Математические парадоксы и софизмы

• 1 слайд

  Математические парадоксы и софизмы
  Работу выполнил
  Ученик 10 а класса
  МОУ «СОШ№61»
  Сегеда Михаил
  Руководитель:
  Учитель математики
  Виноградова С.А.
  
  

• 2 слайд

  
  
  Цель: изучить данную тему
  Задачи:
  Дать определение понятиям «софизм» и «парадоксы»; узнать, в чем их отличие.
  Классифицировать различные виды софизмов и парадоксов.
  Понять, как найти в них ошибку.
  

• 3 слайд

  Математический софизм – удивительное утверждение, в доказательстве которого кроются незаметные, а подчас и довольно тонкие ошибки.
  Особенно часто в софизмах выполняют "запрещенные" действия или не учитываются условия применимости теорем, формул и правил.
  Математические софизмы
  Софизм- формально кажущееся правильным, но по существу ложное умозаключение, основанное на неправильном подборе исходных положений (словарь Ожегова)
  

• 4 слайд

  Парадокс (греч. "пара" - "против", "докса" - "мнение") близок к софизму. Но от него он отличается тем, что это не преднамеренно полученный противоречивый результат.
  Парадокс - странное, расходящееся с общепринятым мнением, высказывание, а также мнение, противоречащее (иногда только на первый взгляд) здравому смыслу (словарь Ожегова).
  
  Математический парадокс – высказывание, которое может быть доказано и как истинна, и как ложь.
  
  
  
  Парадоксы
  

• 5 слайд

  В Греции софистами называли и простых ораторов- философов-учителей, задачей которых было научить своих учеников «мыслить, говорить и делать».
  Их задачей обычно было научить убедительно защитить любую точку зрения.
  Парадоксы были типичными способами постановки вопроса в античном мышлении. За свою историю математика испытала три сильнейших потрясения, три кризиса, которые касались ее основ. И все три сопровождались обнаружением парадоксов.
  А теперь немного истории…
  

• 6 слайд

  арифметические
  геометрические
  алгебраические
  Математические софизмы
  
  В своей работе я рассмотрел
  много математических софизмов
  и сейчас приведу примеры
  некоторых из них.
  

• 7 слайд

  Алгебраические софизмы.
  
  Алгебра — один из больших разделов математики, принадлежащий наряду с арифметикой и геометрией к числу старейших ветвей этой науки. Алгебраические софизмы – намеренно скрытые ошибки в уравнениях и числовых выражениях.
  
  
  

• 8 слайд

  «Два неодинаковых натуральных числа равны между собой»
  решим систему двух уравнений
  
  𝑿+𝟐𝒀=𝟔 𝒀=𝟒− 𝑿 𝟐
  
  Сделаем это подстановкой у из 2-го уравнения в 1, получаем х+8-х=6, откуда 8=6
  Где ошибка
  Уравнение (2) можно записать как х+2у=8, так что исходная система запишется в виде:
  Х+2у=6, Х+2у=8
  В этой системе уравнений коэффициенты при переменных одинаковы, а правые части не равны между собой, из этого следует, что система несовместна, т.е. не имеет ни одного решения. Графически это означает, что прямые
  у=3-х/2 и у=4-х/2 параллельны и не совпадают.
  Перед тем, как решать систему линейных уравнений, полезно проанализировать, имеет ли система единственное решение, бесконечно много решений или не имеет решений вообще.
  

• 9 слайд

  
  «Уравнение x-a=0 не имеет корней»
  Дано уравнение x-a=0. Разделив обе части этого уравнения на x-a, получим, что 1=0. Поскольку это равенство неверное, то это означает, что исходное уравнение не имеет корней.
  Где ошибка?
  Поскольку x=a – корень уравнения, то, разделив на выражение x-a обе его части, мы потеряли этот корень и поэтому получили неверное равенство 1=0.
  
  

• 10 слайд

  
   
  «Все числа равны между собой»
  
  .
  возьмём числа a < b,
  тогда существует такое c > 0, что: a + c = b
  умножим обе части на (a − b), имеем: (a + c)(a − b) = b(a − b)
  a2 + ca − ab − cb = ba − b2
  cb переносим вправо, имеем:
  a2 + ca − ab = ba − b2 + cb
  a(a + c − b) = b(a − b + c) отсюда a = b
  Где ошибка?
  По определению : a + c = b
  Значит, a + c − b = 0
  И выражение a(a + c − b) = b(a + c − b)
  Тождественно a ∙ 0 = b ∙ 0.
  
  

• 11 слайд

  
  
  
  
  
  
  Арифметика - (греч. arithmetika, от arithmys — число), наука о числах, в первую очередь о натуральных (целых положительных) числах и (рациональных) дробях, и действиях над ними. Так что же такое арифметические софизмы?
  Арифметические софизмы – это числовые выражения, имеющие неточность или ошибку, не заметную с первого взгляда.
  
