Мастер-класс "Решение задач по теме "Сложные проценты""

 РЕШЕНИЕ   ЗАДАЧ   ПО ТЕМЕ  «СЛОЖНЫЕ ПРОЦЕНТЫ».

 ( мастер-класс)

                                                                                                         Семыкина Л.И.

                                                                                          1-ая квалификационная категория.

             В последние годы на Едином государственном экзамене по математике                                         (профильный уровень) выпускникам предлагаются задачи экономического характера. Сегодня  мы рассмотрим один из видов таких задач- задачи на  сложные проценты,(задачи на кредиты,)

 Процент- сотая часть числа.  

В случае, когда после начисления процента начальный капитал вместе с наросшим процентом снова  кладется на счет в банке, в следующем периоде времени процент нарастает не только с первоначального капитала, но также и с процента, наросшего в первом периоде. Такой процент называется сложным.  

 Задача.  Вкладчик  положил на депозит S долларов под r % годовых  на  лет. Какую сумму он  получит в конце n-го года при годовой  капитализации??

 Вывод формулы сложных процентов.

где

S – общая сумма («тело» вклада + проценты), причитающаяся к возврату вкладчику по истечении срока действия вклада;

Р – первоначальная величина вклада;

n - общее количество операций по капитализации процентов за весь срок привлечения денежных средств (в данном случае оно соответствует количеству лет);

I – годовая процентная ставка.

  Существуют разные  схемы выплаты кредита. платежей.

           1 схема.

 Банк в конце каждого месяца начисляет проценты на оставшуюся сумму долга(т.е. увеличивает долг на определённое число процентов), затем заёмщик  переводит в банк фиксированную сумму платежей и в результате выплачивает долг равными платежами(аннуитетные платежи).

 Т.е. аннуитет-начисление  равных платежей на весь срок погашения кредита.

                                                                   2 схема

 Сумма долга в конце каждого месяца увеличивается на определённое число процентов, а затем уменьшается на  сумму, уплаченную заёмщиком . Суммы , выплачиваемые в                                         конце каждого месяца подбираются так, чтобы ,  в результате  сумма долга  уменьшалась равномерно, т. е. на одну и ту же величину Это-дифференцированные платежи.

 Дифференцированные  платежи характерны тем , что задолженность  по кредиту  погашается равномерно начиная  с самых первых  выплат, а проценты начисляются  на фактический остаток, Таким образом , каждый последующий  платёж меньше предыдущего.

                                                            3  схема

Буллитный способ погашения отличается от выше  указанных  вариантов погашения кредита тем, что сначала погашаются только проценты по кредиту, а после уже сам кредит.

Схема двух карманов.

 Кредит взят в сумме S рублей на n  лет под r %

Сумма долга уменьшается равномерно.

Срок	1	2	3	4	…	n
Левый карман (долг)
Остаток, за который начисляют проценты	S	S(n-1) n	S(n-2) n	S(n-3) n
Правый карман (Проценты)			r S(n-2) 100n	r S(n-3) 100n
Платежи

Задача

В июле планируется взять кредит в банке на 10млн. руб. на некоторый срок(целое число лет).

Условия его возврата таковы:

- каждый январь долг возрастает на 20% по сравнению с концом предыдущего года;

- с февраля по июнь каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июнь предыдущего года.

На сколько лет планируется взять кредит, если известно, что общая сумма выплат после его полного погашения составит 18 млн. рублей

 Пусть срок выплаты- n лет, S=10млн. руб.

Срок	1	2	3	….	n
Левый карман (долг)
Остаток, за который начисляют проценты	S	S(n-1) n	S(n-2) n
Правый карман (Проценты)	0,2S

 Выплаченные проценты равны 18млн.-10млн.=8млн.

 Значит,

Имеем,

п=7

                                       Ответ.7

 Задача

5-го декабря планируется взять кредит в банке на 11 месяцев Условия его возврата таковы:

-1-го числа каждого месяца долг возрастает на 3% по сравнению с концом предыдущего месяца;

- со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

-15-го числа каждого месяца с 1-го по 10-й долг должен быть на 80тысяч меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;

- к 15-му числу 11-го месяца кредит должен быть полностью погашен.

  Какой долг будет 15-го числа 10-го месяца, если общая сумма выплат после полного погашения кредита составит 1198тысяч рублей?

Решение

Пусть Хтыс.рублей-сумма долга на 15-е число 10-го месяца.Значит, в кредит было взято (Х+800) тыс. руб.

Решаем по схеме двух карманов.

Срок	1	2	3	…	10	11
Левый карман (долг)	80	80	80		80	Х
Остаток, за который начисляют проценты	Х+800	Х+720	Х+640		Х+80	Х
Правый карман (Проценты)						0,03Х

Сумма всех выплат равна1198тыс. руб. Значит,

Ответ: 200тыс.

Задача.

