (x₂; y₂) = (x₁ — x₂;    y₁ — y₂)

При умножении вектора на число все его координаты умножаются на это число.

Пример.

    По координатам векторов (—4; 6; 0),   (1; —1; 7) найти координаты вектора 3 — .

Решение.

        3 (3; -3; 21);      (-2;3;0);    3 —  = (5; — 6; 21).

Длина вектора:

Скалярное произведение двух векторов – это число, равное сумме попарных произведений соответствующих координат векторов:

         (;), (;),           ,

         , где ϕ – угол между векторами.

Угол между векторами  

Пример.

 Найти угол между векторами  (1;3), (2;

Решение. Косинус искомого угла:

Φ=.

Вопросы  для самоконтроля:

1.     Что такое вектор?

2.     Какие векторы называются равными, противоположными, коллинеарными?

3.     Как найти координаты вектора, зная координаты его начала и конца?

4.     Как вычислить длину вектора по его координатам?

5.     Запишите формулу для вычисления скалярного произведения двух векторов.

6.     Как вычислить угол между векторами

Тригонометрические формулы и теоремы.

Тригонометрические функции:

            

Четность тригонометрических функций:

              - четная

               - нечетные

Периодичность тригонометрических функций:

        

Основные тригонометрические тождества:

          

             

        .

Значения тригонометрических функций для некоторых углов

Формулы сложения и вычитания:

sin(x + y) = sinx cosy + cosx siny
cos(x + y) = cosx cosy - sinx siny

tg(x + y)	=	tgx + tgy
		1 - tgx tgy

ctg(x + y)	=	ctgx ctgy - 1
		ctgx + ctgy

sin(x - y) = sinx cosy - cosx siny
cos(x - y) = cosx cosy + sinx siny

tg(x - y)	=	tgx - tgy
		1 + tgx tgy

ctg(x - y)	=	ctgx ctgy + 1
		ctgx - ctg

Формулы половинного аргумента.

sin2	x	=	1 - cosx
	2		2

cos2	x	=	1 + cosx
	2		2

tg2	x	=	1 - cosx
	2		1 + cosx

ctg2	x	=	1 + cosx
	2		1 - cosx

tg	x	=	1 - cosx	=	sinx
	2		sinx		1 + cosx

ctg	x	=	1 + cosx	=	sinx
	2		sinx		1 - cosx

Преобразование суммы (разности) функций в произведение

Сумма:

sinx + siny	=  2sin	x + y	• cos	x - y
		2		2

cosx + cosy	=  2cos	x + y	• cos	x - y
		2		2

(sinx + cosx)² = 1 + sin2x

tgx + tgy	=	sin(x + y)
		cosx • cosy

Разность: sinx - siny   =  2sin x - y  • cos x + y 2 2 cosx - cosy   =  -2sin x + y  • sin x - y 2 2 (sinx - cosx)2 = 1 - sin2x tgx - tgy   =   sin(x - y) cosx • cosy ctgx - ctgy   =  –  sin(x - y) sinx • siny

Преобразование произведения тригонометрических функций в сумму:

sinx • siny	=	cos(x - y) - cos(x + y)
		2

sinx • cosy	=	sin(x - y) + sin(x + y)
		2

cosx • cosy	=	cos(x - y) + cos(x + y)
		2

  Формулы приведения. 

Применяют для углов вида  .

1.     Знак выражения в правой части формулы должен совпадать со знаком данной функции в данной четверти.

2.   Если угол содержит целое , то функция не меняет название, если половинное , то функция меняет название.

       Вопросы  для самоконтроля:

1.     Дайте определение тригонометрическим функциям.

2.     Какова четность и периодичность тригонометрических функций.

3.     Запишите основные тригонометрические тождества.

4.     Сформулируйте правило к формулам приведения. 

Тема 1.2.   Алгебра и начала анализа.

§ 1. Предел функции, производная, приложение производной к исследованию          

                                                        функции.

                                               Предел функции.

     Предел функции  в заданной точке— такая величина, к которой стремится значение рассматриваемой функции при стремлении ее аргумента к данной точке.

Предел обозначается

                         

             Теоремы о пределах.

1.       Предел суммы равен сумме пределов.

2.       Предел произведения равен произведению пределов.

3.       Предел частного равен частному пределов.

4.       Числовой множитель можно выносить за знак предела.

5.       Предел степени  равен степени предела.

      Вычислить предел, это значит, подставить в функцию вместо х то число, к которому х стремится. При этом надо учитывать, что

   

Пример.

Вычислить предел:

  

Решение.

Для решения нам необходимо подставить то значения икса, к которому он стремится.( В нашем случае это ноль)
Подставляем:

Ответ: 3/4.

Ответы вида  и , полученные при вычислении предела, называются неопределенностью.

Правила раскрытия неопределенностей при вычислении пределов.

1.     Разложить числитель и знаменатель дроби на множители и сократить дробь на множитель, стремящийся к нулю.

Пример.

Вычислить  предел:

                 

Решение:

Разложим числитель на множители по формуле квадратного трехчлена:

Ответ: - 7.

2.     При разделить числитель и знаменатель дроби почленно на х в наибольшей степени.

Пример.

Вычислить предел

                

Решение:

Разделим числитель и знаменатель на

Ответ: 0.

3.     Умножить числитель и знаменатель дроби на выражение сопряженное со знаменателем и сократить дробь на множитель, стремящийся к нулю.

