"Математическое моделирование как формирование математических компетенций" (доклад)

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа № 66 г. Владивостока»

Математическое моделирование как средство формирования компетенций при разборе текстовых задач в 5-7-х классах (из опыта работы)

Учитель математики:

Панченко Наталья Александровна,

МБОУ «СОШ № 66»

Математическое моделирование как средство формирования компетенций при разборе текстовых задач в 5-7-х классах (из опыта работы)

---

Цель: теоретическое и практическое обоснование необходимости умения составлять математические модели при решении текстовых задач в 5-7-х классах.

Задачи:

• Создать условия для обучения методу математического моделирования средствами курса математики;
• определить роль и место математического моделирования – как общего способа учебной деятельности;
• систематизировать виды моделей;
• разработать и апробировать систему заданий, формирующих практическое обучение построению математических моделей и работе с ними.

1. Актуальность математического моделирования

        В современном обществе быстрыми темпами растёт поток информации. Знания, которые ученики получают на уроках бывают недостаточны для общего развития. Отсюда возникает необходимость в непрерывном самообразовании, самостоятельном добывании знаний. Это заказ общества к подготовке его граждан в современных условиях жизни. Школа должна формировать опыт самостоятельной деятельности и личной ответственности обучающихся, т.е. ключевые компетентности. Цель компетентностей – помочь ребёнку адаптироваться в социальном мире.

        Изменились общие цели школьного математического образования. Одной из главных целей стало формирование представлений о сущности математики как науки и её главном методе – математическом моделировании.

        Интерес к теме моделирования объясняется тем значением, которое метод моделирования получил в современной науке. В настоящее время нельзя назвать область человеческой деятельности, в которой в той или иной степени не использовались бы методы моделирования. Методологическая основа моделирования заключается в следующем. Всё то, на что направлена человеческая деятельность, называется объектом.

        В научных исследованиях большую роль играют гипотезы, т.е. предположения. Быстрая и полная проверка гипотез проводится в ходе специально поставленного эксперимента. Гипотезы, отражающие реальный, объективно существующий мир, должны обладать наглядностью или сводиться к удобным для исследования логическим схемам. Такие логические схемы, упрощающие рассуждения называют моделями. Моделированием называется замещение одного объекта другим с целью получения информации об этом объекте путём проведения экспериментов с его моделью.

2. Педагогическое обоснование применения математического моделирования

        Ведущая педагогическая идея – это применение математического моделирования для формирования компетентностей. Внедрение в процесс обучения на ранних стадиях математического моделирования эффективно развивает ключевые компетентности у учащихся. С этой целью необходимо включение ученика в деятельность на основе учёта его субъективного опыта, создание условий для свободного выбора учащимися форм организации обучения. Использование моделирования в обучении активизирует мыслительную деятельность, позволяет ученику лучше ориентироваться в природе и обществе. Всё это способствует развитию ключевых компетентностей личности.

        Процесс обучения при данном подходе становится максимально приближенным к познавательным потребностям учеников, их индивидуальным особенностям, способствует самореализации личности.

3. Технология применения математического моделирования

        Как помочь ребёнку понять задачу, выделить приоритетные для понимания элементы задачи, составить модель задачи, т.е. стать компетентным? Этого можно добиться при использовании новых технологий, где учитель выступает как партнёр. Наиболее удачными, на мой взгляд, являются интерактивные технологии – это технологии, основанные на принципах интерактивного обучения (включая интерактивные методы, формы, позиция учителя – консультант).

Я применяю следующие интерактивные формы организации учебного процесса: урок-практикум, урок-диалог, где развивающее содержание «вкладываю» в

а) фронтальную работу в кругу;

б) статичные пары (пары постоянного состава);

в) пары сменного состава (пары, находящиеся в движении);

г) статичные группы (группы постоянного состава);

д) мигрирующие группы (группы, находящиеся в движении).

        При такой организации обучения за более короткий срок развивается речь, умения ориентироваться в окружающей обстановке, инициативность. Опираюсь на опыт учащихся через систему заданий, создание моделей, анализ моделей, диалог, наблюдение, создание и решение проблемы.

        Применяю уровневую дифференциацию. Выбор того или иного уровня определяю на основе реализации принципа выбора самими учащимися в соответствии с их собственными интересами и возможностями.

        Большое внимание я уделяю формированию общего подхода к решению задач. Теоретической основой являются следующие этапы математического моделирования:

• этап I – перевод задачи на математический язык (построение математической модели);
• этап II – внутримодельное решение;
• этап III – перевод полученных на этапе II результатов на язык задачи.

