Тема: Прямоугольник, ромб, квадрат и их свойства и признаки
Цель урока:
ознакомление со свойствами квадрата, с решением задач на нахождение периметра;
закрепление вычислительных навыков.
Задачи:
сформировать прием мышления по определению квадрата из других фигур;
вызвать интерес к усвоению данной темы;
продолжить работу над вычислительными навыками.
Деятельность учителя
Деятельность обучающихся
наглядности
3 мин.
I. Организационный момент. Приветствует учеников, проверяет готовность к уроку, желает успеха.
Ученики осмысливают поставленную цель.
5 мин.
II. Проверка домашней работы. С помощью метода «Броуновское движение» осуществляет проверку домашней работы.
.
– Уберите лишнюю фигуру (круг). Почему?
– Уберите лишнюю фигуру (треугольник). Почему?
– Уберите лишнюю фигуру (трапеция). Почему?
– Уберите лишнюю фигуру (ромб). Почему?
– Какие фигуры остались? (квадрат и прямоугольник).
– Как вы думаете какова тема урока?
Ученики демонстрируют свои знания.
20 мин.
III. Осмысление новой информации.
Мозговой штурм. или лучшим уче
. Диаграмма Венна
-Какие ассоциации возникают у вас, когда мы говорим слово «квадрат?
Возьмите конверт под цифрой 1, в конвертах у вас лежат фигуры.
Задание: разбейте фигуры на группы, в соответствии с нашей темой урока (дети разбивают фигуры на группы)
– На сколько групп вы разбили все фигуры? (2)
– Под какими номерами у вас фигуры первой группы.
– Под какими номерами у вас фигуры второй группы.
– Как называются фигуры первой группы? Докажите.
– Как называются фигуры второй группы? Докажите.
– Давайте сформулируем правило, как найти квадрат среди других фигур.
Схема исследования.
Название фигуры ПРЯМОУГОЛЬНИК
Проведите исследования и закончите предложение ПРЯМОУГОЛЬНИК - это параллелограмм, у которого…
Исследуйте стороны, углы и диагонали прямоугольника и заполните таблицу.
Параллелограмм
Прямоугольник
Стороны
1. ,
2. АВ=СD, BC=AD
Углы
1.,
2., ,
,
Диагонали
1.
2. AO=OC, BO=OD
Схема исследования.
Название фигуры КВАДРАТ
Проведите исследования и закончите предложение КВАДРАТ - это параллелограмм, у которого…
Исследуйте стороны, углы и диагонали квадрата и заполните таблицу.
Параллелограмм
Квадрат
Стороны
1. ,
2. АВ=СD, BC=AD
Углы
1.,
2., ,
,
Диагонали
1.
2. AO=OC, BO=OD
Схема исследования.
Название фигуры РОМБ
Проведите исследования и закончите предложение РОМБ - это параллелограмм, у которого…
Исследуйте стороны, углы и диагонали квадрата и заполните таблицу.
Параллелограмм
Ромб
Стороны
1. ,
2. АВ=СD, BC=AD
Углы
1.,
2., ,
,
Диагонали
1.
2. AO=OC, BO=OD
По окончании работы, каждая группа, сообщает о результате выполненных исследований и представляет свои выводы.
В ходе выступления каждой группы заполняется таблица, представленная на интерактивной доске, которую учащиеся должны перечертить в тетрадь.
Ромб – это параллелограмм, у которого все стороны равны.
Квадрат – это параллелограмм, у которого все стороны равны, и все углы прямые.
Стороны
1. .
2. АВ=CD, BC=AD
1.
2. AB=BC=CD=DA.
1.
2. AB=BC=CD=DA.
Углы
1.
2.
3.
1., .
2.
3. АО, ВО, СО, DO – биссектрисы углов A, В, С, D.
1.
2. АО, ВО, СО, DO – биссектрисы углов A, В, С, D.
3.
Диагонали
1. , AO=OC,BO=OD
2. AC=BD.
1., AO=OC,BO=OD
2.
1. , AO=OC,BO=OD
2. AC=BD
3.
10 мин.
IV. Закрепление урока. По методу «Аквариум» проводит закрепление урока.
Что у меня в руках? (Платок)
– Какой он формы? (Квадратный).
– Скоро праздник 8 Марта и я хочу в подарок украсить платок тесьмой, но не знаю сколько мне тесьмы понадобится. Может вы мне поможете?
– Определите, сколько вам тесьмы потребуется, чтобы обшить платочек тесьмой.
– Как вы узнали, сколько тесьмы потребуется? (Надо найти периметр).
– А сейчас, давайте вернёмся к квадрату, который мы начертили в тетради?
– Какова длина стороны квадрата?
– Найдите периметр.
– Чему равен периметр?
Проводят обсуждение по данной теме.
5 мин.
V. Итог урока. Рефлексия:
- О чём вы сегодня узнали на уроке?
- Изменилось ли ваше отношение к фигурам?
- Было ли вам комфортно на уроке?
Ученики пишут телеграммы своим одноклассникам. Оценивают свои работы.
стикеры
фишки
2 мин.
VI. Домашнее задание. Домашнее задание:
Записывают домашнюю работу в дневниках.
Итог урока:_____________________________________________________________________
Положительные стороны урока:____________________________________________________
Отрицательные стороны урока:________________________________
Четырехугольники (параллелограммы, прямоугольники, ромбы, квадраты, трапеции) в окружающем нас
Класс: 9
Урок 2
Предмет: геометрия
Общие цели
Повторить определения, виды, свойства четырехугольников. Найти применение знаний о четырехугольниках в повседневной жизни.
Развивать способность саморегуляции. Способствовать формированию функциональной грамотности учащихся.
Создать благоприятный психологический климат через работу в группах. Воспитывать у учащихся стремление к совершенствованию своих знаний.
Результат обучения
Будут знать определения, виды, свойства четырехугольников.
Уметь применять их при решении задач в повседневной жизни.
Будут уметь работать в группе: представлять творчески решение задания, делать выводы, отвечать на проблемные вопросы.
Высокая мотивация учащихся на уроке.
Ход урока
Этапы проведения занятия
Время
Действия учителя
Действия ученика
Формы оценивания учеников
Психологический настрой на урок
1 мин
«Я могу ошибаться, и ты можешь ошибаться, но совместными усилиями мы можем постепенно приближаться к истине»
Карл Поппер, австрийский философ
Мозговой штурм
Целеполагание
1 мин
Учитель задает вопросы:
-что изучали на прошлых уроках?
-какие фигуры изучали?
-как их назвать одним словом?
-нужны ли нам знания о четырехугольниках?
-где нужны знания о четырехугольниках?
Обобщает сказанное
Отвечают на вопросы учителя:
-параллелограмм, квадрат, и т.д.
-четырехугольники
-знания нужны в жизни
Озвучивают тему урока: «Четырехугольники в окружающем мире»
Похвала
Повторение изученного (диаграмма Эйлера-Венна)
8 мин
ГР. Учитель предлагает разбиться на 3 группы по 4 человека и выявить сходства и различия четырехугольников:
1 группа – параллелограмм и квадрат
2 группа – трапеция и прямоугольник
3 группа – трапеция и ромб
Учащиеся выявляют сходства и различия четырехугольников.
Самооценивание – участники группы оценивают свою работу по получившемуся шифру, результаты заносятся в оценочный лист класса (макс. 16*0,5=8 баллов).
Систематизация знаний по теме:
кроссворд
видеовопросы
тест
постер
4 мин
10 мин
2 мин
5 мин
5 мин
ГР. Учитель предлагает группам разгадать кроссворд по теме четырехугольники.
ГР. Видеовопросы о четырехугольниках в жизни
1 вопрос. Сколько нужно досок шириной 10 см, чтобы отгородить участок, имеющий форму параллелограмма (6*8м)?
Разминка
2 вопрос. Достаточно ли будет 40000 тенге для покупки стендов в класс, если изготовление стенда 1м*1м стоит 10000 тенге(4*1м)?
3 вопрос. Я занимаюсь лоскутным шитьем. Сколько мне потребуется лоскутков размером 10*10 см для изготовления одеяла?
ИР. Тест по свойствам четырехугольников
ГР. Постер о четырехугольниках в окружающем мире.
По горизонтали:
1.Четырехугольник, у которого противоположные стороны параллельны
2. Четырехугольник, у которого только две стороны параллельны
3. Параллелограмм, у которого все углы прямые
4. Точки, из которых выходят стороны четырехугольника
По вертикали:
1. Сумма длин всех сторон
5. Отрезок, соединяющий противолежащие вершины
6. Прямоугольник, у которого все стороны равны
7. Параллелограмм, у которого все стороны равны
8. Отрезок, соединяющий соседние вершины
Учащиеся в группах обсуждают и решают задачи.
1 задача.
6*100=600см
8*100=800см
Р=2*600+2*800=2800см
Р/10=2800/10=280 досок
2 задача.
S=4*1=4 кв.м.
4*10000=40000тг
3 задача.S=150*100=15000
15000/10*10=150 шт
Фигуры
Паралле-
лограмм
Прямо-
угольник
ромб
квадрат
Противоположные стороны попарно параллельны
Противоположные стороны попарно равны
Все стороны равны
Все углы равны
Диагонали точкой пересечения делятся пополам
Диагонали равны
Диагонали перпендикулярны
Диагонали делят углы пополам
Учащиеся защищают свои работы, подводят итог о необходимости знаний о четырехугольниках.
Взаимооценивание – группы меняются кроссвордами и оценивают работы, баллы выставляются в оценочный лист (макс. 9 баллов).
Оценивает учитель, баллы выставляются в лист оценивания (по 1 баллу за правильный ответ+3 балла за ответ).
Взаимооценивание – учащиеся оценивают друг друга, баллы заносятся в лист оценивания (макс. 32*0,5=16 баллов).
Учитель подсчитывает полученные баллы
Домашнее задание
1мин
Опережающее задание – законспектировать теорию с подробным чертежом по теме «среднии линии треугольника и трапеции» стр25, 28
Оценивание
1мин
Выставление оценок за урок согласно шкале оценивания
Рефлексия
2 мин
Кому было скучно – поднимите правую руку,
Кому было некомфортно в группе – поднимите левую руку,
Кто узнал что-то новое - топните,
Кому урок понравился – хлопните в ладоши 10 раз.
В таблицу поставить знак «+», если геометрическая фигура имеет указанное свойство, «-» если не имеет:
Фигуры
Противоположные стороны попарно параллельны
Противоположные стороны попарно равны
Все стороны равны
Все углы равны
Диагонали точкой пересечения делятся пополам
Диагонали равны
Диагонали перпендикулярны
Диагонали делят углы пополам
В таблицу поставить знак «+», если геометрическая фигура имеет указанное свойство, «-» если не имеет:
Фигуры
Противоположные стороны попарно параллельны
Противоположные стороны попарно равны
Все стороны равны
Все углы равны
Диагонали точкой пересечения делятся пополам
Диагонали равны
Диагонали перпендикулярны
Диагонали делят углы пополам
В таблицу поставить знак «+», если геометрическая фигура имеет указанное свойство, «-» если не имеет:
Фигуры
Противоположные стороны попарно параллельны
Противоположные стороны попарно равны
Все стороны равны
Все углы равны
Диагонали точкой пересечения делятся пополам
Диагонали равны
Диагонали перпендикулярны
Диагонали делят углы пополам
В таблицу поставить знак «+», если геометрическая фигура имеет указанное свойство, «-» если не имеет:
Фигуры
Противоположные стороны попарно параллельны
Противоположные стороны попарно равны
Все стороны равны
Все углы равны
Диагонали точкой пересечения делятся пополам
Диагонали равны
Диагонали перпендикулярны
Диагонали делят углы пополам
Критерии выставления оценки
Макс 39
Тема:Теорема Пифогора
Цель урока:Знакомство с теоремой Пифагора, формирование навыков решения задач.
.
Ожидаемый результат: Развитие познавательного интереса, логического мышления учащихся, провести самооценку учебной деятельности на уроке.
Деятельность учителя
Деятельность обучающихся
наглядности
3 мин.
I. Организационный момент. Приветствует учеников, проверяет готовность к уроку, желает успеха. Для создания психологической атмосферы проводит игру «Мне в тебе нравится»
Ученики осмысливают поставленную цель. Дети берут друг друга за руки и улыбаются, называют хорошие качества своих одноклассников.
5 мин.
II. Проверка пройденной темы. С помощью метода «Толстые и тонкие вопросы» проверяет пройденную тему.
Ученики отвечают на вопросы учителя.
25 мин.
III. Актуализация знаний.
Используя прием «Путешествие по галерее» осуществляет усвоение данной темы.
-
Устная работа.
Нарисуйте треугольник ABC-прямоугольный.
Как называются стороны прямоугольного треугольника?
Назвать стороны прямоугольного треугольника ABC.
Что называется косинусом острого угла прямоугольного треугольника?
Из вершины прямого угла прямоугольного треугольника проведите высоту.
,
– Давайте на основе данных рисунков заполним соответствующую таблицу. В этой таблице нам надо записать квадраты длин катетов и гипотенузы для каждого из данных треугольников. 3 треугольника, соответственно 3 строки таблицы и заполним.
Дети заполняют таблицу в парах по рисункам на доске:
(Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов).
«Теорема Пифагора» – теорема, которая отражает связь между катетами и гипотенузой в прямоугольном треугольнике.
a2 + b2 = c2
В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
Правильность утверждения о свойстве гипотенузы установили путем рассуждений. Это рассуждение называется доказательством. А само утверждение, которое доказывается, называется теоремой.
Таким образом мы доказали замечательную теорему, которая называется теоремой Пифагора. Итак, тема нашего урока: «Теорема Пифагора».
На уроке, ребята, вы узнаете о жизни Пифагора; познакомитесь с его математическими открытиями;, примените её для решения задач.
. Исторические сведения из жизни выдающегося математика. (Индивидуальное задание).
Пифагор – древнегреческий ученый, живший в VI веке до н.э.
5 мин.
IV. Закрепление урока. С помощью метода «Таблица Фила» закрепляет усвоение пройденных тем. 
Как называлась теорема Пифагора у математиков?
Как следовало бы поступить юному математику, чтобы надёжным образом получить прямой угол? ( Можно воспользоваться теоремой Пифагора и построить треугольник матиков арабского Востока и почему? Найти различные доказательства теоремы Пифагора.
Ученики заполняют таблицу.
Задают вопросы своим одноклассникам.
«Таблица
Фила»
5 мин.
V. Итог урока. Организует индивидуальную работу над текстом. Проводит рефлексию. Стратегия «Телеграмма»
На стикерах записывают все, что узнали на данном уроке.
фишки
стикеры
2 мин.
VI. Домашняя работа. Объясняет особенности выполнения домашней работы.
Записывают в дневниках.
Итог урока:_________________________________________________________________________
Положительные стороны урока:_______________________________________________________
___________________________________________________________________________________
Отрицательные стороны урока:________________________________________________________
Тема:Решение задач на нахождение площадей треугольников и четырехугольников.
Цель урока: Закрепить понимание темы площади треугольников и четырехугольников, выявлять уровни овладения системой знаний и умений
1. Умеет применять нужную формулу при решении задач при различных их условиях;
2. Развивает навыки решения задач, применяя формулы нахождения площадей;
Деятельность учителя
Деятельность обучающихся
наглядности
3 мин.
I. Организационный момент. Приветствует учеников, проверяет готовность к уроку, желает успеха. Для создания психологической атмосферы проводит игру «Солнечный зайчик»
- Возьмите себя за руки и улыбнитесь друг другу. Скажите, что вы сейчас почувствовали?
Осмысливают поставленную цель. Ученики берутся за руки. Говорят то, что почувствовали от прикосновения своих одноклассников.
10 мин.
II. Проверка пройденного материала.
По стратегии «Таблица Фила» проводит проверку домашней работы.
Демонстрируют свои знания, умения по жизни и творчеству Д. Байрона (по домашней работе)
Таблица Фила
15 мин.
III. Актуализация знаний
Работа над содержанием поэмы.
1 группа
Найти смежные стороны прямоугольника, если
известно, что площадь равна 250 см2, а одна из
сторон в 2,5 раза больше другой.
Найти сторону квадрата, площадь которого равна
площади прямоугольника со сторонами 8 см и 18 см.
Найти площадь трапеции, основания которой равны
45 см и 68 см, боковая сторона 36 см и угол при ней
равен30o.
2 группа
Высоты параллелограмма, проведенные из вершины
острого угла, образуют угол 150o. Найдите
площадь параллелограмма, если его стороны равны
12 см и 18 см.
В равнобедренной трапеции периметр равен 64 см,
разность оснований равна 18 см, а высота относится
к боковой стороне как 4 : 5. Найдите площадь
трапеции.
Найдите площадь квадрата, диагональ которого
равна 6 см.
3 группа
Высота, проведенная к боковой стороне
равнобедренного треугольника, равна 15 см и
отсекает на боковой стороне отрезок длиной 8см,
считая от вершины, противолежащей основанию.
Найдите площадь треугольника.
Найдите углы ромба, если его периметр 16 см, а
площадь 8 см2.
Как изменится площадь прямоугольника, если одну
его сторону увеличить в 9 раз, а другую –
уменьшить в 3 раза.
Ученики самостоятельно изучают новый материал.
Учебник
Таблица Фила
10 мин.
Закрепление урока. Проблемные вопросы.- Заполнить «Таблицу Фила»
1-3 группа
.Сторона параллелограмма равна 21 см, а высота, проведенная к ней 15 см. Найдите площадь параллелограмма.
2.Сторона треугольника равна 5 см, а высота, проведенная к ней, в 2 раза больше стороны. Найдите площадь треугольника.
3.В трапеции основания равны 6 и 10 см, а высота равна полусумме длин оснований. Найдите площадь трапеции.
4.Стороны параллелограмма равны 6 и 8 см, а угол между ними равен 30°. Найдите площадь параллелограмма.
5.Диагонали ромба относятся как 2 : 3, а их сумма равна 25 см. Найдите площадь ромба.
2- 4 группа
В равнобедренном треугольнике АВС высота АН в 4 раза меньше основания ВС, равного 16 см. Найдите площадь ∆ABC.
В параллелограмме ABCD высоты равны 10 и 5 см, площадь параллелограмма равна 60 см2. Найдите стороны параллелограмма.
В равнобокой трапеции АВСМ большее основание AM равно 20 см, высота ВН отсекает от AM отрезок АН, равный б см. Угол ВАМ равен 45°. Найдите площадь трапеции.
Стороны параллелограмма равны 4 и 7 см, а угол между ними равен 150o. Найдите площадь параллелограмма.
Диагонали ромба относятся как 3 : 5, а их сумма
Ученики демонстрируют свои знания. Отвечают на вопросы учителя. Самостоятельно составляют вопросы, и задают их своим одноклассникам.
Заполняют таблицу.
Таблица Фила
5 мин.
V. Итог урока. Проводит рефлексию.
- Понравился ли вам урок?
- Что было трудным для вас?
- Что вам больше понравилось?
Оценивают работу своих одноклассников.
На стикерах записывают свое мнение по поводу урока.
Дерево Блоба
стикеры
2 мин.
VI. Домашняя работа. Объясняет особенности выполнения домашней работы.
Записывают домашнюю работу в дневниках.
Итог урока:___________________________________________________________________
Положительные стороны урока:__________________________________________________
_____________________________________________________________________________
Отрицательные стороны урока:___________________________________________________
______________________________________________________________________
Тема: Понятие вектора. Коллинеарные векторы. Длина (модуль) и направление вектора. Равенство векторов.
Цель урока: ввести понятие вектора, рассмотреть две основные характеристики вектора – абсолютная величина (модуль) и направление; определить равенство векторов;
Ожидаймый результат: Научиться изображать и обозначать вектор, различать начало и конец в записи и на чертеже, распознавать, изображать и записывать сонаправленные и противоположно направленные векторы,.
Деятельность учителя
Деятельность обучающихся
Наглядности
3 мин.
I. Организационный момент. Приветствует учеников. Создает психологическую атмосферу в классе.
С помощью разрезанных пазлов, класс делится на группы.
Пазлы
10 мин.
Подготовка к восприятию новой темы. С помощью наводящих вопросов, подвести к теме урока.
Что такое геометрия?
Что такое планиметрия?
Приведите примеры плоских и неплоских фигур.
Опишите понятие точка.
Опишите понятие прямая.
Опишите понятие плоскость.
Демонстрируют свои знания, умения.
Карточки
20 мин.
III. Актуализация знаний
Постановка цели урока. По методу «ДЖИГСО» осуществляет усвоение нового материала.
Опр.: Отрезок, для которого обозначены начало и конец, называется направленным отрезком или вектором.
На рисунке вектор обозначается отрезком со стрелкой, показывающей направление вектора. Обозначается вектор двумя заглавными латинскими буквами со стрелкой над ними, например , где А – начало вектора, В – конец вектора.
Также любая точка плоскости – вектор. В данном случае вектор называется нулевым, т.е начало вектора совпадает с его концом. Обозначается такой вектор двумя одинаковыми заглавными латинскими буквами - или .
Длиной или модулем ненулевого вектора называется длина отрезка АВ. Длина вектора обозначается (). Длина нулевого вектора считается равной нулю: =0. Рассмотреть рис. 243(а,б).
Рассмотрим движение тела, при котором все его точки движутся с одной и той же скоростью и в одном и том же направлении. Скорость каждой точки М тела является векторной величиной => можно изобразить эту точку в виде направленного отрезка, начало которого совпадает с точкой М. Так как все точки данного тела движутся одновременно и с одной скоростью, то все они направлены и имеют одинаковые направления.
Опр.: Ненулевые векторы называются коллинеарными, если они лежат либо на одной прямой, либо на параллельных прямых; нулевой вектор коллинеарен любому вектору.
Рассмотреть рис.245.
Если два вектора и коллинеарны, то они могут быть направлены либо одинаково, либо противоположно. В первом случае векторы называются сонаправленными (), а во втором – противоположно направленными ().
Т.к. у нулевого вектора начало и конец совпадают, поэтому определенного направления он не имеет.
Свойства нулевого вектора:
Если ,(≠0), то .
Если ,, то .
Если ,(≠0), то .
Опр.: Векторы называются равными, если они сонаправлены и их длины равны.
Пусть дана точка А и А – начало вектора . Тогда вектор отложен от точки А
Опр.: От любой точки М можно отложить вектор, равный данному вектору , и притом только один.
Задание для группы
1 группа Решить задачу: В четырехугольнике ABCD = , точка О, точка пересечения диагоналей. Прямая m проходит через точку О и пересекает стороны BC и ADсоответственно в точках M, N соответственно. Среди векторов BM, MC, AN, DN, AM, NC найдите : а) коллинеарные, б) сонаправленные векторы, в) противоположно направленные векторы, г) равные векторы,
д) векторы, имеющие равные длины.
2 группа В треугольнике ABC, AM – медиана, равны ли вектора , . Если, да – то почему, если – нет то почему?
3 группа В четырехугольнике ABCD = . Докажите, что этот четырехугольник параллелограмм.
Работая в группах, ученики самостоятельно изучают новый материал.
Учебник
5 мин.
IV. Закрепление урока. Закрепить урок по методу «Синквейн».
Для всех групп
Прием «Синквейн»
1.Дети возвращаются к таблице«Верю не верю», корректируют свои знания.
2. Прием синквейн
1 -3 группаВектор
2 – 4 группа
Отрезок
Отрезок
Направление
Равенство
Стрелка.
Отрезок
Направление
Равенство
Стрелка
Что такое вектор?
- Как он изображается на рисунках?
- Какой вектор называется нулевым?
- Что такое длина вектора?
- Какие векторы называются коллинеарными?
- Сонаправленными?
- Противоположно направленными?
- Какие векторы называются равными?
Ученики обсуждают в парах и представляют всему классу.
Бумага А4
5 мин.
V.Итог урока. Организует самооценку результатов учебной деятельности. Систематизирует и обобщает совместное достижение. Проводит рефлексию.
- Понравился ли вам урок?
- Что было трудным для вас?
- Что вам больше понравилось?
Самооценка учащимися результатов своей учебной деятельности
На стикерах записывают свое мнение по поводу урока.
Оценочный лист
Стикеры
2 мин.
VI.Домашняя работа. Объясняет выполнение домашней работы.
Записывают домашнюю работу в дневниках.
Итог урока:___________________________________________________________________
Положительные стороны урока:__________________________________________________
_____________________________________________________________________________
Отрицательные стороны урока:___________________________________________________
______________________________________________________________________
Цель урока: усвоить понятие суммы и разности двух векторов, рассмотреть законы сложения векторов, на их основе ввести понятие суммы трех и более векторов; формировать умение строить сумму двух данных векторов, используя правила треугольника и параллелограмма, сумму нескольких векторов, используя правило многоугольника, строить разность двух данных векторов двумя способами;
2) развитие абстрактного мышления, умения сравнивать, анализировать, обобщать, выделять главное, планировать свою деятельность;
Деятельность учителя
Деятельность обучающихся
Наглядности
3 мин.
I. Организационный момент. Приветствует учеников. Создает психологическую атмосферу в классе.
С помощью разрезанных пазлов, класс делится на группы.
Пазлы
10 мин.
Подготовка к восприятию новой темы. Проверяет знания и умения учащихся для подготовки к новой теме.
Устный опрос учащихся:
1. Понятие вектора. Обозначение векторов
2. Коллинеарные векторы
3. Сонаправленные, противоположно направленные векторы
4. Равные векторы. Их свойства
5. Как построить вектор ?
6. Какие арифметические действия можно производить над векторами?
Демонстрируют свои знания, умения.
Карточки
20 мин.
III. Актуализация знаний. Ставит цель занятия перед учащимися. Организует восприятие и осмысление новой информации.
Для свободного размышления предлагает ученикам составить «Кластер».
Работая в группах, ученики самостоятельно составляют кластер
Изучение нового материала.
1. Сложение векторов. Определение.
1) Правило треугольника (используется для сложения коллинеарных и неколлинеарных векторов) алгоритм построения суммы векторов.
2) Правило параллелограмма.
Алгоритм построения суммы векторов.
3) Свойства сложения векторов.
2. Вычитание векторов. Определение.
Алгоритм построения разности векторов.
Задание для группы
1 группа
– трапеция. Чему равна сумма , , ?
Чему равна разность этих пар векторов?
Задача
Дан параллелограмм . Через векторы выразите векторы .
2 группа
Задача 1
Упростите выражение (без чертежа)
а) ; б)
Задача2 : Используя правило треугольника, найдите сумму векторов РМ и МТ,
СН и НС, АВ + 0, 0 + СЕ
Решение:
А) РМ + МТ= РТ,
Б) СН + НС = СС = 0,
В) АВ + 0 = АВ,
Г) 0 + СЕ = СЕ. См . приложение (слайд 8 )
3 группа
Используя правило треугольника, постройте векторы ОА = а + в и CВ = а + в.
Определите вид четырехугольника ОАВС.
Решение: В в К
А а
А в М С
в а
О
Отложим от точки О вектор ОМ = а и от точки М- вектор МА =в,
тогда ОА = ОМ + МА.
Аналогично строим СК = а и КВ = в, тогда CВ =СК + КВ. Т.к. ОА = а + в
И CВ = а + в , ОА =CВ , следовательно, ОА СВ и ОА = CВ , поэтому четырехугольник ОАВС – параллелограмм..
5 мин.
IV. Закрепление урока. Закрепить урок по методу «Призма».
Работа в группа
1. Начертите попарно неколлинеарные векторы . Постройте векторы:
, , , , , . Какие из построенных векторов равны?
2. Найдите вектор из условия: а) ; б) .
3. Упростите выражение .
4. Найдите вектор из условия: .
Ученики обсуждают в парах и представляют всему классу.
Бумага А4
5 мин.
V.Итог урока. Контролирует за результатами учебной деятельности, осуществляемый учителем и учащимися. Систематизирует и обобщает совместное достижение. Проводит рефлексию.
- Понравился ли вам урок?
- Что было трудным для вас?
- Что вам больше понравилось?
Самооценка учащимися результатов своей учебной деятельности
На стикерах записывают свое мнение по поводу урока.
Оценочный лист
Стикеры
2 мин.
VI. Объясняет выполнение домашней работы.
Записывают домашнюю работу в дневниках.
Итог урока:___________________________________________________________________
Положительные стороны урока:__________________________________________________
_____________________________________________________________________________
Отрицательные стороны урока:___________________________________________________
______________________________________________________________________
| Тема: Умножение вектора на число. Критерий коллинеарности векторов. Свойства умножения вектора на число. | |||
| Цель урока: проверить усвоения правил сложения и вычитания векторов, ввести правила умножения вектора на число. . совершенствовать навыки решения задач на применение свойств умножения вектора на число, развивать логическое мышление. | |||
| | Деятельность учителя | Деятельность обучающихся | Наглядности |
| 3 мин. | I. Организационный момент. Приветствует учеников. Для создания психологической атмосферы проводит игру «Рисунока на спине». | Ученики делятся на группы. Осмысливают поставленную цель. | Бумага А4 Маркер |
| 10 мин. | Проверка пройденного материала.С помощью метода «Таксономия Блума» проверяет домашнюю работу. Что такое вектор? 2. Какой вектор называется нулевым? 3. Что такое длина вектора? 4. Какие векторы называются коллинеарными? 5. Какие векторы называются равными? 6. Какие правила сложения векторов вы знаете? 7. Показать правило сложения треугольником и параллелограммом. Проверочная работа для группы
Изобразите на рисунке векторы: 1 группа: = + = - 2 группа = + = -
1 группа: a) + + + + + b) - + - 2 группа: a) + + + + + + b) + + - - | Демонстрируют свои знания, умения по домашней работе. | Уровневые задания |
| 20 мин. | III. Актуализация знаний Постановка цели урока. Мотивация изучения материала. По методу «ДЖИГСО» осуществляет усвоение нового материала. Контролирует выполнение записей учащимися. Предлагает ученикам составить «Синквейн»
Самостоятельная работа lkzuheggs 1 группа 1. Начертит вектор такой, что ││= 2 см. Постройте векторы 3 2. В параллелограмме АВСД на стороне АВ отмечена точка К так, что АК:КВ = 2:1 О – точка пересечения диагоналей. Выразите векторы 2 группа 1. Начертите вектор 2. В параллелограмме АВСД на стороне ВС отмечена точка Р так, что ВР :РС = 3 :1 О – точка пересечения диагоналей. Выразите векторы 3 группа 1. Начертите два неколлинеарных вектора 2. На сторонах ВС и СД параллелограмма АВСД взяты соответственно точки М и Е так, что М – середина ВС, СЕ : ЕД =1 :3. Выразите векторы | Работая в группах, ученики самостоятельно изучают новый материал. Ученики составляют четверостишье. | Учебник |
| 10 мин. | IV.Итог урока. Самооценка учащимися результатов своей Организует систематизацию и обобщение совместных достижений. Организует индивидуальную работу по личным достижениям.
