Математические методы создания оптических иллюзий в искусстве

Аннотация

Среди множества направлений и техник в искусстве темой представленного проекта я выбрала оптические иллюзии. Целью является узнать, какие  математические методы используются при создании иллюзий. На следующем этапе работы я изучила теорию: узнала какие существуют виды иллюзий и  на чем они основаны; какие математические методы можно использовать, чтобы создать «обман зрения». Возникла потребность доказать на практике полученные знания.  Я решила создать архитектурный макет с одной из иллюзий.  Для его создания  вдохновлялась работами швейцарского художника Феличе Варини. Использование иллюзий широко распространено в искусстве в качестве как главной идеи, так и части произведения, потому в будущем я смогу использовать свой проект, обучаясь на архитектурном факультете. Таким образом, тема моего проекта  актуальна.

Всероссийский конкурс проектно-исследовательских работ учащихся
Муниципальное образовательное учреждение
средняя школа №12 г. Сургут

Математические методы создания

 оптических иллюзий в искусстве
Россия, Ханты-Мансийский автономный округ, г. Сургут

Выполнила: Туманова Елизавета Григорьевна, МБОУ СШ № 12, 11 «Б» класс Научный руководитель: Зотова Рита Ямилевна, учитель математики, первая категория, МБОУ СШ № 12

2017 – 2018 учебный год

Содержание

1.      Введение                                                                                                                              - стр. 3

2.      Виды иллюзий                                                                                                                   - стр. 4

2.1. физические иллюзии                                                                                                   - стр. 4

2.2. когнитивные иллюзии                                                                                                 - стр. 4

3.      Иллюзии в искусстве                                                                                                       - стр. 8

4.      Математические методы                                                                                                 - стр. 9

4.1. виды проецирования                                                                                                   - стр. 9

4.2. способы преобразования чертежа                                                                              - стр. 11

4.3. симметрия                                                                                                                     - стр. 13

4.4. перспектива                                                                                                                  - стр. 14

5.      Макет                                                                                                                                   - стр. 17

6.      Заключение                                                                                                                        - стр. 18

7.      Приложения                                                                                                                       - стр. 19

8.      Список используемой литературы                                                                                - стр. 25

Введение

Искусство и творчество – немаловажные вещи в жизни человека. Если вы не самовыражаетесь в живописи, графике или литературе, то произведения великих авторов вас точно окружают. Существует огромное количество техник, способов и методов выражения мастерства. Меня заинтересовали оптические иллюзии. Они представляют собой нечто волшебное, а их многообразие завораживает. Поэтому мне захотелось разобраться в их основе. Я задалась вопросами: как используются иллюзии в искусстве и каковы математические методы их создания?

Для того, чтобы найти ответы на них, я поставила перед собой цели:

·                    Изучить природу иллюзий;

·                    Математически обосновать создание иллюзий.

Для достижения целей необходимо выполнить следующие задачи:

·                    Найти деятелей искусства, которые применяли иллюзии в своих работах;

·                    Создать макет, используя полученные знания.

Актуальность тема моего проекта заключается в том, что она сочетает в себе взаимосвязь нескольких наук. Раскрыть «тайны» иллюзий будет интересно для изучения не только школьникам на уроках, но и взрослым в повседневной жизни.

Практическая значимость моей работы: Итоги проекта могут быть применены при работе со старшеклассниками на занятиях геометрии, также представленный материал можно использовать для формирования интереса к математике у учеников младшей и средней школы.