При таком подходе текстовая задача рассматривается как словесная модель некоторого процесса (явления, ситуации). Чтобы решить такую задачу, надо перевести ее на язык математических действий, т.е. построить математическую модель. Для текстовой задачи математической моделью является выражение (либо запись по действиям), если задача решается арифметическим методом, и уравнение (либо система уравнений), если задача решается алгебраическим методом. На втором этапе находят значение выражения, либо выполняют действия, либо решают уравнение. На третьем – полученные результаты интерпретируют применимо к данной задаче.

Задача: «В одном баке было в 3 раза больше воды, чем в другом. Когда в первый бак долили 16 л воды, а во второй – 80 л, то в обоих баках воды стало поровну. Сколько литров воды было сначала в каждом баке?» (7 класс. Мерзляк А.Г.)

Этап 1.

        Обозначим через x первоначальное количество литров в первом баке. Тогда во втором баке в 3 раза больше, т.е. 3х литров воды. После того как в первый бак долили 16 л воды, то там стало х+16 л воды, а во второй бак долили 80 л, то стало 3х+80 л. воды (сразу необходимо проанализировать условия доливки воды и в какой бак, чтобы результат стал одинаковый, так как ученики не все сразу вникают, в текст и не могут сообразить, что для того, чтобы уравнять баки, нам необходимо во второй бак долить 16л, а в первый долить 80 л) следовательно условия задачи немного нужно изменить и при составлении модели надо в первый бак долить 80л воды и станет х+80, а во второй долить 16л и станет 3х+16 и только так в баках станет воды поровну.

Получаем уравнение: х+80=3х+16. Это математическая модель задачи.

Этап II. Решаем уравнение 3х - х = 80-16 и получаем 2х=64, х=32 л в первом баке.

Этап III. Если в первом баке 32 л воды, то во втором — 3*32=96 л воды. Кроме того, нетрудно убедиться в том, что полученные числа удовлетворяют условию задачи: если в первый бак долить 80 л воды, а во второй 16, то количество воды будет одинаковым.

        Наибольшую сложность в процессе решения текстовой задачи представляет перевод текста задачи с естественного языка на математический. Для облегчения этой процедуры строят вспомогательные модели задачи — схемы, таблицы и др. Тогда процесс решения задачи можно рассматривать как переход от одной модели к другой: от словесной модели реальной ситуации, представленной в задаче, к вспомогательной (схема, таблица, рисунок и т.д.), а от неё к математической, на которой и происходит решение задачи.

        Рассмотренный подход разделяют и психологи. Они считают, что:

а) процесс решения задачи есть сложный процесс поиска системы моделей и определённой последовательности переходов от одного уровня моделирования к другому, более обобщённому;

б) решение задачи есть процесс её переформулировки. При этом основная форма мышления, осуществляющая эту переформулировку - это анализ через синтез, когда объект в процессе мышления включается в новые связи и в силу этого выступает в новых качествах. Главным средством переформулировки является моделирование. Такое понимание процесса решения текстовой задачи позволяет усилить развивающую функцию обучения математике. Этот подход к решению текстовой задачи реализован в учебниках автора Мерзляка А.Г., Полонского В.Б., Якира М.С.

        Важным средством обучения элементом моделирования являются сюжетные задачи. Сюжетной задачей называют задачу, описывающую реальную или приближенную к реальной ситуацию на неформально-математическом языке. С этой точки зрения любая задача, возникающая на практике, является сюжетной, однако часто она может не содержать достаточных для решения числовых данных. Такие задачи называют задачами-проблемами. Для построения их математической модели нужно найти достаточное количество числовых данных. Школьные учебники почти не содержат задач проблем. Учащимся, как правило, сразу предъявляется словесная модель задачи, поэтому представления о характере отражения математикой явлений, описываемых в сюжетных задачах, часто оказывается весьма примитивным. Это происходит вследствие того, что этап формализации при решении школьных сюжетных задач оказывается представлен слишком узко, т.к. нет условий для содержательного раскрытия и конкретизации этапов формализации и интерпретации математического моделирования. В частности, эта проблема может быть реализована на пути решения так называемых прикладных задач. Для подготовки к обучению в профильных классах уже в 5-6 целесообразно использовать прикладные и учебно-прикладные задачи, которые позволяют учить школьников следующим действиям, характерным для этапов формализации и интерпретации:

• замене исходных терминов выбранными математическими эквивалентами;
• оценке полноты исходной информации и введению при необходимости недостающих числовых данных;
• выбору точности числовых значений, соответствующей смыслу задачи;
• оценке возможности получения числовых данных для решения задачи на практике.