Проводит рефлексию. - Понравился ли вам урок? - Что было трудным для вас? - Что вам больше понравилось? | Оценивают работу своих одноклассников. На стикерах записывают свое мнение по поводу урока. | Фишки Стикеры |
| 2 мин. | Объясняет особенности выполнения домашней работы. | Записывают домашнюю работу в дневниках. | |
Итог урока:__________________________________________________________________
Положительные стороны урока:__________________________________________________
_____________________________________________________________________________
Отрицательные стороны урока:__________________________________________________
______________________________________________________________________
| Тема: Разложение вектора на плоскости по двум неколлинеарным векторам | ||
| Цель урока: обучающие: познакомиться с понятием координаты вектора, изучить правила нахождения координат суммы и разности векторов, координат произведения вектора на число; научить применять знания при решении геометрических задач; развивающие: формировать у учащихся таких приемов мышления и мыслительных операций как сравнение и аналогия, обобщение и конкретизация, умение делать логические выводы; | ||
| Деятельность учителя | время | Действия учеников |
| 1мин | |
Устный опрос 1. Дайте определение вектора [Векторомилинаправленным отрезком называется отрезок для которого указано, какая из его граничных точек считается началом, а какая – концом.] 2 Длина или модуль ненулевого вектора АВ – это [длина отрезка АВ] 3.Ненулевые вектора называются коллинеарными, если… [они лежат либо на одной прямой, либо на параллельных прямых] 4. Два коллинеарных вектора направленные одинаково называются [сонаправлеными] 6. Векторы называются равными, если… [они сонаправлены и их длины равны] Решение задач по готовым чертежам ABCD-параллелограмм Выразите А)через Б) через , В) через , Г) через , | 5мин | Ученики делятся на группы. Осмысливают поставленную цель. Ответы учащихся |
Всегда ли можно выразить один вектор через другой? Рассмотрим два случая: 1)векторы коллинеарны 2)векторы неколлинеарны
http://fcior.edu.ru/card/8332/razlozhenie-vektora-po-dvum-nekollinearnym-vektoram-i1.html Рассмотрим прямоугольную систему координат. Отложим от начала координат О единичные векторы (т.е. векторы, длины которых равны единице) i и j так, чтобы направление вектора iсовпало с направлением оси Ох, а направление вектора j– с направлением оси Oy. Векторы i и j назовем координатными векторами. Координатные векторы неколлинеарны, поэтому любой вектор р можно разложить по координатным векторам , т.е. представить в виде p = xi + yj, причём коэффициенты разложения (числа x и y) определяются единственным образом. Коэффициенты разложения вектора р по координатным векторам называются координатами вектора р в данной системе координат. Координатные векторы будем записывать в фигурных скобках после обозначения вектора. На рисунке вектор , и вектор | | Работая в группах, ученики самостоятельно изучают новый материал. Ученики делают выводы по увиденному |
| 4.Закрепление изученного материала Самостоятельное работа для группы
№917 №919 | | |
| 5. Домашнее задание | | |
| 6. Итог урока. Что вы сегодня узнали? Проводит рефлексию. - Понравился ли вам урок? - Что было трудным для вас? - Что вам больше понравилось | | Т. о разложении вектора Координаты вектора |
Класс: 9
Дата ____________
№ урока: 11
Тема урока
Векторы в прямоугольной системе координат. Координаты вектора.
Общая цель
Учащиеся смогут вычислять координаты векторов в прямоугольной системе координат.
Задачи
Обучающая: научиться решать простейшие задачи в координатах, задачи на нахождение координат вектора и действий над векторами в прямоугольной системе координат.
Развивающая: развивать навыки критического мышления: целенаправленность, рациональность, развитие самостоятельной деятельности учащихся.
Воспитывающая: воспитать интерес к предмету; умение работать в коллективе и культуру общения.
Результаты
обучения
Ученик А: знает формулы для вычисления координат векторов и выполнения действий над ними в прямоугольной системе координат.
Ученик В: знает формулы для вычисления координат векторов и выполнения действий над ними в прямоугольной системе координат;
умеет правильно вычислять координаты векторов в прямоугольной системе координат.
Ученик С*: знает формулы для вычисления координат векторов и выполнения действий над ними в прямоугольной системе координат;
умеет правильно вычислять координаты векторов в прямоугольной системе координат.
анализирует главные составляющие темы, предлагает свои способы нахождения координат векторов в прямоугольной системе векторов.
Ресурсы и оснащение
Учебник "Геометрия" для 9 класса; ключи к ответам домашнего задания; презентация «Координаты вектора»; карточки «Перепутанные логические цепочки»; ключи к ответам;листы с критериями оценивания;плакаты;маркеры;оценочные листы; таймер
Этапы
Время
Виды заданий
Действия учителя
Действия учащихся
I. Вызов
1. Орг. момент
2. Определение темы и целей урока
3. Проверка домашнего задания
3
1. Эмоциональный настрой
«Корзина пожеланий»
Приветствует учащихся, предлагает взять на выбор один листочек с «Корзины пожеланий».
Получи пятёрку; пусть тебе повезёт; удиви друзей своими ответами; ты имеешь право на собственное мнение; хорошего настроения на уроке; стремись вперед, к чему-то новому и т.д.
Приветствуют учителя, выбирают один из листочков.
5
2. «Мозговая атака»
Создание проблемной ситуации. Определение темы и целей урока.
Создаёт ситуацию, в которой учащиеся смогут самостоятельно сформулировать тему и цели урока.
Даны координаты точек А (3;8); В (-4;0) С (5;-3). Найдите координаты следующих векторов: АВ + ВС. Опишите алгоритм ваших действий. Как вы думаете, можно ли сложить данные вектора по правилу треугольника? (Презентация, слайд 1)
Формативное оценивание:
похвала, поощрение
Испытывают затруднения, осознают противоречие. Доказывают свою точку зрения. Формулируют тему и цели урока.
2
3. Проверка домашнего задания
Раздаёт учащимся ключи к ответам домашнего задания (Приложение 1). При необходимости консультирует.
Формативное оценивание:
похвала, поощрение
Взаимопроверка домашнего задания по ключам. Оценивают друг друга (Приложение 2), при необходимости задают вопросы.
II. Осмысление
1. Актуализация знаний
2. Закрепление
3. Домашнее задание
5
3.Индивидуальная работа
«Перепутанные логические цепочки»
Раздаёт карточки. Предлагает учащимся заполнить карточки (Приложение 3). Восстановить правильную логическую последовательность.
Формативное оценивание:
наблюдение и устное поощрение работы
Учащиеся заполняют карточки, вспоминают формулы нахождения координат вектора. Выполняют взаимопроверку по ключам (Презентация, слайд 3).
10
4. Работа в парах
«Мудрая сова»
Предлагает решить задачу.Даны координаты точек А (7;5); В (-6;2) С (3;-1). Найдите координаты следующих векторов: АВ + ВС. Подумайте, сколько решений имеет задача. Затем 1 паре оформить на плакате алгоритм решения, 2 паре само решение. Выбирает эксперта. Наблюдает, при необходимости корректирует решение ребят.
(Презентация, слайд 4).
Формативное оценивание:
наблюдение и устное поощрение работы
Решают задачу, ищут нестандартные пути решения. Оформляют свои идеи на плакате. Эксперт решает задачу и записывает алгоритм решения задачи.
3
5. Защита
Формативное оценивание:
похвала, поощрение
Спикеры защищают плакаты. Эксперт оценивает выступление по критериям, при необходимости дополняет. (Приложение 4)
10
6. Индивидуальная работа
Предлагает решить № 35, № 36. Наблюдает, при необходимости корректирует решение ребят.
Формативное оценивание:
наблюдение и устное поощрение работы
Выполняют решение № 35, № 36.
Самопроверка по ключам (Приложение 5), самооценивание.
III. Рефлексия
1. Рефлексия
2. Итоги урока
2
7. «Мозговая атака»
Обращение к цели урока.
Демонстрирует задачу и её решение.
Даны координаты точек А (3;8); В (-4;0) и С (5;-3). Найдите координаты следующих векторов: АВ + ВС. Опишите алгоритм ваших действий. Как вы думаете, можно ли сложить данные вектора по правилу треугольника?
Решают устно задачу. (Презентация, слайд 5).
Делают вывод. Подводят итоги урока.
5
7. «Синквейн»
Предлагает учащимся составить синквейн по теме «Вектор».
Суммативное оценивание:
по следующим позициям:
оценка эксперта по критериям, взаимооценка учащихся и оценка учителя по наблюдению и анализу обратной связи
Учащиеся составляют синквейн (Приложение 6).
Последующие задания и чтение (д/з)
№ 33, № 34
Приложение 1
Ключи к ответам домашнего задания
;
.
Ключи к ответам домашнего задания
;
.
Приложение 2
Оценочный лист Оценочный лист
Оценка
1.
Домашнее задание
2.
Индивидуальная работа «Перепутанные логические цепочки»
3.
Работа в парах «Мудрая сова»
4.
Индивидуальная работа
5.
Отметка учителя
Эмоциональная оценка
О себе
Об уроке
Удовлетворен
Неудовлетворен
Итоговая оценка за урок
№
Фамилия Имя __________________________
Оценка
1.
Домашнее задание
2.
Индивидуальная работа «Перепутанные логические цепочки»
3.
Работа в парах «Мудрая сова»
4.
Индивидуальная работа
5.
Отметка учителя
Эмоциональная оценка
О себе
Об уроке
Удовлетворен
Неудовлетворен
Итоговая оценка за урок
Оценочный лист
Оценочный лист
Фамилия Имя __________________________Оценка
1.
Домашнее задание
2.
Индивидуальная работа «Перепутанные логические цепочки»
3.
Работа в парах «Мудрая сова»
4.
Индивидуальная работа
5.
Отметка учителя
Эмоциональная оценка
О себе
Об уроке
Удовлетворен
Неудовлетворен
Итоговая оценка за урок
Оценка
1.
Домашнее задание
2.
Индивидуальная работа «Перепутанные логические цепочки»
3.
Работа в парах «Мудрая сова»
4.
Индивидуальная работа
5.
Отметка учителя
Эмоциональная оценка
О себе
Об уроке
Удовлетворен
Неудовлетворен
Итоговая оценка за урок
Приложение 3
Перепутанные логические цепочки
a - b
()
Координаты вектора АВ
()
m (7; 5); n (- 6; 2) m+n
Перепутанные логические цепочки
a - b
()
Координаты вектора АВ
()
m (7; 5); n (- 6; 2) m+n
Перепутанные логические цепочки
a - b
()
Координаты вектора АВ
()
m (7; 5); n (- 6; 2) m+n
Перепутанные логические цепочки
a - b
()
Координаты вектора АВ
()
m (7; 5); n (- 6; 2) m+n
Перепутанные логические цепочки
a - b
()
Координаты вектора АВ
()
m (7; 5); n (- 6; 2) m+n
Перепутанные логические цепочки
a - b
()
Координаты вектора АВ
()
m (7; 5); n (- 6; 2) m+n
Перепутанные логические цепочки
a - b
ka
()
Координаты вектора АВ
a + b
()
m (7; 5); n (- 6; 2) m+n
Приложение 4
Приложение 5
Ключи к ответам
Ключи к ответам
Приложение 6
Составить синквейн по теме.
В первой строчке записывают тему, одним словом (существительное).
Вторая строчка – описание темы в двух словах (прилагательные).
Третья строчка – описание действий в рамках этой темы тремя словами.
Четвертая строчка – фраза из четырех слов, показывающая отношение к теме.
Последняя строка – синоним из одного слова, который повторяет суть темы.
Составить синквейн по теме.
В первой строчке записывают тему, одним словом (существительное).
Вторая строчка – описание темы в двух словах (прилагательные).
Третья строчка – описание действий в рамках этой темы тремя словами.
Четвертая строчка – фраза из четырех слов, показывающая отношение к теме.
Последняя строка – синоним из одного слова, который повторяет суть темы.
Составить синквейн по теме.
В первой строчке записывают тему, одним словом (существительное).
Вторая строчка – описание темы в двух словах (прилагательные).
Третья строчка – описание действий в рамках этой темы тремя словами.
Четвертая строчка – фраза из четырех слов, показывающая отношение к теме.
Последняя строка – синоним из одного слова, который повторяет суть темы.
12 урок
Тема Координаты и векторы в пространстве.Прямоугольная система координат.Расстояние между точками.Координаты середины отрезка.
Если через точку О в пространстве мы проведем три перпендикулярные прямые, назовем их, выберем направление, обозначим единичные отрезки, то мы получим прямоугольную систему координат в пространстве. Оси координат называются так: Ох – ось абсцисс, Оy – ось ординат и Оz – ось аппликат. Вся система координат обозначается – Oxyz. Таким образом, появляются три координатные плоскости: Оxy, Оxz, Оyz.
Приведем пример построения точки В(4;3;5) в прямоугольной системе координат (см. Рис. 1).
Рис. 1. Построение точки B в пространстве
Первая координата точки B – 4, поэтому откладываем на Ox 4, проводим прямую параллельно оси Oy до пересечения с прямой, проходящей через у=3. Таким образом, мы получаем точку K. Эта точка лежит в плоскости Oxy и имеет координаты K(4;3;0). Теперь нужно провести прямую параллельно оси Oz. И прямую, которая проходит через точку с аппликатой 5 и параллельна диагонали параллелограмма в плоскости Oxy. На их пересечении мы получим искомую точку B.
Рассмотрим расположение точек, у которых одна или две координаты равны 0 (см. Рис. 2).
Рис. 2.
Например, точка A(3;-1;0). Нужно продолжить ось Oy влево до значения -1, найти точку 3 на оси Ox, и на пересечении линий, проходящих через эти значения, получаем точку А. Эта точка имеет аппликату 0, а значит, она лежит в плоскости Oxy.
Точка C(0;2;0) имеет абсциссу и аппликату 0 – не отмечаем. Ордината равна 2, значит точка C лежит только на оси Oy, которая является пересечением плоскостей Oxy и Oyz.
Чтобы отложить точку D(-4;0;3) продолжаем ось Ox назад за начало координат до точки -4. Теперь восстанавливаем из этой точки перпендикуляр – прямую, параллельную оси Oz до пересечения с прямой, параллельной оси Ox и проходящей через значение 3 на оси Oz. Получаем току D(-4;0;3). Так как ордината точки равна 0, значит точка D лежит в плоскости Oxz.
Следующая точка E(0;5;-3). Ордината точки 5, аппликата -3, проводим прямые проходящие через эти значения на соответствующих осях, и на их пересечении получаем точку E(0;5;-3). Эта точка имеет первую координату 0, значит она лежит в плоскости Oyz.
Начертим прямоугольную систему координат в пространстве Oxyz. Зададим в пространстве прямоугольную систему координат Oxyz. На каждой из положительных полуосей отложим от начала координат единичный вектор, т. е. вектор, длина которого равна единице. Обозначим единичный вектор оси абсцисс
, единичный вектор оси ординат 
, и единичный вектор оси аппликат 
(см. рис. 1). Эти векторы сонаправлены с направлениями осей, имеют единичную длину и ортогональны – попарно перпендикулярны. Такие вектора называют координатными векторами или базисом.
Рис. 1. Разложение вектора по трем координатным векторам
Возьмем вектор 
, поместим его в начало координат, и разложим этот вектор по трем некомпланарным - лежащим в разных плоскостях - векторам. Для этого опустим проекцию точки M на плоскость Oxy, и найдем координаты векторов 
, 
и 
. Получаем: 
. Рассмотрим по отдельности каждый из этих векторов. Вектор лежит на оси Ox, значит, согласно свойству умножения вектора на число, его можно представить как какое-то число x умноженное на координатный вектор . 
, а длина вектора ровно в x раз больше длины . Так же поступим и с векторами и , и получаем разложение вектора по трем координатным векторам:
Рис. 2.
Возьмем точку A(x1;y1;z1) и точку B(x2;y2;z2) (см. рис. 3). Представим вектор 
как разность векторов и по свойству векторов. Причем, и - радиус-векторы, и их координаты совпадают с координатами концов этих векторов. Тогда мы можем представить координаты вектора как разность соответствующих координат векторов и : 
. Таким образом, координаты вектора мы можем выразить через координаты конца и начала вектора.
Рис. 3.
Рассмотрим примеры, иллюстрирующие свойства векторов и их выражение через координаты. Возьмем векторы 
, 
, 
. Нас спрашивают вектор 
. В данном случае найти 
это значит найти координаты вектора , которые полностью его определяют. Подставляем в выражение вместо векторов соответственно их координаты. Получаем:
Теперь умножаем число 3 на каждую координату в скобках, и то же самое делаем с 2:
У нас получилась сумма трех векторов, складываем их по изученному выше свойству:
Ответ: 
Пример №2.
Дано: Треугольная пирамида AOBC (см. рис. 4). Плоскости AOB, AOC и OCB – попарно перпендикулярны. OA=3, OB=7, OC=4; M - сер.AC; N - сер.OC; P – сер. CB.
Найти: 
,
,,
,
,
,
,
.
Рис. 4.
Решение: Введем прямоугольную систему координат Oxyz с началом отсчета в точке O. По условию обозначаем точки A, B и C на осях и середины ребер пирамиды – M, P и N. По рисунку находим координаты вершин пирамиды: A(3;0;0), B(0;7;0), C(0;0;4).
Так как координаты вектора - это разность координат его конца и начала, получаем:
. Таким же образом находим координаты векторов и . 
; 
.
Чтобы найти координаты вектора , нужно сначала найти координаты точек M и N. По рисунку видно, что точка N имеет координаты
, так как она лежит на оси аппликат. Рассмотрим 
. MN – средняя линия, 
. Значит координата точки M по оси Oz 2. Теперь проведем из точки M перпендикуляр к оси Ox, координата 1,5. Точка M лежит в плоскости Oxz, значит по оси Oy координата 0. Получаем M(1,5;0;2). Теперь зная координаты точек M и N, считаем их разность: 
.
Теперь найдем координаты точки P. Опустим перпендикуляр на плоскость Oxy, получаем значение 3,5 по оси ординат. И проведя перпендикуляр к оси Oz, получаем значение 2 по оси аппликат. Точка P имеет координаты (0;3,5;2). Зная координаты нужных точек, найдем координаты оставшихся векторов.
;
.
Вектора и - радиус-векторы, значит, их координаты равны координатам концов этих векторов: 
, 
.
.
Пример 1. Задача на нахождение координат середины отрезка (рис. 1). Даны две точки: A(x1;y1z1), B(x2;y2;z2), C – середина AB. Найти: C(x;y;z).
Рис. 1. Координаты середины отрезка
Решение: Обозначим в пространстве точки A, B и С – середину отрезка AB. Вектор является половиной суммы векторов и , потому что OC – это половина диагонали параллелограмма, построенного на векторах и . Координаты точки C находятся, как полусумма координат концов отрезка AB - точек A и B. Найдем координаты точки С:
, 
, 
.
Пример 2. Задача на нахождение модуля вектора через его координаты (рис. 2). Если у нас есть вектор 
, то его модуль вычисляется по формуле: 
.
Рис. 2.
Рассмотрим вывод этой формулы.
1) Начертим вектор 
и совместим его начало с началом координат, чтобы координаты точки M совпадали с координатами вектора.
2) Опустим перпендикуляр из точки M на плоскость Oxy, получаем точку K.
3) Рассмотрим 
. OA=x - первая координата точки M, отрезок AK=y – вторая координата точки M. Гипотенуза , 
- по теореме Пифагора.
4) Рассмотрим 
- прямоугольный, так как MK - перпендикуляр к плоскости Oxy. , MK=z.
- по теореме Пифагора.
Пример 3. Задача на нахождение расстояния между точками, которые заданы координатами (рис. 3). Дано: A(x1;y1z1), B(x2;y2;z2). Найти: длину отрезка AB.
Рис. 3.
Решение:
1) Найдем координаты вектора . 
.
2) Найдем модуль вектора по его координатам:
.
Задача №1.
Дано: A(-3;m;5), B(2;-2;n), C – середина AB, 
. Найти: m, n.
Решение: Так как , мы знаем две координаты точки C – (x;0;0). Запишем формулу середины отрезка для отрезка AB и его середины – C. Получаем три уравнения:
; 
; 
.
Ответ: 
, 
.
Задача №2.
Дано: M(-4;7;0), N(0;-1;2), C – середина MN. Найти: расстояние от начала координат до точки C.
Решение: Сначала найдем координаты точки C. Ее координаты равны полусумме соответствующих координат. 
.
Нужно найти расстояние от начала координат до точки C. Это значит, что мы должны найти длину отрезка OC или модуль вектора . Так как - радиус-вектор, то координаты этого вектора равны координатам точки 
. Воспользуемся формулой нахождения длины вектора по его координатам:
.
Критерии
успеха
Все учащиеся смогут:
Четкое различие между векторными и скалярными величинами, правила действия над векторами. Что называется проекцией вектора; правила работы с проекциями векторов
Большинство учащихся будут уметь:
определять направление вектора по проекции векторов, строить проекцию вектора
Некоторые учащиеся смогут:
применять правила векторов в решении графических задач
Формы работы
Индивидуальная и самостоятельная
Использование модулей
Обучение талантливых и одарённых детей
Преподавание и обучение в соответствии с возрастными особенностями учеников
Новые подходы в преподавании и обучении
Оценивание для обучения и оценивание обучения
Межпредметные связи
Математика. Действия с векторами, проекции векторов.
Ресурсы
проектор, компьютер, презентация к уроку
Ход урока
Этап урока
Время
Деятельность учителя
Организационный момент
1 мин
Организую начало урока с позитивного настроя. Провожу тренинг «Мы похожи»
Сидя в паре друг другу
– Ты похож на меня тем, что...
– Я отличаюсь от тебя тем, что...
По окончании проводится обсуждение, обращается внимание на то, что было легко и что было трудно делать, какие были открытия. В итоге делается вывод о том, что все мы, в сущности, похожи и в то же время разные, но мы имеем право на эти отличия, и никто не может нас заставить быть другими.
Вызов
2 мин
Стратегия «Толстые и тонкие вопросы»
Что называется механикой?
На какие виды делится механика?
Что называется кинематикой?
Существует ли в природе тело, находящееся в покое?
Приведите примеры, что и покой относителен.
Что называется материей? Каковы её основные свойства?
Что называется материальной точкой? Примеры.
Что называется системой отсчёта?
Что называется системой координат?
Что называется относительностью движения?
Осмысление
20 мин
Проекция вектора – величина скалярная, взятая со знаком «+» или «-«
Проекцию считают положительной, если от проекции начала до проекции конца вектора нужно идти по направлению самой оси. В противном случае проекция вектора отрицательна.
Проекция вектора обозначается той же буквой, что и вектор только без стрелки и с индексом оси.
Если вектор параллелен оси, то модуль его проекции будет равен модулю самого вектора, взятого с положительным знаком.
Если вектор параллелен оси, но противоположен по направлению, то модуль его проекции будет равен модулю самого вектора, взятому с «-« знаком.
Если вектор перпендикулярен оси, то при любом направлении вектора его проекция на ось =0.
Аналогично можно определить проекции векторов и на ось y.
Проекции суммы и разности векторов.
Правило: Проекция суммы векторов на координатную ось равна алгебраической сумме проекций складываемых векторов на ту же ось.
Проекции векторов перемещения и координаты тела.
Если известен вектор перемещения, то известна и его проекция на координатную ось. А проекция вектора связана с координатой тела.
Изобразим 2-х мерную систему координат yox. Тело совершило перемещение из т. М0 в т. М.
S=М0 М
М0(х0;y0) ; М(х;y)
Длина отрезка, т.е. численное значение проекций равно изменению координат.
Sx=x-x0 x=x0+Sx
Sy=y-y0 y=y+Sy
Рефлексия учебной деятельности
20
Работа со слабоуспевающими. Вопросы для самоконтроля учебника стр. 14 упр 1(1),
упр 2(1)
Работа одаренных учащихся по карточкам
Тонкие вопросы по пройденной теме:
Что называется вектором? Изображение вектора. Примеры.
Что называется скаляром? Примеры.
Чем отличаются векторные величины от скалярных?
Как производится сложение векторов?
Как производится вычитание векторов?
Что называют проекцией вектора?
Когда проекцию считают положительной, а когда отрицательной?
Итоги урока.
Домашнее задание
1 мин
Выставление оценок в журнал
§ 2,3
упр. 1(2,3)
упр. 2(2,3)
Рефлексия эмоционального состояния
1 ми
Оценка «приращения» знаний и достижения целей (высказывания Я не знал… - Теперь я знаю…)
Саморефлексия
| Тема: Скалярное произведение векторов. | |||||
| Цель урока: обучающая: закрепление, систематизация знаний о векторах идействиях над ними; применение векторов к решению задач; развивающая: формирование умений выполнять обобщение иконкретизацию; развитие качеств мышления: гибкость, | |||||
| | Деятельность учителя | Деятельность обучающихся | Наглядности | ||
| 3 мин. | I. Организационный момент. Приветствует учеников. Для создания психологической атмосферы проводит игру «Путаница». | Ученики делятся на группы. Осмысливают поставленную цель. | | ||
| 10 мин. | II. Проверка пройденного материала. По таксономии Блума осуществляет проверку домашней работы. Математический диктант ( учащиеся выполняют работу и с помощью ключа оценивают свою деятельность) Найти: 1) векторы, коллинеарные вектору ОС; 2) векторы, сонаправленные вектору АВ; 3) векторы, противоположно направленные вектору ВС; 4) векторы, равные вектору ВО; 5) ВD, если АВ = 4, АД = 5, < ВАD = 600; | Демонстрируют свои знания, умения по домашней работе. | Кубик Блума | ||
| 20 мин. | III. Актуализация знаний Постановка цели урока. Мотивация изучения материала. По методу «ДЖИГСО» осуществляет усвоение нового материала.Контролирует выполнение записей учащимися. Показывает сюжет о писателе. Скалярная проекция вектора на ось - это число, абсолютная величина которого равна длине отрезка оси (в выбранном масштабе), заключённого между проекциями точки начала и точки конца вектора. Важно! Обычно вместо выражения скалярная проекция вектора на ось говорят просто – проекция вектора на ось, то есть слово скалярная опускают. Проекция вектора обозначается той же буквой, что и проектируемый вектор (в обычном, нежирном написании), с нижним (как правило) индексом названия оси, на которую этот вектор проектируется. Например, если на ось Х проектируется вектор а, то его проекция обозначается аx. При проектировании этого же вектора на другую ось, скажем, ось Y , его проекция будет обозначаться аy (рис. 9).
Чтобы вычислить проекцию вектора на ось (например, ось X) надо из координаты точки его конца вычесть координату точки начала, то есть аx = хк − xн. Надо помнить: скалярная проекция вектора на ось (или, просто, проекция вектора на ось) - это число (не вектор)! Причем, проекция может быть положительной, если величина хк больше величины хн, отрицательной, если величина хк меньше величины хн и равной нулю, если хк равно хн (рис. 10).
Проекцию вектора на ось можно также найти, зная модуль вектора и угол, который он составляет с этой осью. Ученики делают выводы по увиденному. 1 группа
b{2;1} | | | ||
| 2 | а{-4;5} b{15;4} | | | ||
| 3 | а{3;1} b{2;-6} | | | ||
Перпендикулярны ли векторы:
b{37;74}
2
а{12,6;-0,3}
b{-17,3;19}
3. Внесите в программу необходимые изменения и вычислите косинус угла между векторами a и b. Результаты вычислений занесите в таблицу.
а{-12;5}b{3;4}
2
а{3;-4}
b{15;8}
4. Найдите косинус угла М треугольника KLM, если
K (1; 7), L (-2; 4), M (2; 0)
2 группа
10 мин.
IV.Итог урока. Организует систематизацию и обобщение совместных достижений. Организует индивидуальную работу по личным достижениям.
1 группа
Координаты i
Укажите, где расположена точка А (-3;0)
Запишите координаты вектора a=2i+3j
Разложите по координатным векторам
a{-1;10}
Найдите площадь треугольника АВС, если АВ=24 см, АС= 4 см, угол А=600
2 группа
Координаты j
Укажите, где расположена точка В (0;-5)
Запишите координаты вектора b=5i+7j
Разложите по координатным векторам a{-17;8}
Найдите площадь треугольника АВС, если ВС=6см, АВ=12√2см, а угол В= 450
Проводит рефлексию.
- Понравился ли вам урок?
- Что было трудным для вас?
- Что вам больше понравилось?
Оценивают работу своих одноклассников.
На стикерах записывают свое мнение по поводу урока.
Дерево Блоба
Стикеры
2 мин.
Объясняет особенности выполнения домашней работы.
Записывают домашнюю работу в дневниках.
Итог урока:___________________________________________________________________
Положительные стороны урока:__________________________________________________
_____________________________________________________________________________
Отрицательные стороны урока:__________________________________________________
______________________________________________________________________
| Тема: Различные способы задания прямой в прямоугольной системе координат | |||
| Цель урока: Образовательная. В процессе проведения данного урока учащиеся должны повторить пройденный материал, выявить качество и уровень овладения знаниями и умениями, полученными на предыдущих уроках, развить и закрепить навыки решения задач, обобщить материал, как систему знаний. Осуществляется контроль за знаниями, умениями и навыками учащихся, полученными при изучении темы «Метод координат». | |||
| | Деятельность учителя | Деятельность обучающихся | Наглядности |
| 3 мин. | I. Организационный момент. Приветствует учеников. Для создания психологической атмосферы проводит игру «Ёжик». | Ученики делятся на группы. Осмысливают поставленную цель. | |
| 10 мин. | II. Проверка пройденного материала. По таксономии Блума проверяет домашнюю работу. Теоретические вопросы учащиеся читают вопрос обсуждают в группах, 2 человека выходят отвечать , один проговаривает правило, другой записывает формулу) | Демонстрируют свои знания, умения по домашней работе. | Кубик Блума |
| 20 мин. | III. Актуализация знаний Постановка цели урока. Мотивация изучения материала. С. По методу «Снежный ком» осуществляет усвоение нового материала. Задание для группы Решенить задачу( решают обговаривают по кругу, отвечает один ученик остальные добавляют , исправляют) СД – диаметр окружности, С(4;-7), Д(2;-3). Найти координаты центра окружности, Самостоятельная работа по группам .(каждый решает сам, проверяют работу партнер по лицу) работу сдают лидеру1 вариант. Треугольник АВС задан координатами своих вершин А (-4;1)
Треугольник АВС задан координатами своих вершин А (-5;13) ) 2,)найдите длину медианы проведенной к стороне АВ 3)координату вектора АС+ВС 3 группа 1) Треугольник АВС задан координатами своих вершин А (-4;1) 3)координату вектора СВ+АС | Ученики по данному сюжету делают свои выводы. Работая в группах, ученики изучают новый материал. | Учебник Ноутбук |
| 10 мин. | IV.Итог урока.По методу «Мозговой штурм» закрепить знания учеников. Самооценка учащимися результатов своей Организует систематизацию и обобщение совместных достижений. Организует индивидуальную работу по личным достижениям. Проводит рефлексию. | Отвечая на предложенные вопросы, оценивают работу своих одноклассников. На стикерах записывают свое мнение по поводу урока. | Стикеры |
| 2 мин. | V. Домашняя работа. Объясняет особенности выполнения домашней работы. | Записывают домашнюю работу в дневниках. | |
Итог урока:___________________________________________________________________
Положительные стороны урока:__________________________________________________
_____________________________________________________________________________
Отрицательные стороны урока:__________________________________________________
______________________________________________________________________
Ввести формулы для нахождения координат, суммы, разности вектора и умножения вектора на число
Закрепить полученные знания в ходе выполнения упражнений.