15 января Сергей планирует взять кредит в банке на 6 месяцев в размере одного  миллиона а рублей. Условия его возврата таковы

- 1-го числа  каждого месяца долг увеличивается наr процентов по сравнению с концом предыдущего месяца, гдеr - целое число;

- выплата должна производиться один раз в месяц со 2-гопо 14-е число каждого месяца;

- 15-го числа каждого месяца долг должен составлять некоторую сумму со следующей таблицей:

Дата	15.01	15.02	15.03	15.04	15.05	15.06	15.07
Долг (в млн. руб.)	1	0,8	0,6	0,5	0,4	0,3	0

 Найдите наименьшее значение r, при котором Сергею в общей сумме придётся выплатить больше 1,5 млн. рублей

Срок	1	2	3	4	5	6
Левый карман (долг)	0,2	0,2	0,1	0,1	0,1	0,3
Остаток, за который начисляют проценты	1	0,8	0,6	0,5	0,4	0,3
Правый карман (Проценты)	0,01r	0,008r	0,006r	0,005r	0,004r	0,003r
Платежи	0,2+0,01r	0,2+0,008r	0,1+0,006r	0,1+0,005r	0,1+0,004r	0,3+0,003r

 ( для нахождения  слагаемых левого кармана от  остатка, на который начисляют проценты в данном месяце, отнимаем остаток, на который начисляют проценты в  следующем месяце)

Общая сумма выплат равна 0,2+0,2+0,1+0,1+0,1+0,3+0,01r+0,008r+0,006r+

+0,004r+0,004r+0,003r=1+0,036r

1+0,036r> 1,5

0,036 r>0,5

Имеем

Наименьшее целое число этого неравенства- число 14

 Ответ:14

Задача №4. (буллитный кредит)

 Планируется выдать льготный кредит на целое число миллионов рублей на четыре года. В середине каждого года действия кредита долг заёмщика возрастает на 20%по сравнению  началом года. В конце 1-го и 2-го  годов заёмщик выплачивает только проценты по кредиту, оставляя  долг неизменно равным первоначальному. В конце 3-го и 4-гогодов заёмщик выплачивает одинаковые суммы. Погашая весь долг полностью. Найдите наименьший размер кредита. при котором общая сумма выплат заёмщика превысит 8млн. рублей.

Пусть S млн. руб. – размер кредита. Х млн. рублей- размер выплачиваемой суммы в конце 3-гои 4-го годов.

Год	Долг(млн. руб.)	Платёж	Остаток
1	S	0,2 S	S
2	S	0,2S	S
3	1,2 S	Х	1,2S-Х
4	1,2(1,2S-Х)	Х	-

 Учитывая, что последняя выплата 1,2(1,2S-Х)=Х

Получим,

2,2Х=1,44 S

 Общая сумма выплат равна

По условию задачи

S=5     Ответ: 5млн. рублей

Задача.

 Алексей  взял  кредит в сумме  331000 рублей на три месяца под 10% в месяц. 
Существуют две схемы выплаты кредита:

По первой схеме банк в конце каждого месяца начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (т.е. увеличивает долг на 10%). затем   Алексей   переводим в банк фиксированную сумму и в результате выплачивает   весь долг тремя равными платежами 

По второй схеме тоже сумма долга в конце каждого месяца увеличивается на 10%, а затем уменьшается на сумму, уплаченную Алексеем. Суммы, выплачиваемые в конце каждого месяца, подбираются так, чтобы в результате сумма долга каждый месяц уменьшалась равномерно, т.е. на одну и ту же величину

 Уважаемые коллеги!    Какую схему Вы  бы предложили Алексею?

Какую схему выгоднее выбрать? Сколько рублей составит эта выгода?

 Аудитория решает на местах по  готовым схемам

1 группа  Всю сумму кредита обозначим через S  рублей ( S= 331000).
Каждый из трёх равных платежей обозначим через Х рублей.

Дата (месяц)	Долг на 1-е число каждого месяца. руб.)	Платёж (. руб.)	Остаток долга на 15 число(Руб.)
1
2
3

2 группа   Всю сумму кредита обозначим через S  рублей

 Наша цель –каждый   раз  уменьшать долг на треть всей суммы т.е. на  S/3                                                                                                                                                

Срок
Левый карман (долг)
Остаток, на который начисляют проценты
Правый карман (проценты)

 Решение затем выводится на экран.    

                               1 схема.

. Всю сумму кредита обозначим черезS  рублей(S = 331000).
Каждый из трёх равных платежей обозначим через Х рублей.

Дата (месяц)	Долг (руб.)	Платёж                ( руб.)	Остаток  долга (руб.)
1	1,1 S	Х	1,1 S-Х
2	1,1(1,1 S-Х)	Х	1,1(1,1 S-Х) -Х
3	1,1(1,1(1,1 S-Х) =Х)	Х	-

1,1(1,1(1,1 S-Х) -Х) –Х=0

S(1,1)³   =Х +1,1Х+ 1,1²* Х

S1,1³  =Х(1+1,1+1,1^{2 )}                                                                                                                                                      1,331S= 3,31Х                                                                                                              

 Мы платим  банку (3Х) рублей и переплатим  (3Х- S) рублей.
3X=3,993S                                                                                                                              

          3,31

 

 3Х—S=68300


Таким образом, мы  переплатим банку 68300 рублей

2 схема.

(схема двух карманов).
Всю сумму кредита обозначим через S  рублей(S = 331000).
 Наша  цель- уменьшать каждый раз долг на треть всей суммы, равной S/3

Левый карман
Остаток, на который начисляют проценты	S
Правый карман	0,1 S

Основная сумма лежит в левом кармане, переплата банку - в правом

0,1S+      +       =   0,2S

т.к.  S =331000,то 0,2*331000= 66200

Таким образом, Алексей переплатит банку 66200 рублей

Очевидно, что во втором случае мы платим меньше на 2100 рублей 

Каждая схема погашения кредита имеет свои особенности. Сказать точно какая схема выгоднее всего можно, лишь рассмотрев конкретный кредитный договор.                              Решение о взятии кредита должно быть взвешенным и продуманным. Заемщик должен реально оценить свои возможности, просчитать риски по кредиту. Независимо от того, какую схему выберет человек, и каким образом будут осуществляться платежи, кредитные условия нужно выполнять.