  
  
  

• 12 слайд

  «Дважды два - пять»
  Напишем тождество 4:4=5:5.
  Вынесем из каждой части тождества общие
  множители за скобки, получаем: 4(1:1)=5(1:1) или
  Так как 1:1=1, то сократим и получим
  
  Где ошибка?
  Ошибка сделана при вынесении общих множителей 4 из левой части и 5 из правой. Действительно, 4:4=1:1, но 4:4≠4(1:1).
  
  
  

• 13 слайд

  «Пять равно шести»
  Возьмем тождество 35+10-45=42+12-54.
  В каждой части вынесем за скобки общий множитель:
  5(7+2-9)=6(7+2-9).
  Теперь, получим, что 5=6.
  Где ошибка?
  Ошибка допущена при делении верного равенства 5(7+2-9)=6(7+2-9) на число
  7+2-9, равное 0. Этого нельзя делать.
  Любое равенство можно делить только на число, отличное от 0.
  
  

• 14 слайд

  
  «Один рубль не равен ста копейкам»
  Известно, что любые два равенства можно перемножить почленно, не нарушая при этом равенства, т. е.если
  а = b и c = d, то ac = bd.
  Применим это положение к двум очевидным равенствам: 1 рубль = 100 копейкам и
  10 рублей = 1000 копеек
  Перемножая эти равенства почленно, получим
  10 рублей = 100 000 копеек
  и разделив последнее равенство на 10, получим, что
  1 рубль = 10 000 копеек
  Таким образом,
  один рубль не равен ста копейкам.
  
  
  

• 15 слайд

  «Один рубль не равен ста копейкам»
  Где ошибка?
  Ошибка, допущенная в этом софизме, состоит в нарушении правила действий с именованными величинами: все действия, совершаемые над величинами, необходимо совершать также и над их размерностями.
  

• 16 слайд

  Геометрические софизмы
  
  Это умозаключения или рассуждения, обосновывающие какую-нибудь заведомую нелепость, абсурд или противоречивое утверждение, связанное с геометрическими фигурами и действиями над ними
  
  
  
  

• 17 слайд

  
  .
  
  «Катет равен гипотенузе»
  

• 18 слайд

  
   
  «Все треугольники равнобедренные»
  .
  
  
  

• 19 слайд

  «Через точку на прямую можно опустить два перпендикуляра»
  
  

• 20 слайд

  Задача о треугольнике
  

• 21 слайд

  Парадокс «Разность квадратов»
  1) а²-а² = а²-а² - имеем равенство
  2) а(а-а) = (а+а)(а-а) – в первой части вынесем общий множитель за скобки, а во второй воспользуемся формулой
  3) а = а+а – сократим на общий множитель (а-а)
  4) а = 2а.
  
  

• 22 слайд

  Парадокс «Закономерность»
  Какое число следующее?
  1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, ...
  
  Ответ: 144, т.к.
  данный ряд является числами Фибоначчи, где каждое число – сумма двух предыдущих.
  
  
  

• 23 слайд

  Заключение
  Я познакомился с увлекательной темой, узнал много нового, научился решать задачки на софизмы, находить в них ошибку, разбираться в парадоксах.
  Тема моей работы далеко не исчерпана. Я рассмотрел лишь некоторые, самые известные примеры софизмов и парадоксов. На самом деле их намного больше.
  Развитая логика мышления поможет не только в решении каких-нибудь математических задач, но еще может пригодиться в жизни.
  
  

• 24 слайд

  Литература
  
  
  
  1. Lietzman W.  Wo steckt der Fehler? Mathematische Trugschlüsse und Warnzeichen. – Leipzig? 1952 
  
  2. Аменицкий Н. Математические развлечения и любопытные приемы мышления. – М., 1912
  
  3. Богомолов С. А. Актуальная бесконечность. – М.; Л., 1934
  
  4. Больцано Б.  Парадоксы бесконечного. – Одесса, 1911
  
  5. Брадис В. М., Харчева А. К. Ошибки в математических рассуждениях. – М., 1938
  
  6. Горячев Д. Н., Воронец А. М. Задачи, вопросы и софизмы для любителей математики. – М., 1903 
  
  7. Литцман В., Трир Ф. Где ошибка? – СПб., 1919
  
  8. Лямин А. А.  Математические парадоксы и интересные задачи. – М., 1911
  
  9.  Мадера А.Г., Мадера Д.А. Математические софизмы. – М.: Просвещение, 2003  
  
  10. Обреимов В. И. Математические софизмы. – 2-е изд. – СПб., 1889.
  

• 25 слайд

  Спасибо за внимание !