Развивать логическое мышление.
Результаты обучения
Уч-ся знают основные понятия и формулы , умеют находить координаты вектора, сумму, разность векторов, умножать вектор на число
Ключевые идеи
Координаты вектора, сумма, разность векторов, умножение вектора на число
Содержание урока
Деятельность учителя
Деятельность учеников
Организационный момент
Психологический настрой на деятельность.
Создание коллаборативной среды.
Сообщение темы урока, деление на группы-три ведущих банка РК( по эмблемам банков)
Круг радости
Стратегия «Скажи соседу комплимент»
Мотивация
Задание 1
Накопительный фонд банков (напечатанные деньги – тенге)
Дивиденды вкладчиков: увеличить вклады за оценки «4» и «5»
Стратегия «Горячий стул»
За правильные и полные ответы добавочная сумма в свой «банк»
Повторим
Тест по теме «Векторы»
Приложение 1
Критерии
11 - 10 - «5»
9 – 7 - «4»
6 – 4 - «3»
3 – 0 - «2»
Предлагает высказаться
За «4» и «5» получают деньги
.
По желанию на стул садится один ученик, он отвечает на вопросы, которые задают уч-ся
Уч-ся выполняют индивидуально тест.
Взаимопроверка по образцу,
оценивание
Комментарии уч-ся ( по желанию )
Определение цели и задач урока
Как вы думаете, какая цель нашего урока?
Уч-ся определяют цель урока
Изучение нового материала
Каждая группа получает задание по изучению новой темы
1- прямоугольная система координат
2-координаты вектора в прям.сист
3-действия с векторами(+;-;* на число)
Учащиеся в группах изучают новую тему, оформляют постер.
Спикер от каждой группы защищает свой постер и получает дополнительные деньги для «банка»
Динамическая пауза
А теперь ребята встали
И под музыку (1 мин) отдохнули – потанцевали флешмоб, который вы готовите на День Лицея
Уч-ся танцуют
Закрепление темы
Каждая группа выкупает пакет с заданиями, чем выше оплата, тем больше заданий и выше оценка
№138, 139,140 (все задания 1)
№138,139, 140 (все задания 2)
№138,139, 140 (1 и 2 задание)
Проверка на слайдах
Решают группой . За правильность решения и скорость получают дополнительный капитал в двойном размере, относительно вложенных денег
Закончи высказывание…
Учащимся предлагаются высказывания Р.Декарта, которые необходимо закончить
Для того чтобы усовершенствовать ум, надо больше размышлять, чем…
Мало иметь хороший ум, главное — хорошо его …
Уважение других дает повод к уважению…
При затруднении можно предложить варианты ответов
1.гулять, заучивать, кричать
2.применять, сохранять, содержать
3.старших, младших, самого себя
Дополняют высказывания самостоятельно, либо с помощью подсказок и снова получают деньги за свои знания
Рефлексия
К какому выводу по поводу сегодняшнего урока пришли (деньги-знания)
Обратная связь. На стикерах написать пожелания — что понравилось на уроке, что взяли с урока, что вызвало затруднения.
Сегодня на уроке:
я научился…
было интересно…
было трудно…
мои ощущения…
Высказывают свое мнение
На стикерах пишут пожелания
Дополняют «Сегодня на уроке»
Итог урока
Подведение итога урока(считаем заработанные деньги), выставление оценок
Выставить оценки в дневник
Домашнее задание
Стр.40 вопросы,№ 146(координаты)
Записывают дом.задание
Источники
Учебник геометрии для 9 класса , А.Н.Шыныбеков
Класс: 9 21 урок
Тема: Контрольная работа №
Цель урока: способствовать развитию математического кругозора, мышления, речи учащихся, внимания, навыков счёта; развивать умение работать в группах и в парах. ;
.
Деятельность учителя
Деятельность обучающихся
наглядности
3 мин.
I. Организационный момент. Приветствует учеников. Для создания психологической атмосферы проводит игру «Мне в тебе нравится».
Ученики кидая друг другу мяч, называют хорошие качества своих одноклассников.
мяч
35 мин.
III. Актуализация знаний. Постановка цели урока.
.
Под диктовку учителя записывают диктант.
5 мин.
V.Итог урока. Организует индивидуальную работу над текстом. Проводит рефлексию.
Ученики индивидуально работают над предложенными заданиями.
светофор
стикеры
2 мин.
VI. Домашняя работа. Объясняет особенности выполнения домашней работы.
Записывают домашнюю работу в дневниках.
Тема: Преобразование плоскости. Движение и его свойства. Равенство фигур и его свойства
Цель урока: обобщить знания,полученные на предыдущих уроках об осевой, центральной симметрии, повороте и параллельном переносе, систематизировать фактический материал,
-познакомить учащихся с движением, композиций движения их свойствами,
-познакомить учащихся с понятием паркета, их видами, примерами.
Ожидаемые результаты:
Учащиеся:
углубят и обобщат знания о видах движения,
научатся их распознавать и различать,
-научатся навыкам работы в группах.
Деятельность учителя
Деятельность обучающихся
Наглядности
3 мин.
I. Организационный момент. Приветствует учеников. Для создания психологической атмосферы проводит игру «Мне в тебе нравится».
Ученики кидая друг другу мяч, называют хорошие качества своих одноклассников.
Мяч
10 мин.
Проверка пройденного материала. По методу «Броуновское движение» проверяет домашнюю работу.
Предлагается группам из 4 учащихся выполнить задания на альбомных листах:
1 группа: построить фигуру центрально симметричную равнобедренному треугольнику МНК относительно точки К, какая образовалась фигура, какие использовались свойства.
2 группа: постройте фигуру, полученную поворотом на угол 45 градусов вокруг точки пересечения его диагоналей, какая образовалась фигура, какие использовались свойства
3 группа: постройте ось симметрии, зная положение двух симметричных относительно нее точек М и М1
4 группа:(для сильных учащихся) докажите, что если в четырех угольнике CDEF прямые c,d, проходящие через диагонали, являются осями симметрии, то это ромб.
Далее идет обсуждение работы. Учащиеся повторяют алгоритм построения данного движения и использование при доказательстве движения.
Ученики демонстрируют свои знания и умения.
Учебник
20 мин.
III. Актуализация знаний
Постановка цели урока. Мотивация изучения материала.
Задача1:
В какую фигуру переходит при движении квадрат? Объясните ответ.
Задача 2:
Докажите , что при движении параллелограмм переходит в параллелограмм.
Ученики делают выводы по увиденному сюжету.
Учебник
Ноутбук
10 мин.
IV.Итог урока. Организует систематизацию и обобщение совместных достижений. Организует индивидуальную работу по личным достижениям.
Проводит рефлексию.
- Понравился ли вам урок?
- Что было трудным для вас?
- Что вам больше понравилось?
Оценивают свою работу.
На стикерах записывают свое мнение по поводу урока.
светофор
стикеры
2 мин.
V. Домашняя работа. Объясняет особенности выполнения домашней работы.
Записывают домашнюю работу в дневниках.
Итог урока:___________________________________________________________________
Положительные стороны урока:__________________________________________________
_____________________________________________________________________________
Отрицательные стороны урока:___________________________________________________
______________________________________________________________________
«
| Тема: Осевая и центральная симметрия, параллельный перенос, | |||
| Цель урока: Ознакомить учащихся с понятием центральной и осевой симметрии, правилами построения симметричных фигур; закрепить знания на практике; - развивать логическое мышление, культуру математической речи, навыки самостоятельной работы; | |||
| | Деятельность учителя | Деятельность обучающихся | Наглядности |
| 3 мин. | I. Организационный момент. Приветствует учеников. Для создания психологической атмосферы проводит игру «Ёжик». | Ученики делятся на группы. Осмысливают поставленную цель. | |
| 10 мин. | II. Проверка пройденного материала. По приему «Эврика» проверяет домашнюю работу. | Демонстрируют свои знания, умения по домашней работе. | перфокарта |
| 20 мин. | III. Актуализация знаний Постановка цели урока. Мотивация изучения материала. По методу «Снежный ком» осуществляет усвоение нового материала. Центральная симметрия определяется одинаково и на плоскости, и в пространстве. Точки A и A' называются симметричными относительно точки О, если точки A, A', O лежат на одной прямой и OX = OX'. Точка О считается симметричной сама себе (относительно О) Две фигуры называются симметричными относительно точки О, если для каждой точки одной фигуры есть симметричная ей относительно точки О точка в другой фигуре и обратно Как частный случай, фигура может быть симметрична сама себе относительно некоей точки О. Тогда эта точка О называется центром симметрии фигуры, а фигура центрально-симметричной Центральной симметрией фигуры относительно О называется такое отображение этой фигуры, которое сопоставляет каждой ее точке точку, симметричную относительно О Центральная симметрия сохраняет расстояние, а направление изменяет на противоположное. Иначе говоря, любым двум точкам X и Y фигуры F соответствуют такие точки X' и Y', то Доказательство. Пусть при центральной симметрии с центром в точке О точки X и Y отобразились на X' и Y'. Тогда, как ясно из определения центральной симметрии, Вместе с тем Поэтому имеем: Отсюда выходит, что центральная симметрия является движением, изменяющим направление на противоположное и наоборот, движение, изменяющее направление на противоположное, есть центральная симметрия Центральная симметрия фигуры задается указанием одной пары существующих точек: если точка А отображается на А', то центр симметрии это середина отрезка AA' . | Работая в группах, ученики изучают новый материал. | Учебник |
| 10 мин. | IV. Итог урока. Стратегия «Телеграмма» Самооценка учащимися результатов своей систематизацию и обобщение совместных достижений. Организует индивидуальную работу по личным достижениям. Задание: Квадрат на 90 0. Равносторонний треугольник на 1200. Правильный шестиугольник на 600. выполним 2 задание на листах. Поверните предложенный вам треугольник на угол в 900 вокруг одной из его вершин и вокруг точки О в его внутренней области( два чертежа). Можно показать порядок выполнения на доске с чертежным угольником. Проводит рефлексию. | Отвечая на предложенные вопросы, оценивают работу своих одноклассников. На стикерах записывают свое мнение по поводу урока. | Сфетофор Стикеры |
| 2 мин. | V. Домашняя работа. Объясняет особенности выполнения домашней работы. | Записывают домашнюю работу в дневниках. | |
Итог урока:___________________________________________________________________
Положительные стороны урока:__________________________________________________
_____________________________________________________________________________
Отрицательные стороны урока:___________________________________________________
______________________________________________________________________
| Тема: поворот – как движения плоскости. | |||
Задачи:
| |||
| | Деятельность учителя | Деятельность обучающихся | Наглядности |
| 3 мин. | I. Организационный момент. Приветствует учеников. Для создания психологической атмосферы проводит игру «Ёжик». | Ученики делятся на группы. Осмысливают поставленную цель. | |
| 10 мин. | II. Проверка пройденного материала. По таксономии Блума проверяет домашнюю работу. | Демонстрируют свои знания, умения по домашней работе. | Кубик Блума |
| 20 мин. | III. Актуализация знаний Постановка цели урока. Мотивация изучения материала.. По методу «Снежный ком» осуществляет усвоение нового материала.Определение. Параллельным переносом, или, короче, переносом фигуры, называется такое ее отображение, при котором все ее точки смещаются в одном и том же направлении на равные расстояния, т.е. при переносе каждым двум точкам X и Y фигуры сопоставляются такие точки X' и Y', что XX' = YY' Основное свойство переноса: Параллельный перенос сохраняет расстояния и направления, т.е. X'Y' = XY Отсюда выходит, что параллельный перенос есть движение, сохраняющее направление и наоборот, движение, сохраняющее направление, есть параллельный перенос Из этих утверждений также вытекает, что композиция параллельных переносов есть параллельный перенос Параллельный перенос фигуры задается указанием одной пары соответствующих точек. Например, если указано, в какую точку A' переходит данная точка A, то этот перенос задан вектором AA', и это означает, что все точки смещаются на один и тот же вектор, т.е. XX' = AA' для всех точек Х Центральная симметрия Определение Точки A и A' называются симметричными относительно точки О, если точки A, A', O лежат на одной прямой и OX = OX'. Точка О считается симметричной сама себе (относительно О) Две фигуры называются симметричными относительно точки О, если для каждой точки одной фигуры есть симметричная ей относительно точки О точка в другой фигуре и обратно Как частный случай, фигура может быть симметрична сама себе относительно некоей точки О. Тогда эта точка О называется центром симметрии фигуры, а фигура центрально-симметричной Определение Центральной симметрией фигуры относительно О называется такое отображение этой фигуры, которое сопоставляет каждой ее точке точку, симметричную относительно О Основное свойство: Центральная симметрия сохраняет расстояние, а направление изменяет на противоположное. Иначе говоря, любым двум точкам X и Y фигуры F соответствуют такие точки X' и Y', что X'Y' = -XY Доказательство. Пусть при центральной симметрии с центром в точке О точки X и Y отобразились на X' и Y'. Тогда, как ясно из определения центральной симметрии, OX' = -OX, OY' = -OY Вместе с тем XY = OY - OX, X'Y' = OY' - OX' Поэтому имеем: X'Y' = -OY + OX = -XY Отсюда выходит, что центральная симметрия является движением, изменяющим направление на противоположное и наоборот, движение, изменяющее направление на противоположное, есть центральная симметрия Центральная симметрия фигуры задается указанием одной пары существующих точек: если точка А отображается на А', то центр симметрии это середина отрезка AA' Поворот вокруг прямой Для более четкого представления о повороте вокруг прямой следует вспомнить поворот на плоскости около данной точки. Поворотом на плоскости около данной точки называется такое движение, при котором каждый луч, исходящий из данной точки, поворачивается на один и тот же угол в одном и том же направлении. Перейдем теперь к повороту в пространстве Определение. Поворотом фигуры вокруг прямой a на угол (называется такое отображение, при котором в каждой плоскости, перпендикулярной прямой a, происходит поворот вокруг точки ее пересечения с прямой a на один и тот же угол (в одном и том же направлении. Прямая a называется осью поворота, а угол - углом поворота) Отсюда видим, что поворот всегда задается осью, углом и направлением поворота Теорема 1. Поворот вокруг прямой сохраняет расстояния, т.е. является движением
Теорема 2. Если движение пространства имеет множеством своих неподвижных точек прямую, то оно является поворотом вокруг этой прямой Задание для группы 1 группа:.Построить поворот отрезка АВ на угол в 1200 относительно точки О против часовой стрелки. 2.группа:. Построить поворот на 900 треугольника вокруг его вершины 3 группа:. Построить поворот на 900 треугольника вокруг точки О, лежащей в его внутренней области | Ученики по данному сюжету делают свои выводы. Работая в группах, ученики изучают новый материал. | Учебник Ноутбук |
| 10 мин. | IV. Итог урока. По методу «Мозговой штурм» закрепить знания учеников. Самооценка учащимися результатов своей систематизацию и обобщение совместных достижений. Организует индивидуальную работу по личным достижениям. Проводит рефлексию. | Отвечая на предложенные вопросы, оценивают работу своих одноклассников. На стикерах записывают свое мнение по поводу урока. | Стикеры |
| 2 мин. | V. Домашняя работа. Объясняет особенности выполнения домашней работы. | Записывают домашнюю работу в дневниках. | |
Итог урока:___________________________________________________________________
Положительные стороны урока:__________________________________________________
_____________________________________________________________________________
Отрицательные стороны урока:___________________________________________________
______________________________________________________________________
| Тема: Гомотетия. | |||
Цель урока:Обучающая:обучение понятиям: гомотетия, преобразование подобия, коэффициент гомотетии, центр гомотетииРазвивающая:развитие навыков построения гомотетичных фигур, развитие вычислительных и чертежных навыков.обучение понятиям: гомотетия, преобразование подобия, коэффициент гомотетии, центр гомотетии | |||
| | Деятельность учителя | Деятельность обучающихся | Наглядности |
| 3 мин. | I. Организационный момент. Приветствует учеников. Для создания психологической атмосферы проводит игру «Мне в тебе нравится». | Ученики делятся на группы. Осмысливают поставленную цель. | мяч |
| 10 мин. | II. Проверка пройденного материала. По приему«Мозговая атака» проверяет домашнюю работу. Определите вид преобразований: Ответы детей……. Вопрос: Что общего между этими преобразованиями?
| Демонстрируют свои знания, умения по домашней работе. | |
| 20 мин. | III. Актуализация знаний Постановка цели урока. Мотивация изучения материала. По методу «Аквариум» осуществляет усвоение новогоматериала. Контролирует выполнение записей учащимися. Гомотетия — это преобразование подобия. Это преобразование, в котором получаются подобные фигуры (фигуры, у которых соответствующие углы равны и стороны пропорциональны). Для гомотетичных фигур F и F1 в силе формулы отношения периметров PF1PF=k и площадей SF1SF=k2подобных фигур .
Интересно: любые две окружности гомотетичны. Чтобы гомотетия была определена, должен быть задан центр гомотетии и коэффициент. Это можно записать: гомотетия (O;k). На рисунке из фигуры F можно получить фигуру F1 гомотетией (O;2).
| Работая в группах, ученики изучают новый материал. | Учебник |
| 10 мин. | IV. Итог урока. Стратегия «Телеграмма» Самооценка учащимися результатов своей систематизацию и обобщение совместных достижений. Организует индивидуальную работу по личным достижениям.
Проводит рефлексию. | Отвечая на предложенные вопросы, оценивают работу своих одноклассников. На стикерах записывают свое мнение по поводу урока. | фишки Стикеры |
| 2 мин. | V. Домашняя работа. Объясняет особенности выполнения домашней работы. | Записывают домашнюю работу в дневниках. | |
Итог урока:___________________________________________________________________
Положительные стороны урока:__________________________________________________
_____________________________________________________________________________
Отрицательные стороны урока:___________________________________________________
______________________________________________________________________
.
УРОК ПО ТЕМЕ: «Преобразование подобияи его свойства. Подобные фигуры.). урок 26
Цели:
Актуализировать личностные опорные знания учащихся к изучению новой темы ;
Создать содержательные и организационные условия для развития у школьников критического мышления;
Обеспечить создание у школьников образного представления о преобразованиях плоскости;
Создать условия развития у школьников аналитических и синтетических навыков
(сотрудничество, умение высказывать свою точку зрения).
Оборудование: тетради, чертёжные инструменты, таблицы с изображением различных видов движений, подобия и гомотетии, тексты с новым материалом.
( актуализация субъективного опыта).
Создание условий для активизации знаний, формирование проблемы и цели на основе мотивации.
1.Вспомните и напишите у себя в тетрадях всё, что вы знаете о преобразованиях плоскости.
2. В тетради нарисуйте маркировочную таблицу с тремя одинаковыми колонками.
3. В левой колонке таблицы запишите всё, что вы знаете о преобразованиях плоскости.
4. Обменяйтесь своими знаниями в паре.
5. Давайте обсудим то. что у нас получилось.
Записывает на доске в левой колонке таблицы всё, что говорят учащиеся. Первая колонка таблицы маркируется словом «Знаю».
1.Каждый в тетради записывает всё, что помнит о преобразованиях плоскости.
2.Рисуют маркировочную таблицу.
3.Записывают в левую колонку всё, что вспомнили о познавательном объекте.
4.Обмениваются друг с другом своими знаниями.
5.Каждый по очереди информирует класс о том, что знает о рассматриваемом объекте. Левая колонка таблицы маркируется словом «Знаю». Дополняют записи в левой колонке таблицы.
Индивидуально.
В парах.
Фронтально.
2.Осмысление.
Создание условий для обобщения изученного ранее материала, обозначение проблемных вопросов.
1.Попробуйте классифицировать записанные на доске знания.
2. На доске оформляется структурно- логическая схема
( см. после таблицы).
Учитель обращает внимание учащихся на приготовленные ранее таблицы.
1.Предлагают основания для классификации полученных о преобразованиях плоскости сведениях.
2.Записывают структурно-логическую схему, обсуждая вопрос о распределении по предложенным основаниям полученных на предыдущем этапе сведений.
Фронтально.
3.Чтение с пометками.
Получение новой информации.
1. Предлагает каждому ученику текст ( см. ниже).
2.Ччитайте и делайте в тексте пометки (не более 10 мин.)
Пометки:
«V» - «знаю»;
«-» -
« противоречит моим первоначальным представлениям»;
«?» - «хочу знать»;
«+» - « это для меня новое».
3. Продолжите работу с маркировочной таблицей индивидуально.
4. Маркирует две оставшиеся колонки таблицы: «Хочу узнать» и «Узнал новое».
5. Давайте обсудим данные, записанные в третьей колонке в ходе самостоятельной работы.
Заполняет вместе с учащимися колонку таблицы «Узнал новое».
6.Давайте обсудим данные, записанные вами во второй колонке таблицы «Хочу узнать».
Заполняет в ходе обсуждения вторую колонку таблицы.
7.Является ли преобразование подобия движением? Почему? Какие свойства подобия сходны со свойствами движения?
Какие утверждения из прочитанного вами текста требуют доказательства? Кто может к следующему занятию разобрать по учебнику и представить доказательства , изложенных фактов?
8. Установка на домашнее задание: «К следующему уроку необходимо ответить на возникшие вопросы. Если возникнут затруднения, попробуем разобрать вместе.»
Получают распечатку текста, содержащего информацию о новом представителе преобразования плоскости «Подобии».
2. Читают текст и на полях делают пометки.
3. Самостоятельно в тетрадях заполняют маркировочную таблицу в соответствии со сделанными
пометками.
4.Учавствуют в обсуждении
5. Отвечают на вопросы учителя.
Индивидуально.
Фронтально.
3.Рефлексия.
Создание условий для обобщения полученной информации
Используется методика неоконченного предложения:
« Сегодня на уроке мы узнали…»;
«Преобразование подобия - это…»;
«Преобразование подобия является движением при …»;
«Преобразование подобия обладает следующими свойствами…»;
«Гомотетией называется…»;
«Фигура F называется подобной фигуре F2 , если…»
Фронтально.
5.Домашнее задание.
Доработайте сформированную в ходе занятия структурно-логическую схему с учётом новой информации.
Подготовьте доказательства следующих утверждений: гомотетия есть преобразование подобия ;
Преобразование подобия сохраняет углы между полупрямыми;
Если фигура F1 подобна фигуре F2, а фигура F2 подобна фигуре F3, то фигуры F1 и F3 подобны. (Использовать учебник стр. 145 – 148).
Записывают задание на дом.
Индивидуально.
Структурно-логическая схема
Текст «Преобразование подобия»
Преобразование фигуры F в фигуру F´ называется преобразованием подобия, если при этом преобразовании расстояния между точками изменяются в одно и тоже число раз.
Это значит, что если произвольные точки X и Y фигуры F при преобразовании подобия переходят в точки X´ и Y´ фигуры F´, то X´ Y´ = kXY, причём число k одно и тоже для всех точек X и Y . Число k называется коэффициентом подобия. При k = 1 преобразование подобия является движением.
Две фигуры называются подобными, если они переводятся друг в друга преобразованием подобия. Для обозначения подобия фигур используется специальный значок: ~. Запись F~ F´ читается так: «Фигура F подобна фигуре F´».
Пусть F – данная фигура и О – фиксированная точка. Проведём через произвольную точку X фигуры F луч ОX и отложим на нём отрезок ОX´, равный k ОX, где k - положительное число. Преобразование фигуры F, при котором каждая её точка X переходит в точку X´, построенную указанным способом, называется гомотетией относительно центра О. Число k называется коэффициентом гомотетии, фигуры F и F´ называются гомотетичными.
Гомотетия есть преобразование подобия.
Свойства подобия:
При преобразовании подобия прямые переходят в прямые, отрезки в отрезки, лучи в лучи.
Преобразование подобия сохраняет углы между полупрямыми.
При преобразовании подобия три точки А, В, С, лежащие на одной прямой, переходят в точки также лежащие на одной прямой. Причём если точка В лежала между точками А и С, то точка В´лежит между точками А´ и С´.
Если фигура F1 подобна фигуре F2, а фигура F2 подобна фигуре F3, то фигуры F1 и F3 подобны.
У подобных фигур соответствующие углы равны, а соответствующие отрезки пропорциональны. В частности, у подобных треугольников АВС и А1В1С1 <А = <А1, <В = <В1, <С = <С1;
АВ/ А1В1 = ВС/В1С1 = АС/А1С1.
Преобразование подобия широко применяется на практике при выполнении чертежей деталей машин, сооружений, планов местности, изготовлении макетов и др. Эти изображения представляют собой подобные преобразования воображаемых изображений в натуральную величину. Коэффициент подобия при этом называется масштабом. Например, если участок местности изображается в масштабе 1: 100, то это значит, что одному сантиметру на плёнке соответствует 1м на местности.
Класс:9 урок 27
Тема: Признаки подобия треугольников.
Цель: Закрепить и совершенствовать навыки решения задач по теме
Задачи: 1)классифицирует типы задач, выделяет основное. Вспоминает правила изученные в ходе прошлых уроков;
2)развивает умение при решении задач применять свойства и признаки подобия;
3) преодолевает личные барьеры при работе в группе: неуверенность, боязнь ошибиться.
Этапы урока
Деятельность учителя:
Что я буду делать?
Время
Деятельность учеников:
Что будут делать ученики?
Оценивание
1
Организационный момент
Приветствие.
Проверка домашнего задания.
Поменяйтесь тетрадями в парах. Проверьте дом.работу по слайду перед вами.
4 мин
Взаимопроверка
Взаимооценивание
2
Актуализация опорных знаний
«Блиц опрос»
1) Перечислите признаки подобия треугольников;
2) Чему равно отношение площадей подобных треугольников;
3) Чему равно отношение периметров подобных треугольников;
4) Сформулируйте свойство биссектрисы в треугольнике;
5) Напишите формулы пропорциональности сторон в прямоугольном треугольнике.
6 мин
В тетрадях учащиеся последовательно под диктовку учителя записывают формулировку или правило
Обмениваются тетрадями с соседом и проводят взаимооценивание.
3
Закрепление изученного материала
Учитель раздает задание на парту ученикам. Перед ними карточка, в которой 2 задания:
Начертите треугольник, подобный треугольнику со сторонами 8,10,13 и К=2
Начертите треугольник, подобный треугольнику со сторонами 2,3,4 и К=3
Далее, совместно с учителем ученики сверяют ответы
4 мин
Работают в паре, консультируют друг друга, помогают
Оценивают друг друга, по критериям:
1)Объяснение 2б
2)Правильность работы в паре 2б
3)Верность ответов и участие 1б
Учитель делит по группам учащихся. Раздает им на столы 2 задачи (текстовые), которые следует решить в группе:
В подобных треугольниках АВС и А1В1С1А=600, АВ=1 м, ВС= 2 м, В1С1=5 м. Чему равны угол А1 и сторона А1В1?
В подобных треугольниках АВС и А1В1С1 АВ=75см, ВС=6 см, АС= 72 см, А1В1=25 мм, В1С1=20 мм А1С1=24 мм. Подобны ли эти треугольники?
6 мин
Умеют оперативно организовываться по группам. Обсуждают решение
Самооценивание по 2-х бальной системе
1 представитель из группы выходит к доске и решает задачу на готовом чертеже (всего 2 ученика, задачи дает учитель) 
10 мин
Ученики работают вместе с учащимся у доски у себя в тетрадях
Оценивает учитель
Учащимся раздаётся тест по теме на оценку
12 мин
Ученики работают по вариантам, далее оценивают себя
Самооценивание
Домашнее задание.
Учитель комментирует дом.работу. Отмечает задачи направленные на развитие практических навыков, на развитие творческих способностей.
3 мин
Учащиеся делают пометки у себя в тетради
4
Рефлексия
Учащиеся высказывают своё мнение об уроке
Класс: 9 урок 28
Тема урока: Решение задачи Преобразование подобияи его свойства. Подобные фигуры.
Цель урока: использование знаний и умений по темам преобразование фигур на плоскости и преобразования подобия.
Задачи урока:
образовательные:показать практическую значимость преобразования фигур при решении задач; сформировать умение решать задачи нестандартного развивающего характера с применением их в практической деятельности.
развивающие: формировать умение анализировать и подбирать аргументацию при решении задачи, развитие навыков построения фигур, развитие вычислительных и чертежных навыков, развитие внимания, воображения, математической речи.
воспитательные: воспитывать интерес к предмету через содержание учебного процесса и создание ситуации успеха, воспитывать умение работать в группе.
Вид урока: урок-исследование
Тип урока:совершенствования знаний, умений и навыков
Методы и приемы: фронтальная беседа, объяснение, работа в тетрадях, демонстрация презентации, тестирование.
Наглядность и оборудование: оценочная таблица, рабочие тетради урока, маркер, стикеры, бланки ответов на тесты, картонные макеты фигур, ножницы, карандаши, линейки и транспортир, схема «Лестница успеха»
Ход урока.
Организационный момент: психологический настрой
Любопытный отыскивает редкости только затем, чтобы им удивляться, любознательный же затем, чтобы узнать их и перестать удивляться. Так будьте же сегодня на уроке очень любознательными.
Мотивация урока.
Я надеюсь, что этот урок пройдет интересно, с большой пользой для всех. Очень хочу, чтобы те, кто еще равнодушен к царице всех наук, с нашего урока ушел с глубоким убеждением, что геометрия – интересный и нужный предмет.
- Сегодня наш класс превратится в научно-исследовательский институт, а вы станете его сотрудниками. И мы не только познакомимся с работой научно-исследовательского института, но и будем проводить свои исследования!
Для работы в научно-исследовательском институте мы поделимся на команды.
Как вы знаете, в каждой игре есть правила. Вот и у нас они тоже будут.
Правила:
На вопросы команды отвечают по очереди;
Участники команд соблюдают тишину;
Если команда, которой был адресован вопрос, не дала ответа, то право ответа предоставляется другой команде;
В качестве ответа принимается первый сказанный ответ.
Теперь, когда вы знаете правила игры, мы можем начать!
Итак: научно – исследовательский институт имеет подразделения:
Лаборатория теоретических знаний.
Лаборатория экспериментов.
Лаборатория практических применений.
Лаборатория испытаний (тестирование).
Работа команды будет оцениваться в таблице баллами.
