Представим
два равных между собой многоугольника, которые расположены в параллельных
плоскостях и соединим соответственные вершины этих многоугольников. Видно,
что получившиеся отрезки параллельны, а каждый из образовавшихся
четырёхугольников является параллелограммом, так как имеют попарно
параллельные противоположные стороны.
|
(лучше
выполнять построение чертежа последовательно, согласно выделенным словам)
|
Такой
многогранник, составленный из параллелограммов и двух равных многоугольников,
расположенных в параллельных плоскостях называется призмой.
Равные
многоугольники называют основаниями, а параллелограммы – боковыми
гранями.
Отрезки,
соединяющие соответственные вершины это боковые рёбра.
Если в
основании призмы лежит треугольник, то призма называется треугольной.
Высотой
призмы называется перпендикуляр, проведённый из любой точки основания к
плоскости другого.
|
Призма.
(желательно
сопоставлять выделенным словам выделяемый элемент чертежа)
|
В
случае, если боковые рёбра не перпендикулярны основаниям, то призма
называется наклонной. В противоположном случае-прямой, в такой призме боковые
рёбра будут одновременно и высотами.
Боковые
грани прямой призмы являются прямоугольниками.
Боковые
грани наклонной призмы являются параллелограммами.
Если в
основании призмы лежит правильный многоугольник(стороны и углы равны), то
призма называется правильной, в противном случае- неправильной.
|
(схему
выстраивать последовательно, сопоставляя проговариваемым словам).
|
Боковыми
гранями прямой призмы являются прямоугольники, поэтому площадь боковой
поверхности равна сумме площадей этих прямоугольников.
Известно,
что площадь прямоугольника равна произведению стороны а на высоту h.
Высоты h
прямоугольников являются и высотами h призмы.
Вынесем
общий множитель h за
скобку, в скобке осталась сумма сторон а основания призмы.
Данная
сумма это есть периметр основания.
Таким
образом мы доказали теорему о том, что площадь боковой поверхности прямой
призмы равна произведению высоты призмы на периметр её основания.
|
|
Задача
1.
В
основания прямой призмы АВСА1 В1 С1 лежит
прямоугольный треугольник АВС с прямым углом С.Через сторону ВС и вершину А1
проведена плоскость так, что угол ВА1 С равен 30 градусов, А1В
равна 10, АС равна 5.Найти площадь боковой поверхности призмы.
Прежде
чем приступить к решению задачи необходимо провести её краткий анализ:
площадь
боковой поверхности прямой призмы равна произведению высоты призмы на
периметр её основания,а это стороны: АС, ВС, АВ и высота АА1.Из
условия известна длина только отрезка АС, поэтому прежде чем приступить к
решению задачи, необходимо определить недостающие данные, а это ВС, АВ и АА1.
Решение:
1.По
теореме о трёх перпендикулярах отрезок А1С перпендикулярен ВС,
таким образом треугольник А1ВС прямоугольный.
2.Известно,
что катет лежащий против угла в 30 градусов равен половине гипотенузы, значит
катет ВС равен половине гипотенузы А1В, то есть равен 5.
3.Теперь
нам известна сторона ВС равная 5, АС равна 5 по условию и мы можем найти АВ
по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника АВС:
АВ=√ВС2+АС2=√52+52=√50=5√2
4.Из прямоугольного
треугольника А1 АВ так же по теореме Пифагора находим АА1:
АА1=√А1В2-АВ2=√100-50=5√2
5.Таким
образом, все неизвестные величины найдены и мы можем приступить к нахождению
площади боковой поверхности призмы
Sбок=АА1(АВ+ВС+АС)=5√2(5√2+5+5)=50+50√2
Общий
множитель 50 можно вынести за скобку
Отсюда Sбок=50(1+√2)
Ответ: Sбок=50(1+√2)
|
Дано: АВСА1В1С1-прямая
треугольная призма,
<С=900,
<ВА1 С=300, А1 В=10, АС=5.
Найти:Sбок
Решение:
1.А1С┴ВС(по
т.т.п.)→Δ А1ВС-прямоугольный.
2.ВС=А1В=5(катет
лежащий против угла 300).
3.
ΔАВС-прямоугольный, по теореме Пифагора:
АВ=√ВС2+АС2=√52+52=√50=5√2
4.Δ. А1
АВ-прямоугольный, по теореме Пифагора:
АА1=√А1В2-АВ2=√100-50=5√2
5. Sбок=АА1(АВ+ВС+АС)=5√2(5√2+5+5)=50+50√2
=50(1+√2)
Ответ: Sбок=50(1+√2)
|
Задача
2.
Диагональ
правильной прямоугольной призмы наклонена к плоскости основания под углом 60
градусов. Найти площадь сечения, проходящего через противолежащую сторону
верхнего основания и через сторону нижнего основания , если известно, что
диагональ основания равна 4√2 см.
Решение:
1.Так
как отрезок АВ перпендикулярен АД и В1В перпендикулярен АД, то по
теореме о трёх перпендикулярах АВ1 перпендикулярен АД. Вместе с
тем отрезок В1С1 параллелен АД, значит АВ1
перпендикулярен В1 С1, значит искомое сечение AB1C1D
является прямоугольником.
Для
того, что бы найти площадь сечения достаточно найти стороны АД и ДС1.
2.Пусть
диагональ призмы d.Данный
многогранник является прямоугольным параллелепипедом, диагонали которого
равны, поэтому d=В1Д=АС1.
3.В
основании лежит правильный четырёхугольник- квадрат, диагонали которого
являются биссектрисами углов, значит угол АВД равен 45 градусов.
Из прямоугольного
треугольника АВД по определению синуса(отношение противолежащего катета к
гипотенузе) находим АВ как произведение ВД на синус 45 градусов.
АВ=ВД*sin 450=4√2*=4см, ABCD-квадрат,
поэтому АВ=АД.
4.Из прямоугольного
треугольника ВВ1Д находим ВВ1 с помощью определения
тангенса(отношение противолежащего катета к прилежащему):
ВВ1
=tg 600*BD=√3*4√2=4√6
cм
5.Призма
правильная, поэтому все её грани равны, соответственно диагонали граней так
же равны между собой, поэтому ВД=ДС1. Из прямоугольного
треугольника ДСС1 по теореме Пифагора найдем ДС1=√ДС2+ДС12=√42+(4√6)2=√16+16*6=√16(1+6)
=4√7см
6.Таким
образом неизвестные отрезки АД и ДС1 известны, мы можем найти
площадь сечения:
SAB1C1D=АД*ДС1=4*4√7=16√7
см
Ответ: SAB1C1D=16√7 см
|
Дано: АВСDА1
В1 С1 D1-правильная
прямоугольная призма, <ВDВ1=600, ВD=4√2см
Найти:SAB1C1D
Решение:
1.AB┴AD, B1 B┴AD→AB1┴AD(по
т.т.п.)
В1С1
║AD→AB1┴B1C1
AB1 C1 D-прямоугольник.
2. d=В1
D =АС1.
3.ABCD-квадрат,
ВD-биссектриса→
< ABD=450
Δ ABD-прямоугольный,
АВ=ВD*sin 450=4√2*=4см
АВ=АD=4 см
4. ВВ1
=tg 600*BD=√3*4√2=4√6
cм
5.BD=DC1
ΔDCC1-прямоугольный,
по теореме Пифагора:
DС1=√DС2+DС12=√42+(4√6)2=√16+16*6=√16(1+6)=4√7см
6.SAB1C1D=АD*DС1=4*4√7=16√7
см
Ответ: SAB1C1D=16√7 см
|
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.