        Выполнение действия замены исходных терминов выбранными математическими эквивалентами основывается, прежде всего, на жизненном опыте учащихся, т.е. знании терминов, встречающихся в быту или при изучении других предметов, которые могут быть заменены математическими понятиями и отношениями. Из этого следует, что в системе задач школьных учебников должно быть больше задач, содержащих термины из различных научных областей, но не требующих длительного и громоздкого объяснения их сущности. Кроме этого, задачи расширяют словарный запас учащихся, знакомят с новыми интересными фактами из разных наук. Пример: число депутатов от первой партии на 20% больше, чем от второй, а число депутатов от второй партии составляет 62,5% числа депутатов третьей. Может ли какая-либо партия заблокировать принятие решения, для которого требуется квалифицированное большинство голосов (не менее 2/3) всех депутатов?

        При решении логических и нестандартных задач развиваются ключевые компетенции. Нестандартные задачи дают возможность активизировать познавательную деятельность учащихся, т.к. в их решении присутствует крупица открытия. От эффективности использования таких задач зависит не только качество обучения, развития, но и степень практической подготовленности школьников к будущей деятельности. Необходимо учить решать такие задачи, вооружить их «инструментом», с помощью которого они с задачей справятся.

        Приём решения логической задачи:

• изучение содержания задачи, уточнение уровня математических знаний, необходимого для её разрешения (содержательный компонент);
• выдвижение гипотезы поиска решения;
• выбор способа представления логических рассуждений: табличный, текстовый, на кругах Эйлера, перебором и т.д.;
• проверка выдвинутых гипотез поиска решения;
• выбор наиболее оригинального способа решения (творческий компонент);
• обсуждение результатов;
• соотнесение задачи с личным опытом (рефлексивный компонент);
• разработка и решение аналогичных задач, задач творческого характера (творческий компонент);
• обсуждение дополнительных вопросов к задаче.

Например, логическая задача «Татьяна должна обсудить свою новую идею с директором, бухгалтером и программистом. С каждым из них обсуждение длится ровно час. Известно, что директор занят с 10 до 12 часов, бухгалтер приезжает на работу к 10 часам, а у программиста важное совещание с 10 до 11 часов. При этом Татьяна смогла закончить все три обсуждения к 12 часам, придя на работу к 9 часам. Назовите должность сотрудника, у которого Татьяна была в 11:30.»

I.

1) предлагаю учащимся текст задачи;

2) анализ ситуации, осознание проблемы. На данном этапе учащиеся самостоятельно вычисляют условия задачи, её заключение, проводят рассуждения по поиску решения;

3) на этой стадии осуществляю работу над решением проблемы.

II. Работа групп учащихся.

Ученики, работая в группах, разрабатывают пути решения данной задачи.

III. Рождение идеи.

Возникновение идеи решения.

Обсуждение разработанных каждой группой вариантов решений, и выбирается более рациональный способ решения.

IV. Техническая стадия решения.

V. Оформление решения задачи.

VI. Элемент творчества.

        После решения данной задачи учащимся предлагаю самим составить текст аналогичных задач с другими данными.

        Для ориентации в практически необозримом море математических моделей необходима их классификация. Все модели можно разделить на схематизированные и знаковые по видам средств, используемых для их построения.

        Схематизированные модели, в свою очередь, делятся на вещественные и графические в зависимости от того, какое действие они обеспечивают. Вещественные (или) предметные модели текстовых задач обеспечивают физическое действие с предметами. Они могут строиться из каких-либо предметов, они могут быть представлены разного рода инсценировками сюжета задач. К этому виду моделей причисляют и мысленное воссоздание реальной ситуации, описанной в задаче, в виде представлений.

        Графические модели используются, как привило, для обобщённого, схематического воссоздания ситуации задачи. К графическим следует отнести следующие виды моделей:

• рисунок;
• условный рисунок;
• чертёж;
• схематический чертёж (или просто схема).

        Знаковые модели могут быть выполнены как на естественном языке, так и на математическом языке. К знаковым моделям, выполненном на естественном языке, можно отнести:

• краткую запись задачи;
• таблицы.

        Таблица как вид знаковой модели используется главным образом тогда, когда в задаче имеется несколько взаимосвязанных величин, каждая из которых задана одним или несколькими значениями.

        Знаковыми моделями текстовых задач, выполненными на математическом языке, являются:

• выражение;
• уравнение;
• система уравнений;
• запись решения задачи по действиям.

        Схематические, графические и знаковые модели, выполненные на естественном языке – вспомогательные модели, а знаковые модели, выполненные на математическом языке – решающие.

        Уровень овладения моделированием определяет успех решающего. Поэтому обучение моделированию занимает особое и главное место в формировании умения решать задачи.

        Полезно применять чертежи и схематические рисунки, блок-схемы, моделирование с помощью отрезков и таблиц.

        Итак, модель нужна для того, чтобы понять, как устроен конкретный объект, какова его структура, основные свойства, законы развития; научиться управлять объектом или процессом, определять наилучшие способы управления при заданных целях и критериях.