Побеждает команда, набравшая наибольшее количество баллов
Основная часть урока
- Французский архитектор начала ХХ века Ле Корбузье однажды сказал: «Все вокруг - геометрия». Главный вопрос нашего урока, что имел в виду Шарль Ле Корбузье?
Лаборатория теоретических знаний. Фронтальный опрос. Команды по очереди отвечают на вопросы
Вопросы для 1 команды:
Что такое преобразование фигуры?
Сформулируйте свойства движения.
Достаточные условия для «параллельного переноса».
Какие точки называют симметричными относительно точки О?
Как называют точку О?
Что такое преобразование подобия?
Свойства преобразования подобия.
Вопросы для 2 команды:
Какое преобразование называют движением?
Какие фигуры называют равными?
Достаточные условия для «поворота».
Какие точки называют симметричными относительно прямой l?
Как называют прямуюl?
Что такое гомотетия?
Свойства гомотетии
Лаборатория практических применений. Решение задач на преобразование фигур на плоскости. Задачи распечатаны на индивидуальных рабочих тетрадях урока, также каждая задача отражается на слайдах. Учащиеся в тетрадях выполняют построения под руководством учителя, выполняя необходимые измерения. По окончании времени учитель задает вопросы по практическим задачам и оценивает работу каждой команды.
Самостоятельная работа с учебным материалом.
1 группа обучающихся:
( определение подобия фигур)
2 группа обучающихся:
(свойства преобразования подобия)
3 группа обучающихся:
(определение подобных фигур)
Задачи урока:
Почему спереди у некоторых машин специального назначения надпись делают зеркальной
На фотографии изображён крокодил и его отражение в воде. Где здесь крокодил, а где отражение? По какому признаку вы это определили? (Здесь воспроизведён лишь кусок фотографии, и он мог быть перевёрнут.)
Встаньте перед зеркалом и поднимите левую руку. Какую руку поднимет ваше отражение?
Лаборатория экспериментов. Работа со слайдами. На экране показываются преобразования плоскости. Участники команд на скорость описывают преобразования на слайдах,
Лаборатория испытаний (тестирование). Тесты на доске, ответы теста ученики отмечают в бланках (один бланк на команду). После сдачи бланков ответов, на доске показываются правильные ответы. Бланки одной команды проверяют участники другой команды. Учитель выставляет оценки за тест в оценочную таблицу
Тест на тему: «Преобразование фигур на плоскости».
9 класс
1.Что является образом отрезка при движении?
А) Луч B) ОтрезокC) Прямая D) Точка
2. В какую фигуру отображается луч при движении?
А) ЛучB) Отрезок C) Прямая D) Точка
3. Сколько осей симметрии имеет квадрат?
А) одну B) Много C) Две D) Четыре
4. Сколько осей симметрии имеет равносторонний треугольник?
А) Две B) ТриC) Четыре D) Много
5. Найдите координаты точек симметричной точки (-3,2) относительно оси Ох
А) (-3,2) B) (-3,-2)C) (0,3) D) (3,-2)
6. Стороны треугольника соответственно равны 7, 5 и 4 см. Найдите стороны подобного ему треугольника, меньшая сторона которого равна 8 см.
А) 10, 13 B) 14,10C) 15,14 D) 14,20
7. Найти коэффициент подобия треугольников, если АВ=1м, АС=2м, ВС=3м, А1В1=10м, А1С1=20м, В1С1=30м:
А) K=10B)K=0,5C) K=2 D) K=4
8. Сколько осей симметрии имеет ромб?
А) 3 B) 4 C) 2D) нет осей
9. Найдите точку в которую переходит точка (1,0) при параллельном переносе, заданной формулами: х=х+1, у= у-1:
А) (0,2) B) (-2,-1) C) (2,0) D) (2,-1)
10. При параллельном переносе точка (1,1), переходит в точку (-1,0). В какую точку переходит начала координат?
А) (-2,-1)B) (-1,2) C) (2,1) D) (0,2)
11. При параллельном переносе точка А отображается в точке А1, точка В – В1. Если АВ=10см, то чему равна длина отрезка А1В1?
А) 40 B) 30 C) 10D) 20
12. В треугольнике АВС прямая, параллельная стороне АВ, делит сторону АС в отношении m:n. В каком отношении эта прямая делит строку ВС?
А) 2n:3mB) n:mC) m:nD) 4n:5m
13. Стороны данного треугольника 12см, 8 см и 6см. Найдите стороны подобного ему треугольника, большая сторона которого была бы равна 24см
А) 16; 12B)15;12 C) 10;16 D)12; 14
14. Стороны треугольника пропорциональны числом 5,6,8. Найдите длину сторон подобного ему треугольника, в котором разность между большей и меньшей сторонами была бы равна 15см.
А) 40;60;25 B) 25;30;40C) 10;20;30 D)15;20;30
15. Стороны треугольника равны 2см, 5 см и 6 см. Найти большую сторону подобного ему треугольника, Р=26см.
А)5;12;20 B)11;22;44 C)10;14;16 D) 4;10;12
Подсчет баллов команд.
Задание на дом: Подготовить сообщения команд на тему «Симметрия правит миром» и «Движение - жизнь».
Итоги урока. Рефлексия «Волшебная лестница знаний»
Попробуйте определить, насколько хорошо вы усвоили тему «Преобразование фигур на плоскости» по «Волшебной лестнице знаний»: выберите стикеры соответствующего цвета и закрепите в поле напротив соответствующей записи.
- красный цвет, если плохо понимаете изученный материал;
- жёлтый цвет, если понимаете, но нужно еще поработать;
- зелёный цвет, если все понимаете, и все получается.
Урок 29
Класс 9
Тема урока: Решение задачи «Признаки подобия треугольников».
Цели обучения:
Обучающие: Обеспечить усвоение признаков подобия треугольников и их следствий (для прямоугольных треугольников). Научить определять подобные треугольники, уметь различать, по какому признаку они подобны друг другу. Сформировать умения актуализировать, и воспроизводит знания по ранее изученным темам: «Преобразование подобия и его свойства», «Признаки равенства треугольников».
Развивающие: Развить умения на распознавание признаков подобия треугольников по чертежам и рисункам, и применять их при решении задач. Сформировать умения по выполнению правильных построений. Развить умения анализировать и обобщать.
Если два угла одного треугольника равны соответствующим двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны между собой.
ІІ Признак подобия.
Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы между ними равны, то эти треугольники подобны.
Если
ІІІ Признак подобия.
Если три стороны одного треугольника пропорциональны соответствующим трем сторонам другого треугольника, то эти треугольники подобны.
Если
Следствие 1
Если острый угол одного прямоугольного треугольник равен острому углу другого прямоугольного треугольника, то эти прямоугольные треугольники подобны.
и - прямоугольные.
Если
Следствие 2
Если два катета прямоугольного треугольника пропорциональны соответствующим двум катетам другого прямоугольного треугольника, то эти прямоугольные треугольники подобны
и - прямоугольные.
Если
Следствие 3
Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника пропорциональны гипотенузе и соответствующему катету другого прямоугольного треугольника, то эти прямоугольные треугольники подобны
и - прямоугольные.
Если
Давайте рассмотрим первый признак равенства треугольников и докажем его.
Если два угла одного треугольника равны соответствующим двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны между собой.
Дано:
и
Доказать:
Доказательство:
Предположим, что .Тогда построим
Треугольник гомотетичный
Относительно некоторого центра О с коэффициентом подобия, равным . Так как (по построению) и , то . А так как ( по условию) и ( по доказанному), то следует что ( по стороне и прилежащим к ней углам). Так как треугольники и подобны с коэффициентом подобия и треугольники и также подобны с коэффициентом подобия 1, то по третьему свойству подобия треугольники и будут подобны с коэффициентом подобия , т.е .
Теорема доказана.
Другие, интересующие учащихся доказательства можно рассмотреть по учебнику.
. Упражнения на распознавание.
Задание для группы
(устно)
Будут ли подобны друг другу равносторонние треугольники?
1 группа В заданном треугольнике проведены все средние линии. Среди образованных таким образом треугольников покажите подобные.
Дано:
- средние лини.
Определить подобные -ки?
Решение:
подобен
подобен По 2 признаку
подобен
подобен по 3 признаку подобия.
А по 3 свойству преобразования подобия следует:
,,, , -подобны.
2 группа . Будут ли два треугольника подобны, если их стороны равны:3) 1 м, 1,5 м, 2 м и 10 см, 15 см, 20 см?
Дано:
и
;
;
;
- ?
Решение: Найдем отношение , , =>
подобен по 3 признаку подобия треугольников, с коэффициентом подобия равным .
3 группа Будут ли треугольники и подобны, если в этих треугольниках: и
Дано:
и
;
;
;
- ?
Решение: Найдем отношение соответствующих сторон треугольников: ; , т.е стороны треугольников не являются пропорциональными, значит треугольники не подобны.
7.Подведение итогов. Выставление отметок.
4 группа . Будут ли два треугольника подобны, если их стороны равны: 1) 1,2 м, 1,6 м, 2,4 м и 3 см, 4 см, 6 см.
Дано:
и
;
;
;
- ?
Решение: Найдем отношение соответствующих сторон треугольников , , =>
подобен по 3 признаку подобия треугольников, с коэффициентом подобия равным .
Задание для закрепление урока:
1. Будут ли два треугольника подобны, если их стороны равны: 1) 0,4 см, 0,6 см, 1 м и 8 см, 12 см, 20 см.
Дано:
и
;
;
;
- ?
Решение: Найдем отношение соответствующих сторон треугольников , , =>
не является подобным .
2 .Будут ли треугольники и подобны, если в этих треугольниках: ?
Дано:
и
- ?
Решение: Вычислим величину угла треугольника : , значит и данные треугольники подобны по второму признаку.
| Тема: Подобие прямоугольных треугольников. | |||
| Цель урока: Показать применение признака подобия треугольников по двум углам к подобию прямоугольных треугольников. Вывести, опираясь на подобие прямоугольных треугольников, формулу для вычисления катета прямоугольного треугольника по его гипотенузе и проекции катета на гипотенузу. Проверить сформированность навыка решения задач по теме «Признаки подобия треугольников» и понятие среднего пропорционального (геометрического) чисел a и b.. | |||
| | Деятельность учителя | Деятельность обучающихся | Наглядности |
| 3 мин. | I. Организационный момент. Приветствует учеников. Для создания психологической атмосферы проводит игру «Атом и молекулы». | Ученики с помощью атомов и молекул объединяются в группы. | |
| 10 мин. | Проверка пройденного материала. Проверяет домашнюю работу по методу «Призма». Проверка домашней работы.
| Демонстрируют свои знания и умения. | Лист А4 |
| 15 мин. | Актуализация знаний. Постановка цели урока. Мотивация изучения материала. Вопросы к классу:
Задание для групппы
| Слушая романс, ученики самостоятельно делают анализ стихотворения. | Учебник Ноутбук |
| 10 мин. | IV. Закрепление урока. По методу «Аквариум» закрепляет урок. Выполнение письменных упражнений Правильные записи сделаны в соответствии с рис. 9? Если нет, исправьте ошибку. 1) АМ + ВМ = АВ; 2) ВС2 = МВ · МА; 3) CM = AM · MB; 4) 5) АС2 = АМ · АВ.
2. В прямоугольном треугольнике ABC ( а) CD, если AD = 4 см, DB = 25 см; б) АС и ВС, если АВ = 50 см, AD = 18см.
| Ученики демонстрируют свои знания. | |
| 5 мин. | V. Итог урока. Организует систематизацию и обобщение совместных достижений. Проводит рефлексию. | Оценивают работу своих одноклассников. | Таблица БИС Стикеры |
| 2 мин. | VI. Домашняя работа. Объясняет особенности выполнения домашней работы. | Записывают домашнюю работу в дневниках. | |
Итог урока:___________________________________________________________________
Положительные стороны урока:__________________________________________________
_____________________________________________________________________________
Отрицательные стороны урока:___________________________________________________
______________________________________________________________________
Класс: 9 31 урок
Тема: Контрольная работа №
Цель урока: способствовать развитию математического кругозора, мышления, речи учащихся, внимания, навыков счёта; развивать умение работать в группах и в парах. ;
.
Деятельность учителя
Деятельность обучающихся
наглядности
3 мин.
I. Организационный момент. Приветствует учеников. Для создания психологической атмосферы проводит игру «Мне в тебе нравится».
Ученики кидая друг другу мяч, называют хорошие качества своих одноклассников.
мяч
35 мин.
III. Актуализация знаний. Постановка цели урока.
.
Под диктовку учителя записывают диктант.
5 мин.
V.Итог урока. Организует индивидуальную работу над текстом. Проводит рефлексию.
Ученики индивидуально работают над предложенными заданиями.
светофор
стикеры
2 мин.
VI. Домашняя работа. Объясняет особенности выполнения домашней работы.
Записывают домашнюю работу в дневниках.
Итог урока:___________________________________________________________________
Положительные стороны урока:__________________________________________________
_____________________________________________________________________________
Отрицательные стороны урока:___________________________________________________
______________________________________________________________________
Тема Ломаная. Выпуклые многоугольники. Сумма углов выпуклого многоугольника.
Цель урока: Ввести понятие ломаной, многоугольника, выпуклого многоугольника, рассмотреть четырехугольник как частный вид многоугольника.
Вывести формулу суммы углов многоугольника и суммы углов четырехугольника.
Научить анализировать, сравнивать, обобщать, классифицировать.
Деятельность учителя
Деятельность обучающихся
наглядности
3 мин.
I. Организационный момент. Приветствует учеников. Для создания психологической атмосферы проводит игру «Щепки».
Ученики с помощью разрезанных пазлов объединяются в группы.
пазлы
10 мин.
II. Проверка пройденного материала. Проверяет домашнюю работу по приему «Эврика».
Ученики заполняют перфокарты. Демонстрируют свои знания и умения.
Перфокарты
15 мин.
Актуализация знаний. Постановка цели урока. Мотивация изучения материала. По электронному учебнику учитель объясняет новую тему.
Определение 1.Попарно соединенные отрезки называются ломанной
Определение 2. Многоугольником называют часть плоскости, ограниченную замкнутой ломаной линией без самопересечений . Отрезки, составляющие ломаную линию (звенья), называют сторонами многоугольника. Концы отрезков называют вершинами многоугольника.
Определение 3. Многоугольник называют n – угольником, если он имеет n сторон.
Таким образом, многоугольник, имеющий 3 стороны, называют треугольником, многоугольник, имеющий 4 стороны, называют четырёхугольником и т.д.
Определение 4 . Периметром многоугольника называют сумму длин всех сторон многоугольника.
Величину, равную половине периметра, называют полупериметром.
Диагональю многоугольника называют отрезок, соединяющий две несоседние вершины многоугольника
Диагонали, выходящие из одной вершины n – угольника , делят n – угольник на n – 2 треугольника
Число диагоналей n – угольника равно
Определение 6 . Внешним углом многоугольника называют угол, смежный с внутренним углом многоугольника.
Сумма углов многоугольника равна 1800 ×(n - 2 )
Все углы правильного n – угольника равны
Все внешние углы правильного n – угольника равны .
Задание для группы
1 группа
Сумма углов 5 угольника 180°∙ (5-2)=540°
Чему равна сумма углов шестиугольника , четырехугольника (Попробуйте записать формулу для суммы углов n-угольника). Вывод формулы для суммы внешних углов n- угольника
2 группа
Дано:
n-угольник,
α=90°,
Найти n.
Решение:
90n=(n-2)180
90n=180n-360
360=180n-90n
360=90n
n=4
Ответ: 4 стороны.
3 группа
Дано:
n-угольник,
α=120°,
Найти n.
Решение:
120n=(n-2)180
120n=180n-360
360=180n-120n
360=60n
n=6
Ученики демонстрируют свои знания.
Электронный учебник
10 мин.
Закрепление урока. Предлагает ученикам тест на соответствие. По методу «Мозговой штурм» закрепляет урок.
Творческие работы
Правильные многоугольники в орнаментах и паркетах
Правильные многоугольники в природе
Кроссворд по теме
Ученики соотносят вопросы с правильными ответами. Ученики демонстрируют свои знания.
Тест на соответствие
5 мин.
V. Итог урока. Организует систематизацию и обобщение совместных достижений. Проводит рефлексию.
Оценивают работу своих одноклассников.
Дерево Блоба
стикеры
2 мин.
VI. Домашняя работа. Объясняет особенности выполнения домашней работы.
Записывают домашнюю работу в дневниках.
Итог урока:___________________________________________________________________
Положительные стороны урока:__________________________________________________
_____________________________________________________________________________
Отрицательные стороны урока:___________________________________________________
______________________________________________________________________
способствовать совершенствованию навыков нахождения и изображения на рисунке центральных и вписанных углов и применять свойства центрального и вписанного углов при решении задач.
Результаты обучения: умеют находить и изображать на рисунке центральные и вписанные углы и
применять свойства центрального и вписанного углов при решении задач.
Ученик А изображает центральные и вписанные в окружность углы и указывает их свойства, определяет величины углов опираясь на свойства. Обосновывает применение свойств при решении задач, котролирует правильность выполнения вычислений.
Ученик В изображает центральные и вписанные в окружность углы и называет их свойства, определяет величины углов по формуле
Ученик С различает и показывает на окружности вписанные и описанные углы, указывает их основные элементы на рисунке, участвует в работе группы.
Этапы урока/ время
Действия
Оценивание
Ресурсы
Учитель
Ученик
Вводная часть
(2мин)
Приветствует учеников
Организует коллаборативную среду
Ученики приветствуют учителя
Встает в круг. Проговаривает пожелания своему соседу.
Подготовка к обучению (объединение в группы)
(2мин)
Раздает карточки с геометрическими фигурами: треугольника, четырехугольника и многоугольника для объединения в группы.
Учитель приглашает учеников занять свои места : за первый стол садятся ученики с карточками треугольника, за второй – четырехугольника, за третий – много угольник
Выбирают карточки с геометрическими фигурами
Объединяются в группы: за первый стол садятся ученики с карточками треугольника, за второй – четырехугольника, за третий – много- угольник
Карточки с геометрическими фигурами: треугольника, четырехугольника и многоугольника
Проверка домашнего задания
« Кольца Венна»
Раздает каждой группе флипчарт и дает задание
ГР В кругах Венна указать особенности вписанных углов и центральных углов
Указав сходства ( пересекающая часть окружностей) и различия ( внешняя часть окружностей) этих углов
Каждая группа защищает свои работы
Центральный
угол
« Две звезды и одно пожелание»
Флипчпрты, маркеры, учебники
Магнитная доска с магнитами
Практическое применение нового материла
. «Метод пазл»
20 мин
( 15мин +3 мин + 2 мин)
Раздает ученикам листочки с задачами:
определите способы вычисления элементов пирамиды
Решают задачи по чертежу
Выполняют построение в тетпради и записывают решение
1) х =- 360-216= 144
2) 2*33= 66
Ответ 144 и 66
Определяют вписанные и центральные углы
Рис 1 вписанный угол Рис 3 – центральный угол
Находят градусную меру угла и обосновывают решение
60
Учебник, справочник,
тетрадь ИКТ
Заключительная часть
1мин
Домашнее задание стр.
Записывает домашнее задание
Дневник
Рефлексия
2 мин
Продолжи предложение
Сегодня на уроке я…..
У меня получилось….
Я не смог…
Записывает на стикерах
стикеры
Тема «Углы, вписанные в окружность» урок 34
Образовательные: повторение определения видов углов, закрепление знаний по данной теме, поиск методов решения задач.
Воспитательные: активизация самостоятельности познавательной деятельности учащихся. Формирование навыков коллективной работы, развитие чувства ответственности за свои знания, культуры общения, приобщение, воспитание эстетической культуры.
Тип урока: комбинированный;
Оборудование урока: циркули, линейки, таблицы, тесты, карточки самоанализа, мультимедийная установка для демонстрации презентации по теме.
Ход урока
1. Организационный момент, объявление темы урока.
2. Подведение к формулировке целей. (5 мин)
3. Конкурс «Экстренная инвентаризация»
На слайде в течение 1 мин демонстрируются геометрические фигуры (12 штук). После чего учащиеся по памяти восстанавливают названия фигур и изображают их в тетради. Два человека выполняют то же самое у доски. (5 мин)
4. Повторение правил. Учащиеся отвечают на вопросы, а также изображают углы, хорды на заготовках окружностей.
1. Угол … называется вписанным.
2. Центральным называется угол …
3. Хорда – это …
4. Наибольшая из хорд окружности называется…
5. Центральный угол измеряется…
6. … равен половине градусной мере дуги…
7. Вписанный угол … равен 90.
8. Вписанные углы … равны. (5 мин)
5. Работа по готовым чертежам
Найти угол, обозначенный х.
(На слайдах) (5 мин)
6. Решение задачи о пятиконечной звезде.
Найти сумму углов пятиконечной звезды, вписанной в окружность.
(5 мин)
7. Задача (построить чертеж и решить задачу).
Отрезок АС – диаметр окружности, АВ – хорда, МА – касательная, угол МАВ – острый. Докажите, что МАВ=АСВ. (15 мин)
8. Самоанализ и рефлексия, подведение итогов.
Игра на повторение с целью закрепления теоретического материала.
Игра “ Веришь - не веришь”
Верите ли вы, что если величина центрального угла равна 90˚, то вписанный угол, опирающийся на эту дугу равен 45˚?
Верите ли вы, что отрезки касательных к окружности равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через центр окружности?Верите ли вы, что угол проходящий через центр окружности называется ее центральным углом?
Верите ли вы, что вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается?
Верите ли вы, что величина центрального угла в два раза больше величины дуги, на которую он опирается?
Верите ли вы, что вписанный угол, опирающийся на полуокружность равен 180˚?
Верите ли вы, что угол, стороны которого пересекают окружность называется вписанным углом?
Верите ли вы, что вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу равны?
Верите ли вы, что при дальнейшем изучении материала с окружностью будут связаны не только углы, но и треугольники и четырехугольники?
Индивидуальная работа с тестом.
Листочки с ответами сдаются учителю. Затем учитель комментирует решения.
Вариант 1.
1. Угол АСВ на 38° меньше угла АОВ. Найдите сумму углов АОВ и АСВ
а) 96°; б) 114°; в) 104°; г) 76°;
2. МР – диаметр, О – центр окружности. ОМ=ОК=МК. Найдите угол РКО.
а) 60°; б)40°; в) 30°; г) 45°;
3. Угол АВС вписанный, угол АОС – центральный. Найдите угол АВС, если угол АОС=126°
а) 112 °; б) 123 °; в) 117°; г) 113 °;
Вариант 2.
1. Угол МСК на 34 °меньше угла МОК. Найдите сумму углов МСК и МОК.
а) 112°; б) 102°; в) 96°; г) 68°;
2. АС – диаметр окружности, О – ее центр. АВ=ОВ=ОА. Найдите угол ОВС.
а) 50°; б) 60°; в) 30°; г) 45°;
3. О – центр окружности, угол L =136 °. Найдите угол В.
а) 292 °; б) 224 °; в) 112 °; г) 146 °;
Ответы к заданиям проверяются после заполнения теста
| Дата: Класс:9 урок 35-36 | ||
| Тема: Теорема о пропорциональности отрезков хорд и секущих окружности. | ||
| Цель урока: сформировать умения применять теоретические знания для решения задач с практическим содержанием, повысить мотивацию к обучению Задачи урока: образовательные – способствовать формированию у учащихся умения выявлять закономерности между отрезками хорд, касательных и секущих окружности на задачах с практическим содержанием; развивающие – формирование у учащихся суждений и умозаключений путем методов анализа, синтеза, индукции | ||
| Деятельность учителя | Деятельность учащихся | Навигация по слайдам |
| 2)Актуализация знаний | | |
| Вступительное слово учителя: Сегодня мы продолжим говорить об окружности. Позвольте напомнить определение окружности: что называется окружностью? | Окружность — это линия, состоящая из всех точек плоскости, которые находятся на заданном расстоянии от одной точки плоскости, называемой центром окружности. На слайде изображена окружность, отмечен ее центр — точка О, проведены два отрезка: ОА и СВ. Отрезок ОА соединяет центр окружности с точкой на окружности. Он называется РАДИУСОМ (по-латыни radius — “спица в колесе”). Отрезок СВ соединяет две точки окружности и проходит через ее центр. Это диаметр окружности (в переводе с греческого – “поперечник”). |
|
| Слово учителя :Давайте вспомним какими свойствами обладают хорды, секущие и касательные к окружности. Предлагаю вам на листах бумаги в группах их перечислить.(5мин) | Заполняют листы. |
|
| Поменяйтесь, пожалуйста листами,проверьте работу соседней группы, исправьте или дополните. | Анализируют, исправляют, дополняют. | |
| II этап: Стадия осмысления | | |
| Устная работа: найти х | Работают устно, отвечают, слушают ответы других, оценивают. |
|
| Каждой группе предлагается по 3 задания по 2 уровням(выбрать по желанию) | Выбирают уровень, обсуждают, решают, проверяют правильность решения. |
|
| Учащимся предлагается решить задачу с практическим содержанием | Обсуждают, переводят текст задания на математический язык, решают, проверяют. |
|
| Каждой группе раздается лист с чертежом, придумать задачу к рисунку и решить ее. | Обсуждают, составляют, решают. |
|
| Подведение итогов, домашнее задание, найти или составить 2 задачи с практическим содержанием. | Записывают домашнее задание. | |
| III этап: Стадия рефлексии Напишите пожелание себе, как ученику,мне- как учителю по поводу прошедшего урока. | Пишут на листочках. | |
| Тема: Вписанные в окружность и описанные около окружности четырехугольники | |||
| Цель урока: Дать понятие многоугольника, вписанного в окружность, многоугольника, описанного вокруг окружности. Сформулировать и научить доказывать теоремы об окружностях, описанных вокруг выпуклого четырехугольника и вписанных в выпуклый четырехугольник. Научить решать задачи на применение свойств четырехугольников, вписанных в окружность и описанных вокруг окружности. | |||
| | Деятельность учителя | Деятельность обучающихся | наглядности |
| 3 мин. | I. Организационный момент. Приветствует учеников. Для создания психологической атмосферы проводит игру «Мне в тебе нравится». | Ученики называют хорощие качества своих одноклассников. | мяч |
| 10 мин. | Проверка пройденного материала. Проверяет домашнюю работу по методу «Аквариум». Устный опрос:
| Демонстрируют свои знания и умения. | |
| 15 мин. | III. Актуализация знаний. Постановка цели урока. Мотивация изучения материала. По электронному учебнику учитель объясняет новую тему. Объяснение нового материала Из курса геометрии 8 класса вы знаете, что вокруг любого треугольника можно описать окружность , а также в любой треугольник можно вписать окружность. Теперь , естественно, возникает вопрос: можно ли описать окружность вокруг выпуклого четырехугольника и вписать окружность в четырехугольник ? Оказывается, не в любой выпуклый четырехугольник можно вписать окружность и описать окружность вокруг выпуклого четырехугольника можно не всегда. В каких случаях это возможно? На эти вопросы ответы мы находим в следующих теоремах. Теорема 18.Сумма противоположных углов вписанного в окружность четырехугольника равна 1800. Дано: ABCD-вписанный четырехугольник, -углы четырехугольника ABCD Доказать: Доказательство. измеряется половиной дуги , измеряется половиной дуги . Значит, Аналогично: Теорема доказана. Теорема 19 (обратная предыдущей). Если сумма противоположных углов четырехугольника равна 1800, то вокруг него можно описать окружность. Теорема 20. Суммы длин противоположных сторон выпуклого четырехугольника, описанного вокруг окружности, равны. Дано: ABCD – описанный четырехугольник, K, L, M, N – точки касания Доказать: AB + CD = AD + BC Доказательство. AB + CD = (AK + KB) + (CM + MD) AD + BC = (AN + ND) + (BL + LC) = (AN + BL) + (LC + ND) По свойству касательных, проведенных из одной точки: AK = AN, KB = BL, CM = LC, MD = ND Следовательно: AB + CD = AD + BC Теорема 21 (обратная предыдущей). Если равны суммы противоположных сторон выпуклого четырехугольника, то в него можно вписать окружность Задание для группы 1 группа Два угла вписанного в окружность четырехугольника равны
Сумма противоположных углов вписанного четырехугольника равна 2 группа : Три стороны описанного около окружности четырехугольника относятся (в последовательном порядке) как
Пусть сторона Ответ: 3 группа. Около окружности описана трапеция, периметр которой равен
Мы помним, что средняя линия трапеции равна полусумме оснований. Пусть основания трапеции равны Еще раз повторим свойства вписанного и описанного четырехугольника. | ||
| 10 мин. |
Задание для закрепление Выводы на основании теорем об окружностях, описанных вокруг выпуклого четырехугольника и вписанных в выпуклый четырехугольник: 1.В квадрат можно вписать и вокруг него описать окружность. 2. Вокруг прямоугольника можно описать окружность. 3. В ромб можно вписать окружность. 4. В прямоугольник нельзя вписать окружность. 5. Вокруг ромба нельзя описать окружность. Во всех случаях центры вписанных и описанных окружностей лежат в точке пересечения диагоналей соответствующих четырехугольников. Дано: ABCD – ромб, AB = BC = CD = AD = 10см Найти:r Решение: Рассмотрим ∆ADB, AB = AD = 10 см, По формуле S∆=, Так как ∆AOD = ∆AOB (AO – общая сторона, DO = OB, AD = AB) С другой стороны, по формуле S∆=, (OK – r,ОК 12,5 = 5r r = 2,5 Ответ: 2,5 см. | Ученики заполняяя перфокарты, демонстрируют свои знания. | перфокарты |
| 5 мин. | V. Итог урока. Организует систематизацию и обобщение совместных достижений. Проводит рефлексию. | Оценивают свою работу. | Дерево Блоба стикеры |
| 2 мин. | VI. Домашняя работа. Объясняет особенности выполнения домашней работы. | Записывают домашнюю работу в дневниках. | |
Итог урока:___________________________________________________________________
Положительные стороны урока:__________________________________________________
_____________________________________________________________________________
Отрицательные стороны урока:___________________________________________________
______________________________________________________________________
| Тема: Правильные многоугольники.Формулы, связывающие стороны, периметр, площадь и радиусы вписанной и описанной окружностей. | ||||
| Цель урока: исследование видов многоугольников ; актуализировать ,расширить и обобщить знания учащихся о многоугольниках; сформировать понятие правильного многоугольника ;провести исследование количества составных элементов правильных многоугольников (от треугольника до n –угольника); выработать умение выводить формулы ,связывающие радиусы вписанной и описанной окружностей со стороной правильного многоугольника; развивать умения анализировать, сравнивать, делать выводы ,развивать вычислительные навыки, устную и письменную математическую речь, память, а также самостоятельность в мышлении и учебной деятельности, умение работать в парах ;развивать исследовательскую и познавательную деятельность; | ||||
| Ход урока | ||||
| Этапы урока | Действия учителя | Действия учащихся | ||
| 1. Организационный момент.(1мин) Задачи: обеспечить нормальную внешнюю обстановку для работы на уроке, психологически подготовить учащихся к общению. | Приветствие (1 мин) | Приветствие учителя | ||
| 2. Актуализация. Задачи: установить правильность, полноту и осознанность выполнения домашнего задания, выявить пробелы в знаниях и способах деятельности, определить причины возникновения затруднений,устранить (по возможности) пробелов | Проверяет выполнение домашнего задания в тетрадях (7мин) | Показывают тетради, исправляют ошибки, допущенные при выполнении домашней работы | ||
| 3. Актуализация субъектного опыта учащихся. Задачи:обеспечить мотивацию учения, обеспечить включение школьников в совместную деятельность по определению целей учебного занятия, актуализировать субъектный опыт. | Задает вопрос: какова будет цель урока? (2мин) | Выводят цель урока | ||
| Актуализация знаний | Учитель. Возьмите таблицу Знаю, Хочу знать, Узнал и заполните первые две колонки. | | | |
4. Этап изучения нового материала. Задачи: обеспечить восприятие, осмысление и первичное запоминание учащимися изучаемого материала, содействовать усвоению способов,средств, которые привели к определенному выводу, обобщению,обеспечить усвоение методики воспроизведения изученного материала.