Виды иллюзий Иллюзия – это искаженное восприятие реальности. Бывают иллюзии, которые образовываются при  определенных физических явлениях и которые основываются на психологии. 2.1. Физические иллюзии. Примерами могут служить миражи или радуга. Восприятие смещения частей физического тела в пространстве происходит из-за преломления света между объектом и глазом человека. Так случается, например, с ложкой, которую поместили в прозрачную емкость с жидкостью. 2.2 Когнитивные иллюзии. К этой группе относится большинство оптических иллюзий. Фигура и фон. Фон может восприниматься как отдельный объект и наоборот. Иллюзии восприятия размера.  Они основаны на восприятии перспективы и глубины.                        иллюзия Мюллера-Лайера       иллюзия Понцо            иллюзия Поггендорфа                            иллюзия Орбисона           иллюзия Геринга                  иллюзия Эббингауза Невозможные фигуры.  Рассматривая с определенной точки простую замкнутую фигуру, у которой части расположены на разном расстоянии, наша зрительная система воспринимает, что они находятся на одинаковом расстоянии. Таким образом, с самого начала сложно понять, что же не так с изображением «невозможной фигуры». Считается что невозможные фигуры «создал» шведский художник Оскар Реутерсвард. Впервые он изобразил «невозможный треугольник» в 1934 году. Независимо от него в 1954 году такой треугольник он был повторно открыт английским математиком и физиком Роджером Пенроузом.                         Восприятие лиц. Мы видим лица людей выпуклыми, даже если  разглядываем вогнутую сторону маски. Этот пример иллюстрирует важность наших знаний для восприятия, ведь вогнутые лица не часто встречаются в нашем жизненном опыте. Если показать человеку перевернутое изображение лица, на котором глаза и рот остаются неперевернутыми, то это несоответствие он вряд ли заметит. Но если показать эту же фотографию в обычном, неперевернутом, виде, то сразу же увидит искажение частей лица. Эффект Тэтчер Парейдолические иллюзии. Такие иллюзии возникают при восприятии самых обычных объектов: будь то узоры на обоях или облака, трещины на стенах или  пятна от разлившегося кофе. Можно увидеть лица людей, пейзажи, различные предметы и т.д. Впервые такие иллюзии были описаны немецкими психиатрами Карлом Людвигом Кальбаумом и Карлом Ясперсом (Kahlbaum К.L., 1866; Jaspers К., 1913).            Иллюзии движения. Движение – изменение освещенности деталей объекта, улавливаемое глазом. Поэтому большинство иллюзий движения построены на регулярном повторе разных по яркости или цвету фрагментов.  Направление движения задает изменение порядка чередования цветов.                  Иллюзии цвета и контраста. Они основаны на разном восприятии цвета в зависимости от фона и контраста. [1]

Иллюзии в искусстве

В искусстве иллюзии являются основой направления, называемого оп-артом(op-art — optical art - оптическое искусство). Оно зародилось в 50-х годах ХХ века внутри абстракционизма, а 70-е годы стали периодом его расцвета. Основоположником считается французский художник Виктор Вазарели. Он преуспел в исследовании воздействия этого искусства и нашел множество способов его применения в архитектуре и дизайне. (приложение 1)

Канадский художник Роберт Гонсалвес так же использует иллюзии в своих работах. Он называет свой стиль «магическим реализмом». Живопись Гонсалвеса — это попытка продемонстрировать, что даже самые невозможные фантазии можно воплотить в жизнь. (приложение 2)

Голландец Мауриц Эшер создавал картины в стиле имп-арт (impossible  art – невозможное искусство), который является ответвлением оп-арта. Работам художника характерно совмещение искусства графики  и геометрических свойств, что вызывает большой интерес к нему и у математиков, и у художников. Он вдохновлялся публикациями о  мозаичном разбиении плоскости, геометрическом проецировании и логике пространства в математических журналах.
В 1957 году в своем эссе о мозаиках Эшер написал: «В математических работах регулярное разбиение плоскости рассматривается теоретически... Значит ли это, что данный вопрос является сугубо математическим? Математики открыли дверь, ведущую в другой мир, но сами войти в этот мир не решились. Их больше интересует путь, на котором стоит дверь, чем сад, лежащий за ней».                                                                                                                                                                        Мауриц Эшер так же экспериментировал с «логикой» пространства. Этот термин характеризирует отношения физических объектов с окружающей средой, при нарушении устойчивых связей мы можем наблюдать парадоксы – оптические иллюзии. Игра света и тени и перспектива являются наиболее распространенными и часто используемыми особенностями «логики» пространства. (приложение 3)[2]

Математические методы

Устройство нашего глаза основано на проецировании изображения на хрусталик и впоследствии нервные импульсы отправляют информацию в мозг. Поэтому, внимательно изучив принципы проецирования и методы преображения проекций, мы можем «обманывать» зрение, создавать оптические иллюзии.
Все предметы состоят из линий и плоскостей. А для создания чего-либо изначально делаются расчеты и чертежи, в которых используются методы начертательной геометрии. Это область науки о фигурах, в которой пространственные формы предметов действительного мира изучаются при помощи их изображения на плоскости. Чертежи создаются различными методами, также есть множество вариантов как с ними работать и преображать.

