Лекция по алгебре на тему "Дробные рациональные уравнения" (8 класс)

Решение дробных рациональных уравнений.

1.Рассмотрим примеры рациональных уравнений:

2х + 4 = 3(5 + х)

х          8             -15 х + 11

5         х + 1

х — 4     х - 14

2х + 1        х

2. Опр. Рациональное уравнение, в котором левая и правая части являются целыми выражениями, называют целым.

3. Опр. Рациональное уравнение, в котором левая или правая часть является дробным выражением, называют дробным.

4. Рассмотрим решение дробного рационального уравнения на примере:

2х —1     3х + 4                                      

х + 7        х — 1

Найдем общий знаменатель дробей, входящих в уравнение. Это произведение (х + 7) (х - 1) . Затем умножим обе части уравнение на найденный общий знаменатель.

2х—1     3х + 4          · (х + 7) (х - 1),      учтем, что выражения, стоящие          

х + 7      х — 1                                                         в знаменателях дробей, не равны нулю. Т. е. запишем ОДЗ(область допустимых значений):

х + 7≠ 0 и  х — 1  ≠ 0

х ≠ - 7         х ≠ 1

Итак, сократим дроби и получим целое уравнение:

(2х — 1) (х — 1 ) = (3х + 4) (х + 7)

2х² — х — 2х + 1= 3х² + 4х + 21х + 28

- х² - 28 х - 27 = 0 / · (- 1)

х² + 28 х + 27 = 0

D = 676 = 26²

х1 = - 27, х2 = - 1

Полученные корни принадлежат найденной выше ОДЗ, значит оба являются корнями уравнения.

Ответ: - 27, -1.

Алгоритм решения дробных рациональных уравнений:

1.    Найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение;

2.    Умножить обе части уравнения на общий знаменатель;

3.    Решить получившееся целое уравнение;

4.    Исключить из его корней те, которые обращают в нуль знаменатель.