ученики получают индивидуальное задание , работают по карточке 2, выполняют расчеты вручную и на ПК(учащиеся пишут программу на Паскале нахождения радиуса вписанной и описанной окружности)
выполняют графические и расчетные задания в тетрадях, работают по карточкам, выполняют расчеты на ПК
5. Первичная проверка новых знаний и способов деятельности. Задачи: установить правильность и осознанность учащимися изученного материала, выявить пробелы первичного осмысления, провести их коррекцию.
учитель сверяет результаты, полученные в результате ручного счета и на ПК
выполняют графические и расчетные задания в тетрадях.
– Какие виды движения вы знаете?
– Чем отличаются прямолинейные и криволинейные движения?
– В какой системе отсчёта можно говорить об этих видах движения?
– Сравните траекторию и путь для прямолинейного и криволинейного движений.
- вспомнить определения пути и перемещения из курса физики 7 класса.
6. Объяснение нового материала
Сегодня у нас урок «Движение по окружности», Учитель раздает информационные листки с основными понятиями и формулами темы, просит прочитать и заполнить карточку 3
ответьте на вопросы в карточке 3:
7. Закрепления материала
Учитель раздает карточку 4 из сборника заданий PISA :
Ученики работают в группе, обсуждая и решая задание , затем отвечают на заданную карточку 4, объясняя свой ответ
8. Коррекция: Задачи: скорректировать выявленные пробелы в знаниях и способах действий.
Исправляет ошибки ( 2 мин)
Устраняют ошибки
9. Домашнее задание. Задачи: обеспечить понимание учащимися цели, содержания и способов выполнения домашнего задания.
Поясняет домашнее задание(1мин)
Записывают задание в дневник. При необходимости переспрашивают учителя
10. Подведение итогов учебного занятия. Задачи: дать качественную оценку работы класса и отдельных учащихся
Подводит итог урока. Дает оценку конкретным действиям учащихся (2 мин)
Подают дневники для выставления оценок.
9. Рефлексия. Задачи: инициировать рефлексию учащихся по поводу своего эмоционального состояния, своей деятельности, взаимодействия с учителем и одноклассниками, обеспечить усвоение учащимися принципов саморегуляции и сотрудничества
Было ли интересно вам на уроке? Комфортно чувствовали вы себя на уроке? (2 мин)
Фронтально отвечают на вопрос.заполнение карточки 1 последней колонки ( Узнал сегодня на уроке )Представитель каждой группы на доске заполняет третью колонку.
Карточка 1.По теме Движение по окружности
Карточка 2
n – кол-во сторон, R – радиус описанной окружности, r – радиус вписанной окружности,P– периметр.
Найти количество сторон многоугольника.
1)Где применяются правильные многоугольники? Какими правильными многоугольниками можно заполнить плоскость так, чтобы не было пропусков, т.е. уложить их в виде паркета?
2)Почему пчела выбрала правильный шестиугольник?
n – кол-во сторон, R – радиус описанной окружности, r – радиус вписанной окружности,P– периметр.
Найти количество сторон многоугольника.
n – кол-во сторон, R – радиус описанной окружности, r – радиус вписанной окружности,P– периметр.
1)Где применяются правильные многоугольники? Какими правильными многоугольниками можно заполнить плоскость так, чтобы не было пропусков, т.е. уложить их в виде паркета?
2)Почему пчела выбрала правильный шестиугольник?
n – кол-во сторон, R – радиус описанной окружности, r – радиус вписанной окружности,P– периметр.
Карточка 3
Вопросы
Где мы встречаем такое движение в жизни?Если тело прошло полудугу, то чему равен путь
Тело прошло полудугу, чему равно перемещение
Когда перемещение будет равно нулю?
Карточка 4
Урок 40
Тема: « Правильные многоугольники. Формулы, связывающие стороны, периметр, площадь и радиусы вписанной и описанной окружностей.»
Цели и задачи урока:
- повторить и обобщить основные сведения оправильныхмногоугольниках, о вписанных и описанных окружностях.
образовательная:
-выявить закономерности между отрезками хорд, касательных и секущих; определить меру угла (не являющимся ни центральным, ни вписанным) между касательной и хордой, проведенной в точку касания;
- Закрепить умение применять формулы, связывающие радиусы окружностей, вписанных в правильные многоугольники, и описанные около правильных многоугольников, со сторонами многоугольников;
- обучение алгоритмизации поставленной задачи и использование накопленного знания для ее решения;
развивающая:
-формирование суждений и умозаключений путем методов анализа, синтеза, индукции;
- формирование у учащихся таких черт, как аккуратность, четкость и логичность в формировании и оформлении мыслей;
- развитие абстрактного мышления, активизация мыслительных процессов, развитие зрительной и слуховой памяти, речевых навыков у учащихся.
Оборудование: интерактивная доска, презентация MSPowerPoint;
Тип урока: обобщение изученного материала.
1. Мотивация урока.
Дорогие ребята!
Я надеюсь, что этот урок пройдет интересно, с большой пользой для всех. Очень хочу, чтобы те, кто еще равнодушен к царице всех наук, с нашего урока ушел с глубоким убеждением, что геометрия – интересный и нужный предмет.
Французский писатель XIX столетия Анатоль Франс однажды заметил: “Учиться можно только весело… Чтобы переваривать знания, надо поглощать их с аппетитом”.
Давайте последуем совету писателя на сегодняшнем уроке: будьте активны, внимательны, поглощайте с большим желанием знания, которые пригодятся вам в дальнейшей жизни.
2. Актуализация опорных знаний.
Повторение материала начнем с разгадывания кроссворда
вопросы к кроссворду:
1.стороны, углы и вершины многоугольника?
2.как называется многоугольник с равными сторонами и углами?
3.как называется фигура, которую можно разбить на конечное число треугольников?
4.часть окружности?
5.граница многоугольника?
6.элемент окружности?
7.элемент многоугольника?
8.граница круга?
9.многоугольник с наименьшим числом сторон?
10.угол, вершина которого находится в центре окружности?
11.другой вид угла окружности?
12.сумма длин сторон многоугольника?
13.многоугольник, который находится в одной полуплоскости относительно прямой, содержащей любую его сторону?
Ответы:
элементы
правильный
простая
дуга
ломанная
радиус
угол
окружность
треугольник
центральный
вписанный
периметр
выпуклый
1
м
2
н
3
о
4
г
5
о
6
у
7
г
8
о
9
л
10
ь
11
н
12
и
13
к
3. Изучение нового материала.
S= S=
S=
Решение задач по готовому чертежу.
4.Закрепление изученного материала.
1.Площадь равнобедренной трапеции, описанной около круга, равна S. Определить боковую сторону этой трапеции, если известно, что острый угол при основании трапеции равен .
Решение:
Так какА=300 , то высота ВЕ=h трапеции равна АВ. По свойству описанного четырехугольника ВС+АD=AB+CD=2AB. Поэтому
S=h=AB2
Ответ: AB=.
3.К двум окружностям радиусов Rиr, находящимся в положении внешнего касания, проведены их общие внешние касательные- внутренняя и две внешние. Определить длину отрезка внутренней касательной, заключенного между внешними касательными.
Решение:
Через точку М проходят две касательные (MDиMA) к окружности О1. Значит, MD=MA. Так же докажем, что MD=MB. Следовательно, MN=2MD=AM+MB=AB.
Чтобы найти АВ, проведем прямую О2С, параллельную АВ. Из треугольника О1О2С, где О2С=АВ, О1О2=R+rO1C=R-r, получаем АВ=
АВ=2
Ответ: MN=2
5. Физкультминутка (выполнение упражнений для рук).
Руки подняли и покачали –
Это деревья в лесу.
Руки нагнули, кисти встряхнули –
Ветер сбивает росу.
В сторону руки, плавно помашем –
Это к нам птицы летят.
Как они сели, тоже покажем –
Руки мы сложим – вот так.
6. Самостоятельная работа учащихся (работа в группах)
I-группа
Найти периметр и площадь треугольника.
II-группа
Найти периметр и площадь трапеции.
III-группа
ДаноHI= 3см, IJ= 4см, JK=2см, KH= 6см, найтидиагонали и площадь четырехугольника?
IV-группа
Дано АВ=20см и АС=50см. Найти радиус окружности.
8.Итоги урока. Рефлексия. Д/з.
- Какое впечатление у Вас сложилось? (Понравилось – не понравилось)
– Какое настроение после урока? (Радостное – грустное)
– Какое самочувствие? (Устал – не устал)
– Какое отношение к пройденному материалу? (Понял – не понял)
– Какова твоя самооценка после урока? (Доволен – не доволен)
– Оцени свою активность на уроке. (Старался – не старался).
Д/з: выучить п. 6. Домашнее задание.
№ 447, № 451 стр. 107.
Есть у математики молва,
Что она в порядок ум приводит,
Потому хорошие слова
Часто говорят о ней в народе.
Ты нам, геометрия, даёшь
Для победы важную закалку.
Учится с тобою молодёжь
Развивать и волю, и смекалку.
I-группа
Найти периметр и площадь треугольника.
II-группа
Найти периметр и площадь трапеции.
III-группа
Дано HI= 3см, IJ= 4см, JK=2см, KH=6см, найти диагонали и площадь четырехугольника?
IV-группа
Дано АВ=20см и АС=50см. Найти радиус окружности.
Если стороны многоугольника являются хордами окружности, то многоугольник называется …………………………..
Если стороны многоугольника являются касательными к окружности, то окружность называется …………………………..
Если сторона правильного многоугольника стягивает дугу окружности, равную 360, то многоугольник имеет ……. сторон.
Дан правильный треугольник, высота которого 6 см. Радиус описанной около него окружности равен ……..
Верно ли утверждение: многоугольник является правильным, если он выпуклый и все его стороны равны. - ………
Радиус окружности, описанной около правильного шестиугольника со стороной а вычисляется по формуле: R= …..
Сторона правильного четырехугольника, вписанного в окружность радиуса R, вычисляется по формуле а4= …..
Если правильный многоугольник имеет 5 сторон, то сумма внутренних углов равна …..
Фамилия, имя……………………………………
Если стороны многоугольника являются хордами окружности, то окружность называется …………………………..
Если стороны многоугольника являются касательными к окружности, то многоугольник называется …………………………..
Если правильный многоугольник имеет 9 сторон, то сторона стягивает дугу окружности, равную ……..
Дан правильный треугольник, высота которого 9 см. Радиус вписанной в него окружности равен ………….
Верно ли утверждение: любой четырехугольник с равными сторонами является правильным. - ……….
Радиус окружности, вписанной в правильный четырехугольник со сторонойа вычисляется по формуле: r= …..
Сторона правильного треугольника, вписанного в окружность радиуса R, вычисляется по формуле а3= …..
8. Если сумма внутренних углов правильного многоугольника равна 7200, то правильный многоугольник имеет ……… сторон.
Тема:Построение правильных многоугольников.
Цель урока:Отработать навыки построения правильных многоугольников;
Повторить геометрический материал необходимый на ОГЭ.
Научиться строить правильные многоугольники.
Деятельность учителя
Деятельность обучающихся
наглядности
3 мин.
I. Организационный момент
Приветствует учеников. Спомощью разрезанных пазлов делит класс на группы. Формулирует цель урока.
Ученики делятся на группы. Осмысливают поставленную цель.
пазлы
10 мин.
Мотивация к изучению нового материала. Вызвать интерес учащихся к новому материалу.
-Что надо знать для того, чтобы построить правильный многоугольник?
Ученик: Сторону и угол.
-Какую из величин можно задать произвольно?
Ученик: Сторону.
-Что можно сказать о величине угла?
Ученик: Его можно вычислить, применив теорему о сумме углов выпуклого многоугольника.
-Найдём величину угла для правильного пятиугольника.
Ученик:
S=180(n-2) n=5
S=180(5-2)=540
Т.к. углы равны, то 540/5=108
-Какой инструмент необходим для построения?
Ученик: Транспортир.
1. Какая из ломанных является многоугольником?
2.Какой многоугольник выпуклый?
3. Многоугольник является правильным, если все его ….
1) углы равны; 2) углы и стороны равны; 3) стороны равны.
4. Соедините стрелочками соответствующие ячейки согласно формулам.
Проявляют интерес к изучаемому материалу.
карточки
15 мин.
III. Актуализация знаний.
По методу «Броуновское движение» научить учащихся свободно излагать свои мысли. По методу «Снежный ком» осуществляет усвоение нового материала.
Задания для группы:
1 группа
Построить правильный четырёхугольник с помощью циркуля и линейки( строим окружность с центром в точке О и радиусом R=5 см. Провести радиус ОА1 .Перпендикулярно радиусу провести прямую ОА2 , аналогично – ОА3,ОА4.Соединяем точки А1,А2,А3,А4 – правильный четырёхугольник построен).
Вычислите угол правильного четырёхугольника. (по формуле – α4=180(n-2)/n=180(4-2)/4=900).
Выделите треугольник ОА1А2. Опишите его.( Это прямоугольный равнобедренный треугольник – угол А1ОА2=900,ОА1=ОА2=R=5см, углы при основании по 450).
Найдите площадь треугольника ОА1А2. (Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов, т.е.S3=1/2∙ОА1∙ОА2=1/2∙R∙R=1/2∙R2=1/2∙52=25/2 см2).
Используя свойство площадей , найдите площадь правильного четырёхугольника.(S4=4∙S3=4∙25/2=50см2).
Найдите длину окружности, описанной около вашего правильного n-угольника. Вычислите дугу А1А2. (С=2πR=2π∙5=10 π, ℓ= πR/180∙α= πR/2=2,5π).
Найдите площадь круга в котором находится ваш правильный многоугольник. Найдите площадь кругового сектора, образованного двумя радиусами и дугой А1А2. (Sкруга= πR2=25π,Sкр.сектора= πR2/360∙α= πR2/4=25/4∙π, где α=900).
2 группа:
1.Построить правильный шестиугольник с помощью циркуля и линейки( строим окружность с центром в точке О и радиусом R=5 см. Провести радиус ОА1 , тем же раствором циркуля откладываем на окружности равные отрезки, отмечаем точки А1,А2,А3,А4,А5,А6.Соединяем точки А1,А2,А3,А4,А5,А6 – правильный шестиугольник построен).
2.Вычислите угол правильного шестиугольника. (по формуле – α6=180(n-2)/n=180(6-2)/6=1200).
3.Выделите треугольник ОА1А2. Опишите его.( Это равнобедренный, равносторонний треугольник , все углы в нём по 600,ОА1=ОА2=А1А2=R=5см).
4.Найдите площадь треугольника ОА1А2. (Площадь треугольника равна половине произведения сторон на синус угла между ними, т.е.S3=1/2∙ОА1∙ОА2∙sinα=1/2∙R∙R∙sinα =1/2∙R2∙sin600= 1/2∙52∙√3/2=25√3/4 см2).
5.Используя свойство площадей , найдите площадь правильного шестиугольника.(S6=6∙S3=6∙25√3/4=75√3/2см2).
6.Найдите длину окружности, описанной около вашего правильного n-угольника. Вычислите дугу А1А2. (С=2πR=2π∙5=10 π, ℓ= πR/180∙α= πR/3=5/3∙π).
7.Найдите площадь круга в котором находится ваш правильный многоугольник. Найдите площадь кругового сектора, образованного двумя радиусами и дугой А1А2. (Sкруга= πR2=25π,Sкр.сектора= πR2/360∙α= πR2/6=25/6∙π, где α=600).
Задание для группы
____
2
Радиус окружности, вписанной в правильный четырёхугольник
a
Радиус окружности, описанной около правильного шестиугольника
a
____
√3
Радиус окружности, вписанной в правильный треугольник
а
____
2√3
Радиус окружности, вписанной в правильный шестиугольник
a√3
____
2
Радиус окружности, описанной около правильного четырёхугольника
a
____
2sin 180
n
Радиус окружности, вписанной в правильный многоугольник
а
____
√2
Радиус окружности, описанной около правильного многоугольника
a
____
2tg 180
n
2. Может ли пятиугольник иметь стороны длиной 3 см, 4 см, 8 см, 6см, 25 см?
1) да; 2) нет.
3. В правильном n-угольнике сумма внутренних углов равна 3600. Сколько сторон у этого многоугольника?
1) 4; 2) 3; 3) 5.
4. У правильного пятиугольника внешний угол равен:
1) 360; 2) 45 0; 3) 72 0.
Ведут диалог друг с другом, выполняют творческое задание. Ученики самостоятельно усваивают новую тему. Демонстрируют знания, умения.
Учебник
10 мин.
IV.Закрепление урока. По методу «Таксономия Блума» осуществляет закрепление урока.
Для построения правильных многоугольников будем использовать связь с окружностью.
1 группа – строит правильный шестиугольник
2 группа - строит правильный треугольник;
3 группа - строит правильный пятиугольник;
Ученики обсуждают над темой. Таким образом демонстрируют свои знания, умения, навыки.
Кубик Блума
5 мин.
V.Итог урока
Контролирует выполнение записей учащимися, проводит рефлексию.
-Какую цель мы поставили сегодня на уроке?
-Достигли мы целей, которые ставили в начале урока?
- Как вы оцените свою работу?
Фиксируют и анализируют выводы по уроку. Оценивают свою работу.
карточки
стикер
Дерево Блоба
2 мин.
YI. Домашнее задание. Объясняет особенности выполнения домашнего задания.
Записывают домашнее задание в дневники.
Итог урока:___________________________________________________________________
Положительные стороны урока:__________________________________________________
_____________________________________________________________________________
Отрицательные стороны урока:___________________________________________________
______________________________________________________________________
Закрепить умения и навыки решения задач по разделу "Многоугольники", изучить новую тему.
Развивать познавательный интерес, математическое мышление, внимание учащихся.
Воспитывать культуру взаимоотношений
Используемые модули
Новые подходы в преподавании и обучении, критическое мышление, ИКТ, Т и О, преподавание и обучение в соотв. с возрастными особенностями, Од О.
Результаты обучения:
Учащиеся могут решать задачи на тему: "Многоугольники", расширят свой кругозор о многоугольниках в окружающем нас мире.
Ключевые идеи:
Расширение кругозора учащихся о многоугольниках в окружающем мире, развитие коммуникативных навыков через взаимодействие в парах, группах
Содержание урока
Деятельность учителя
Деятельность учеников
Организационный момент.
Приветствие. Психологический настрой на урок.
Ребята, сегодня я начну урок замечательными словами средневекового, среднеазиатского ученого и мыслителя, автора многочисленных трудов по математике, астрономии, геодезии, филологии и механике Аль-Бируни: "
«Знание - самое превосходное из владений. Все стремятся к нему, само же оно не приходит».
Проводит игру "Падишах велел сегодня…"
Ученики приветствуют учителя.
Психологически настраиваются на урок.
В ходе игры прозвучало много замечательных слов, таких как: "падишах велел, чтобы вы никогда не огорчались" ( это мне велел падишах), "падишах велел, чтобы ты была счастливой", "падишах велел, чтобы ты был успешным, "падишах велел, чтобы ты была счастливой", "падишах велел, чтобы ты сегодня получила 5","падишах велел, чтобы ты был активным на уроке"...
Проверка домашнего задания
Показывает правильные ответы
Взаимооценивают в паре.
Повторение и систематизация знаний
Задание № 1
Составить кластер.
Группа № 1 "Многоугольники"
Группа № 2"Правильные многоугольники"
Составляют кластер цветными маркерами и оценивают друг друга стикерами.
Задание №2
Устная разминка - слайдовая презентация.
1)Чему равна сумма углов треугольника?
2)Чему равна сумма углов четырехугольника?
3)Сколько диагоналей можно провести через одну вершину выпуклого 13-угольника?
4)Сумма трех углов четырехугольника равна 280. Найдите четвертый угол.
5)Найдите общее количество диагоналей выпуклого 9-угольника.
6) Четырехугольник вписан в окружность. Угол А равен 150. Найдите противоположный угол.
7)Чему равна сумма углов выпуклого 12-угольника?
8) Четырехугольник описан около окружности. Три последовательные стороны равны 4см ,8 см и 10 см. Найдите четвертую сторону.
Учащиеся устно решают задачи.
Физминутка
Проводит музыкальную физминутку и вместе с учениками делает зарядку.
Под музыку делают зарядку.
Задание № 3
Решение тестов.
Учитель организует пары по выбору геометрических фигур.
Раздает тестовые задания на закрепление пройденных тем.
Ответы предоставляет на интерактивной доске.
Решают тесты.
Взаимооценивают в парах.
Изучение новой темы
На прошлом уроке Диасу, Дане и Айгуль было дано опережающее задание на следующие темы: "Многоугольники в архитектуре и строительстве", "Многоугольники в природе" и "Многоугольники в жизни человека"
Защищают свои презентации.
Рефлексия
И вновь возвращаясь к словам Аль-Бируни: "
«Знание - самое превосходное из владений. Все стремятся к нему, само же оно не приходит».
Выберите утверждение, которое соответствует вашей работе на уроке и вашим взглядам.
1. Перепрыгивающему пропасть не следует делать два шага.
2. О, монах, ты идешь трудной дорогой.
3.Золото добывают из земли, а знания - из книги.
4. Ах, как я устал от этой суеты.
5. Без труда не вытащишь рыбку из пруда.
Ученики выбирают одно из предложенных высказываний, 2-3 ученика поясняют, почему выбрали, то или иное высказывание
Подведение итогов
Что мы узнали сегодня на уроке? А какое значение для вас имеют полученные знания?
Оценки за урок.
Отвечают на вопросы, делятся своим мнением об уроке
Взаимооценивание и оценка учителя.
Источники:
Геометрия-9 ( интернет - ресурсы.
Домашнее задание:
Параграф 24, № 310, 311
Класс: 9 43 урок
Тема: Контрольная работа №
Цель урока: способствовать развитию математического кругозора, мышления, речи учащихся, внимания, навыков счёта; развивать умение работать в группах и в парах. ;
.
Деятельность учителя
Деятельность обучающихся
наглядности
3 мин.
I. Организационный момент. Приветствует учеников. Для создания психологической атмосферы проводит игру «Мне в тебе нравится».
Ученики кидая друг другу мяч, называют хорошие качества своих одноклассников.
мяч
35 мин.
III. Актуализация знаний. Постановка цели урока.
.
Под диктовку учителя записывают диктант.
5 мин.
V.Итог урока. Организует индивидуальную работу над текстом. Проводит рефлексию.
Ученики индивидуально работают над предложенными заданиями.
светофор
стикеры
2 мин.
VI. Домашняя работа. Объясняет особенности выполнения домашней работы.
Записывают домашнюю работу в дневниках.
Итог урока:___________________________________________________________________
Положительные стороны урока:__________________________________________________
_____________________________________________________________________________
Отрицательные стороны урока:___________________________________________________
______________________________________________________________________
| Тема: Теоремы синусов и косинусов. | ||||||||
| Цель урока: научить использовать теоремы синусов и косинусовдля нахождения неизвестных величин в реальной ситуации закрепить знания по темам: «Треугольник», «Соотношения между сторонами и углами треугольника». Отработать запись в виде равенства теоремы косинусов и синусов применительно к данному треугольнику. | ||||||||
| | Деятельность учителя | Деятельность обучающихся | Наглядности | |||||
| 3 мин. | I. Организационный момент. Приветствует учеников. Для создания психологической атмосферы проводит игру «Путаница». | Ученики делятся на группы. Осмысливают поставленную цель. | Мяч | |||||
| 10 мин. | II. Проверка пройденного материала. По методу «Броуновское движение» осуществляет проверку домашней работы. Объявляется тема урока через разгадывание кроссворда, который проектируется при помощи кодоскопа.
Устная работа. Задание 1. Какие из следующих утверждений верны?
Задание 2. Какие из следующих утверждений верны?
Задание 3. Какие из следующих утверждений верны?
| Демонстрируют свои знания, умения по домашней работе. | | |||||
| 20 мин. | III. Актуализация знаний Теорема: Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними. Дано: Треугольник АВС. Доказать: 1. 2. 3. (Первое равенство проговаривает и записывает учитель, а второе и третье кто-нибудь из учащихся.) Доказательство: Докажем первое равенство, два других доказываются аналогично. (Доказательство проводит кто-нибудь из учащихся по желанию при помощи учителя) Запишем теорему косинусов в общем виде:
(Первое равенство проговаривает и записывает учитель, а второе и третье кто-нибудь из учащихся.) Иногда теорему косинусов называют обобщённой теоремой Пифагора. Такое название объясняется тем, что в теореме косинусов содержится как частный случай, теорема Пифагора. В самом деле, если в треугольнике АВС угол А прямой, то соs А = соs 90° = 0 и по формуле
1. Стороны АС, АВ, ВС треугольникаABC равны , и 1 соответственно. Точка К расположена вне треугольникаABC, причём отрезок КС пересекает сторону АВ в точке, отличной от В. Известно, что треугольник с вершинами К, А и С подобен исходному. Найдите косинус угла АКС , еслиKAC> 90°. Решение. Рассмотрим подобные треугольники ABC и АКС и установим соответствие между их углами. АС – наибольшая сторона треугольника ABC, а значит, ABC – наибольший угол треугольника ABC. Так как в треугольнике АКС есть тупой угол, то в треугольникеABC это уголABC. Следовательно, угол АСВ треугольникаABC не равен углу КАС треугольника АКС . Он также не равен углу КСА, так как больше его (луч СК проходит между лучами СА и СВ ). Следовательно, По теореме косинусов из треугольника ABC находим: = = . Ответ: . 2. Длины двух сторон параллелограмма 3 см и см, а одна из его высот 2 см. найдите диагонали параллелограмма.
Решение. Если ВК = 2, то в треугольнике АВК, АК = , АК = 1, . В треугольнике АВD: В треугольнике АВС: Работая в группах, ученики самостоятельно изучают новый материал. Работа в группах. Задание 1. Установите соответствие? | | | | ||||
2)
3)
4)
А) теорема синусов
Б) формула Герона
В) теорема Пифагора
Г) теорема косинусов
Задание 2.Человек ростом 1,7 м стоит на расстоянии 8 шагов от столба, на котором висит фонарь. Тень человека равна четырем шагам. На какой высоте (в метрах) расположен фонарь? (5,1)
Используя данные, приведенные на рисунке, найдите ширину АВ озера. В ответе укажите целое число метров.(47 м).
Самостоятельная работа для группы
Для определения ширины реки (AC) отметили 2 пункта С и В на расстоянии 50м друг от друга. Измерили углы АСВ и АВС, где А – это дерево, стоящее на другом берегу реки у кромки воды.
(<АCВ=550,<АВС=650)
2группа
Для определения ширины реки (AC) отметили 2 пункта В и С на расстоянии 40м друг от друга. Измерили углы АСВ и АВС, где А – это дерево, стоящее на другом берегу реки у кромки воды.
(<АCВ=600,<АВС=700)
10 мин.
IV.Итог урока. По методу «Ромашка Блума» закрепляет урок. Организует систематизацию и обобщение совместных достижений. Организует индивидуальную работу по личным достижениям. Проводит рефлексию.
- Понравился ли вам урок?
- Что было трудным для вас?
- Что вам больше понравилось?
Оценивают работу своих одноклассников.
На стикерах записывают свое мнение по поводу урока.
Разноуровневые
карточки
Стикеры
Светофор
2 мин.
Объясняет особенности выполнения домашней работы.
Записывают домашнюю работу в дневниках.
Итог урока:_____________________________________________________________________
Положительные стороны урока:____________________________________________________
_______________________________________________________________________________
Отрицательные стороны урока:____________________________________________________
_______________________________________________________________________
Тема: Решение треугольников
Цель урока: обобщить и систематизировать изученное на предыдущих уроках;
научить учащихся решать задачи на использование теоремы синусов и теоремы косинусов;
проконтролировать степень усвоения материала; продолжить работу по развитию мыслительной деятельности – выделять главное, ставить и разрешать проблемы, сравнивать и строить аналогии;
Деятельность учителя
Деятельность обучающихся
наглядности
3 мин.
I. Организационный момент. Приветствует учеников. Для создания психологической атмосферы проводит игру «Мне в тебе нравится...».
Ученики делятся на группы. Осмысливают поставленную цель.
Мяч
10 мин.
II. Проверка пройденного материала.
По методу «Поп-корн» осуществляет проверку домашней работы.
Какие теоремы применяются при решении треугольников?
Сформулируйте теорему синусов? Следствие из теоремы синусов? Теорему косинусов?
4.Чему равна сумма углов треугольника? А знаете ли вы как можно это доказать только перегибанием треугольника?
Какие задачи при этом можно выделить? (по стороне и двум прилежащим к ней углам; по двум сторонам и углу между ними; по трём сторонам; по стороне, прилежащему к ней углу и стороне противолежащей данному углу)
5.. Каким может быть ?( Ответ: =300 или =1500.)
1) , - тупой. Тогда =300;
2) , а<b, то =300;
3) , а >c, то =300 или =1500.
6. Почему теорема косинусов является обобщённой теоремой Пифагора? (когда треугольник АВС прямоугольный с прямым углом при вершине С; ).
Найди ошибку в ответе товарищей
Демонстрируют свои знания, умения по домашней работе.
20 мин.
III. Актуализация знаний
Постановка цели урока. Мотивация изучения материала. По методу «Снежный ком» осуществляет усвоение нового материала.Контролирует выполнение записей учащимися. Работая в группах, ученики самостоятельно изучают новый материал
Решение задач на повторение.
Решение задач в группах по уровням, с последующей проверкой и комментарием.
1 группа:
Задача: В треугольнике АВС угол В равен 600. Биссектриса угла В пересекает
сторону АС в точке Д; АД=4см, ВД=6см. Найдите углы треугольника АВС и егосторону АС.