4.1 Виды проецирования

Центральные проекции

Для получения центральных проекций нужно задать плоскость проекций и центр проекций (точка, не лежащая в этой плоскости). В пересечении проецирующей поверхности и плоскости образуется проекция линии. Проекция линии не определяет проецируемую линию, так как на проецирующей поверхности можно разместить ряд линий, проецирующихся в одну и ту же линию на плоскости проекций.[3]

Параллельные проекции

Построенные проекции можно называть параллельными, только если указано их направления. В случае, когда проецирующие лучи проходят под острым углом к плоскости проекций, называется косоугольным проецированием, а полученные при этом проекции – косоугольными проекциями. Параллельное проецирование можно рассматривать как частный случай центрального, если принять, что центр проекций бесконечно удален. [4]

Прямоугольное (ортогональное) проецирование

В 1799 году был издан труд французского ученого Гаспара Монжа под названием «Geometrie descriptive». В нем были собраны накапливающиеся еще с древних времен, сведения, отдельные правила и приемы построений точных изображений. Изложенный Монжем метод - частный случай параллельного проецирования, при котором направление проецирования перпендикулярно плоскости проекций. Ортогональные проекции двух взаимно перпендикулярных прямых, одна из которых параллельна плоскости проекций, а другая не перпендикулярна ей, взаимно перпендикулярны.[5]

Проецирование на две взаимно перпендикулярные плоскости проекций

Обратимость чертежа может быть обеспечена проецированием на две непараллельные плоскости проекций. Для удобства выбирают две взаимо перпендикулярные плоскости: горизонтальную и вертикальную. Их принято назвать горизонтальной и фронтальной плоскостью проекций соответственно. Линия пересечения плоскостей называется осью проекций.[6]

4.2. Способы преобразования чертежа

Существует множество способов преобразовать чертеж, но основных два: в первом случае – заменяют пространственное положение первоначально данных объектов; в другом случае – меняется заданная система плоскостей проекций.

    Способ вращения вокруг проецирующей прямой

 Суть в том, что все точки заданной на чертеже геометрической фигуры вращаются вокруг прямой, перпендикулярной одной из плоскостей проекций.[7]

  Плоскопараллельное перемещение

Плоскопараллельным называется такое перемещение фигуры в пространстве, при котором все ее точки движутся в плоскостях параллельных между собой. [8]

 

Вращение вокруг линий уровня

 Этот метод дает возможность одним вращением совместить плоскость общего положения с плоскостью уровня. Данный способ применяется, если необходимо найти только натуральный вид отсека плоскости. [9]

    Введение новых плоскостей проекций
Суть способа заключается в том, что с добавлением плоскости вводится и новое направление проецирования. [10]

4.3. Симметрия

Симметричные фигуры используются в иллюзиях движения, парейдолических, а также для создания иллюзий фигуры и фона и не только. Симметрия – свойство геометрической фигуры, которое выражает правильность и соизмеримость формы, неизменность относительно преобразований.

Фигура считается симметричной, если  после неких преобразований не меняются ее исходные свойства; для каждой точки фигуры относительно оси или точки симметрии есть такая же точка, которая принадлежит этой фигуре.

Зеркальной симметрией обладает фигура, которая симметрична относительно прямой.

Если фигура на плоскости такова, что повороты относительно какой-либо точки О на угол 360^о/n, где n целое число, переводят ее в себя, то фигура обладает симметрией n-го порядка относительно точки О – центра симметрии. 10
В случае центральной симметрии (инверсии) относительно точки О фигура совмещается сама с собой после последовательных отражений от трех взаимно перпендикулярных плоскостей. В случае осевой симметрии, или симметрии относительно прямой n-ого порядка, фигура накладывается на себя вращением вокруг некоторой прямой (оси симметрии) на угол 360^о/n.[11]

 

4.4. Перспектива

Перспектива – техника изображения объектов в пространстве с применением свойств изменения размеров, формы и законов светотени (с точки зрения изобразительного искусства); способ изображения объектов в пространстве, основанный на центральном проецировании (с точки зрения геометрии). На законах перспективы создаются иллюзии восприятия размера и невозможные фигур

Основы перспективы начали использовать еще в древние времена из-за необходимости в изображении предметов в трехмерном пространстве. Перспектива как наука развивалась в строительстве  и технике, а также в живописи. Ее изучением занимались многие ученые и художники, такие как древнегреческий драматург Эсхил (525-456 гг. до н.э.), естествоиспытатель и мыслитель Демокрит (около 460-370 гг. до н. э.),  математик Евклид (323-285 гг. до н.э.), архитектор Витрувий (конец I в. до н. э.), астроном Птолемей (II в. н.э.), римский архитектор и инженер Марк Витрувий Поллион (80-15 гг. до н.э.), итальянский живописец Амброджо Лоренцетти (1290-1348 гг. н.э.), Филиппо Брунеллески (1377—1446 гг. н.э.), Леон Баттиста Альберти (1404-1472), Леонардо да Винчи (1452—1519), Альбрехт Дюрер (1471—1528), русский художник и педагог Н. Н. Ге (1831—1894), А. Г. Венецианов (1780— 1847), и многие другие  художники, скульпторы, архитекторы, математики.