Пример.

Вычислить  предел

     

Решение:

Умножим числитель и знаменатель на выражение, сопряженное с числителем:

Ответ: - 0,3.

       Вопросы  для самоконтроля:

1.     Дайте понятие предела функции.

2.      Сформулируйте теоремы о пределах.

3.     Ответы какого вида при вычислении пределов называют неопределенностью.

4.     Сформулируйте правила раскрытия неопределенностей при вычислении пределов.

                                              Производная.

Производной функции в точке х₀ называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю:  .

Формулы дифференцирования.

1.    

2.    

3.      ()=.

4.    

5.    

6.    

7.    

8.    

9.    

10.  .

11.   

Пример:

        №1. Вычислить производную:

         Решение.  

                

                 

               №2. Найти производную функции
              

                  Решение

           

  Применение производной к исследованию функции.

      Общая схема исследования функции:

1.            Найти область определения.

2.            Исследовать функцию на четность.

3.            Найти с помощью производной критические точки.

4.            Приравнять производную к нулю и найти промежутки монотонности и   

        экстремумы.

5.            Найти точки пересечения графика с осями координат (если это возможно).

6.             Построить график.

 Пример.

Исследовать функцию и по результатам исследования построить график.    

Решение:

1)    Функция определена и непрерывна на всей числовой прямой.

2)    Проверим функцию на чётность/нечётность:

3)    Нули функции. Найдём точку пересечения графика с осью ординат.

4)    Возрастание, убывание и экстремумы функции.

                     

Данное уравнение имеет два действительных корня

                                

 Отложим их на числовой прямой и определим знаки производной:

                          max                    min

                      График  функции имеет вид:                                                                                                       

Вопросы  для самоконтроля:

1.     Что такое производная функции.

2.     Запишите формулы дифференцирования, т.е. формулы для вычисления производной.

3.     Какие свойства функции можно определить с помощью производной?

§ 2.  Интеграл, приложение определенного интеграла.

                       Неопределенный интеграл.

              Основные формулы интегрирования

∫ 0 ⋅ d x = C ; {\displaystyle \int 0\cdot dx=C;}         

                       

                     

                    

∫ 1 ⋅ d x = x + C ; {\displaystyle \int 1\cdot dx=x+C;}

        Свойства неопределенного интеграла∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C {\displaystyle \int x^{n}dx={\frac {x^{n+1}}{n+1}}+C} ( n ≠ − 1 ) ; {\displaystyle (n\neq -1);}

∫ 1 x d x = ln ∣ x ∣ + C ; {\displaystyle \int {\frac {1}{x}}dx=\ln \mid x\mid +C;}

  Неопределенный интеграл от алгебраической суммы двух или нескольких функций равен алгебраической сумме их интегралов

      

Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла

                   

Пример 1.

Пример 2

 

          Интегрирование методом подстановки.

Алгоритм.∫ e x d x = e x + C ; {\displaystyle \int e^{x}dx=e^{x}+C;}

∫ a x d x = a x ln ⁡ a + C , {\displaystyle \int a^{x}dx={\frac {a^{x}}{\ln a}}+C,}

1.   ( a > 0 , a ≠ 1 ) ; {\displaystyle (a>0,a\neq 1);} Часть подынтегральной функции обозначить новой переменной.

2.   ПродифППродифференцировать полученное равенство, т.е. найти производную и умножить ее на дифференциал переменной.

3.   Оставшуюся часть подынтегрального выражения выразить через новую переменную.

4.   Составить интеграл с новой переменной и вычислить его.

5.   Новую переменную заменить выражением с первоначальной переменной.

Пример.

Вычислить неопределенный интеграл способом подстановки:

Решение

Сделаем замену t = sinx, dt = cosxdt.

                     Вычисление определенного интеграла.

Формула Ньютона — Лейбница

                     

Пример.

 Вычислить интеграл

Решение.

На основании таблицы основных интегралов и формулы (1) имеем:

Вопросы  для самоконтроля:

1.     Запишите основные формулы интегрирования.

2.     Сформулируйте свойства неопределенного интеграла∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C {\displaystyle \int x^{n}dx={\frac {x^{n+1}}{n+1}}+C} ( n ≠ − 1 ) ; {\displaystyle (n\neq -1);} .

3.     Повторите алгоритм интегрирования методом подстановки.

4.     Запишите формулу Ньютона — Лейбница

∫ cos ⁡ x d x = sin ⁡ x + C ; {\displaystyle \int \cos x\,dx=\sin x+C;}

∫ sin ⁡ x d x = − cos ⁡ x + C ; {\displaystyle \int \sin x\,dx=-\cos x+C;}

∫ d x cos 2 ⁡ x = t g x + C ; {\displaystyle \int {\frac {dx}{\cos ^{2}x}}=\mathrm {tg} \,x+C;}

∫ d x sin 2 ⁡ x = − c t g x + C ; {\displaystyle \int {\frac {dx}{\sin ^{2}x}}=-\mathrm {ctg} \,x+C;}

Краткое описание документа:

Краткий курс лекций по математике для студентов заочников СПО. Рассмотрены темы степени и корни, проценты, пропорции, векторы, тригонометрия, пределы, производные, интегралы. В каждой теме дан теоретический материал, разобраны примеры, даны контрольные вопросы.