Решение:
(см)
Ответ:;АС=7,2 см
2 группа:
Задача: В треугольнике АВС АВ=0,6см, ВС=0,5см, .Найдите сторонуАС.
Решение.
Воспользуемся теоремой косинусов
3 группа:
Задача: В треугольнике АВС АВ=10см, . Найдите сторону АС.
Решение.
Воспользуемся теоремой синусов:
Ответ:8,3 см
Задания сильным учащимся на доске( подготовка к ГИА).Учащиеся, которые быстро сделают свою работу, также могут выполнять данные задания.
Задача 1.
Две стороны треугольника имеют длины 6см и 12 см, а угол между ними равен 1200. Найдите длину биссектрисы, проведенной к большей стороне.
Решение.
Пусть дан треугольник АВС:АВ=6 см, ВС=12 см, .Сторона АС-наибольшая, так как она лежит против тупого угла. По теореме косинусов имеем:
cos 1200=
36 + 144 - 2612(-0,5) = 252; AC = (см)
Задача 2.
Докажите, что биссектриса угла треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам.
Решение.
Обозначим ADC = 2, а Тогда так как DB – биссектриса
ADC; а Теперь применим теорему синусов к треугольникам ADB и BDC: отсюда
Решение задач с практическим содержанием.
1 группа Футбольный мяч находится в точке А футбольного поля на расстояниях23 м и24 м от оснований В и стоек ворот. Футболист направляет мяч в ворота. Найдитеугол α попадания мяча в ворота, если ширина ворот равна 7 м.
Решение:
Решим треугольник АВСи найдем угол А, равный α
По теореме косинусов определим cos А
Ответ: 16057/
2 группа Наблюдатель находитсяна расстоянии 50 м от башни, высоту которой хочет определить. Основание башнион видит под углом 2° к горизонту, а вершину — под углом 45° к горизонту. Каковавысота башни?
Дано: АВ=50 м, BDH=20, CDH=450, DH||AB.
Найти: СВ
Решение.
DH || AB →BDH=DBA=20, как накрест лежащие.
cosDBA= ДВ=
Применим терему синусов:
ΔСDB:
3 группа Для определения ширины реки отметили два пункта А и В на берегу реки на расстоянии70 м друг от друга и измерили углы САВ и АВС, где С- дерево, стоящее на другомберегу у кромки воды. Оказалось, что Ð САВ=12°30¢, Ð АВС=72°42¢. Найдитеширину реки.
Дано: АВ=70 м
Решение
По теореме синусов
10 мин.
IV.Итог урока. Организует систематизацию и обобщение совместных достижений. Организует индивидуальную работу по личным достижениям.
А теперь работа в группах: каждая группа получает задачи, которые надо соотнести с одним из способов решения треугольников и решить их.»(группы смешанного состава). Условия задач составлены в соответствии с типом задач на решение треугольников.
Проводит рефлексию.
- Понравился ли вам урок?
- Что было трудным для вас?
- Что вам больше понравилось?
Оценивают работу своих одноклассников.
Учащиеся работают с учебником. В каждой группе есть консультант.
Он в конце работы оценивает работу учащихся с занесением результатов в лист контроля. Группа выбирает своего представителя для объяснения решения задачи у доски.
сфетофор
стикеры
2 мин.
Объясняет особенности выполнения домашней работы.
Записывают домашнюю работу в дневниках.
Итог урока:___________________________________________________________________
Положительные стороны урока:__________________________________________________
_____________________________________________________________________________
Отрицательные стороны урока:___________________________________________________
______________________________________________________________________
Урок 47
Тема урока: Решение треугольников
Цели урока:
• повторить и обобщить тему “Треугольник”;
• проверить усвоение теоремы косинусов и теоремы синусов, теоремы о сумме углов треугольника, отрабатывать умение применять теорему косинусов, теорему синусов решая задачи, тесты;
• развивать навыки исследовательской работы учащихся;
• развивать, выработать активность, внимание, логическое мышление, монологическую речь, интерес к предмету, коллективное обучение.
Тип урока:урок систематизации и обобщения знаний и умений
ХОД УРОКА
Треугольник… Знакомый вам с детства, и начиная с 7 класса, с уроков геометрии, геометрическая фигура, таит в себе немало интересного и загадочного, как Бермудский треугольник, в котором бесследно исчезают корабли и самолеты. Знакомые нам фигуры квадрат, параллелограмм, прямоугольник, ромб, трапеция состоят из двух треугольников, если провести одну диагональ и из четырех треугольников, если провести две диагонали. В 10-11 классах тоже применяются решения треугольников, поэтому вы должны научиться решать любой треугольник. Прежде чем решать задачи, повторим тему “Треугольник”, отправимся в путешествие в страну “Треугольник”, повторим определение, элементы, виды, свойства треугольников и каждый раз будем удивляться полученным открытиям, удивительной формой, красотой, свойствами треугольников. В путешествие отправимся рядами, будем соревноваться, кто больше знает об этой стране “Треугольник”.
Условия состязания:
• быть внимательными и сообразительными;
• не оставлять ни одного вопроса без ответа;
• на каждое задание минимум времени, но максимум усердия;
• не подглядывать, не подслушивать, не мешать соседям.
II. Первая остановка в путешествии «Сосчитай-ка»
Часто знает и дошкольник,
Что такое треугольник,
А уж вам-то, как не знать…
Но совсем другое дело —
Очень быстро и умело
Треугольники считать!
Например, в фигуре этой
Сколько разных? Рассмотри!
Все внимательно исследуй
И “по краю” и “внутри”. 
Ответ: 32
III. Вторая остановка в путешествии “Решение кроссворда” “Треугольник”. Остановка – 5 минут.
По горизонтали: 1. Луч, делящий угол пополам. 4. Элемент треугольника. 5.6.7. Виды треугольника (по углам). 11. Математик древности. 12. Часть прямой. 15. Сторона прямоугольного треугольника. 16. Отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.
По вертикали: 2. Вершина треугольника. 3. Фигура в геометрии. 8. Элемент треугольника. 9. Вид треугольника (по сторонам). 10. Отрезок в треугольнике. 13. Треугольник, у которого две стороны равны. 14. Сторона прямоугольного треугольника. 17. Элемент треугольника.
Ответы:
По горизонтали: 1. Биссектриса. 4. Сторона. 5. Прямоугольный. 6. Остроугольный. 7. Тупоугольный. 11. Пифагор. 12. Отрезок. 15. Гипотенуза. 16. Медиана.
По вертикали: 2. Точка. 3. Треугольник. 8. Вершина. 9. Равносторонний. 10. Высота. 13. Равнобедренный. 14. Катет. 17. Угол.
IV. Мы повторили немного о треугольнике, еще лучше узнаем о нем на следующей остановке. Остановка называется “Ответы на вопросы”– 7 минут
Знаменитый древнегреческий ученый Аристотель вопрос трактовал, как мыслительную форму, обеспечивающую переход от незнания к знанию.
Вопросы (команды задают друг другу):
1. Какую фигуру называют треугольником?
2. Перечислите элементы треугольника.
3. Назовите виды треугольников по углам.
4. Назовите виды треугольников по сторонам.
5. Какой треугольник называется равносторонним?
6. Как называется третья сторона в равнобедренном треугольнике?
7. Перечислите свойства равнобедренного треугольника.
8. Перечислите свойства равностороннего треугольника.
9. Перечислите свойства прямоугольного треугольника.
10. Синусом, косинусом, тангенсом что называем?
11. Чему равна сумма углов в треугольнике?
12. Синус 30°, синус 60°, косинус 45°, косинус 90°
13. Что значит решить треугольник?
14. Как называется треугольник со сторонами 3, 4, 5? (Сообщение ученика. Землемеры Древнего Египта для построения прямого угла пользовались следующим приемом. Веревку делили узлами на 12 равных частей и концы связывали. Затем веревку растягивали на земле так, чтобы получился треугольник со сторонами 3, 4, 5 делений. Угол треугольника, противолежащий стороне с пятью делениями, был прямой. В связи с указанным способом построения прямого угла, треугольник со сторонами 3, 4,5 иногда называют египетским.)
Слова знаменитого древнегреческого ученого Аристотеля подтвердили. Продолжим путешествие.
V. Работа с сигнальными карточками.
Тест на определение истинности (ложности) утверждения и правильности формулировок.
В треугольнике против угла в 150° лежит большая сторона. (И)
В равностороннем треугольнике внутренние углы равны между собой и каждый равен 60°.(И)
Существует треугольник со сторонами: 2 см, 7 см, 3 см. (Л)
Прямоугольный равнобедренный треугольник имеет равные катеты. (И)
Если один из углов при основании равнобедренного треугольника равен 50°, то угол, лежащий против основания, равен 90°.(Л)
Если острый угол прямоугольного треугольника равен 60°, то прилежащий к нему катет равен половине гипотенузы. (И)
В равностороннем треугольнике все высоты равны. (И)
Сумма длин двух сторон любого треугольника меньше третьей стороны. (Л)
Существует треугольник с двумя тупыми углами. (Л)
В прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна 90°.(И)
Если сумма двух углов меньше 90°, то треугольник тупоугольный. (И)
VI. Отработка формул.
Найдите ошибку в ответе товарища:
1) а2 = в2 + с2 + 2вc cos
4)
2) в2 = а2 + с2 – 2вс cos 5)
3) а2= а2 + с2 - 2ас sin 6)
VII. Геометрический диктант.
1 группа
Один из углов прямоугольного треугольника равен 48°. Чему равен второй острый угол? (42°)
В равнобедренном треугольнике одна сторона равна 70 см, другая 26 см. Чему равна длина основания? (26 см)
В треугольнике ABC угол В — наибольший. Какая из сторон треугольника наибольшая? (АС)
Запишите теорему синусов для треугольника MPK. (= 2R).
Запишите теорему косинусов для треугольника МРК ( МР2=МК2 +КР2– 2МK·РК·cosK)
2 группа
Один из углов прямоугольного треугольника равен 35°. Чему равен второй острый угол? (55°)
В равнобедренном треугольнике одна сторона равна 25 см, другая 58 см. Чему равна длина основания? (25 см)
В треугольнике ABC угол C— наибольший. Какая из сторон треугольника наибольшая? (АB)
Запишите теорему синусов для треугольника BCD. (= 2R).
Запишите теорему косинусов для треугольника BCD ( BC2=BD2 +DC2– 2BD·DC·cosD)
VIII. Решение задачи для группы
Задача: С помощью программы «Решение треугольников» (можно свободно скачать в Интернете) вычислите неизвестные элементы треугольника АВС (два ученика садятся за компьютеры и выполняют работу):
Ответы:
Задача № 1.Пожарная лестница, стоящая на машине, может быть выдвинута на 20 м, а её крутизна может достигать 700. Основание лестницы находится на высоте 2 м. До какого этажа можно по ней добраться, если высота этажа 3 м?
Задача № 2. Спортивный самолёт летит по замкнутому треугольному маршруту. Два угла этого треугольника равны 600 и 1000. Сторону, лежащую против третьего угла, он пролетел за 1 час. За сколько времени он пролетит весь маршрут, сохраняя постоянную скорость?
Ответ: за 4 часа самолёт пролетит весь маршрут.
Задача № 3. Найдите длину отрезка, в концы которого упираются ножки циркуля-измерителя, длиной 15 см, если они образуют угол в 300.
Закончим урок словами великого итальянского ученого Галилео Галилея: “Геометрия является самым могущественным средством для изощрения наших умственных способностей и дает возможность правильно мыслить и рассуждать”.6. Задание на дом.
| Тема:Применение тригонометрии к решению геометрических задачи задач практического содержания. | |||
| Цель урока: Обучающиеся- определить содержание программных знаний и умений учащихся по данной теме. Развивающиеся- использование теорем к практическим задачам, активизация познавательной деятельности. | |||
| | Деятельность учителя | Деятельность обучающихся | наглядности |
| 3 мин. | I. Организационный момент. Активизация учащихся, создание ситуации успеха.Приветствует учеников, проверяет готовность к уроку, желает успеха. Для создания психологической атмосферы проводит игру «Джунгли». | Проявление интереса к материалу изучения. Ученики делятся на группы. Осмысливают поставленную цель. | Бумага А4 |
| 10 мин. | II. Проверка пройденного материала. По методу «ДЖИГСО» организует взаимопроверку домашнего задания Диктант. 1.а2= в2+ с2 - ав СоsSinSin 2. Соs (180-) =- Соs 3. = 4. с2= а2-в2 (для прямоугольного треугольника). 5. Sin (180-) = - Sin 6. = 7.в2 = а2 + с2 -2ас Соs 8. =2R Учащиеся обмениваются листочками ответов, учитель называет правильные ответы. После этого обсуждение ответов со знаком «-». | Осуществляют взаимопроверку домашнего задания, оказывают необходимую взаимопомощь (работать в паре). | |
| 20 мин. | III. Актуализация знаний Постановка цели урока. Мотивация изучения материала. По методу «Снежный ком» осуществляет усвоение нового материала. Задание для группы Задача1. Для определения широты непроходимого болота с вертолета, находящегося на высоте 300м измеряют углы 600 и 200. Найти ширину болота. Франсуа Виет (1540-1603). Виет встал у истоков создания новой науки- тригонометрии. Многие тригонометрические формулы впервые были записаны Виетом.В 1593 году он впервые сформулировал в словесной форме теорему косинусов. Задача2. Два теплохода начинают движение из одного и того же пункта назначения и двигаются равномерно по прямым пересекающимся под углом 600. Скорость первого 60 км/ч, скорость второго 70 км/ч. Вычислить на каком расстоянии друг от друга они будут находиться через 3 часа. Задача 3. В 7 часов самолет вылетел из города А в город В. Сделал там получасовую остановку и в 8 ч 30 мин развернул курс на 350 вправо и в 9 часов утра был в городе С. Найти расстояние от А до С, если скорость самолета 300 км/ч | Работая в группах, ученики самостоятельно изучают новый материал. Учащиеся заполняют семантические карты. | Учебник Семантические карточки |
| 10 мин. | IV.Итог урока. Организует систематизацию и обобщение совместных достижений. Организует индивидуальную работу по личным достижениям. Проводит рефлексию. - Понравился ли вам урок? - Что было трудным для вас? - Что вам больше понравилось? | Оценивают работу своих одноклассников. На стикерах записывают свое мнение по поводу урока. | сфетофор стикеры |
| 2 мин. | Объясняет особенности выполнения домашней работы. | Записывают домашнюю работу в дневниках. | |
Итог урока:___________________________________________________________________
Положительные стороны урока:__________________________________________________
_____________________________________________________________________________
Отрицательные стороны урока:___________________________________________________
______________________________________________________________________
Класс: 9 50 урок
Тема: Контрольная работа №
Цель урока: способствовать развитию математического кругозора, мышления, речи учащихся, внимания, навыков счёта; развивать умение работать в группах и в парах. ;
.
Деятельность учителя
Деятельность обучающихся
наглядности
3 мин.
I. Организационный момент. Приветствует учеников. Для создания психологической атмосферы проводит игру «Мне в тебе нравится».
Ученики кидая друг другу мяч, называют хорошие качества своих одноклассников.
мяч
35 мин.
III. Актуализация знаний. Постановка цели урока.
.
Под диктовку учителя записывают диктант.
5 мин.
V.Итог урока. Организует индивидуальную работу над текстом. Проводит рефлексию.
Ученики индивидуально работают над предложенными заданиями.
светофор
стикеры
2 мин.
VI. Домашняя работа. Объясняет особенности выполнения домашней работы.
Записывают домашнюю работу в дневниках.
Итог урока:___________________________________________________________________
Положительные стороны урока:__________________________________________________
_____________________________________________________________________________
Отрицательные стороны урока:___________________________________________________
______________________________________________________________________
| Тема:Длина окружности. Число π. Длина дуги окружности. Радианная мера угла. | |||
Цель урока: Рассмотреть связь между радианной и градусной мерами угла;Закрепить умения выполнять переход от радианной меры угла к градусной мере и наоборот. | |||
| | Деятельность учителя | Деятельность обучающихся | наглядности |
| 3 мин. | I. Организационный момент. Активизация учащихся, создание ситуации успеха.Приветствует учеников, проверяет готовность к уроку, желает успеха. Для создания психологической атмосферы проводит игру «Джунгли». | Проявление интереса к материалу изучения. Ученики делятся на группы. Осмысливают поставленную цель. | Бумага А4 |
| 10 мин. | II. Проверка пройденного материала. По методу «ДЖИГСО» организует взаимопроверку домашнего задания | Осуществляют взаимопроверку домашнего задания, оказывают необходимую взаимопомощь (работать в паре). | |
| 20 мин. | III. Актуализация знаний Постановка цели урока. Мотивация изучения материала. По методу «Снежный ком» осуществляет усвоение нового материала. Длина дуги, которую описывают концы радиусов, пропорциональна величине центрального угла, образованного этими же радиусами. Именно поэтому длину дуги можно измерять в градусах. Формула длины дуги окружности Определить градусные и радианные интервалы всех четвертей. Ответы проверяем на слайде (щелчок мыши). 2. Определить, в какой четверти находятся углы.
1 группа По данной хорде к найти длину ее дуги, если она соответствует центральному углу в 60° (рис.2).
Решение. Так как АО = ВО = R(R — радиус окружности) и ∠ АОВ = 60°, то треугольник АОВ равносторонний: R = АВ = к. Теперь согласно формуле (8) имеем: l=πR180∙60=πk3l=πR180∙60=πk3 Радианной мерой угла называется отношение длины соответствующей дуги к радиусу окружности. Из формулы для длины дуги окружности следует, что lR=π180n 2 группа . Найти радианные меры углов параллелограмма ABCD, если ∠ A = 36°. Решение. Радианная мера угла А равна 36°∙π180°=π536°∙π180°=π5 ,а радианная мера угла В равна к π−π5=4π5π−π5=4π5 , так как в параллелограмме сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180° (теорема 1). Наконец, радианные меры углов C и D соответственно равны π5π5 и 4π54π5 (в параллелограмме противоположные углы равны). | Работая в группах, ученики самостоятельно изучают новый материал. Учащиеся заполняют семантические карты. | Учебник Семантические карточки |
| 10 мин. | IV.Итог урока. По методу «Ромашка Блума» проверяет знания учеников. Организует систематизацию и обобщение совместных достижений. Организует индивидуальную работу по личным достижениям.
Задание для закрепление урока: Проводит рефлексию. - Понравился ли вам урок? - Что было трудным для вас? - Что вам больше понравилось? | Ученики демонстрируют свои полученные знания на этом уроке. Оценивают работу своих одноклассников. На стикерах записывают свое мнение по поводу урока. | сфетофор стикеры |
| 2 мин. | Объясняет особенности выполнения домашней работы. | Записывают домашнюю работу в дневниках. | |
Итог урока:___________________________________________________________________
Положительные стороны урока:__________________________________________________
_____________________________________________________________________________
Отрицательные стороны урока:___________________________________________________
______________________________________________________________________
Тема урока:
Площадь круга и его частей.
Общая цель:
обеспечить усвоение учащимися знаний формул для расчёта площадей круга и его частей, приемов вычисления площади круга и его частей.
Задачи:
развивать умения и навыки используя рисунок, вычислять радиус круга, находить величину центрального угла; развивать письменную и устную речь через решения математических задач, эмоциональную и двигательную сферу при выполнении практических заданий; логическое мышление.
Ожидаемые результаты обучения
Знают формулы для расчёта площадей круга и его частей; умеют применять их при решении задач.
Подходы в преподавании: методы и приемы
Приемы критического мышления, ОдО и ОО, новые подходы к обучению
Источники, оснащение, оборудование:
доска, мел, чертежные инструменты, карточки с дополнительными задачами, карточки – опоры, карточки для проведения физминутки.
Межпредметные связи
Этапы
время
Виды заданий и действия участников занятия
Процесс
оценивания
Ресурсы
Организационный момент
5
Повернёмся и скажем друг другу «Здравствуй, друг!». Девизом сегодняшнего урока я взяла слова «Окусыз білім жоқ, білімсіз күнің жоқ». Кто переведёт это высказывание? Правильно «Нет жизни без знания, нет знания без учения», поэтому мы будем учиться, учиться хорошо.
Деление на группы ( сектор, сегмент, круг)
Вызов
5
Но о какой геометрической фигуре пойдёт, сегодня речь на уроке вы узнаете, если правильно выполните следующее задание.
Игра – разминка.
Я буду задавать вопросы, а вы отвечаете, записывая первую букву каждого ответа. Готовы?
Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними. Как называется эта теорема? (косинусов)
Как называется любой отрезок, соединяющий точку окружности с ее центром(радиусом окружности)
Как называется геометрическая фигура, образованная двумя лучами, исходящими из одной точки? Они бывают развернутыми, тупыми, прямыми, острыми, а у окружности он называется центральным (угол)
Единица измерения угла (градус)
О какой фигуре пойдёт речь? Правильно, о круге и его частях. Мы будем сегодня выводить формулы для расчёта площади круга и его частей, а потом решать задачи на применение этих формул.
формативное
Учащиеся отвечают на вопросы и получают тему данного урока
Осмысление
10
Изучение нового материала
Площадь сектора
Рассмотрим круговой сектор, изображённый на рисунке, и обозначим его площадь символом S(α), где буквой α обозначена величина соответствующего центрального угла.
В случае, когда величина α выражена в градусах, справедливо равенство
В случае, когда величина α выражена в радианах, справедливо равенство
Площадь сегмента
Поскольку площадь сегмента равна разности площадей кругового сектора MON и треугольника MON (рис.), то в случае, когда величина α выражена в градусах, получаем
В случае, когда величина α выражена в в радианах, получаем
Чтобы вычислить площадь сегмента нужно из площади соответствующего сектора вычесть площадь треугольника, если α<180º, или прибавить ее, если α>180º.
Sсег = Sсек 
SΔ
Площади круга +
Площадь сектора 
Площадь сегмента
формативное
физминутка
3
Парная работа. Каждой паре дается вразброс карточки с формулами, рисунками, словами. Найти соответствия между формулой, чертеж и название
1 группа дано: R = 3 см
S = 6,28 см2
Найти: α
Решение: 
α = 
= 
= 
= 800
Ответ: 800
2 группа Дано: α = 300
R
Найти: Sсег
Решение: Sсег = 
sin 300
R2 = 0.011(6)
Или Sсег = 
) = 
Устно:
Найдите (в см2) площадь S фигуры, изображенной на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см x 1 см (см. рис.).
Решение:
1) Найдем радиус окружности и посчитаем площадь всего круга по формуле 
В этой задаче сразу видно, что R = 3.
формативное
Учащиеся собирают чертеж формулу название
Дифференциация- проверка знаний учащихся
15
Закрепление изученного материала
Тесты с выбором ответа (текст распечатан на каждый стол).
взаимопроверка
Карточки с текстом
Анализ и самооценивание урока
3
Лист самооценки.
формативное
Рефлексия
2
Лестница успеха
Итоги урока, чтение домашнего задания
2
№ 611, 615 §3 с.140
Тесты: Установите, истинны или ложны высказывания: ( учитель формулирует условие, учащимся необходимо поставить знаки «+» или «-» при выборе ответа )
(За доской работает 1 ученик, остальные учащиеся работают в тетрадях)
1) Любой треугольник является правильным, если все его углы равны.(+)
2) Около любого правильного многоугольника можно описать окружность и притом только одну. (+)
3) Окружность, касающаяся всех сторон многоугольника, называется вписанной. (+)
4) Если все вершины многоугольника лежат на окружности, то окружность называется описанной. (+)
5) Многоугольник является правильным, если все его углы равны. (-).
6) Окружность, вписанная в правильный многоугольник, касается каждой стороны многоугольника в его середине. (+).
7) Сторона правильного треугольника, вписанного в окружность, выражается через радиус этой окружности по формуле а = R 
. (+)
8) Длину окружности можно вычислить по формуле С = пD,
где D - диаметр окружности. (+).
9) Площадь круга равна произведению квадрата его радиуса на п. (+).
10) cos 0° = 0 (-)
(Обратить внимание на задание 7). Выяснить правильность записи.
(Взаимопроверка)
Все задачи, которые мы решили, относятся к группе простых задач. На уроке мы рассмотрели различные виды тестов.
На экзаменах в 9 (пробном) и 11 классах задачи такого типа даются в задании части А, т.е. более легкие задачи. Для получения оценок «4» и «5», необходимо выполнить более сложные задачи, т. е. задачи частей
В (записать ответ, не требуется подробное решение) и задания С
(с подробным оформлением решения).
Задание для группы
С приходом этого праздника, по традиции, начинаются весеннее – полевые работы. Люди начинают пахать землю, сажать деревья, кустарники, цветы.
Д 
ля того, чтобы вырастить цветок, нужно вспахать землю и бросить в нее зерно. Только благодаря заботе и должному уходу можно вырастить то, что потом будет радовать глаз красотой и совершенством. Давайте и мы бросим «зерно мысли» в поле площадей и найдем площадь «зерна», расположенного в квадрате с длиной стороны 1 дм (рис. 1).
Задача. Итак, в задаче требуется определить площадь фигуры, изображенной на рис. 1
Ответ: 
.
Решение
Так как сторона квадрата равна 1 дм, то площадь квадрата АВСD равна 1 дм2.
Найдем площадь сектора DАKС
S= 
= 0.785 (дм2).
Найдём площадь треугольника АСD. Она равна половине площади квадрата: S = 
* 1 = 0,5дм2.
Площадь сегмента АKС равна Sсег = Sсек - SΔ = 0,785 – 0,5 = 0,285(дм2) .
Площадь «зерна»: S = 2 ∙ Sсег =2*0,285 ≈ 0,7 (дм2).
Ответ: ≈ 0,7 дм2
Задача. Даны две концентрические окружности. Длина одной из них равна 33?, другой 27?. Найдите ширину кольца
Решение. Очевидно, что ширина кольца hкольца = R – r (см. рис). Зная длины окружностей, найдём их радиусы.
Ответ: 3.
4.Тесты с выбором ответа (текст распечатан на каждый стол).
1) Чему равна дуга окружности (в градусах), стягиваемая стороной правильного треугольника?
А) 600; Б) 1200; В) не знаю.
2) Сколько сторон имеет правильный многоугольник, у которого сумма всех углов равна 5400?
А) 5; Б) 6; В) не знаю.
3) Чему равна длина окружности, если ее диаметр равен 50 см?
А) 50 п см; Б)25 п см; В) не знаю.
4) Из круга, радиус которого равен 20 см, вырезан сектор. Дуга сектора равна 900. Чему равна площадь оставшейся части круга?
А) 100 п см2 ; Б) 300 п см2 ; В) не знаю.
Самопроверка Код ответа: 1) Б 2) Б 3) А 4) А
Тема. «Площадь круга и его частей (сегмента и сектора). Урок 54
Цель: 1) отработать навыки вычисления площадей нестандартных фигур, состоящих из круга и его частей;
2) научить учащихся применять полученные знания в жизни;
3) привить любовь к прекрасному; воспитать интерес к профессии строителя, штукатура-маляра, ландшафтного дизайнера;
Оборудование: интерактивная доска, слайд №1,2 «Дом моей мечты», слайд №3 «Ландшафтный дизайн». Готовые чертежи на интерактивной доске: рисунок 1 «Лепесток», рисунок 2 «4 лепестка», рисунок 3 «Подушка»,слайд №4 « Различные формы клумб».
Ход урока
Вступительное слово учителя. (Показывается слайд №1,2)
Никто из вас не отказался бы жить в таком доме. Строительство такого красивого современного дома-мечта многих. А чтобы сбылась ваша мечта, а тем более, вы смогли построить дом по своему собственному проекту, вам необходимо получить профессию строителя. Я думаю, среди вас тоже есть будущие строители, которые после окончания школы собираются поступать в строительные учебные заведения. В городе Казани есть строительный техникум и архитектурно строительная академия, где готовят специалистов - строителей разного профиля.Многие мои бывшие ученики окончили Казанскую государственную архитектурно-строительную академию и успешно работают инженерами-строителями.В столице нашей республики- в городе Казани и в городе Димитровграде Ульяновской области (всего 60 км от нашего населенного пункта) имеются профессиональные училища, где готовят штукатуров-маляров. Люди этой профессии занимаются внутренней отделкой дома и получают хорошую зарплату. Туда можно поступить после окончания 9 класса.
Чтобы стать хорошим специалистом-строителем нужно любить эту профессию, а чтобы успешно поступить учиться-хорошо знать математику, особенно-геометрию.
Строительство дома мы поручим профессионалам, а вот участок возле своего дома превратить в красивый сад, в котором гармонично соседствуют плодовые деревья, кустарники, овощные культуры, летний домик, дорожки, соединяющие различные зоны участка, водоем и клумбы красных, синих, сиреневых, «золотых» цветов сможет каждый любитель. Такое искусство называется ландшафтным дизайном. (Показывается слайд №3)
В этом деле немаловажную роль играет цветник. Он в свою очередь зависит от формы клумб и сорта цветов. Клумбы, обычно, бывают правильной геометрической формы. Если вы этим летом были в городе Казани, то, не могли не заметить как преобразилась столица нашей республики перед Универсиадой -2013. Казань, в буквальном смысле слова, цвела! Кроме своих грандиозных спортивных сооружений она привлекала к себе и ландшафтным дизайном.
2. Актуализация знаний, умений и навыков.
Учитель. Так как темой нашего урока является «Площадь круга»,мы постараемся создать оригинальные фигуры для клумб из круга и его частей.Но чтобы создавать красоту своими руками, мы должны знать площади клумб, уметь их вычислять. Как вы думаете, почему? ( Ответы учеников: чтобы узнать, сколько нужно семян или саженцев разных сортов, минеральных удобрений).
Вспомним формулы вычисления площадей круга и его частей.Ученик пишет на доске формулы Sкр.=πR2, Sсегм.= ,Sсек.= .
А чему равна площадь половины круга? Площадь четверти круга?
Площадь квадрата? Площадь треугольника?Ответы учеников:; Sкв. = а2;.
3.Формирование знаний, умений и навыков.
1). Учитель. Рассмотрим одну задачу. ( Объяснение учителя на интерактивной доске)
Для начала построим квадрат АВСД со стороной а.Построим окружность с центром в точке В радиуса а. Построим вторую такую же окружностьс центром в точке Д.
Получилась фигура в форме лепестка. Вычислим ее площадь. (Рассматривается несколько способов решения. Вот один из них: Площадь сектора ДАКС равна; - но так как .)
Ответ: а2 (π-2)
2
А теперь самостоятельно вычислите:а) Сколько понадобится семян цветов «золотых» бархатцев для «лепестка», если сторона квадратного участка составляет 3м, а расход семян 10 г/м2? б). Сколько понадобится семян цветов петунии для оставшейся части квадрата, если расход семян составляет 3г/м2?
Сколько пакетиков семян петунии нужно купить, если в одном пакетике 2г семян?