Виды

1.                  Прямая линейная перспектива
Вид перспективы, рассчитанный на неподвижную точку зрения и предполагающий единую точку схода на линии горизонта, то есть предметы уменьшаются пропорционально по мере удаления их от переднего плана.

          

2.                  Обратная перспектива

Такой вид перспективы применялся в византийской и древнерусской живописи. Изображение при обратной перспективе увеличиваются по мере удаления от зрителя.

             

3.                  Панорамная перспектива
Изображение строится на цилиндрической поверхности. Точка зрения расположена на оси поверхности.

4.                  Воздушная перспектива

По мере удаления предметов от зрителя предметы становятся менее четкими и яркими. Принципы воздушной перспективы первым обосновал Леонардо Да Винчи. [12]

Макет

Я вдохновлялась работами швейцарского художника Феличе Варини(приложение 4). Он преображает интерьеры и фасады домов. Если на них просто смотреть кажется что это всего лишь абстрактные линии, но с определенного ракурса они соединяются и становится понятно – это геометрические фигуры.

 

Заключение

Окружающий нас мир велик и полон загадок. Одну из них мы смогли разгадать: создание и применение иллюзий. Изучение этой темы важно как в геометрии, так и в сфере искусства. Иллюзии используются в дизайне, архитектуре, живописи.  Например, модельеры чтобы подчеркнуть фигуру могут сделать вещь приталенной или наоборот свободнее; колонны Афинского акрополя в Греции сужены сверху и снизу, чтобы они казались выше; художники «удаляют» и «приближают» предметы от зрителя цветом, размером, четкостью.

Моя мечта – стать архитектором. Так у меня будет возможность создавать что-то новое, необычное, преображать города. Серо-бежевые коробки давно всем наскучили, я хочу внести в историю создания зданий в России оригинальности. Для этого я изучила иллюзии, ведь они представляют собой много интересного и еще неизученного.

В своей работе я рассмотрела, какие существуют иллюзии, каковы способы их применения, какие используются математические методы. В ходе исследования я добилась всех целей и задач, а также подтвердила актуальность темы. Представленный материал пополняет теоретические знания, расширяет кругозор, разъясняет ранее непонятные вещи. В работе впервые показаны математические методы, которые используют для создания оптических иллюзий и как их можно использовать на практике.

Из моей работы можно сделать вывод о том, что использование иллюзий широко распространено в искусстве в качестве как главной идеи, так и части произведения; иллюзии в творчестве основаны на математических законах.

Приложения

1.

                   

2.
                                    

3.
                            

     

       

4.

Список используемой литературы

1.                  Livejournal, профиль BP-21. Иллюзия восприятия 4, зрительные и иные искажения восприятия у человека(+ видео). Режим доступа: http://bp21.livejournal.com/103607.html

2.                  Психология, нейронауки и интересные факты о мозге. Виды иллюзий. Режим доступа: http://www.yobrain.ru/2013/08/blog-post_23.html

3.                  Факультет психологии МГУ им. М.В. Ломоносова. Иллюзии восприятия размера. Парейдолические иллюзии. Режим доступа:  http://www.psy.msu.ru/illusion/size.html; http://www.psy.msu.ru/illusion/pareidolia.html

4.                  Википедия – свободная энциклопедия. Гонсалвес, Роб. Режим доступа: https://ru.wikipedia.org/wiki/Гонсалвес,_Роб

5.                  Невозможный мир. Математическое искусство М.К.Эшера. Режим доступа: http://im-possible.info/russian/articles/escher_math/escher_math.html

6.                  Математический мир Морица Эшера. Режим доступа: https://artelectronics.ru/posts/matematicheskie-illyuzii-moritsa-eshera

7.                  Википедия – свободная энциклопедия. Перспектива. Режим доступа: https://ru.wikipedia.org/wiki/Перспектива

8.                  Чекмарев А.А. Начертательная геометрия и черчение / учебник для вузов / - М.: гуманитарный издательский центр «ВЛАДОС», 2-е изд., переработ. и доп., 2005.

