Лекция на тему "Бином Ньютона. Биномиальные коэффициенты и треугольник Паскаля"

Лекция № 6 (3 ч.)

Раздел 1. Комбинаторика.

Тема: Бином Ньютона. Биномиальные коэффициенты и треугольник Паскаля.

Цели занятия:

• дать понятие «Бином Ньютона»;

• вывести формулу бинома Ньютона, рассмотреть свойства его разложения;

• ввести общую формулу вычисления биномиальных коэффициентов, проследить закономерность их появления в треугольнике Паскаля.

Литература:

1.     Халамайзер А.Я. Комбинаторика и бином Ньютона. - М: Просвещение. 1980

2.     Прикладная комбинаторная математика

3.     Энциклопедический словарь юного математика/Сост. А.П. Савин. – М.: Педагогика, 1985г.

План:

1.     Бином Ньютона.

2.     Биномиальные коэффициенты.

3.     Треугольник Паскаля.

1. Бином Ньютона - название формулы, выра­жающей степень двучлена в виде суммы одночленов.

Формулу для квадрата двучлена

(а + b)² = = а² + 2ab + b²

знали,  еще ма­тематики Древнего Вавилона, а древнегрече­ские математики знали ее геометрическое ис­толкование.

 Если умножить обе части этой формулы на (а + b) и раскрыть скобки, то получим:

(а + b)³ = (а² + 2ab + b²)(а + b) =  а³ + a²b + 2a²b + 2ab² + ab² + b³,

                т. е. (а + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³.

Аналогичный шаг может привести  к следующей  формуле:

                        (а + b)⁴ = а⁴ + 4а³b + 6 a²b² + 4ab³ + b⁴ .

Легко заметить закон образования коэффи­циентов: коэффициент 4 при a³b есть сумма коэффициентов 3 и 1 при a²b и а³. Аналогич­но, коэффициент 6 при a²b² является суммой (3 + 3) коэффициентов при ab² и a²b. По то­му же закону получаем и коэффициент 4 при ab³.

Таким образом, коэффициент С ^k_n при а^n-k b^k в разложении (а + b)ⁿ равен сумме коэффи­циентов C^k-1 _n-1  и C^k _n-1  при а^n-k b^k-1 и при а^n-k-1 b^k разложении

 (а + b)^n-1, а коэффи­циенты   при   аⁿ  и   при   bⁿ равны   единице.

Отсюда   следует,   что   коэффициенты   С ^k_n в равенстве:

(а + b)ⁿ = аⁿ + С¹_n а^n-1b + ... + С^k_n а^n-kb^k + ... + bⁿ                       (1)

являются членами (n+1)-й строки треуголь­ника Паскаля.

Это утверждение было известно задолго до Па­скаля - его знал живший в XI-XII вв. средне­азиатский математик и поэт Омар Хайям (к сожалению, его сочинение об этом до нас не дошло).

2. Биномиальные коэффициенты.

Первое дошедшее до нас описание формулы бинома Ньютона содержится в по­явившейся в 1265 г. книге среднеазиатского математика ат-Туси, где дана таблица чисел С^k_n (биномиальных коэффициентов) до п = 12 включительно.

Европейские ученые познакомились с фор­мулой бинома Ньютона, по-видимому, через восточных математиков. Детальное изучение свойств биномиальных коэффициентов про­вел французский математик и философ Блез Па­скаль в 1654 г. Еще до этого было известно, что числа

                               

являются в то же время числами «сочетаний без повторений» из n элементов по k.

В 1664-1665 гг. И. Ньютон установил, что формула (1) обобщается на случай про­извольных (дробных и отрицательных) пока­зателей, но при этом получается сумма из бе­сконечного множества слагаемых. Именно он показал, что при | х | < 1

     (2)

При п = — 1 формула (2) превращается в из­вестную формулу для суммы бесконечной гео­метрической прогрессии:

           

4.     Треугольник Паскаля.

На рис. 1 изображено несколько первых строк числового треугольника, образованного по следующему правилу: по краям каждой строки стоят единицы, а каждое из остальных чисел равно сумме двух стоящих над ним чи­сел предыдущей строки.

 По этому правилу легко выписывать одну за другой новые стро­ки этого треугольника. Именно в такой фор­ме он приведен в «Трактате об арифметиче­ском треугольнике» французского математика Б. Паскаля (1623-1662), опубликованном в 1665 г., уже после смерти автора.

Популярность чисел, составляющих треу­гольник Паскаля, не удивительна: они возни­кают в самых естественных задачах алгебры, комбинаторики, теории вероятностей, матема­тического анализа, теории чисел.

Сколько различных k-элементных множеств (сочетаний) можно образовать из данных п элементов?

Каковы коэффициенты многочлена (1 +х)ⁿ?

Сколько существует строчек из п единиц и нулей, в которых ровно k единиц?

Сколькими разными путями можно спу­ститься из верхней точки А на рис 2.  в k-й перекресток n-го ряда?

	Рис 2

На все эти вопросы ответ дают числа С^k_n , треугольника Паскаля. Обозначение С^k_n пред­полагает, что верхняя строка треугольника Паскаля состоит из одного числа С ⁰₀ = 1, сле­дующая (первая)-из двух чисел С ⁰₁ = С¹₁ =1, и вообще п-я строка состоит из п+1 чисел:

Числа С ^k_n называют обычно числами соче­таний из п элементов по k, или биноми­альными коэффициентами в некоторых книгах для них используют обозначение . Оно удобно для запоминания простой формулы, позволяющей по заданным номерам n и k сразу вычислить, какое число стоит на к-м месте в n-й строке тре­угольника Паскаля:

Используя    обозначение    факториала    т! = = 1 • 2 •... • m,   эту   формулу  можно   записать еще короче:                 

В «равнобедренной» форме треугольника Паскаля на рис. 1 очевидно свойство симмет­рии каждой строки С ^k_n = С ^n-k_n ; при этом посе­редине строки стоит самое большое число   (если п четно) или два самых больших числа           (если п нечетно), а к краям числа монотонно убывают.

Если записать тот же треугольник в «пря­моугольной» форме (рис.3), то целый ряд свойств треугольника Паскаля, связанный с суммами его чисел, будет удобнее наблю­дать. В частности, сумма нескольких первых чисел каждого столбца равна идущему за ни­ми числу следующего столбца:

Рис.3

Числа  называются треу­гольными       числами, а  числа
 - пирамидальными;

а при т> к,                                    

Суммы чисел по «восходящим» (зеленым) диагоналям на рисунке 3 равны последова­тельным числам Фибоначчи.

Для применений в теории вероятностей особенно важны асимптотические формулы для чисел треугольника Паскаля, т.е. прибли­женные  оценки этих чисел при  больших  п.