Ученики получают ответы: а) 5,13кг; б). Разность площадей квадрата и лепестка равна а2 - ; Ответ:11,61г;
6 пакетиков.
2).Учитель.Но только ли один лепесток может уместиться в нашем квадратном поле? Нельзя ли расположить в нем 4 лепестка?И как вычислить площадь четырех маленьких лепестков?
Ответы учеников. Да, можно. Ученик объясняет построение фигуры и решение. (Показывается рисунок 2) Один лепесток расположен в ¼ части квадрата, то есть оно находится внутри квадрата со стороной.Производит те же вычисления, что и в первой задаче, но для . Умножив площадь полученного одного лепестка на 4 получает ответ . Остальные работают на местах.
Ответ:
3). Учитель. А теперь вычислите площадь клумбы в форме подушки (показывается рисунок3). Разбирается несколько подходов к решению. Другой ученик показывает свой рациональный способ решения на доске. (Площадь незаштрихованной части при одной вершине квадрата равна ¼ площади окружности срадиусом а/2, то есть S1= = . А площадь общей незаштрихованной части в 4 раза больше, то естьS= . Sкв.= а2. Площадь заштрихованной части равна Sкв.- S= а2 - .
Ответ:
4) Практическое задание. Учитель: как можно вычислить площадь
нарисованного кольца? Ответы учеников: как разность площадей большей и меньшей окружностей. 
Учитель раздает каждому ученику заранее вырезанные из плотной бумаги кольца разных размеров. Они производят необходимые измерения и вычисляют площадь кольца. При возникновении трудностей учитель помогает, отвечает на вопросы учащихся( например, как найти центр окружности?). Далее на доске учитель или ученик, делая вывод, записывает общую формулу для вычисления площади кольца: Sкольца = Sболь.-Sмень.=(-).
5). Творческое задание.
Учащиеся класса делятся на группы по 5 человек и объявляется конкурс на самую оригинальную фигуру, состоящую из круга и его частей. Одна группа занимается тем же на интерактивной доске.
Определяется лучшая работа.Выставляются оценки активным участникам.
4.Рефлексия
Учитель. А теперь послушайте информацию те, кто на этом уроке заинтересовался профессией ландшафтного дизайнера.
С 1сентября 2008 года в Казанском государственном аграрном университете на факультете лесного хозяйства и экологии открылиобучение по специальности «Садово-парковое и ландшафтное строительство». Будущие специалисты будут обладать знаниями в области ландшафтной архитектуры, уметь грамотно проводить работы по садово-парковому строительству, по эксплуатации объектов, по содержанию зеленых насаждений. После окончания11класса желающие могут туда поступить.
Итак, вы на этом уроке закрепили знания по вычислению площадей круга, его частей, квадрата, треугольника. Вычисляли площади нестандартных фигур. Увидели различные виды клумб, узнали о ландшафтном дизайне. Про вожая 2013 год - Год экологической культуры и охраны окружающей среды и не забывая, что в нашем Татарстане идёт Год математики, я бы хотела узнать ваши мнения о сегодняшнем уроке.Заранее спасибо!
Ребята по кругу высказываются, выбирая начало фразы из рефлексивного экрана на доске
1. Сегодня я узнал…
2. Было интересно…
3. Было трудно…
4. Я выполнял задания…
5. Я понял, что…
6. Теперь я могу…
7. Я почувствовал, что…
8. Я приобрел…
9. Я научился…
10. У меня получилось …
11. Я смог…
12. Я попробую…
13. Меня удивило…
14. Урок дал мне для жизни…
15. Мне захотелось…
| Тема:Площадь круга и его частей (сегмента и сектора). | |||
| Цель урока: уяснить понятия: площадь круга, площадь вписанного в окружность правильного многоугольника, описанного около окружности правильного многоугольника; научиться проводить эксперимент для выявления различных свойств геометрических фигур. | |||
| | Деятельность учителя | Деятельность обучающихся | наглядности |
| 3 мин. | I. Организационный момент. Приветствует учеников, проверяет готовность к уроку, желает успеха. Разделение на группы по приему «Атомы и молекулы» | Ученики осмысливают поставленную цель. Дети делятся на группы. | |
| 5 мин. | II. Мотивация к изучению нового. С помощью наводящих вопросов, учитель подводит учащихся к теме нового урока. Устная работа (повторение темы “Площадь многоугольника”) (слайд 2) Какой многоугольник называется описанным около окружности? Как найти площадь произвольного многоугольника? Какой многоугольник называется правильным? Формула площади правильного п-угольника, описанного около окружности. Формула площади правильного п-угольника, вписанного в окружность. Карточка 1 А1. Найдите длину окружности, у которой диаметр равен 10 см.. А2. Найдите площадь круга, радиус которого равен 3,2 дм. А3. Найдите длину дуги окружности радиуса 3 м, если градусная мера дуги равна 75о. Карточка 2 А1. Найдите радиус окружности, если ее длина равна 66м А2. Найдите площадь круга, диаметр которого равен 3,6 дм. А3. Дуга в 107о имеет радиус 39 см. Найдите длину этой дуги. Остальные учащиеся: Ответьте на вопросы: (наглядность – таблицы) | Ученики отвечают на вопросы учителя. | |
| 20 мин. | III. Актуализация знаний Индивидуальная работа. Учитель раздает карточки. Задание: По методу «ДЖИГСО» изучают новый материал.
| Ученики работают над текстом. Демонстрируют свои знания. | учебник карточки |
| 10 мин. | Закрепление урока. По методу «Аквариум» проводит закрепление урока.
| Ученики делают внутренний и внешний круг. Внутренний- обсуждают тему, а внешний- наблюдает за их действиями. | |
| 5 мин. | V.Итог урока. Этап рефлексии: Стратегия «Телеграмма» - Чему научил вас урок? | Оценивают работу своих одноклассников, пишут телеграммы. На стикерах записывают свое мнение по поводу урока. | фишки стикеры |
| 2 мин. | VI. Домашнее задание. Объясняет особенности выполнения домашней работы. | Записывают домашнюю работу в дневниках. | |
Итог урока:___________________________________________________________________
Положительные стороны урока:__________________________________________________
_____________________________________________________________________________
Отрицательные стороны урока:___________________________________________________
______________________________________________________________________
Класс: 9 56 урок
Тема: Контрольная работа №
Цель урока: способствовать развитию математического кругозора, мышления, речи учащихся, внимания, навыков счёта; развивать умение работать в группах и в парах. ;
.
Деятельность учителя
Деятельность обучающихся
наглядности
3 мин.
I. Организационный момент. Приветствует учеников. Для создания психологической атмосферы проводит игру «Мне в тебе нравится».
Ученики кидая друг другу мяч, называют хорошие качества своих одноклассников.
мяч
35 мин.
III. Актуализация знаний. Постановка цели урока.
.
Под диктовку учителя записывают диктант.
5 мин.
V.Итог урока. Организует индивидуальную работу над текстом. Проводит рефлексию.
Ученики индивидуально работают над предложенными заданиями.
светофор
стикеры
2 мин.
VI. Домашняя работа. Объясняет особенности выполнения домашней работы.
Записывают домашнюю работу в дневниках.
Итог урока:___________________________________________________________________
Положительные стороны урока:__________________________________________________
_____________________________________________________________________________
Отрицательные стороны урока:___________________________________________________
______________________________________________________________________
Цель
способствовать развитию, у учащихся, навыков наглядно отражать на чертежах взаимное расположение прямых и плоскостей и навыков изображения призм, пирамид, цилиндра, конуса, шара.
результаты обучения: умеют наглядно отражать на чертежах взаимное расположение прямых и плоскостей и изображать на плоскости призму, пирамиду, цилиндр, конус, шар.
Ученик А изображает стереометрических фигуры на плоскости, знает способы задания плоскости, использует аксиомы и следствия из них при решении задач, владеет навыками построения и обозначения элементарных геометрических фигур стереометрии, консультирует одноклассников.
Ученик В изображает стереометрических фигуры на плоскости, знает способы задания плоскости, владеет навыками построения и обозначения элементарных геометрических фигур стереометрии
Ученик С изображает и обозначает элементарные фигуры стереометрии, выполняет поручения одноклассников, следит за работой учеников в группе.
Этапы урока/ время
Действия
Оценивание
Ресурсы
Учитель
Ученик
Вводная часть
(3мин)
Приветствует учеников
Организует коллаборативную среду
Ученики приветствуют учителя
Встает в круг. Проговаривает пожелания своему соседу.
Подготовка к обучению (объединение в группы)
(2мин)
Раздает карточки для объединения в группы.
Учитель приглашает учеников занять свои места в группах
Выбирают карточки для объединения в группы
Объединяются в группы по пять учащихся в каждой группе
Карточки с геометрическими фигурами: треугольника, четырехугольника и многоугольника
«Третий лишний»
(5 мин)
Предоставляет ученикам геометрические фигуры планиметрии и стереометрии. Дает задание ученикам: а) определить «лишний» предмет;
б) объединить фигуры в две группы
В представленном наборе геометрических фигур
а) определяет и обосновывает « лишнюю» фигуру;
б) распределяет фигуры в группы
геометрические фигуры планиметрии и стереометрии.
Презентация нового материала
«Карусель»
20 мин
Дает задание ученикам:
(ИР ) прочитать § 1стр 157-160;
(ГР) обсудить в группе следующие вопросы:
Что изучаю в разделе « Стереометрия»;
Назовите основные фигуры стереометрии и укажите их обозначения;
Изобразите аксиомы стереометрии и выполните соответствующие обозначения;
Определите способы задания плоскости в пространстве;
( ГР) Дает задание: записать ответы на заданные вопросы на флипчарте выполнить презентацию работы
наблюдает за работой учащихся
Читает § 3стр 17-18 учебника.
Обсуждает в группе ответы на вопросы
Что изучаю в разделе « Стереометрия»;
определяет основные фигуры стереометрии и указывает их обозначения;
Изображает аксиомы стереометрии и выполняет соответствующие обозначения;
Определяет способы задания плоскости в пространстве;
Оформляет ответы на вопросы
на флипчарте
выполняет презентацию работы
«Плюс, минус, интересно»
Учебник, справочник, флипчарт, маркеры
тетрадь ИКТ
Практическое применение нового материла
«Найди ошибку»
Дает задание ученикам внимательно изучить рисунки и обосновать где была допущена ошибка
Р
О Е К
А В
С
ОК∩РС=Е
В1 С1
А1
В
С
А D
A1D∩AB1=E
В1 С1
А1
В
С
А TD
AA1∩RT=M
M
Изучает рисунок и исправляет допущенные ошибки
Определяет ошибку ОК∩РС=Е
Определяет ошибку A1D∩AB1=E
Определяет ошибку AA1∩RT=M
Оценка по выработанным критериям
«Светофор»
Учебник, справочник,
тетрадь ИКТ
Заключительная часть
1мин
« Пресс- конференция»
Домашнее задание стр. 157 § 1
Стр. 160 №636, №637
Вызывает к доске представителя с каждой команды. Эти ученики играют роль «Звезды» . Остальные ученики играют роль «Журналистов» Журналисты задают вопросы «Звездам»
Записывает домашнее задание
« Звезда» дает ответ на поставленный ему вопрос « Журналиста»
Дневник
Рефлексия
2 мин
Наблюдает за ответами учеников. Корректирует дальнейшую работу по изучению темы учениками
Располагает стикеры на лестнице успеха
Лестница успеха (знаю, понимаю, умею)
стикеры
| Тема:Взаимное расположение двух прямых, прямой и плоскости, двух плоскостей в пространстве. | |||
| Цель урока:рассмотреть возможные случаи взаимного расположения прямых и плоскостей в пространстве; формировать навык чтения и построения чертежей, пространственных конфигураций, пространственных фигур к задачам. развивать пространственное воображение учащихся при решении геометрических задач, геометрическое мышление, интерес к предмету, познавательную и творческую деятельность учащихся, математическую речь, память, внимание; вырабатывать самостоятельность в освоении новых знаний. | |||
| | Деятельность учителя | Деятельность обучающихся | наглядности |
| 3 мин. | I. Организационный момент. Приветствует учеников, проверяет готовность к уроку, желает успеха. Разделение на группы по приему «Атомы и молекулы» | Ученики осмысливают поставленную цель. Дети делятся на группы. | |
| 5 мин. | II. Мотивация к изучению нового. С помощью наводящих вопросов, учитель подводит учащихся к теме нового урока. Фронтальная беседа
а) три точки, не лежащие на одной прямой; б) три точки; которые лежат на одной прямой; в) прямую и точку, не принадлежащую этой прямой? | Ученики отвечают на вопросы учителя. | |
| 20 мин. | III. Актуализация знаний Индивидуальная работа. Учитель раздает карточки. Задание: По методу «ДЖИГСО» изучают новый материал.
Задача для группы 1. Приведите примеры параллельных плоскостей из окружения.
а) грани, которые пересекают грань ABCD; б) плоскости, параллельные плоскости ABC.
| Ученики работают над текстом. Демонстрируют свои знания. | учебник карточки |
| 10 мин. | Закрепление урока. По методу «Аквариум» проводит закрепление урока.
| Ученики делают внутренний и внешний круг. Внутренний- обсуждают тему, а внешний- наблюдает за их действиями. | |
| 5 мин. | V.Итог урока. Этап рефлексии: Стратегия «Телеграмма» - Чему научил вас урок? | Оценивают работу своих одноклассников, пишут телеграммы. На стикерах записывают свое мнение по поводу урока. | фишки стикеры |
| 2 мин. | VI. Домашнее задание. Объясняет особенности выполнения домашней работы. | Записывают домашнюю работу в дневниках. | |
Итог урока:___________________________________________________________________
Положительные стороны урока:__________________________________________________
_____________________________________________________________________________
Отрицательные стороны урока:___________________________________________________
______________________________________________________________________
| Тема:Угол между прямой и плоскостью. Перпендикулярность прямых, прямой и плоскости. | |||
| |||
| | Деятельность учителя | Деятельность обучающихся | наглядности |
| 3 мин. | I. Организационный момент. Приветствует учеников, проверяет готовность к уроку, желает успеха. Разделение на группы по приему «Атомы и молекулы» | Ученики осмысливают поставленную цель. Дети делятся на группы. | |
| 5 мин. | II. Мотивация к изучению нового. С помощью наводящих вопросов, учитель подводит учащихся к теме нового урока. 1) доказать лемму о 2-ух параллельных прямых, одна из которых перпендикулярна к третьей; | Ученики отвечают на вопросы учителя. | |
| 20 мин. | III. Актуализация знаний Индивидуальная работа. Учитель раздает карточки. Задание: По методу «ДЖИГСО» изучают новый материал.
| Ученики работают над текстом. Демонстрируют свои знания. | учебник карточки |
| 10 мин. | IV. Закрепление урока. По методу «Аквариум» проводит закрепление урока. | Ученики делают внутренний и внешний круг. Внутренний- обсуждают тему, а внешний- наблюдает за их действиями. | |
| 5 мин. | V.Итог урока. Этап рефлексии: Стратегия «Телеграмма» - Чему научил вас урок? | Оценивают работу своих одноклассников, пишут телеграммы. На стикерах записывают свое мнение по поводу урока. | фишки стикеры |
| 2 мин. | VI. Домашнее задание. Объясняет особенности выполнения домашней работы. | Записывают домашнюю работу в дневниках. | |
Итог урока:___________________________________________________________________
Положительные стороны урока:__________________________________________________
_____________________________________________________________________________
Отрицательные стороны урока:___________________________________________________
______________________________________________________________________
Параллелепипед, прямая и наклонная призмы, пирамида – взаимное расположение их ребер, высота. Урок 60
Цель
Образовательные:
организация усвоения нового материала;
знание и понимание материала о параллелепипеде, прямой и наклонной призме, пирамиде – взаимном расположении их ребер, высоте;
применение знания материала о параллелепипеде, прямой и наклонной призме, пирамиде – взаимном расположении их ребер, высотепри решении задач;
Развивающие:
умения и навыки ставить и решать практические задачи, связанные с нахождением геометрических величин;
умения и навыки строить изображения призм, пирамид;
умения и навыки анализировать, обрабатывать, синтезировать и использовать научную информацию о свойствах пространственныхгеометрических фигур.
.
Ожидаемый результат:
ученики будут развивать навыки ставить и решать практические задачи, связанные с нахождением геометрических величин;
ученики будут знать и понимать материал о параллелепипеде, прямой и наклонной призме, пирамиде – взаимном расположении их ребер, высоте;
ученики будут применять знания материала о параллелепипеде, прямой и наклонной призме, пирамиде – взаимном расположении их ребер, высоте при решении задач;
ученики будут строить изображения призм и пирамид;
ученики будут развивать умения и навыки анализировать, обрабатывать, синтезировать и использовать научную информацию о свойствах пространственныхгеометрических фигур;
Этапы
Учитель
Ученики
Оценивание
Применение
1
(5мин)
Эмоциональный настрой на урок «Геометрические фигуры»
-Ребята, пусть каждый из нас будет точкой в пространстве, а веревка – ломаной. С помощью веревки строим геометрические фигуры.
Играющие становятся в круг. Внутри круга натягивается веревка, за которую все держатся руками. Играющие, не размыкая рук, по команде ведущего выполняют задание: строят квадрат (ромб, прямоугольный треугольник, равносторонний треугольник, прямоугольник, и т.д.).
Веревка
Постановка проблемного вопроса
(практическая работа по карточкам)
-Если вы сейчас строили геометрические фигуры из веревки, теперь соберите, пожалуйста, геометрические фигуры из зубочисток
- Какие фигуры мы получили?
- Все ли точки фигур лежат на одной плоскости?
- Как эти фигуры называются?(отвечают дети)
- Хотите узнать о них побольше?
- Рассмотрим на уроке эти фигуры?
самостоятельно строят 6 квадратов из 12 зубочисток (куб),
4 треугольника из 6 зубочисток (тетраэдр),
3 квадрата и 2 треугольника из 12 зубочисток (треугольная призма),
4 треугольника и 1 квадрат из 8 зубочисток (4-хугольная пирамида).
На каждом столе - карточки с заданиями, зубочистки, пластилин
Определение темы урока
Подводитучеников к самостоятельному определениютемы урока
определяют тему и цель урока
Деление на группы
- Пусть геометрическое фигуры, которые вы построили, будут названиями ваших групп: «пирамида», «призма», «тетраэдр», «куб»
делятся на группы
Палатки с
названиямигрупп «пирамида», «призма», «тетраэдр», «куб»
2
(35мин)
Изучение нового материала по раздаточному материалу и защита
Направляет, поясняет, слушает, оказывает содействие, помогает, поддерживает
изучают новую тему,строят изображения призм, пирамид, защищают постеры
Взаимооценивание в группах «Две звезды и пожелание»
Фигуры, построенные из зубочисток;
чертежи живой математики, ноутбуки;
плакаты, фломастеры, магниты
Закрепление
Проводит фронтальный опрос на закрепление новой темы
устно решают задачи и поясняют ход решения
Самооценивание«Большой палец»
Activstudio
Физминутка
танцуют в ритме музыки и отдыхают от умственной работы
Лабораторная работа
-Что мы получаем, развернув многогранники?
изучают видеоролик«Многогранники»,
вычисляют боковую и полную поверхности по заданной развертке
Взаимооценивание в группах «Две звезды и пожелание»
Метод «Карусели»видеоролик, раздаточный материал
Исследовательская работа
-Ребята, как вы можете определить объем параллелепипеда, зная три его измерения?
-Чему равен объем куба?
-Как найти объем прямой призмы?
-Давайте проведем исследовательскую работу: сравним и определим зависимость объема пирамиды от объема призмы
-отвечают на вопросы
-групповая исследовательская работа на сравнение и определение зависимости объема пирамиды от объема призмы
-выводят формулы ,
-обобщают результаты исследовании.
Оценивание учителя
Макеты равновеликих призм и пирамид (без дна), рис
Тестирование в обучающем режиме
Проводит тестирование в обучающем режиме
проходят тестирование
Критериальное оценивание
MyTestX, ноутбуки
3
(5мин)
Ожидаемый результат
-Ребята, покажите с помощью большого пальца, как вы сегодня усвоили урок
оценивают урок с помощью большого пальца
Самооценивание «Большой палец»
Обратная связь
- Напишите, пожалуйста, отдельно на двух стикерах ответы на вопросы:
- Что я изучил?Что было легко?
- Что было сложно? Что хочу еще узнать?
пишут свои мнения на стикерах
Самооценивание «+», «-»
Стикеры
Домашнее задание
§ 4, 4.2 №752, 753. «Геометрия-9», Шыныбеков., изд.«Атамура», 2005
Самооценивание
Урок своей цели достиг. С помощью упражнения «Геометрические фигуры» ученики активизировали свое внимание, настроились на совместную работу. Ученики с помощью зубочисток и пластилина построили каркасы геометрических фигур: куба, треугольной призмы, четырехугольной пирамиды, тетраэдра, выявили проблемный вопрос и определили тему урока: «Углы, вписанные в окружность». По раздаточному материалу изучали в группах новую тему, на постерах строили фигуры, из зубочистки и пластилина строили их каркасы и с интересом защищали свои постеры у доски. Каждая группа получала корректные «Две звезды и пожелание». Затем, посмотрев видеоролик о развертках геометрических фигур, каждая группа по методу «Карусели» вычисляла боковую и полную поверхности геометрических фигур по заданным разверткам. С большим любопытством ребята проводили исследовательскую работу с рисом и макетами равновеликих пирамид и параллелепипедов. С большим удивлением отметили зависимость объемов и затем легко вывели формулу объема пирамиды, применив формулу объема параллелепипеда. По интерактивной доске ученики решали стандартные разноуровневые задания, оценивая свои знания с помощью «Большого пальца» и поясняя ходы решения задач. После анализа допущенных ошибок ребята в группах по ноутбуку решали тестовые задачи в обучающем режиме и получили оценки по ранее заданным критериям, также они смогли получить подробный отчет о своих допущенных ошибках. Дети были удовлетворены полученными оценками, потому что, по словам учеников, «работу оценивает ноутбук справедливо». Ребята хорошо усвоили тему урока.
Тема урока: «Понятие многогранника. Призма.Параллелепипед».
Цели урока:
Ввести понятие призмы и её элементов;
разъяснить понятия: прямая призма, наклонная призма, правильная призма, параллелепипед;
развивать память, логическое и пространственное мышление, эрудицию, математически и литературно грамотную речь (устную и письменную).
формировать навыки умственного труда – поиск рациональных путей решения.
Структура урока:
Организационный момент. Сообщение темы урока.
Объяснения нового материала.
Задание на дом.
Подведение итогов.
Ход урока:
1.) Организационный момент.
Проверка готовности класса к уроку. Сообщение темы и цели урока.
2.) Объяснения нового материала.
Определение.
Призмой (n-угольной) называется многогранник, у которого две грани равные n-угольники А1 А2…Аn и В1 В2…В (называемые основаниями), с соответственно параллельными сторонами, а остальные n граней – параллелограммы, у каждого из которых две стороны являются соответственными сторонами оснований.
Элементы призмы
Определение
Обозначения на чертеже
Чертеж
Основания
Две грани, являющиеся равными многоугольниками, лежащими в параллельных плоскостях.
ABCDE, KLMNP
Боковые грани
Все грани, кроме оснований. Каждая боковая грань обязательно является параллелограммом.
ABLK, BCML, CDNM, DEPN, EAKP
Боковая поверхность
Сумма площадей боковых граней.
Полная поверхность
Сумма площадей двух оснований и боковой поверхности.
Sпол= =Sбок+2Sосн
Боковые ребра
Общие стороны боковых граней. Боковые ребра призмы параллельны и равны.
AK, BL, CM, DN, EP
Высота
Перпендикуляр, проведенный из какой – нибудь точки одного основания к плоскости другого основания.
KR
Диагональ призмы
Отрезок, соединяющий две вершины призмы, не принадлежащие одной грани.
BP
Диагональная плоскость
Плоскость, проходящая через боковое ребро призмы и диагональ основания.
Диагональное сечение
Пересечение призмы и диагональной плоскости. В сечении образуется параллелограмм, в том числе его частные случаи — ромб, прямоугольник, квадрат.
EBLP
Перпендикулярное сечение
Пересечение призмы и плоскости, перпендикулярной ее боковому ребру.
Перпендикулярное сечение перпендикулярно ко всем боковым рёбрам призмы.
Перпендикулярное сечение перпендикулярно ко всем боковым граням
Прямая призма.
Определение.
Призма называется прямой, если все её боковые грани являются прямоугольниками.
! Высота прямой призмы равна ее боковому ребру.
Для прямой призмы, у которой боковые ребра перпендикулярны плоскостям оснований, площадь боковой поверхности вычисляется по формуле: .
Правильная призма.
Определение: Призма называется правильной, если основаниями её служат правильные многоугольники и боковые рёбра перпендикулярны к основаниям.;
В зависимости от числа углов в основании призма называется треугольной, четырёхугольной, пятиугольной и т. д.
Боковыми гранями любой правильной призмы служат прямоугольники.
Параллелепипед.
Определение.
Параллелепипед— призма, основаниями которой являются параллелограммы.
Типы параллелепипеда:
Прямоугольный параллелепипед - это параллелепипед, у которого все грани прямоугольники;
Прямой параллелепипед - это параллелепипед, у которого 4 боковые грани прямоугольники;
Куб - это прямоугольный параллелепипед с равными измерениями. Все шесть граней куба - равные квадраты.
Основные элементы:
Две грани параллелепипеда, не имеющие общего ребра, называются противоположными, а имеющие общее ребро — смежными. Две вершины параллелепипеда, не принадлежащие одной грани, называются противоположными. Отрезок, соединяющий противоположные вершины, называется диагональю параллелепипеда. Длины трёх ребер прямоугольного параллелепипеда, имеющих общий конец, называют его измерениями.
Свойства:
Параллелепипед симметричен относительно середины его диагонали.
Любой отрезок с концами, принадлежащими поверхности параллелепипеда и проходящий через середину его диагонали, делится ею пополам; в частности, все диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся ею пополам.
Противолежащие грани параллелепипеда параллельны и равны.
Квадрат длины диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трёх его измерений.
Основные формулы:
Прямой параллелепипед
Площадь боковой поверхности=Ро*h, где Ро - периметр основания, h - высота
Площадь полной поверхности=Sб+2Sо, где Sо - площадь основания
Прямоугольный параллелепипед
Площадь боковой поверхности=2c(a+b),где a, b - стороны основания, c - боковое ребро прямоугольного параллелепипеда
Площадь полной поверхности=2(ab+bc+ac)
Куб
Площадь боковой поверхности=4, где а - ребро куба
Площадь полной поверхности=6, где а - ребро куба
| Тема: Цилиндр, конус, шар и их изображение |
| Цель урока:
Знать:
Уметь:
|
Целью нашего урока является изучение свойств пространственных фигур на примере конуса, цилиндра, шара и сферы.
Изучив тела вращения, вы сможете:
изображать те или иные геометрические тела;
строить сложные схемы, необходимые для оформления курсовой работы;
а также сможете нарисовать произвольный рисунок, с помощью которого оформите доклад или реферат.
Слушают, записывают.
II. Актуализация опорных знаний. (10 мин.)
Прежде чем мы перейдем к новой теме, давайте вспомним:
что такое параллельный перенос?
какие плоскости называются параллельными?
чем отличается круг от окружности?
по какой формуле вычисляется длина окружности, площадь круга?
какие формулы для вычисления площади треугольника вы знаете?
чему равен синус и косинус 30, 60, 90 градусов?
Отвечают на вопросы, делают записи в тетрадях.
III. Изучение нового материала (45 мин.)
Итак, класс был разбит на три группы, каждой из которой было поручено охарактеризовать одну из предложенных пространственных фигур: конус, цилиндр, шар и сферу и подготовить презентацию по данной фигуре.
Один студент из каждой группы дает краткую характеристику предложенной фигуры, второй студент из группы в это время показывает подготовленную группой презентацию (презентация2, презентация3, презентация4). Все остальные учащиеся внимательно слушают и конспектируют. После каждого выступления решают задачи.
IV. Закрепление нового материала (25 мин.)
1.Далее вам предлагается ответить на вопросы математического диктанта (презентация1).
Поменяйтесь тетрадями с соседом, проверьте правильность ответов друг друга, сравнив результаты с ответами на доске и выставьте друг другу отметки, опираясь на критерии оценок.
2.Заполните таблицу. Сравните свои ответы с ответами на доске.
3.Итак, обобщим материал сегодняшнего занятия, ответив устно на несколько вопросов Обобщающего опроса (презентация1).
1.Отвечают (письменно) на поставленные вопросы. Проводят взаимоконтроль, сверяя ответы соседа с ответами на доске. Выставляют друг другу отметки.
2.Заполняют таблицу. Проводят самоконтроль, сравнивая свои результаты с ответами на доске.
3. Закрепляют новый материал, отвечая (устно) на вопросы обобщающего опроса.
V. Итоги занятия (5 мин.)
Сейчас я объявлю оценки за работу на уроке…
Слушают, обсуждают, задают вопросы.
Спасибо за урок ребята!
Тела вращения— объёмные тела, возникающие при вращении замкнутой линии вокруг оси, лежащей в той же плоскости, что и вращающееся тело.
Шар — образован полукругом, вращающимся вокруг диаметра разреза.
Цилиндр — образован прямоугольником, вращающимся вокруг одной из сторон.
Конус — образован прямоугольным треугольником, вращающимся вокруг одного из катетов.
Тор — образован кругом, вращающимся вокруг прямой, не пересекающей его.
При вращении контуров фигур возникает поверхность вращения (например, сфера, образованная окружностью), в то время как при вращении заполненных контуров возникают тела (как шар, образованный кругом).
Правильный круглый цилиндр
Цили́ндр (греч.kýlindros, валик, каток) — геометрическое тело, которое состоит из двух кругов, не лежащих в одной плоскости и совмещаемых параллельным переносом, и всех отрезков, соединяющих соответствующие точки этих кругов. Круги называются основаниями цилиндра, а отрезки, соединяющие соответствующие точки окружностей кругов, - образующими цилиндра.
Примеры тел, имеющих форму цилиндра:
Сквозное отверстие в стене, сделанное дрелью, является цилиндром: его основание – круг с диаметром, равным диаметру сверла, высота – толщина стены.
Ваши примеры:
Связанные определения.
Цилиндр называется прямым, если его образующие перпендикулярны плоскостям оснований.
Радиусом цилиндра называется радиус его основания.
Высотой цилиндра называется расстояние между его плоскостями.
Осью цилиндра называется прямая, проходящая через центр оснований. Она параллельна образующим.
Осевое сечение – сечение цилиндра плоскостью, проходящей через его ось.
Свойства
Основания цилиндра равны.
У цилиндра основания лежат в параллельных плоскостях.
У цилиндра образующие параллельны и равны.
Поверхность цилиндра состоит из оснований и боковой поверхности. Боковая поверхность составлена из образующих.