9.                  Сальков Н.А. Начертательная геометрия базовый курс. Учебное пособие / серия «Высшее образование»/ - М.: изд. «ИНФРА-М», 2013.

10.              Стрижаков В.А., Мартиросов А. Л.,. Кубарев А. Е Начертательная геометрия / серия «Высшее образование»/ - Ростов н/Д.: изд. «Феникс», 2004.

11.              Гордон В. О., Семенцов-Огиевский М.А. Курс начертательной геометрии - М.: изд. «Высшая школа», 24-е изд., стереотип., 2000.

12.              Смирнова И.М. Геометрия. Учебник 10-11кл. - М: Мнемозина, 2004.

---

[1]  1. Livejournal, профиль BP-21. Иллюзия восприятия 4, зрительные и иные искажения восприятия у человека(+ видео). Режим доступа: http://bp21.livejournal.com/103607.html

2. Психология, нейронауки и интересные факты о мозге. Виды иллюзий. Режим доступа: http://www.yobrain.ru/2013/08/blog-post_23.html

3.Факультет психологии МГУ им. М.В. Ломоносова. Иллюзии восприятия размера. Парейдолические иллюзии. Режим доступа:  http://www.psy.msu.ru/illusion/size.html; http://www.psy.msu.ru/illusion/pareidolia.html

[2] 4. Википедия – свободная энциклопедия. Гонсалвес, Роб. Режим доступа: https://ru.wikipedia.org/wiki/Гонсалвес,_Роб

5. Невозможный мир. Математическое искусство М.К.Эшера. Режим доступа: http://im-possible.info/russian/articles/escher_math/escher_math.html

6. Математический мир Морица Эшера. Режим доступа: https://artelectronics.ru/posts/matematicheskie-illyuzii-moritsa-eshera

[3] 11. В.О. Гордон, М.А. Семенцов-Огиевский, Курс начертательной геометрии, стр. 11 рис. 3, рис. 4

[4] 11. В.О. Гордон, М.А. Семенцов-Огиевский, Курс начертательной геометрии, стр. 11 рис. 5.

[5]  8. А.А. Чекмарев, Начертательная геометрия и черчение учебник для вузов  стр. 10 рис. 1.9, рис. 1.10.

[6]  8. А.А. Чекмарев, Начертательная геометрия и черчение учебник для вузов, стр. 12 рис. 1.11, рис. 1.12

[7] 9. Н.А. Сальков, Начертательная геометрия базовый курс, стр. 153 рис. 6.13, рис. 6.14; 8. А. А. Чекмарев, Начертательная геометрия и черчение учебник для вузов стр. 58 рис 5.1, рис. 5.2, рис. 5.3.

[8]  10. А. В. Стрижаков, А.Л. Мартиросов, А.Е. Кубарев, Начертательная геометрия, стр. 85, рис.62.

[9] 9. Н. А. Сальков, Начертательная геометрия базовый курс, стр. 156, рис. 6.19

[10] 9. Н.А, Сальков, стр. 151, рис. 6.8) (А. А.Чекмарев,  стр. 62-63, рис. 5.8, рис. 5.9, рис. 5.10, рис. 5.11.

[11] 8. А.А. Чекмарев, Начертательная геометрия и черчение, стр. 69 рис 5.18, рис. 5.19, стр. 70 рис. 5.20.

[12] 7. Википедия – свободная энциклопедия. Перспектива. Режим доступа: https://ru.wikipedia.org/wiki/Перспектива

12.    Смирнова И.М. Геометрия. Учебник 10-11кл. - М: Мнемозина, 2004.

Краткое описание документа:

Аннотация

Среди множества направлений и техник в искусстве темой представленного проекта я выбрала оптические иллюзии. Целью является узнать, какие математические методы используются при создании иллюзий. На следующем этапе работы я изучила теорию: узнала какие существуют виды иллюзий и на чем они основаны; какие математические методы можно использовать, чтобы создать «обман зрения». Возникла потребность доказать на практике полученные знания. Я решила создать архитектурный макет с одной из иллюзий. Для его создания вдохновлялась работами швейцарского художника Феличе Варини. Использование иллюзий широко распространено в искусстве в качестве как главной идеи, так и части произведения, потому в будущем я смогу использовать свой проект, обучаясь на архитектурном факультете. Таким образом, тема моего проекта актуальна.