Основные формулы
V = πr2h - объём прямого кругового цилиндра
S = 2πrh - Площадь боковой поверхности цилиндра
(где r — радиус основания, h — высота).
Площадь полной поверхности цилиндра складывается из площади боковой поверхности и площади оснований. Для прямого кругового цилиндра:
S = 2πrh + 2πr2.
Задачи по теме «Цилиндр»
1.Радиус основания цилиндра 2 см, высота 3 см. Найдите диагональ осевого сечения.
Дано: цилиндр,
r = 2 см,
h =3 см,
Найти: d – диагональ осевого сечения
Решение. Рассмотрим прямоугольный треугольник, катетами которого являются высота цилиндра и диаметр основания, а гипотенузой – диагональ осевого сечения. По теореме Пифагора получим:
см
Ответ: 5 см.
2 Радиус основания цилиндра равен 5 см, а его образующая – 9 см. Найдите площадь осевого сечения.
Дано: цилиндр,
ABCD – осевое сечение,
AO =5 см,
AB=9см.
Найти:
Решение. Данное осевое сечение есть прямоугольник ABCD. Сторона прямоугольника AD=2*5 =10 (см). Поэтому площадь сечения
.
Ответ: 90 .
3.Прямоугольник, стороны которого равны 6 см и 4 см, вращается около меньшей стороны. Найдите площадь поверхности тела вращения.
Дано:
ABCD – прямоугольник,
AВ = 6 см,
BС = 4см,
ВC – ось вращения.
Найти:
Решение. Данное тело вращения – прямой круговой цилиндр с высотой BC = 4 см и радиусом основания АВ = 6 см.
Площадь боковой поверхности
Площадь основания
Площадь полной поверхности
Ответ: .
4. Длина окружности основания прямого цилиндра С = 10 м, длина образующей l = 7 м. Чему равна площадь боковой поверхности цилиндра?
Дано: цилиндр,
C = 10 м,
l = 7 м.
Найти:
Решение. Площадь боковой поверхности цилиндра равна произведению длины окружности его основания н высоту: S = CH. Высота цилиндра равна его образующей:
H = 10 м. Поэтому
Ответ: 70.
Вопросы по теме «Цилиндр»
Что такое цилиндр?
Что такое высота цилиндра?
Какой цилиндр называется прямым?
Осевое сечение цилиндр – квадрат, площадь которого Q. Чему равна площадь основания цилиндра?
Прямой круговой конус
Ко́нус — тело, которое состоит из круга – основания конуса, точки, не лежащей в плоскости этого круга, - вершины конуса и всех отрезков, соединяющих вершину конуса с точками основания. Если основание конуса представляет собой многоугольник, конус становится пирамидой.
Примеры тел, имеющих форму конуса:
Чум и яранга у северных народов, вигвам у индейцев Северной Америки имеют форму, близкую к форме конуса.
Ваши примеры из жизни и техники:
Отрезок, соединяющий вершину и границу основания, называется образующей конуса.
Объединение образующих конуса называется образующей (или боковой) поверхностью конуса. Образующая поверхность конуса является конической поверхностью.
Отрезок, опущенный перпендикулярно из вершины на плоскость основания (а также длина такого отрезка), называется высотой конуса.
Конус называется прямым, если прямая, соединяющая вершину конуса с центром основания, перпендикулярна плоскости основания. При этом прямая, соединяющая вершину и центр основания, называется осью конуса.
Сечение конуса плоскостью, проходящей через его ось, называется осевым сечением.
Круговой конус — конус, основание которого является кругом.
Прямой круговой конус (часто его называют просто конусом) можно получить вращением прямоугольного треугольника вокруг прямой, содержащей катет (эта прямая представляет собой ось конуса).
Конус, опирающийся на эллипс, параболу или гиперболу, называют соответственно эллиптическим, параболическим и гиперболическим конусом (последние два имеют бесконечный объём).
Часть конуса, лежащая между основанием и плоскостью, параллельной основанию и находящейся между вершиной и основанием, называется усечённым конусом.
Плоскость, перпендикулярная оси конуса, пересекает конус по кругу, а боковую поверхность – по окружности с центром на оси конуса.
Сечение конуса плоскостью, параллельной основанию, отсекает от него конус, подобный данному.
Площадь полной поверхности конуса равна
Площадь боковой поверхности конуса равна
S = πRl
где R — радиус основания, l — длина образующей.
Объем кругового конуса равен
Задачи по теме «Конус»
1. Радиус основания конуса 3 м, высота 4 м. Найдите образующую l.
Дано: конус,
r = 3 м,
h =4 м,
Найти: l – образующая конуса
Решение. Рассмотрим прямоугольный треугольник, катетами которого являются высота конуса и радиус основания, а гипотенузой – образующая конуса. По теореме Пифагора получим:
м
Ответ: 5 м.
2.Радиус основания конуса R.. Осевым сечением конуса является прямоугольный треугольник. Найдите его площадь.
Дано: конус,
R – радиус основания,
∆ABC – осевое сечение конуса,
Найти:
Решение. Так как этот прямоугольный треугольник является еще и равнобедренным, то высота в нем, проведенная к основанию, является и медианой. Медиана, проведенная к гипотенузе равна половине гипотенузы, то есть, радиусу, так как гипотенуза равна диаметру.
Ответ: .
3. В равностороннем конусе (осевое сечение – правильный треугольник) радиус основания R .Найдите площадь сечения, проведенного через две образующие, угол между которыми равен α.
Дано: конус,
R – радиус основания,
∆ABC – осевое сечение конуса,
MC, KC – образующие конуса,
Найти:
Решение. Так как в осевом сечении ∆ABC – правильный, то образующая AC = AB = 2R. Площадь ∆MCK найдем по формуле
Ответ: .
4. Конус пересечен плоскостью, параллельной основанию, на расстоянии d от вершины. Найдите площадь сечения, если радиус основания конуса R, а высота H.
Дано: конус,
α – плоскость,
R – радиус основания,
СD = H,
С – вершина конуса,
СК = d
Найти:
Решение.
Сечение конуса получается из основания конуса преобразованием гомотетии (гомотетия – преобразование подобия, то есть, преобразование фигуры F в фигуру , при котором расстояние между точками изменяются в одно и то же число раз) относительно вершины конуса с коэффициентом гомотетии . Поэтому и . Следовательно, площадь сечения
.
Ответ: .
5. Высота конуса H. На каком расстоянии от вершины надо провести плоскость, параллельную основанию, чтобы площадь сечения была равна половине площади основания?
Дано: конус,
α – плоскость,
H - высота,
Найти: h
Решение.
Проведенная плоскость отсекает подобный конус. В подобных фигурах отношение линейных размеров равно коэффициенту подобия, а отношение соответствующих площадей – квадрату коэффициента подобия. Значит, . Отсюда . Тогда и
Ответ: .
Вопросы к теме «Конус»
Что такое конус?
Какой конус называется круговым?
Что такое образующая конуса?
| Тема: Пространственные геометрические фигуры в окружающем нас мире. | |||
| Цель урока: Знакомство учащихся со знаками из геометрических фигур, обучение ориентации по этим знакам в пространстве; коррекция мышления, внимания учащихся; воспитание культуры поведения на улице и в общественных местах. | |||
| | Деятельность учителя | Деятельность обучающихся | наглядности |
| 3 мин. | I. Организационный момент. Приветствует учеников, проверяет готовность к уроку, желает успеха. Разделение на группы по приему «Выбери меня» | Ученики осмысливают поставленную цель. Дети делятся на группы. | |
| 5 мин. | II. Мотивация к изучению нового. С помощью наводящих вопросов, учитель подводит учащихся к теме нового урока. Какие геометрические фигуры вы видите в природе? Чем отличается квадрат от треугольника? Квадрат - от прямоугольника? Круг – от квадрата? Кто эти геометрические фигуры придумал? | Ученики отвечают на вопросы учителя. | |
| 20 мин. | III. Актуализация знаний Индивидуальная работа. Учитель раздает карточки. Задание: призмы До сих пор рассматривали некоторые геометрические формы, созданные руками человека. Но ведь в самой природе очень много замечательных геометрических форм. Необыкновенно красивы и разнообразны многоугольники, созданные природой. Кристалл соли имеет форму куба. (рис.19а) Кристаллы горного хрусталя напоминают отточенный с двух сторон карандаш. Алмазы чаще всего встречаются в виде октаэдра, иногда куба (см. рис 19). Существуют и многие микроскопические многоугольники. В микроскоп можно увидеть, что молекулы воды при замерзании располагаются в вершинах и центрах тетраэдров. Атом углерода всегда соединен с четырьмя другими атомами тоже в форме тетраэдра. Одна из самых изысканных геометрических фигур падает на нас с неба в виде снежинок. Обычная горошина имеет форму шара. И это неспроста. Когда стручок гороха созреет и лопнет, горошины упадут на землю и благодаря своей форме покатятся во все стороны, захватывая всё новые территории. Горошины кубической или пирамидальной формы так и остались бы лежать возле стебля. Шаровую форму принимают капельки росы, капли ртути из разбитого градусника, капли масла, оказавшиеся в толще воды… Все жидкости в состоянии невесомости обретают форму шара. Отчего шар так популярен? Это объясняется одним замечательным свойством: на изготовление шара расходуется значительно меньше материала, чем на сосуд любой другой формы того объёма. Поэтому, если вам нужен вместительный мешок, а ткани не хватает, шейте его в форме шара. Шар – единственное геометрическое тело, у которого наибольший объём заключен в наименьшую оболочку.
Работа для группы . Нарисуйте по точкам в тетради геометрические фигуры, назовите, что за предмет у вас получился. А если к любой фигуре добавить еще какую-нибудь фигуру, линию или просто покрасить ее в определенный цвет, то она становится волшебной, превращается в знак, который может говорить, сообщать, предупреждать и даже запрещать. Вот это и понял Вовка. Это стало его открытием. А было это так. 3-й слайд. Знаки погоды. Проснулся Вовка сегодня утром, прослушал по радио прогноз погоды и подумал: - Солнце с тучкою опять В прятки начали играть. Только солнце спрячется, Тучка вся расплачется. Как же это нужно отметить в календаре погоды сегодня? Помогите Вовке. Для этого мы с вами вынесли из календаря погоды один квадрат в тетрадь. Работа учащихся в тетради.
Расскажите о погоде сегодняшнего дня по своей картинке. Да! Удивили вы Вовку, что думаете так же, как и он: - Нет ни слова в квадрате. А целый рассказ Прочли мы, что будет С погодой у нас. Какие геометрические фигуры помогли вам рассказать о погоде сегодняшнего дня? Оделся Вовка и вышел на улицу. Но только он спустился со ступенек крыльца, как увидел светофор, а в нем попеременно светят 3 круга, 3 знака, которые говорят: «Запрещаю! Предупреждаю! Разрешаю!» Дорожные знаки. Повторим вместе стихотворение о правилах пользования светофором. Красный круг нам говорит: - Стой! Опасно! Путь Закрыт! Если желтый круг горит – Подождать он нам велит. А зеленый говорит: - Проходите! Путь открыт! Вместе три круга составляют светофор, который регулирует движение машин и пешеходов. И Вовка подходит к перекрестку. А на улице у нас, Здесь у перекрестка, Точно зебра в самый раз,- Переход в полоску. 1.Из каких геометрических фигур состоит зебра? 2.Какие еще знаки вы видите на этом слайде? Кто их придумал? Для чего? Из каких геометрических фигур они состоят? О чем говорят? Подошел Вовка к синему прямоугольнику. Какой это знак? В этом месте пешеход Терпеливо транспорт ждет. Наконец, к остановке автобус подходит, Не толкаясь, и Вовка в салон его входит. О чем говорят геометрические фигуры в транспорте? И когда ты в транспорт входишь, На табличке круг находишь. Знаки добрые на ней: «Здесь сидят кому трудней!» Расскажите, о чем говорят эти знаки в транспорте. . О чем говорят геометрические фигуры на улице? Вовка помог дедушке найти место. Сам на край сиденья сел И в окошко посмотрел: В два ряда дома стоят, Десять, сорок, сто подряд, И квадратными глазами Друг на друга все глядят. А на первых этажах Видит Вовка снова: «Ах!» Что увидел он? А вчера разве геометрических фигур здесь не было? Были. Вовку удивило, как это он не замечал раньше, что эти фигуры говорят. «Фигур-то сколько здесь!»- Что же в этих домах есть? Назовите по геометрическим фигурам, какие общественные заведения и службы находятся в этих зданиях Игра «Зайди, куда тебе надо…» Учитель прикрепляет на доске такие же знаки, как в презентации, выбирает из раздаточного материала соответствующий предмет и просит учащихся купить лекарства, заплатить за коммунальные услуги, положить деньги на телефон… Учащиеся подходят к конверту под нужным знаком и «оплачивают» или «покупают». .
А по улицам машины: Вот такси, а вот - 03, И, водитель, ты в кабине За дорогою следи. Как различить с помощью геометрических фигур эти машины? Автобус замедляет ход, И Вовка снова – пешеход. Он быстро нужный знак нашёл И по пути в кафе зашёл.. О чём говорят геометрические фигуры в кафе? И в кафе всё та ж натура – Геометрии фигуры! Столик-круг и стул-квадрат, На стене круги висят. Что они обозначают, Взрослые и дети знают. Расскажите об этих знаках. Где вы их еще видели? Вовка об одном забыл, Еще руки не помыл. Помоги ему теперь Выбрать нужную здесь дверь. | ||
| 10 мин. | IV. Закрепление урока. По методу «Броуновское движение» проводит закрепление урока. | Ученики делают внутренний и внешний круг. Обсуждают и закрепляют новую тему. | |
| 5 мин. | V.Итог урока. Этап рефлексии: Стратегия «Телеграмма» Нарисуйте на ступеньках в тетради медали и напишите на них – за какое место награждаются спортсмены на этой ступени, какую медаль они получают? Да, за 1-е место – золотая, за 2-е место – серебряная, за 3-е место – бронзовая. Пусть не каждый добился награды, Хоть старался, отдав много сил, Здесь болельщики каждому рады, Он признанье, любовь заслужил. - Чему научил вас урок? | Оценивают работу своих одноклассников, пишут телеграммы. На стикерах записывают свое мнение по поводу урока. | фишки |
| 2 мин. | VI. Домашнее задание. Объясняет особенности выполнения домашней работы. | Записывают домашнюю работу в дневниках. | |
Итог урока:___________________________________________________________________
Положительные стороны урока:__________________________________________________
_____________________________________________________________________________
Отрицательные стороны урока:___________________________________________________
______________________________________________________________________
Тема: Векторы
Цель урока: Повторить понятия “вектор, длина вектора, коллинеарные векторы”.Научить распознавать сонаправленные и противоположно направленные векторы применять эти понятия при решении задач.
Сформировать умение строить равные векторы.
.Развивать коммуникативные навыки.Воспитывать диалоговую культуру
Этапы урока
Задачи этапа
Деятельность учителя
Деятельность учащихся
1.Оргмомент
Адапционный момент. Деление на группы.Позитивный настрой.
Приветствует учащихся,заслушивает сообщение дежурного о готовности класса к уроку, наличии необходимых инструментов,сообщение темы урока .
Учащиеся делятся на группы с помощью приклеенных разноцветных стикеров на стене,смотрят клип позитивный настрой
2. Стадия вызова
Постановка
цели урока.
Игра “Верю, не верю” (прием верные и неверные утверждения). Повторение теоретического материала. Вопросы, вызывающие затруднения обсуждаются тут же.
Направлена на вызов у воспитанников уже имеющихся знаний по изучаемому вопросу, активизации их деятельности, мотивацию к дальнейшей работе.
Учащиеся каждой команды отвечают на вопросы №1 и №2.У учащихся в руках цветные сигнальные карточки (зеленый цвет – да, красный – нет). Слайды №2-№13.
3. Новая информация
Смысловая стадия
Прием"Учимся сообща" -формы работы индивидуальная работа,работа в парах и групповая форма работы.Рассмотренные вопросы, требующие разъяснения, выносятся на обсуждение класса.
Учитель ознакомит с описанием алгоритма действий: индивидуальная работа,работа в парах и групповая форма работы.Рассмотренные вопросы, требующие разъяснения, выносятся на обсуждение класса. Учитель вносит дополнительные разъяснения.
Учащиеся индивидуальная работают ,а затем проверяют свои ответы по слайдам. Маркируют на полях (знаки «?», «+», «!» и т.д.). Дальше работают в парах: обсуждают текст, попытаються снять «знаки вопроса». На уроке предусмотрена групповая форма работы, то после индивидуального изучения текста все «знаки вопроса» .
4. Проверка усвоения нового материала.
Оформление постера"Фишбоун".
Для свободного размышления предлагает ученикам составить «Кластер».
Работая в группах, ученики самостоятельно составляют кластер
Прием"Ромашка Блума"
Описание: "Ромашка" состоит из шести лепестков, каждый из которых содержит определенный тип вопроса.
Простые вопросы
Уточняющие вопросы.
Интерпретационные (объясняющие) вопросы.
Творческие вопросы. Оценочные вопросы. Практические вопросы.
Описание: голова - вопрос темы, верхние косточки - основные понятия темы, нижние косточки — суть понятии, хвост – ответ на вопрос. Записи должны быть краткими, представлять собой ключевые слова или фразы, отражающие суть.
Учитель знакомит с этим приемом, например как отвечать на
Простые вопросы ( что, где, когда,как),
Уточняющие вопросы( то есть ты говоришь что...,если я правильно понял,то..., Я могу ошибаться, но, по-моему, вы сказали о …? Интерпретационные (объясняющие) вопросы. Обычно начинаются со слова "Почему?"
Творческие вопросы. Данный тип вопроса чаще всего содержит частицу "бы", "Что будет, если ...?",
Оценочные вопросы. Эти вопросы направлены на выяснение критериев оценки тех или иных событий, явлений, фактов. "Почему что-то хорошо, а что-то плохо?", "Чем один урок отличается от другого?",
Практические вопросы. Данный тип вопроса направлен на установление взаимосвязи между теорией и практикой: "Как можно применить ...?"
- Учащиеся просматривают презентацию, записывают определения в тетрадь Слайды
Таким образом, шесть лепестков - шесть вопросов.
Дети оформляют постер и с каждой команды выходят защищать свою работу.
5. Музыкальная пауза
"Твист"видеоролик
Учитель просит учащихся встать, потанцевать вместе с героем слайда.
Учащиеся выходят и танцуют под музыку.
6. Самостоятельная работа
1.Перечертить рисунок в тетрадь. Построить векторы МР и QN , такие что MP=a,NQ
2. Выписать сонаправленные, противоположно направленные и равные векторы
3. С учебника
Учитель предлагает учащимся два задания на выбор для самостоятельной работы
Учащиеся по выбору выполняют задание№1 , №2 или №3
Слайд№16.
7. Домашнее задание
Обсуждение домашнего задания№60
Придумать и оформить задачу на векторы с практическим применением
выучить определения по учебнику и
записывают домашнее задание в дневники
8. Рефлексия
(2 мин)
Прием"Рюкзак"
Описание: прием рефлексии. используется чаще всего на уроках после изучения большого раздела.
Учитель обьясняет суть этого приема зафиксировать свои продвижения в учебе, а также, возможно, в отношениях с другими.
Учащиеся отвечая на вопросы учителя, подводят итог урока,выражают мнение об уроке, высказывают пожелания Каждый ученик не просто фиксирует успех, но и приводит конкретный пример.
Я научился составлять план текста.
Я разобрался в такой-то теме.
Я наконец-то запомнил...
| Тема: Умножение вектора на число. Критерий коллинеарности векторов. Свойства умножения вектора на число. | |||
| Цель урока: проверить усвоения правил сложения и вычитания векторов, ввести правила умножения вектора на число. . совершенствовать навыки решения задач на применение свойств умножения вектора на число, развивать логическое мышление. | |||
| | Деятельность учителя | Деятельность обучающихся | Наглядности |
| 3 мин. | I. Организационный момент. Приветствует учеников. Для создания психологической атмосферы проводит игру «Рисунока на спине». | Ученики делятся на группы. Осмысливают поставленную цель. | Бумага А4 Маркер |
| 10 мин. | Проверка пройденного материала.С помощью метода «Таксономия Блума» проверяет домашнюю работу. Что такое вектор? 2. Какой вектор называется нулевым? 3. Что такое длина вектора? 4. Какие векторы называются коллинеарными? 5. Какие векторы называются равными? 6. Какие правила сложения векторов вы знаете? 7. Показать правило сложения треугольником и параллелограммом. Проверочная работа для группы
Изобразите на рисунке векторы: 1 группа: = + = - 2 группа = + = -
1 группа: a) + + + + + b) - + - 2 группа: a) + + + + + + b) + + - - | Демонстрируют свои знания, умения по домашней работе. | Уровневые задания |
| 20 мин. | III. Актуализация знаний Постановка цели урока. Мотивация изучения материала. По методу «ДЖИГСО» осуществляет усвоение нового материала. Контролирует выполнение записей учащимися. Предлагает ученикам составить «Синквейн»
Самостоятельная работа lkzuheggs 1 группа 1. Начертит вектор такой, что ││= 2 см. Постройте векторы 3 2. В параллелограмме АВСД на стороне АВ отмечена точка К так, что АК:КВ = 2:1 О – точка пересечения диагоналей. Выразите векторы 2 группа 1. Начертите вектор 2. В параллелограмме АВСД на стороне ВС отмечена точка Р так, что ВР :РС = 3 :1 О – точка пересечения диагоналей. Выразите векторы 3 группа 1. Начертите два неколлинеарных вектора 2. На сторонах ВС и СД параллелограмма АВСД взяты соответственно точки М и Е так, что М – середина ВС, СЕ : ЕД =1 :3. Выразите векторы | Работая в группах, ученики самостоятельно изучают новый материал. Ученики составляют четверостишье. | Учебник |
| 10 мин. | IV.Итог урока. Самооценка учащимися результатов своей Организует систематизацию и обобщение совместных достижений. Организует индивидуальную работу по личным достижениям.
Проводит рефлексию. - Понравился ли вам урок? - Что было трудным для вас? - Что вам больше понравилось? | Оценивают работу своих одноклассников. На стикерах записывают свое мнение по поводу урока. | Фишки Стикеры |
| 2 мин. | Объясняет особенности выполнения домашней работы. | Записывают домашнюю работу в дневниках. | |
Итог урока:__________________________________________________________________
Положительные стороны урока:__________________________________________________
_____________________________________________________________________________
Отрицательные стороны урока:__________________________________________________
______________________________________________________________________
Класс: 9 66 урок
Тема: Контрольная работа №
Цель урока: способствовать развитию математического кругозора, мышления, речи учащихся, внимания, навыков счёта; развивать умение работать в группах и в парах. ;
.
Деятельность учителя
Деятельность обучающихся
наглядности
3 мин.
I. Организационный момент. Приветствует учеников. Для создания психологической атмосферы проводит игру «Мне в тебе нравится».
Ученики кидая друг другу мяч, называют хорошие качества своих одноклассников.
мяч
35 мин.
III. Актуализация знаний. Постановка цели урока.
.
Под диктовку учителя записывают диктант.
5 мин.
V.Итог урока. Организует индивидуальную работу над текстом. Проводит рефлексию.
Ученики индивидуально работают над предложенными заданиями.
светофор
стикеры
2 мин.
VI. Домашняя работа. Объясняет особенности выполнения домашней работы.
Записывают домашнюю работу в дневниках.
Итог урока:___________________________________________________________________
Положительные стороны урока:__________________________________________________
_____________________________________________________________________________
Отрицательные стороны урока:___________________________________________________
______________________________________________________________________
Тема: Преобразование плоскости. Движение и его свойства. Равенство фигур и его свойства
Цель урока: обобщить знания,полученные на предыдущих уроках об осевой, центральной симметрии, повороте и параллельном переносе, систематизировать фактический материал,
-познакомить учащихся с движением, композиций движения их свойствами,
-познакомить учащихся с понятием паркета, их видами, примерами.
Ожидаемые результаты:
Учащиеся:
углубят и обобщат знания о видах движения,
научатся их распознавать и различать,
-научатся навыкам работы в группах.
Деятельность учителя
Деятельность обучающихся
Наглядности
3 мин.
I. Организационный момент. Приветствует учеников. Для создания психологической атмосферы проводит игру «Мне в тебе нравится».
Ученики кидая друг другу мяч, называют хорошие качества своих одноклассников.
Мяч
10 мин.
Проверка пройденного материала. По методу «Броуновское движение» проверяет домашнюю работу.
Предлагается группам из 4 учащихся выполнить задания на альбомных листах:
1 группа: построить фигуру центрально симметричную равнобедренному треугольнику МНК относительно точки К, какая образовалась фигура, какие использовались свойства.
2 группа: постройте фигуру, полученную поворотом на угол 45 градусов вокруг точки пересечения его диагоналей, какая образовалась фигура, какие использовались свойства
3 группа: постройте ось симметрии, зная положение двух симметричных относительно нее точек М и М1
4 группа:(для сильных учащихся) докажите, что если в четырех угольнике CDEF прямые c,d, проходящие через диагонали, являются осями симметрии, то это ромб.
Далее идет обсуждение работы. Учащиеся повторяют алгоритм построения данного движения и использование при доказательстве движения.
Ученики демонстрируют свои знания и умения.
Учебник
20 мин.
III. Актуализация знаний
Постановка цели урока. Мотивация изучения материала.
Задача1:
В какую фигуру переходит при движении квадрат? Объясните ответ.
Задача 2:
Докажите , что при движении параллелограмм переходит в параллелограмм.
Ученики делают выводы по увиденному сюжету.
Учебник
Ноутбук
10 мин.
IV.Итог урока. Организует систематизацию и обобщение совместных достижений. Организует индивидуальную работу по личным достижениям.
Проводит рефлексию.
- Понравился ли вам урок?
- Что было трудным для вас?
- Что вам больше понравилось?
Оценивают свою работу.
На стикерах записывают свое мнение по поводу урока.
светофор
стикеры
2 мин.
V. Домашняя работа. Объясняет особенности выполнения домашней работы.
Записывают домашнюю работу в дневниках.
Итог урока:___________________________________________________________________
Положительные стороны урока:__________________________________________________
_____________________________________________________________________________
Отрицательные стороны урока:___________________________________________________
______________________________________________________________________
| Тема:Повторение за 9 класс | |||
| Цель урока: Развитие умения решать задачи с применением движения, внимания, образного мышления, смекалки, сообразительности, математической речи учащихся. . Рассмотреть различные способы решения задачи практического содержания. | |||
| | Деятельность учителя | Деятельность обучающихся | наглядности |
| 3 мин. | I. Организационный момент. Приветствует учеников, проверяет готовность к уроку, желает успеха. С помощью разрезанных пазлов делит класс на группы. | Ученики осмысливают поставленную цель. Делятся на группы. | пазлы |
| 5 мин. | II. Мотивация к изучению нового материала. С помощью наводящих вопросов, учитель подводит учащихся к теме нового урока. Квадрат разрезали по диагонали BD и совершили поворот треугольника ВСD вокруг точки D на угол α.
| Ученики отвечают на вопросы учителя. | карточки |
| 20 мин. |
Какую фигуру при этом получили, если: Ι группа повернула на α= +90° ΙΙгруппа повернула на α = +180° ΙΙΙ группа повернула на α = +270° Задания по карточкам
Ι группа: F₁→F₂ ΙΙ группа: F ₁→F ₃ ΙΙΙ группа: F ₁→F ₄.
Ιгруппа: « При движении треугольник отображается в …» ΙΙ группа: « При движении отрезок отображается в …» ΙΙΙ группа: « При движении угол отображается в …»
Ι группа: … квадрат отображается в квадрат. ΙΙ группа: … смежные углы отображаются в смежные углы. ΙΙΙ группа: …подобные треугольники отображаются в подобные треугольники. «Симметрия правит миром» Ι группа.«Симметрия в искусстве, архитектуре, музыке, литературе» ΙΙ группа.«Симметрия в физике: симметрия законов природы» ΙΙΙ группа.«Симметрия в геометрических преобразованиях графиков функций» | Демонстрируют свои знания. Отвечают на вопросы учителя. Ученики проявляют свои знания по творчеству писателя. | учебник плакат |
| 10 мин. |
Задания по готовым чертежам(раздать заготовки и фломастеры) Ι группа: при помощи одной прямой постройте ось симметрии равнобедренной трапеции. ΙΙ группа: Даны два параллельных отрезка, длины которых равны. Начертите точку, которая является центром поворота, когда один отрезок отображается на другой.
ΙΙΙ группа: при раскопках древнего города нашли полуистлевший ковёр, сохранилась только его часть. Известно, что форма ковра была прямоугольной и точка А- точка пересечения его диагоналей. Восстановите размер ковра. | Демонстрируют свои знания. | |
| 5 мин. | V.Итог урока. Этап рефлексии: Стратегия «Телеграмма» | Оценивают работу своих одноклассников, пишут телеграммы. На стикерах записывают свое мнение по поводу урока. | Дерево Блоба стикеры |
| 2 мин. | VI. Домашнее задание. Объясняет особенности выполнения домашней работы. | Записывают домашнюю работу в дневниках. | |
Итог урока:___________________________________________________________________
Положительные стороны урока:__________________________________________________
_____________________________________________________________________________
Отрицательные стороны урока:___________________________________________________
______________________________________________________________________
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
6 666 252 материала в базе
Настоящий материал опубликован пользователем Салихова Жумагуль Кулбаевна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт
Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.
Удалить материал
Ваша скидка на курсы
40%
Курс профессиональной переподготовки
500/1000 ч.
Курс повышения квалификации
36/72 ч.
Курс повышения квалификации
36 ч. — 180 ч.
Курс повышения квалификации
36 ч. — 144 ч.
Мини-курс
6 ч.
Мини-курс
4 ч.
; -2
и 
через векторы 
= 
и 
= 
.
и 
через векторы 
, 
, 
через векторы 
= 
, 
, 
;
и 
. Найдите больший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах.
. Пусть угол 
равен 
градусов. Если угол 
равен 
равен 
.
. Найдите большую сторону этого четырехугольника, если известно, что его периметр равен 
.
равна 
, 
равна 
, а 
. По свойству описанного четырехугольника, суммы противоположных сторон равны, и значит, 
равна 
. Мы получаем, что 
, а большая сторона равна 
.
. Найдите ее среднюю линию.
и 
, а боковые стороны — 
и 
. По свойству описанного четырехугольника, 
, и значит, периметр равен 
. 
, а средняя линия равна 
.
;
;
.
;
;
.
получаем 
, то есть квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
За 1° дуги принимают 
часть окружности.
, то развернутому углу будет соответствовать длина дуги 
. Тогда длина дуги центрального угла 1° будет равна 
.
= – 100°, 
= 220°, 
= 460
) (Слайд 5).
, а радиус соответствующего круга равен R. (Слайд 7)
(Слайд 8)
)
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.